第4章 杆梁结构的有限元分析原理
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杆梁结构的有限元分析原理
e
下面考察该简单问题的FEA求解过程。 (1) 离散化
两个杆单元，即：单元①和单元②
(2) 单元的特征及表达
对于二结点杆单元，设该单元的位移场为 么它的两个结点条件为
，那
设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）
利用结点条件，可以确定系数a0和a1，即
将系数a0和a1代入
，可将
表达成结点位移(u1, u2)的关系，即
其中， 为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为 整体坐标系下的结点力，即
由最小势能原理（针对该单元），将 对待定的 结点位移向量 取一阶极小值，有整体坐标系中 的刚度方程
对于本节给出的杆单元，具体有
4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换
就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还 是 而整体坐标系中的结点位移为
这时由全部结点位移[0 u2 u3]分段所插值 出的位移场为全场许可位移场。
由最小势能原理（即针对未知位移u2和u3求 一阶导数），有
可解出
(5) 计算每个单元的应变及应力
在求得了所有的结点位移后，由几何方程
可求得各单元的应变
由方程 可求得各单元的应力
(6) 求结点1的支反力
就单元 ①的势能，对相应的结点位移求极值，可以 建立该单元的平衡方程，即
其中
由一维问题几何方程和物理方程，则该单元 的应变和应力为
其中
单元的势能
其中 叫做单元刚度矩阵。
叫做单元结点外载。
在得到“特征单元”的单元刚度矩阵和单元 结点外载后，就可以计算该单元的势能，因 此，计算各单元的矩阵 和 是一个关 键，下面就本题给出了个单元的 和 。
具体就单元①，有 单元①的结点位移向量
(5) 单元的刚度方程
第4章__梁理论与实例分解
Euler-Bernoulli梁理论没有考虑横向剪切变形的影响，而对于短而 粗的梁，这个影响显然不应被忽略。
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Timoshenko梁理论正是针对这一问题而提出的。该理论仍然保留 了前面的基本假定，即平截面假定，但认为梁变形后由于横向剪 力所产生的剪切变形引起梁的附加挠度，使原来垂直于中面的截 面变形后不再与其垂直。值得一提的是，这种假定的存在实际上 暗含了剪应力和剪应变在截面上均匀分布的假定，这与截面实际 的剪应力及剪应变分布显然并不相符，因此通常的做法是引入不 均匀程度校正因子加以修正。
在 ANSYS 中的6种梁单元 ( Beam3/ 4、beam23、beam54/44、beam24) 都可用定义实常数的方法按第一种方案考虑剪切变形的影响，而 直接应用方案二开发的则是beam188/ 189单元。
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4.2 ANSYS梁单元
ANSYS提供了多种梁单元库以适应不同的需要，它们的特点和适 用范围各不相同。了解这些单元之间的异同，有助于正确选择单 元类型和得到较为理想的计算结果。其中beam44为4-D 渐变非对 称截面梁，beam188和beam189为4-D有限应变梁，ANSYS的梁单 元在非线性分析方面具有先进性独特优势。
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4.3 位移函数推导梁单元的有限元格式
梁的有限元单元可以用直接刚度法和虚功原理两种。而杆的分析 主要采用直接刚度法，梁的分析主要采用虚功原理进行分析。下 面是对虚功原理的有限元分析的一般过程进行介绍。
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Euler-Bernoulli梁理论即经典梁理论(也称工程梁理论)，建立在如 下假定的基础上:
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Timoshenko梁理论正是针对这一问题而提出的。该理论仍然保留 了前面的基本假定，即平截面假定，但认为梁变形后由于横向剪 力所产生的剪切变形引起梁的附加挠度，使原来垂直于中面的截 面变形后不再与其垂直。值得一提的是，这种假定的存在实际上 暗含了剪应力和剪应变在截面上均匀分布的假定，这与截面实际 的剪应力及剪应变分布显然并不相符，因此通常的做法是引入不 均匀程度校正因子加以修正。
