土木工程制图点直线和平面的投影
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土木工程制图第五章,投影变换-换面法
H
3、一般位置直线变成投影面垂直线
• 先将一般位置直线变成 投影面平行线； • 再将投影面平行线变成 X 投影面垂直线。 1 X 2 X • 注意：什么是二次变换？
b a'
2 2
土木工程制图
a' b'
a
b a'
1
b'
1
土木工程制图 4、一般位置平面变成投影面垂直面 • 在一般面上作一投影面平行线，例作一水 平线；
第5章 投影变换—换面法
土木工程制图
教学提示：画法几何中有关点、直线和平面的问 题，一般可以归纳为定位和度量问题。 当几何元素处于一般位置时，为了求 解方便，常采用换面法改变其中的某 些元素与投影面的相对位置，成为有 利于解题的特殊位置。 学习要求：通过本章学习，学生应掌握换面法的 一般概念及特点，能够使用换面法解 决有关点、直线和平面等几何元素之 间的定位和度量问题。
分析：在投影图中直接反映两平面夹角的特殊 情况，只要将这两个相邻平面用换面法变成同 时垂直于同一投影面，也就是将这两个平面的 交线变换成投影面垂直线，即可求得夹角θ。
土木工程制图
a' f'c' e'd' 1.在适当的位置作O1X1∥cd1，将CD变换为H、 V1新投影面体系中的V1面平行线。
X
V H
土木工程制图
3）求平面的实形： 将平面变成投影面平行面。 4）求平面的倾角、点到平面的距离、两平行面距离、直线 与平面交点和两平面交线等： 将一般面变成投影面垂直面。
二、换面法基本方法
土木工程制图
1、基本原则： 1）新投影面必须设立在使空间元素处 在有利于解题的位置； 2）新投影面必须垂直于原有投影体系 中的一个投影面。 2、基本概念：
土木工程制图讲义点线面投影篇1
二，点在两投影面体系中的投影
V
1 两投影面体系(two view system)的建立
X
ⅡⅠ Ⅲ
O
◆正面投影面(vertical projection plane) Ⅳ H
（简称正面或V面）
◆水平投影面(horizontal projection
plane) （简称水平面或H面）
两投影面体系
◆投影轴(projection axis)
b
YH
OZ轴相交于bz，延长后量
取b" bz=15，得点b"。
特殊位置点的投影
（1）在投影面上的点
1A. 点点在的一空个间坐向标后为移零动y，=0 2其. 点投的影该有面何投变影化与其？本身
重合 A a 3. 另两个a、a在投影轴上
V a当当●≡VVAAA面面点点上上移移YY动动==00到到
Z
a
如何根据点的二面投影求第三面投影
三．两点间的相对位置 四．重影点及可见性
作业
T3-1,2,3,4
a
●
●
X
Y
O
a●
A a ●
Y a Z
●
X
a
●
≡
ax
°b' O
H
°b≡ B
X a●
O
（2）在投影轴上的点
1. 点的两坐标为零 y=0 ；z=0
a ●
●a
2. 两个投影与轴重合 A a a
3. 另一个投影 a 在原点上
a点向下移动到OX 轴上，反映点的空间
位置有何变化？
Z=0；Y=0；A点 在投影轴上。
Z
V
a'
az
b'
土建工程制图点直线平面的投影市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
见上图（b)
第8页
点投影
土木工程制图 习题集
6.已知点B在点A正下方H面上，点C在点A正左方15mm，求B、 C投影，并判别重影点可见性。
Z
a'
a″
X
YW
O
a YH
已知
第9页
点投影
c'
a'
土木工程制图 习题集
Z c″(a″)
X
b'
b″
YW
O
c a(b) YH
作图
第10页
点投影
土木工程制图 习题集
a' X
a
b' e'
c'(d′)
c
d
b
e
已知
f' O
f
a' X
a
h'
g' c'(d′)
g c
f' O
f
d
h
b
e
姓名
成绩
6
作图
第36页
直线投影——应用题
土木工程制图 习题集
1.判别交叉直线重影点可见性。
6.判别交叉直线重影点的可见性。 d'
a'
c'
X
a
d
c
8.求直线AB与CD的距离。
b'
c'
b' O
X
Xa
k' b'
a Oc k
b' YW O
b
b
YH
k点
10.在直线AB上求一点C，使点C与H、V面等距。 b' Z
作图
第27页
第8页
点投影
土木工程制图 习题集
6.已知点B在点A正下方H面上，点C在点A正左方15mm，求B、 C投影，并判别重影点可见性。
Z
a'
a″
X
YW
O
a YH
已知
第9页
点投影
c'
a'
土木工程制图 习题集
Z c″(a″)
X
b'
b″
YW
O
c a(b) YH
作图
第10页
点投影
土木工程制图 习题集
a' X
a
b' e'
c'(d′)
c
d
b
e
已知
f' O
f
a' X
a
h'
g' c'(d′)
g c
f' O
f
d
h
b
e
姓名
成绩
6
作图
第36页
直线投影——应用题
土木工程制图 习题集
1.判别交叉直线重影点可见性。
6.判别交叉直线重影点的可见性。 d'
a'
c'
X
a
d
c
8.求直线AB与CD的距离。
b'
c'
b' O
X
Xa
k' b'
a Oc k
b' YW O
b
b
YH
k点
10.在直线AB上求一点C，使点C与H、V面等距。 b' Z
作图
第27页
画法几何与土木工程制图习题集答案第4章习题集答案
平面的投影——平面对投影面的倾角
班级姓名成绩413.求平面ABC内点D的V、H投影，使点D比A点低20，
在A点前20。
14.求三角形对H面的倾角α。
15.求三角形对V面的倾角β。
16.求对H面倾角为α=60º的等腰三角形ABC，C点在V面上。
平面的投影——平面对投影面的倾角
班级
姓名
成绩
5
平面的投影——平面上的点和直线
班级
姓名
成绩
3
10.已知点A的两面投影，过点A作等腰三角形ABC的三面投影，该三角形为正垂面，α=30°，底边BC为正平线，长25mm,三角形的高为20mm.
