八年级三角形的奥数题及其答案

例题1：AD，EF，BC相交于O点，且AO＝OD，BO＝OC，EO＝OF．求证：△AEB≌△DFC

例题2：P为正方形ABCD对角线BD上任一点，PF⊥DC，PE⊥BC．求证：AP⊥EF．

例题3：△ABC的高AD与BE相交于H，且BH＝AC．求证：∠BCH＝∠ABC．

例题4：在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点，∠PAQ＝45°．

求证：PQ＝PB＋DQ．

例题5：过△ABC的顶点A分别作两底角∠B和∠C的角平分线的垂线，AD⊥BD于D，AE⊥CE 于E．求证：ED∥BC．

2，PC＝4，求ΔABC的边例题6：如图，P是等边三角形ABC内部的一点，PA＝2，PB＝3

长.

例题7：如图（ l ) ，凸四边形 ABCD ，如果点P满足∠APD ＝∠APB =α。且∠B P C ＝∠CPD ＝β，则称点P为四边形 ABCD的一个半等角点．

( l ）在图（ 3 ）正方形 ABCD 内画一个半等角点P ，且满足α≠β。

( 2 ）在图（ 4 ）四边形 ABCD 中画出一个半等角点P ，保留画图痕迹（不需写出画法） . ( 3 ）若四边形 ABCD 有两个半等角点P 1 、P 2（如图（ 2 ) ) ，证明线段P 1 P 2上任一点也是它的半等角点 。

例题8：已知：点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且OB ＝OC 。

（1）如图1，若点O 在BC 上，求证：AB ＝AC ；

（2）如图2，若点O 在△ABC 的内部，求证：AB ＝AC ；

（3）若点O 在△ABC 的外部，AB ＝AC 成立吗？请画图表示。

练习试题：

1．如图，在ABC △中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，

过点O 作EF BC ∥交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ．下列四个结论：

1902

BOC A ∠=∠①°+； ②以E 为圆心、BE 为半径的圆与以F 为圆心、CF 为半径的圆外切；

③设OD m AE AF n =+=，，则AEF S mn =△；

④EF 不能成为ABC △的中位线．

其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）

2．如图1，AB 、CD 是两条线段，M 是AB 的中点，DMC S ∆、DAC S ∆和DBC S ∆分别表示△DNC 、△DAC 、△DBC 的面积。当AB ∥CD 时，有DMC S ∆＝2

DBC DAC S S ∆∆+ (1) （1）如图2，若图1中AB 与CD 不平行时，(1)式是否成立？请说明理由。

（2）如图3，若图1中AB 与CD 相交于点O 时，DMC S ∆、DAC S ∆和DBC S ∆有何种相等关系？试证明你的结论。

3．如图，设△ABC 和△CDE 都是正三角形，且∠EBD ＝62o ，则∠AEB 的度数是【 】

（A ）124o

（B ）122o （C ）120o （D ）118o

4．如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，M 是AB 延长线上一点，N 是CA 延长线上一点，且∠MDN ＝60°.试探究MB 、MN 、CN 之间的数量关系，并给出证明.

5．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝_____________

6．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，︒=∠60BAD ，则=∠EDC __________

7．（1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；

（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.

8．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；

（2）证明：DC BE ⊥．

9．如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是__________________。（把所有正确答案的序号都填写在横线上）

①∠BAD ＝∠ACD ②∠BAD ＝∠CAD ，③AB ＋BD ＝AC ＋CD ④AB －BD ＝AC －CD

参考答案

例题1、证明：△OAE≌△ODF，因为：二边及夹角（对等角）相等，得：AE=DF。同理证得：△OBE≌△OCF，△OAB≌△OCD，得：EB=CF，AB=CD。

因为：AE=DF，EB=CF，AB=CD 三边相等。

所以：△AEB≌△DFC

例2 F于点G 延长EP交AB于M,延长FP交AD于N

∵P为正方形ABCD对角线BD上任一点

∴PM=PF,PN=PE

又AMPN为矩形.

∴AN=PM=PF

∵∠EPF=∠BAC=90°

∴△PEF≌△ANP

∴∠NAP = ∠PFE

又∠NPA=∠FPG(对顶角)

∠NAP +∠NPA=90°

∴∠PFE+∠FPG=90°

∴∠PGF=180°-(∠PFE+∠FPG)=90°

∴AP⊥EF

例3 ∵BH＝AC，∠BDH＝∠ADC＝90°，∠HBD＝∠CAD（这个知道的吧）

∴△BDH≡△ADC

∴HD＝CD，BD=AD

∴△HDC与△ABD是等腰直角三角形

∴∠BCH＝∠ABD=45°

例4：在CB的延长线上取点G，使BG＝DQ，连接AG

∵正方形ABCD

∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABG＝∠D＝90