在 ANSYS 中的6种梁单元 ( Beam3/ 4、beam23、beam54/44、beam24) 都可用定义实常数的方法按第一种方案考虑剪切变形的影响，而 直接应用方案二开发的则是beam188/ 189单元。
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4.2 ANSYS梁单元
ANSYS提供了多种梁单元库以适应不同的需要，它们的特点和适 用范围各不相同。了解这些单元之间的异同，有助于正确选择单 元类型和得到较为理想的计算结果。其中beam44为4-D 渐变非对 称截面梁，beam188和beam189为4-D有限应变梁，ANSYS的梁单 元在非线性分析方面具有先进性独特优势。
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4.3 位移函数推导梁单元的有限元格式
梁的有限元单元可以用直接刚度法和虚功原理两种。而杆的分析 主要采用直接刚度法，梁的分析主要采用虚功原理进行分析。下 面是对虚功原理的有限元分析的一般过程进行介绍。
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Euler-Bernoulli梁理论即经典梁理论(也称工程梁理论)，建立在如 下假定的基础上:
杆梁结构有限元分析
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（1）平面压杆有限元法的直接法
由节点平衡有： 即有：
U1(1)u1 U1(1)u2 N1
U
u (1)
21
(U
(2 2
)
U
(1) 2
)u2
U
(2 2
)u3
F1
U
(2 3
)
u2
U
(2 3
)
u3
F2
EA1 l1
u1
EA1 l1
u2
N1
EA1 l1
u1
( EA1 l1
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
杆梁结构是指长度远大于其横截面尺寸的构件组成的杆 件系统，例如机床中的传动轴，厂房刚架与桥梁结构中的梁 杆等,可以用杆单元或梁单元来进行离散化。
空间杆系：平面杆系是指各杆轴线和外力作用线位于一 个平面内，若各杆轴线和外力作用线不在一个平面内。 （1）平面压杆有限元法的直接法
单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面 问题，每列元素之和为零。
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法 2）节点位移与节点力之间的关系
Ui
Vi
k11
k21
M i U j
k31
k41
V
j
M j
k51
k61
他们在轴和轴的投影之和等于零：
vi
6EI l2
i
12EI l3
vj
6EI l2
j
M
j
6EI l2
vi
2EI l
i
6EI l2
vj
4EI l
有限元-梁系结构的有限元法
4x l
3x 2 l2
) i
x l
(3x l
2)
j
容易验证 ： x 0： u ui v vi i x l： u u j v v j j
(3-1a)，(3-1b)或(3-2a)，(3-2b)称为平面梁单元的位移插值 函数
二、建立节点位移与节点力关系
1、 轴向节点力
E Fx A
拉压杆问题的回顾
1、杆的基本概念：
杆--轴线为直线的细长构件，沿轴线承受 拉（压）载荷； 杆模型--平面假设将杆简化为一维问题， 可由杆轴线代表； 杆变形特点--只与轴向位移相关；
拉压杆问题的回顾
2、杆有限元的基本概念
节点位移—轴向位移，每节点1个自由度； 节点力—轴力； 结构离散：轴线划分为若干直线段； 单元分析：建立节点力与节点位移关系； 节点平衡：对每一节点，建立相关节点力与 外力的平衡关系，得到一线性方程组； 约束处理：引入已知节点位移，使方程组可解
梁系结构实例
2、平面梁系
1、节点力平衡的需求--单元节点力（在 局部坐标系中）向整体坐标系的变换； 2、单元分析的需求--节点位移（在整体 坐标系中）向局部坐标系的变换； 3、结构对称性的利用（练习，作业3）。
l2 2EI
l
0
Vi
i
u
j
（3-4）
6EI l2
4EI
V
j j
l
（3－4）式是用矩阵表示的梁节点力与节点位移的关系
式（3-4）还可写成：
F
e
K e
e
（3-5）
e
F
——称为局部坐标下的节点力列向量
e ——称为局部坐标下的节点位移列向量
e
K
连续体弹性问题的有限元分析原理
上图所示三结点三角形2D单元，结点位移向量 和结点力向量 为
下面，我们需要将所有力学参量用结点位移向量 来表达。
(1) 单元位移场的表达 就三结点三角形2D单元，考虑到简单性、完备性、 连续性及待定系数的唯一确定性原则，选取位移模 式为
（1）
由结点条件，在x=xi，y=yi处，有
（2）