12.已知一正方形ABCD的一边BC的H、V投影，另一边AB的V投影方向，补全此正方形的V、H投影。
11.已知一正方形ABCD的对角线AC，另一条对角线BD为H面平行线，作出该正方形的三面投影。
1.求作下图的W投影，在投影图上注明各指定表面名称，并在表格内填写各指定表面与投影面的相对位置。
2.判别平面与投影面的相对位置。
平面的投影——各种位置平面的投影
班级
姓名
成绩
1
3.过点、线作已知平面。
1．过点A作正垂面P,其α为30°.2）过AB作铅垂面△ABC.3)过点A作一般面△ABC. 4)过AB作一般面△ABC.
4.过已知直线作平面图形。
1）作等边△ABC∥H面。2）以AB为对角线作正方形垂直V面。
5.判断直线EF或点K是否在给定的平面上。
平面的投影——平面上的点和直线
班级
姓名
成绩
2
6.求平面内点的另一投影。
7.求平面ABC内直线EF的H面投影。
8.求平面ABCD上三角形EFG的H面投影。
班级姓名成绩413.求平面ABC内点D的V、H投影，使点D比A点低20，
在A点前20。
14.求三角形对H面的倾角α。
15.求三角形对V面的倾角β。
16.求对H面倾角为α=60º的等腰三角形ABC，C点在V面上。
平面的投影——平面对投影面的倾角
班级
姓名
成绩
5
平面的投影——平面上的点和直线
班级
姓名
成绩
3
10.已知点A的两面投影，过点A作等腰三角形ABC的三面投影，该三角形为正垂面，α=30°，底边BC为正平线，长25mm,三角形的高为20mm.
12.已知一正方形ABCD的一边BC的H、V投影，另一边AB的V投影方向，补全此正方形的V、H投影。
11.已知一正方形ABCD的对角线AC，另一条对角线BD为H面平行线，作出该正方形的三面投影。
1.求作下图的W投影，在投影图上注明各指定表面名称，并在表格内填写各指定表面与投影面的相对位置。
2.判别平面与投影面的相对位置。
平面的投影——各种位置平面的投影
班级
姓名
成绩
1
3.过点、线作已知平面。
1．过点A作正垂面P,其α为30°.2）过AB作铅垂面△ABC.3)过点A作一般面△ABC. 4)过AB作一般面△ABC.
4.过已知直线作平面图形。
1）作等边△ABC∥H面。2）以AB为对角线作正方形垂直V面。
5.判断直线EF或点K是否在给定的平面上。
平面的投影——平面上的点和直线
班级
姓名
成绩
2
6.求平面内点的另一投影。
7.求平面ABC内直线EF的H面投影。
8.求平面ABCD上三角形EFG的H面投影。
土木工程制图第3章点直线平面的投影
3.2 直线的投影
图3-29 判断两侧平线是否平行
3.2 直线的投影
2.两条直线相交
(1)若两条直线的三组同面投影都相交，且交点的投影符合点
(2)如果两条直线均为一般位置直线，只要有任意两组同面投 影相交，且交点符合点的投影规律，则这两条直线在空间相交。
(3)两条直线中有一条直线平行于某一投影面，则需画出两条 直线在该投影面上的投影来判断其是否相交，或者通过定比性来 判断。
作图步骤如图3-36(b) (1)从图3-36(a)可知AB为水平线，所以过点c向ab作垂线，得垂 足d，过d向上作联系线，交a′b′于点d′，连接c′d′ (2)cd为距离的水平投影，c′d′为距离的正面投影，可利用直角三 角形法求距离的实长，过点d在ab上截取dD0等于C、D两点的Z轴 坐标差，连接cD0，则cD0即为点C到水平线AB的距离。
(1)侧面投影反映实 长，与Y轴夹角为α， 与Z轴夹角为β。
(2)正面投影平行于 Z轴。
(3)水平投影平行于 Y轴。
3.2 直线的投影
3.2.3 一般位置直线的实长与倾角
(1)在α所存在的直角三角形中，α所相邻的一条直角边为 H面投影长，所对应的直角边为Z坐标差ΔZ，如图3-23(a)所示。
(2)在β所存在的直角三角形中，β所相邻的一条直角边为 V面投影长，所对应的直角边为Y坐标差ΔY，如图3-23(b)所示。
作图步骤如图3-37(b) (1)在水平投影图上过d点(也可是cd上的其他点)作ab的垂直线(也 可过ab上的任意一点作cd的垂直线)，交ab于e点。连接d、e两点 得公垂线DE的水平投影de。由e点垂直向上作投影联系线，交a′b′ 于点e′，连接点d′、e′得公垂线DE的正面投影d′e′ (2)已知公垂线DE的两面投影，即可利用直角三角形法求出公垂线 DE的实长。
建筑土木工程制图知识要点
第一章（投影和视图）§ 1—2 正投影的基本性质1. 积聚性2. 真实性3. 类似性4. 平行性单面投影：点不定位，体不定形。
三视图间的投影规律主、俯视图长对正主、左视图高平齐俯、左视图宽相等第三章（线面关系）一、直线与平面平行几何条件：1. 若直线平行于平面上任意直线，则线、面平行。
