光的衍射习题(含答案解析)1(1)

光的衍射（附答案）

一．填空题

1.波长λ = 500 nm（1 nm = 10−9 m）的单色光垂直照射到宽度a = 0.25 mm

的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹．今测得屏幕上中央明条纹之间的距离为d = 12 mm，则凸透镜的焦距f为1 m．

2.在单缝夫琅禾费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光（λ1 ≈

589 nm）中央明纹宽度为4.0 mm，则λ2 ≈ 442 nm（1 nm = 10−9 m）的蓝紫色光的中央明纹宽度为3.0 mm．

3.平行单色光垂直入射在缝宽为a = 0.15 mm的单缝上，缝后有焦距为f =

400 mm的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕．现测得屏幕上中央明纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8 mm，则入射光的波长为500 nm（或5×10−4mm）．

4.当一衍射光栅的不透光部分的宽度b与透光缝宽度a满足关系b = 3a 时，

衍射光谱中第±4, ±8, …级谱线缺级．

5.一毫米内有500条刻痕的平面透射光栅，用平行钠光束与光栅平面法线成

30°角入射，在屏幕上最多能看到第5级光谱．

6.用波长为λ的单色平行红光垂直照射在光栅常数d = 2 μm（1 μm = 10−6 m）

的光栅上，用焦距f= 0.500 m的透镜将光聚在屏上，测得第一级谱线与透镜主焦点的距离l= 0.1667 m，则可知该入射的红光波长λ=632.6或

633nm ．

7. 一会聚透镜，直径为3 cm ，焦距为20 cm ．照射光波长550nm ．为了可以分辨，两个远处的点状物体对透镜中心的张角必须不小于 2.24×10−5rad ．这时在透镜焦平面上两个衍射图样中心间的距离不小于4.47μm ． 8. 钠黄光双线的两个波长分别是589.00 nm 和589.59 nm （1 nm = 10−9 m ），若平面衍射光栅能够在第二级光谱中分辨这两条谱线，光栅的缝数至少是500．

9. 用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上，波长为λ1 = 440 nm 的第3级光谱线将与波长为λ2 =660 nm 的第2级光谱线重叠（1 nm = 10−9 m ）． 10. X 射线入射到晶格常数为d 的晶体中，可能发生布拉格衍射的最大波长为2d ．

二． 计算题

11. 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长λ1和λ2，垂直入射于单缝上．假如λ1的第一级衍射极小与λ2的第二级衍射极小相重合，试问：(1) 这两种波长之间有何关系？(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其它极小相重合？ 解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得

a sin θ1 = 1 λ1 a sin θ2 = 2 λ2

由题意可知 θ1 = θ2, sin θ1 = sin θ2 代入上式可得 λ1 = 2 λ2 (2)

a sin θ1 = k 1 λ1 =2 k 1 λ2 (k 1=1, 2, …)

sin θ1 = 2 k 1 λ2 / a

a sin θ2 = k 2 λ2 (k 2=1, 2, …) sin θ2 = 2 k 2 λ2 / a

若k 2 = 2 k 1，则θ1 = θ2，即λ1的任一k 1级极小都有λ2的2 k 1级极小与之重合．

12. 在单缝的夫琅禾费衍射中，缝宽a = 0.100 mm ，平行光垂直如射在单缝上，波长λ= 500 nm ，会聚透镜的焦距f = 1.00 m ．求中央亮纹旁的第一个亮纹的宽度Δx ．

解：单缝衍射第1个暗纹条件和位置坐标x 1为

a sin θ1 = λ

x 1 = f tan θ1 ≈ f sin θ1 ≈ f λ / a (∵θ1很小)

单缝衍射第2个暗纹条件和位置坐标x 2为

a sin θ2 = 2 λ

x 2 = f tan θ2 ≈ f sin θ2 ≈ 2 f λ / a (∵θ2很小)

单缝衍射中央亮纹旁第一个亮纹的宽度

Δx 1 = x 2 − x 1 ≈ f (2 λ / a − λ / a ) = f λ / a=1.00×5.00×10−7/(1.00×10−4)

m

=5.00mm ．

13. 在单缝夫琅禾费衍射中，垂直入射的光有两种波长，λ1 = 400 nm ，λ2 = 760 nm （1 nm = 10−9 m ）．已知单缝宽度a = 1.0×10−2 cm ，透镜焦距f = 50 cm ．

(1) 求两种光第一级衍射明纹中心间的距离．

(2) 若用光栅常数a = 1.0×10-3 cm 的光栅替换单缝，其它条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离． 解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知

a sin φ1 = 12 (2 k + 1) λ1 = 1

2

λ1 （取k = 1）

a sin φ2 = 12 (2 k + 1) λ2 = 32

λ2 tan φ1 = x 1 / f ，tan φ2 = x 1 / f

由于 sin φ1 ≈ tan φ1，sin φ2 ≈ tan φ2 所以 x 1 = 3

2 f λ1 / a

x 2 = 3

2

f λ2 / a

则两个第一级明纹之间距为

Δx 1 = x 2 − x 1 = 3

2

f Δλ / a = 0.27 cm

(2) 由光栅衍射主极大的公式

d sin φ1 = k λ1 = 1 λ1 d sin φ2 = k λ2 = 1 λ2 且有sin φ = tan φ = x / f

所以Δx 1 = x 2 − x 1 = f Δλ / a = 1.8 cm

14. 一双缝缝距d = 0.40 mm ，两缝宽度都是a = 0.080 mm ，用波长为λ = 480 nm （1 nm = 10−9 m ）的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f = 2.0 m 的透镜．求：(1) 在透镜焦平面的屏上，双缝干涉条纹的间距l ；(2) 在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉数目N 和相应的级数． 解：双缝干涉条纹

(1) 第k 级亮纹条件：d sin θ = k λ

第k 级亮条纹位置：x 1 = f tan θ1 ≈ f sin θ1 ≈ k f λ / d 相邻两亮纹的间距：

Δx = x k +1 − x k = (k + 1) f λ / d − k λ / d = f λ / d = 2.4×10−3 m = 2.4

mm

(2) 单缝衍射第一暗纹：a sin θ1 = λ

单缝衍射中央亮纹半宽度：Δx 0 = f tan θ1 ≈ f sin θ1 ≈ k f λ / d = 12