2. 若线、面平行，则过平面内任一点必能在平面内作一直线平行于已知直线。
二、两平面互相平行几何条件：两平面内各有一对相交直线分别对应平行。
三、直线与平面相交交点的性质：1. 是直线与平面的公有点;2. 是可见与不可见的分界点。
从几何元素有积聚性的投影入手,先利用公有性得到交点的一个投影,再根据从属关系求出交点的另一个投影。
当直线垂直于特殊位置平面时，平面的积聚性投影垂直于直线的同面投影。
四、平面与平面相交1. 交线是两平面的公有线。
（凡两平面的公有点都在交线上）2. 交线的投影是直线，可由其上两个（公有）点的投影确定。
3. 求一平面内的一直线与另一平面的交点来确定公有点（转化为线、面交点问题）。
实际交线应在两平面投影的公共范围之内。
两特殊位置平面互相垂直时，它们具有积聚性的同面投影互相垂直。
当两特殊位置平面相互平行时，它们具有积聚性的同面投影互相平行。
第四章（换面法）一、新投影面的选择原则1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。
（平行于新的投影面、垂直于新的投影面）2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
二、新旧投影之间的关系一般规律：1）点的新投影和保留旧投影的连线垂直于新轴。
2）点的新投影到新轴的距离等于点的旧投影到旧轴的距离。
三、作图规律：由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。
四、换面法的六个基本问题1. 把一般位置直线变换成投影面平行线2. 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线功用:一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距离等。
土木工程制图习题答案
b' e'
d' e'
c' a'
a'
c'
a
a c
e
b
b
e
d
c
d d' d
3-1 判 断 下 列 直 线 与 平 面 是 否 平 行 。 （ 1）
（ 2）
（ 3）
平行
3-2 求 下 列 直 线 与 片 面 的 交 点 K， 并 判 断 其 可 见 性 。
（ 1）
（ 2）
PV
k'
不平行
k'
k
PH
k
（ 3）
c'
c"
b' a'
a"
b"
c(a) β
T.L
b
e'
e"
c"(d"）
a'
a"
b
f" f'
c
d
e
f
a
5
分 别 求 出 直 线 AB、 CD和 EF的 实 长 及 其 倾 角 α 和 β 。
β
Δy Δy
β
Δz
Δz
α
α
班级
姓名
学号
β Δy
Δz α
已 知 直 线 AB=50,求 其 正 面 投 影 a'b'和 倾 角 γ 。 γ
于哪类直线。
s'
s"
S A _一_ _般__位__置_
S A _ _ _正__平___
S A _ _ _侧__平___
b'
a' a"
d' e'
c' a'
a'
c'
a
a c
e
b
b
e
d
c
d d' d
3-1 判 断 下 列 直 线 与 平 面 是 否 平 行 。 （ 1）
（ 2）
（ 3）
平行
3-2 求 下 列 直 线 与 片 面 的 交 点 K， 并 判 断 其 可 见 性 。
（ 1）
（ 2）
PV
k'
不平行
k'
k
PH
k
（ 3）
c'
c"
b' a'
a"
b"
c(a) β
T.L
b
e'
e"
c"(d"）
a'
a"
b
f" f'
c
d
e
f
a
5
分 别 求 出 直 线 AB、 CD和 EF的 实 长 及 其 倾 角 α 和 β 。
β
Δy Δy
β
Δz
Δz
α
α
班级
姓名
学号
β Δy
Δz α
已 知 直 线 AB=50,求 其 正 面 投 影 a'b'和 倾 角 γ 。 γ
于哪类直线。
s'
s"
S A _一_ _般__位__置_
S A _ _ _正__平___
S A _ _ _侧__平___
b'
a' a"
土木工程制图第5章投影变换换面法
5.2
图5-9 一般位置直线变换成垂直线
5.2
4.将一般位置平面变换成垂直面
如图5-10所示，△ABC为一个一般位置平面，如果要将其 变换为正垂面，
(1)在△ABC上作水平线AD，其投影为a′d′和ad (2)作X1轴⊥ad (3)作△ABC在V1面的投影a1′b1′c1′，a1′b1′c1′ 积聚为一条直线，它与X1轴的夹角即反映△ABC对H面的 倾角α
5.2
图5-6 一般位置直线变换成平行线(求α角)
5.2
2.
如图5-8所示，AB为 一条正平线，要变换成垂 直线。根据垂直线的投影 特性，反映实长的投影必 定为不变投影，只要变换 水平投影，即作新投影面 H1垂直于直线AB，作图时 作X1⊥a′b′，则直线AB 在H1面上的投影积聚为一 a1(b1)
(2)过a点作新投影轴X1的垂线，得交点aX1 (3)在垂线aaX1上截取a1′aX1= a′aX，即得A点在V1面 上的新投影a1′。
5.2
图5-3 点的一次变换(变换V面)
5.2
(1)不论在新的或原来的(被代替的)投影面体 系中，点的两面投影的连线垂直于相应的投影轴。
(2)点的新投影到新投影轴的距离等于原来的 投影到原来投影轴的距离。
5.2
图5-16 求侧平线与倾斜面的交点
5.2
【例5-3】
求两条交叉直线AB、CD间的距离，如图5-17(a)
【解】分析：两条交叉直线间的距离即为它们之间公垂线的
长度。如图5-17(a)所示，若将两条交叉直线中的一条(
AB )
MK
并在该投影面上的投影反映实长，而且与另一条直线在新投
影面上的投影互相垂直。
5.2
图5-18 求两平面间的夹角
土木工程制图讲义点线面投影篇7
c a
ad
b 根据直线与平面垂直的
投影规律，过点S作水
s
平 线 SC ， 使 其 水 平 投 影scab；再过点S作正
平 线 SD ， 使 其 正 面 投
s
影s d a b ，则相 交 两 直 线 SCSD 所 确
定的平面即为所求。
c
b
3.平面与平面垂直
几何条件：
若一直线垂直于某平面，则包含 这条直线的一切平面都垂直于该平面。
m
k 2a
直则平K面G，即则为该所直求线。 必定与另一平面垂
实长
直。
△kg
4— 已知三直线AB、CD、EF，求作一
直线MN与CD、EF相交且与AB平行。
e' b'
分析：所求的直线MN
2' m' p'
d'
分ABB析，平于：EM与行所NAA求一BB的平，定直行属M线N的于一M与平N定A面平B属P行 平， 行的M平N面与P交，叉M两MN直与线交C叉D两、
综合作图举例
3、 投影作图——根据解题思路及解题步 骤，找出相应的各种基本作图原理和 作图方法进行投影作图；
4 、题解讨论——必要时，还应对题解进 行讨论，证明答案确能满足题目要求 的几何条件或解答的存在性，是唯一 解还是多解等。
二 举例
1 — 已知矩形ABCD的一边两投影和
其邻边一投影，完成矩形投影图。
的 平M行作线直与线CADB的（平或行EF线） 相 交与于C点D （N ，或即EF为）所相求交的 直线于M点N。N ， 即 为 所 求 的
直线MN。
5—已知直角三角形ABC的直角边AB，其斜 边BC属于直线BM，求作此直角三角形。
2' d' m' c'
第十一章 标高投影画法几何及土木工程制图
何问题，所以像填挖边坡的交线、坡脚等问题也常用标高投影来求 解。
第十一章 标高投影
4
§11-1 点和直线的标高投影
标高投影的基准面是水平面，但在必要时增加铅垂面作为 辅助投影面，就能把单面投影转化为多面正投影。为了作图的 需要，标高投影图上应画出比例尺或指明绘图比例。
标高投影法不限于在土建工程中使用，在机械工程中像飞 机、船舶、汽车等产品的外壳，也常用类似的方法表示，但基 准面不一定是水平面。
27
§11-3 曲面的标高投影
二、同坡曲面的标高投影
同坡曲面可以看作是锥轴始终垂直于水平面而锥顶沿着空间曲线L运动 的直圆锥的包络曲面。同坡曲面是直纹面，它与圆锥面的切线为同坡曲面上 的坡度线，其坡度等于锥顶半角的余切。用水平面截割同坡曲面及圆锥面， 所得的交线相切，即同坡曲面上的等高线与圆锥面上的同高程的等高线相 切。
第十一章 标高投影
8
§11-1 点和直线的标高投影
例11-1 已知直线AB 的标高投影a9b5 和直线上点C 到点 A 的水平距离L=4m，试求直线AB 的坡度i、平距l 和点C 的高程。
解： 使用图中的比例尺量得点a9和点b5之间的距离为10 m,
于是可求得直线的坡度为：
i = H/L =(9-5)/10 = 2/5
面间的交线。（点 击鼠标看作图）
第十一章 标高投影
21
§11-2 平面的标高投影
最后，以点a6 为圆心，以LAB=6:1/3=18 m 为半径作圆弧， 与坡面上高程为0 的等高线交于b0，a6b0 即为所求的坡面上的一 条坡度i=1:3 的倾斜直线。
边坡面上常画出示坡线，示坡线是一组长短相间、垂直于 等高线的细实线，从高程值大的一侧画向小的一侧。
第十一章 标高投影
4
§11-1 点和直线的标高投影
标高投影的基准面是水平面，但在必要时增加铅垂面作为 辅助投影面，就能把单面投影转化为多面正投影。为了作图的 需要，标高投影图上应画出比例尺或指明绘图比例。
标高投影法不限于在土建工程中使用，在机械工程中像飞 机、船舶、汽车等产品的外壳，也常用类似的方法表示，但基 准面不一定是水平面。
27
§11-3 曲面的标高投影
二、同坡曲面的标高投影
同坡曲面可以看作是锥轴始终垂直于水平面而锥顶沿着空间曲线L运动 的直圆锥的包络曲面。同坡曲面是直纹面，它与圆锥面的切线为同坡曲面上 的坡度线，其坡度等于锥顶半角的余切。用水平面截割同坡曲面及圆锥面， 所得的交线相切，即同坡曲面上的等高线与圆锥面上的同高程的等高线相 切。
第十一章 标高投影
8
§11-1 点和直线的标高投影
例11-1 已知直线AB 的标高投影a9b5 和直线上点C 到点 A 的水平距离L=4m，试求直线AB 的坡度i、平距l 和点C 的高程。
解： 使用图中的比例尺量得点a9和点b5之间的距离为10 m,
于是可求得直线的坡度为：
i = H/L =(9-5)/10 = 2/5
面间的交线。（点 击鼠标看作图）
第十一章 标高投影
21
§11-2 平面的标高投影
最后，以点a6 为圆心，以LAB=6:1/3=18 m 为半径作圆弧， 与坡面上高程为0 的等高线交于b0，a6b0 即为所求的坡面上的一 条坡度i=1:3 的倾斜直线。
边坡面上常画出示坡线，示坡线是一组长短相间、垂直于 等高线的细实线，从高程值大的一侧画向小的一侧。
土木工程制图第三章点直线和平面的投影
则其各同面投影必相互平行；各同名投影的长度之比相等； 各同名投影的指向相同。
a c
b
dH
AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d" AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
土木工程制图
判断方法： 若两直线的三组同面投影都平行：则两直线在空间平行。 若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断两直线在空间平行。 若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该投影面上的投影来判断；或者通过定比性和指向来判断。
； 3）按投影关系求得b″。
2.重影点
a ●
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点
c●
为该投影面的重影点。
土木工程制图
a ● ● c
被挡住的投影加( )
a●c( ) A、C为哪个投影面的重影点呢？
A、C为H面的重影点
重影点
土木工程制图
H面重影点
V面重影点
W面重影点
土木工程制图
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
土木工程制图
b′
k′ a′ X b k
a
b′
k′ a′ OX b k
a
b′
k′ a′ OX b k k1 a1 a
Z b″ k″
O
YH
a″ YW
三、两直线的相对位置关系
空间两直线的相对位置
分为
平行 相交 交叉 垂直
土木工程制图
厂房形体
1.平行两直线
土木工程制图
投影特性：
b a
A
V d
a c
b
dH
AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d" AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
土木工程制图
判断方法： 若两直线的三组同面投影都平行：则两直线在空间平行。 若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断两直线在空间平行。 若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该投影面上的投影来判断；或者通过定比性和指向来判断。
； 3）按投影关系求得b″。
2.重影点
a ●
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点
c●
为该投影面的重影点。
土木工程制图
a ● ● c
被挡住的投影加( )
a●c( ) A、C为哪个投影面的重影点呢？
A、C为H面的重影点
重影点
土木工程制图
H面重影点
V面重影点
W面重影点
土木工程制图
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
土木工程制图
b′
k′ a′ X b k
a
b′
k′ a′ OX b k
a
b′
k′ a′ OX b k k1 a1 a
Z b″ k″
O
YH
a″ YW
三、两直线的相对位置关系
空间两直线的相对位置
分为
平行 相交 交叉 垂直
土木工程制图
厂房形体
1.平行两直线
土木工程制图
投影特性：
b a
A
V d
武汉理工大学土木工程制图第四章 习题与答案
b
d′ O
a
D(dc)″d″
c
Y
Z
b″ d′ O
d
YH
a″
单位：mm
距V面 距H面 距W面 空间位置
c″ d″ Y A 20
25
15 第Ⅰ分角
WB 0
15
15
V面上
C 32
0
32
H面上
D 35 0
0
Y轴上
答案
2.已知A（25，0，15）、B（25，15，25）、 C（0，0，5）的坐标，求作它们的投影图和立体图。
X
a
b
a'
YH Z a
b'
b
V a'
A
X
O
a
b YH
YW X a
答案
Z
Y
b' a
W OB b
b Y
8.求下列图中各点的W投影和立体图，并将投影 图和立体图中每两点连成直线。
2) b′ b″
a′ c′ b
a
c
b′ B b″
a″
c″
a′
c′
A
b a″
a
c″
C
c
答案
9.求W投影,判别重影点的可见性。
a′ c′ (g′) e′
b′
d′ (h′) f′
h
g
ba
ef
c
d
a′ c′ (g′) e′ g″ a″（e″） c″
b′ d′ (h′)
h
g
ba
e
c
f′ h″
b″（f″）
d″
f
d
答案
10.求W投影。
土木工程制图1
定位类问题解法
表5-1: 12种状况 公垂线：方法【3】
度量类问题解法
实长和倾角（直线）： 方法【1】（平行）
实形和倾角（平面）： 倾角：方法【4】（垂直实形投影） 实形：方法【5】（//积聚投影）
解题思路-坐标轴选择
平行线：表3.2 垂直线：表3.3 垂直面：表4.1 平行面：表4.2 定位类：表5.1
点、线、面综合问题-3
三、交点/交线 1.交点（直线-平面）：面积聚【1】 2.交线（平面-平面）：面积聚【1】
四、可见性 1.方位判别：面积聚=>前后关系 2.重影点判别：先碰到者不可见 3.交点/交线（可见）：可见与不可见的分界线 4.可见： (1)交线/交点、(2)轮廓
交线（点）问题
有限范围 先完整求交线（无限），在两者重叠范围取其
部分（实实在在的交线/交点）。 虚实线相反：1.同一面在交线两边相反
2.在交线同一边两个面相反 沿两个面的所有边线判别一圈：做到完整（闭
合线框） 重影线：作辅助线求交点：重影=共面=>相交 重影点：判别可见性=先碰到者不可见
一、柱锥特征（外轮廓绘制方法）
柱体（矩形）：底面反映形状，矩形轮廓+顶点 决定侧棱
土木工程制图-1
换面法 (1)
点的投影变换 作垂线 量距离（隔一个投影面量）
坐标轴的选择 【1】一般线->平行线: 在保留的面上画//轴 【2】平行线->垂直线: 垂直于实形投影 【3】一般线->垂直线: 【1】+【2】
换面法 (2)
【4】一般面->垂直面: 平行线->垂直线=【2】 【5】垂直面->平行面: 平行于积聚投影 【6】一般面->平行面: 【4】+【5】 一、平行于投影 二、垂直于实形投影
土木工程制图讲义投影的基本知识
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。
❖ 投影法应用
投射中心有限远
s● 斜 投 影
投射中心至无限远
正 投 影
中心投影 画透视图
平行投影
画工程图及轴测 图
❖ 平行投影的性质
1、同素性：点的投影仍然是点，直线的投影一般情况下仍为 直线
2、从属性：属于直线上的点，其投影仍属于该直线的投影
3、定比性：直线上两线段长度之比等于其投影长度之比。
EA/AF=ea/af来自E AFea
f
4、平行性：平行二直线，其投影仍平行；平行二 线段长度之比等于其投影长度之比。
AB/CD=ab/cd
5、显实性：若线段或平面图形平行于投影面时， 其投影反映实长或实形。
B D
AC
A
B
D
C
a
d
E
a
b c
d
ab=AB
bc
e
6、积聚性：当直线、平面垂直与投影面时，直线 的投影为点，平面的投影为直线。
本节要点
平行投影法的投影特点 ① 同素性 ② 从属性 ③ 定比性 ④ 平行性 ⑤ 显实性 ⑥ 积聚性
作业
T2-2
1．优点：实体感强、逼真；
2．缺点： 一般情况下，投影不
反映物体的真实大小，度 量性不好.
物体位置 改变，投 影大小也
改变。
投射中心、物体、投影面三者之间的 相对距离对投影的大小有影响。
二、平行投影（ Center projection ）
优点：度量性好。 缺点：直观性差。
物体位置改 变，投影大
小不变。
7、类似性：若线段或平面图形倾斜与投影面时， 其投影为其类似形。
A
C B
土木工程制图-第二章点、直线、平面的投影
二、两平行直线
平行直线的投影
例题
33
1.平行二直线的投影
34
[例题7] 给出平行四边形ABDC的两条边AB、AC的H、V投影，试完成ABDC的投影。 d d'
三、两交叉直线
交叉直线的投影
交叉二直线重影点投影的可见性判断
例题
36
1.交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。
一、 点的投影
a
a (b)
(1) 点的正投影是点，在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处； (2) 如果两点位于某一投影面的同一投射线上，则此两点在该投影面上的投影必定重合。
3
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影 点的三面投影规律 三面投影的投影关系 点的坐标 例题
1.点的三面投影
O
a'
a
a"
e"(f")
c'(d')
15
2.2 直线的投影
3
例题
2
1
直线的投影
直线的投影特性
16
一、直线的投影
a
c
b
(a)
(b)
B
a(c)(b)
(c)
c
a
b
17
一般位置直线
01
投影面的平行线 投影面的垂直线 例题
01
直线的投影特性
01
1、一般位置直线的投影特性
b
b'
a"
b"
a
a'
A
B
YW
19
2、投影面平行线的投影特性
1
2
d
d'
平行直线的投影
例题
33
1.平行二直线的投影
34
[例题7] 给出平行四边形ABDC的两条边AB、AC的H、V投影，试完成ABDC的投影。 d d'
三、两交叉直线
交叉直线的投影
交叉二直线重影点投影的可见性判断
例题
36
1.交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。
一、 点的投影
a
a (b)
(1) 点的正投影是点，在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处； (2) 如果两点位于某一投影面的同一投射线上，则此两点在该投影面上的投影必定重合。
3
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影 点的三面投影规律 三面投影的投影关系 点的坐标 例题
1.点的三面投影
O
a'
a
a"
e"(f")
c'(d')
15
2.2 直线的投影
3
例题
2
1
直线的投影
直线的投影特性
16
一、直线的投影
a
c
b
(a)
(b)
B
a(c)(b)
(c)
c
a
b
17
一般位置直线
01
投影面的平行线 投影面的垂直线 例题
01
直线的投影特性
01
1、一般位置直线的投影特性
b
b'
a"
b"
a
a'
A
B
YW
19
2、投影面平行线的投影特性
1
2
d
d'
第1章_土木工程制图
用三个投影表达点A 的位置 a′，a″） 时，可写成A（a ，a′，a″）。
第一章 点
20 2
§1 - 2
点在三投影面体系中的投影
V W
H
第一章 点
21 2
§1 - 2
点在三投影面体系中的投影
与两面体系一样，实际画投 与两面体系一样， 影图时需要把三个投影面展开成 一个平面。V 面不动，H 面绕OX 一个平面。 面不动， 轴向下旋转90°角，W 面绕OZ 90° 轴向右旋转90°角。此时OY 轴 90° 被“一分为二”，随H 面的轴记 一分为二” 为OYH ，随 W 面的轴记为OYW 。 （右图是不画投影面边框时点A （右图是不画投影面边框时点A 的三面投影图。）
a′a⊥OX轴 ′ ⊥ 轴
a′a″⊥OZ轴 ′ ″ 轴
第一章 点
25 2
§1 - 2
点在三投影面体系中的投影
（利用分规截量或圆规画弧作图。） 利用分规截量或圆规画弧作图。）
例1-3 如图所示，已知点A的两个投影 a及a′，求作a″。 如图所示，已知点A 求作a
第一章 点
26 2
§1 - 2
点在三投影面体系中的投影
五、点的两面投影
将点A 放在第Ⅰ分角中进行投 影，向H 面投射得a，称为点A 的 面投影。 水平投影或H 面投影。将点A向V 面投射得a′，称为点A 的正面投影 ， 面投影。 或V 面投影。
第一章 点
8 2
§1-1 点在两投影面体系中的投影
画法几何中规定：标记V 面投 画法几何中规定： 要在小写字母的右上角加一撇， 影，要在小写字母的右上角加一撇， a′； 面投影则不加一撇， 如a′；H面投影则不加一撇，如a 。 点A在空间的位置被其两个 投影a a′唯一确定 唯一确定， 投影a和a′唯一确定，因为两个投影 反映了三个方向的坐标(xA，yA， zA)。 点A可表述为A(a，a′)。
土木工程制图
chenmeihua 《土木建筑制图》 4 投影基本原理4 投影基本原理本章提要：（1）点的投影（2）直线的投影（3）平面的投影（4）直线与平面及两平面的相对位置4 投影基本原理▪4.1 点的投影▪4.2 直线的投影▪4.3 平面的投影▪4.4 直线与平面及两平面的相对位置s'a'b'c'asb cb"s"a" (c")任何形体都是由点、线和平面组成的。
如图所示的三棱锥，既可看成由四个点所构成，又可看成由六条直线或四个平面所构成。
在点、线、面中,点又是组成形体的最基本的几何元素。
所以, 要正确地表达形体(画图), 要正确地理解他人的设计思想(看图), 点的投影规律是必须掌握的基础。
4.1 点的投影4.1 点的投影一、点的两面投影二、点的三面投影与坐标系的关系三、两点的相对位置及重影点采用多面投影过空间点A 的投射线与投影面P 的交点即为点A 在P 面上的投影。
点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。
1.点在一个投影面上的投影解决办法？ 一、点的两面投影aB 1B 2B 32.两面投影体系的建立及四个分角正立投影面——正面或V 面 水平投影面——水平面或H 面投影轴——OX 轴（V 面与H 面的交线）XO两个投影面互相垂直四个分角3. 两投影面体系中点的投影点A 的水平投影 —— a 点A 的正面投影 —— a 'aAa '空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。
a x4.投影面展开HXHVOaaa x xzy向下翻不动A通常不画出投影面的边界5.点的两面投影规律AQ1) aa'⊥OX2) a'a x =Aa , aa x =Aa'点的两面投影规律点的V、H投影连线垂直于OX轴；点的H 投影到OX轴的距离等于空间点到V面的距离, 点的V投影到OX轴的距离等于空间点到H面的距离。
画法几何及土木工程制图之直线的投影(PPT59页)
求出侧面投影后可知：
求出侧面投影 AB与CD不平行。
两直线相交
d’
b’
k’
B
a’
c’
x
C
K D
o
Ac
b
a
k
d
两直线相交的投影特性：
k’ a’
x c’
c
k a
d’ b’
o
b
d
两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影 的交点符合点的投影规律。
【例题12】过C点作水平线CD与AB相交
c●
k
a
b d
举例
求作点到直线的距离
【例题17】求点K到直线AB的距离 。
k′
△ZK
L
a′
b′
l′
a
l
b
k
△ZK
L
垂线KL的实长
【例题18】已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上， 长30mm，试完成三角形ABC的投影。
a′
e′ c′
f′ b′
e c
量取bc=30mm
a bf
【例题19】求两直线AB、CD之间的距离。
【例题1】判定下题中，点K是否在直线AB上？
k′
a′
X
a
Z b′
a″
O
b″
K
点
k″
在
直
YW
线
AB
上
k
b YH
【例题2】判断点K是否在直线AB上。
a′
k′ b′ X
a
k
Z a″
k″ O
K
点
不
在
直
b″
线
YW
AB
土建工程制图 第3章 点、直线、平面的投影
已知
a'
作图
d'
c'
直线的投影——应用题
3.求直线AB与CD的距离.
c m b' c' a' a' X d' a c(d ) O
X
土木工程制图 习题集
b'
d'
c'
a' X d' a
a
距离
O
c(d )
b
姓名
土木工程制图 习题集
a' a' O b
a'
△
b'
c' b' O
b' X
X
X
b
b
△
c
a a a
20
姓名
C0
直线的投影
直线上点
班级
已知
作图
直线的投影——直线上的点
4.在直线AB上求一点C，使点C与H、V面等距。
b' a' X
b
土木工程制图 习题集
Z
b' c' a'
YW
Z
a″ c″ b″
45°
X
b
YW
c
a'
d'
a' m' 20 n'
d'
c' X c a
b' O d
X X
c'
b' O
c a m
n
d
b
4.求作正平线MN与交叉三直线AB、CD、EF相交。
b
4.求作正平线MN与交叉三直线AB、CD、EF相交。
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1）过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面 上的投影。
2）点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。
二.点的两面投影
土木工程制图
点的两面投影规律： 1)点的水平投影和正面投影之间的连系线垂直于OX轴。a′a⊥OX。 2)点的水平投影到OX轴的距离等于空间点A到V面的距离aaX= Aa′。
被挡住的投 影加( )
A、C为H面的重影点
土木工程制图
a
a
●
●
c●
●c
●
a (c)
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
重影点
土木工程制图Biblioteka H面重影点V面重影点
W面重影点
土木工程制图
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上 标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
3.2 直线的投影
土木工程制图
a
Z a
β
b
Xa
α b
YW
βγ
实长 b YH
ba
b
YH
YH
与H面的夹角:α
与V面的夹角:β
投影特性
与W面的夹角:γ
1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。
2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
投影面平行线在形体投影图和立体图中的位置
土木工程制图
水平线
土木工程制图
1.相对位置的判断 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。
X坐标值大的点在左，小的在右。 Y坐标值大的点在前，小的在后。 Z坐标值大的点在上，小的在下。
。A在B的左、 前、下方
例4：如图，已知点A 的三投影，另一点B在点 A 上方8 mm，左方12 mm，前方10 mm处， 求点B 的三个投影。
(c) 投影图
点的三面投影规律：
(1) 投影之间连系线垂直于投影轴，aa′⊥OX，a′a"⊥OZ。
(2) 点的H面投影a到OX的距离等于点的W面投影a"到OZ轴
的距离，aaX=a"aZ。
例1：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a●
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
ax
a●
解法二:
(3)投影面平行线的投影特点为：在它所平行的投 影面上的投影反应其实长并且反映与另外两个 投影面的倾角。
投影面平行线
土木工程制图
(a) 水平线 (b) 正平线
(c) 侧平线
投影面平行线投影特性
土木工程制图
a
Xa
水平线
b Z a b
实长
正平线
a Z a
b α γ
b
YW
X
YW
侧平线 实长
土木工程制图
已知点的3个坐标，可作出该点的三面投影，已 知点的三面投影，可以量出该点的3个坐标。
例3：已知点A(18，15，20)，作点A的三
面投影图和立体图，如下图所示。
土木工程制图
方法一
方法二
立体图
分析：由于已知点的3个坐标，可作出该点的三面投影图， 并且点的空间位置可用坐标来确定。
六、空间两点的相对位置
用圆规直接量 取aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
例2：已知点的两面投影，求第三 投影，如下图所示。
土木工程制图
(a) 已知
(b) 作图
分析：因为根据点的任意两面投影可以求出第三投影。
四、特殊位置的点
土木工程制图
注意：A点的侧面投影a"应在OYW轴上，C点的水平投影 应在OYH轴上。
五、点的坐标
一、直线的投影
一般情况下，直线的
1.直线投影的形成 投影仍为直线。
a●
Z ●a
两点确定一条直线，将
b
●
● b 直线上两点的同名投影用直
X
o
a●
YW 线连接起来，就得到直线的 三个投影。
b●
YH
直线的投影规定用粗实线绘制。
直线与投影面的相对位置
土木工程制图
A●
M● B●
●
a≡b≡m
B
●
A●
●b a●
第3章 点、直线和平面的投影 土木工程制图
教学提示：任何形体，不论其复杂程度如 何， 都可 以看成由空间几何元素点、线、面所组成。 本章主要研究点、各种位置直线、各种位 置平面的投影规律和图示方法，为正确绘 制和阅读形体的投影图打基础。
学习要求：掌握点、直线和平面的投影规律和方法， 在学习的过程中要注意将所学内容与实际 工程结合起来，以加强空间想象能力。
统称特殊位置直线
铅垂线（垂直于Ｈ面）
投影面垂直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 垂直于某一投影面
侧垂线（垂直于Ｗ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
1.投影面平行线
土木工程制图
(1)投影面平行线是指在空间与一个投影面平行同 时与另外两个投影面倾斜的直线。
(2)投影面平行线分为水平线、正平线、侧平线。
① 水平线与H面平行同时与V面、W面倾斜。 ② 正平线与V面平行同时与H面、W面倾斜。 ③ 侧平线与W面平行同时与H面、V面倾斜。
3)点的正面投影到OX轴的距离等于空间点A到H面的距离a′aX=Aa。
三.点在三面投影体系中的投影
土木工程制图
Z
a 点A的正面投影
V
a●
a 点A的水平投影 X
A
●
● a
oW
a 点A的侧面投影
a●
H Y
空间点用大写字母表 示，点的投影用小写 字母表示。
土木工程制图
(a) 空间状况
(b) 展开图
●B
α A●
●b a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点
积聚性
直线平行于投影面 投影反映线段实长
ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
ab=ABcosα
一、各种位置直线投影
土木工程制图
投影面平行线
水平线（平行于Ｈ面）
正平线（平行于Ｖ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
侧平线（平行于Ｗ面）
正平线
侧平线
2.投影面垂直线
土木工程制图
(1)投影面垂直线是指在空间与一个投影面垂 直， 同时与另外两个投影面平行的直线。
(2)投影面垂直线分为铅垂线、正垂线、侧垂线。
① 铅垂线与H面垂直同时与V面、W面平行。 ② 正垂线与V面垂直同时与H面、W面平行。 ③ 侧垂线与W面垂直同时与H面、V面平行。
土木工程制图
b ● a 8
12
X bx
ax
a
10
●
b
Z
bz
b
●
az a
O
by YW
ay
ay by
YH
作图步骤：
1）在a′左方12 mm ， 上方8 mm 处确定b；
2）作b′b⊥OX 轴，且在 a 前10 mm 处确定b；
3）按投影关系求得b″。
2.重影点
空间两点在某一投影面上 的投影重合为一点时，则称此 两点为该投影面的重影点。
3.1 点的投影
如右图所示，一个形体 由多个侧面围成，各侧面相 交于多条侧棱，各侧棱相交 于多个顶点A、B、C…J 等。 如果画出各点的投影，再把 各点的投影一一连接，就可 以作出一个形体的投影。
点是形体的最基本的元 素。点的投影规律是点、线、 面投影的基础。
土木工程制图
一、点的单面投影
土木工程制图