将（1）代入结点条件（2）中，可求解（1）中的 待定系数，即
其中元应力矩阵。
(4) 单元的势能的表达
其中 是单元刚度矩阵，即 t为平面问题的厚度。
势能公式中的 为单元结点等效载荷，即
其中 为单元上作用有外载荷的边。 为 线积分 (5) 单元的刚度方程
讨论1：平面三结点三角形单元的结点位移和坐标变换
(1) 单元位移场的表达
从图中可以看出，结点条件共有8个，即x方向4 个（u1，u2，u3，u4），y方向4个（v1，v2，v3， v4），因此，x和y方向的位移场可以各有4个待 定系数，即取以下多项式作为单元的位移场模式
它们是具有完全一次项的非完全二次项，其中以 上两式中右端的第四项是考虑到x方向和y方向的 对称性而取的，而未选x2或y2项。
讨论2：四结点矩形单元的应变和应力为一次线性 变化
四结点矩形单元的位移在x，y方向呈线性变化，所 以称为双线性位移模式，正因为在单元的边界 x=±a和y=±b上，位移是按线性变化，且相邻单元 公共结点上有共同的结点位移值，可保证两个相邻 单元在其公共边界上位移的连续性，这种单元的位 移模式是完备和协调的，它的应变和应力为一次线 性变化，因此比三结点常应变单元精度高。
对应于连续体的力学分析，有限元分析的一 般过程如下：
(1) 原连续体（几何上）的逼近离散
其中 为单元。 (2) 单元特性的研究 研究单元特性以形成单元刚度矩阵和结点外载矩阵 • 结点自由度（位移）描述：
杆结构 分析的有限元方法(有限元)
局部坐标系中的单元述
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
杆梁结构的有限元分析原理
杆梁结构的有限元分析原理杆梁结构是工程中常用的一种结构形式，它由多个杆件或梁组成，用于承担载荷和传递力量。
有限元分析是一种通过将结构离散为许多小单元，利用数学方法对结构进行分析的技术。
下面将详细介绍杆梁结构的有限元分析原理。
一、杆件离散化在有限元分析中，首先需要将杆梁结构离散化为一组子结构，即离散化为一组离散的杆件。
离散后的每个杆件可以看作是一个子系统，每个子系统由两个节点组成，节点之间以杆件连接。
通过节点与杆件的连接方式，能够模拟出整个杆梁结构的受力特点。
离散化的过程中，需要确定杆件的几何形状、截面以及材料特性等参数，并根据实际情况设置合适的杆件单元数目。
通常，单元数目越多，离散程度越高，结果越接近真实情况，但计算成本也会增加。
二、有限元法的基本原理有限元方法的基本原理是将结构分成许多小的单元，每个单元内的行为可以用简单的数学函数来表示。
对于杆梁结构，常用的单元有梁单元和杆单元。
梁单元适用于承受弯曲强度较大的杆件，而杆单元适用于承受轴向载荷的杆件。
通过将结构分成小单元后，可以建立一个与原结构相似的离散模型，并在每个单元上建立相应的方程。
三、应力应变关系在进行有限元分析时，需要获得每个杆件的应变和应力。
应变与杆件的变形有关，而应力与应变之间的关系则与材料的本构关系有关。
对于线弹性材料，应力与应变之间可以通过胡克定律来描述。
胡克定律表明，应力与应变之间成线性关系，材料的弹性模量E、泊松比ν以及应变关系能够决定应力。
应根据结构中不同材料的应变特性来选择相应的材料模型。
四、施加边界条件在进行有限元分析前，需要施加适当的边界条件。
边界条件用于模拟实际情况中的约束和限制。
常见的边界条件有固定边界、弹性边界和施工阶段边界。
五、求解位移和应力当离散化杆梁结构、建立了位移和应变关系、施加了边界条件之后，可以通过数值求解方法，例如有限元法中的坐标变形法，计算得到结构的位移和应力。
坐标变形法能够基于得到的位移结果，进一步计算应力。
有限元分析与应用(清华大学研究生精品建设课程教学大纲)
从教学思想和方法上对原课程进行改革，使学生从较高层次上理解有限元方法的
与要求
实质，掌握有限元分析的工具，并具备初步处理工程问题的能力;使该课程成为具有较
宽口径和较大覆盖面的、面向全校机械类专业的有限元分析及机械设计方面的研究生
专业基础课；并与本科的“有限元原理”课程进行统筹，注意课程体系的整体优化，
备注 课堂讲授
课堂讲授
2
5~6 7~8 9~10 11~12 13 14
15
15 16 16
3. 杆梁结构的有限元分析原理 3.1 FEA 求解的完整过程 3.2 有限元分析的基本步骤及表达式 3.3 杆单元及坐标变换 3.4 梁单元及坐标变换
4. 连续体弹性问题的有限元分析原理 4.1 连续体的离散过程及有限元分析过程表达式 4.2 2D 单元(三节点,四节点)的构造 4.3 轴对称问题的单元的构造 4.4 3D 单元(四节点四面体,八节点六面体)的构造 4.5 等参单元的一般原理
清华大学研究生精品建设课程教学大纲
——有限元分析及应用（曾 攀）
一、基本情况
课程编号 中文课程名称 英文课程名称 任课教师 1
70120073
开课（院）系 机械工程系
有限元分析及应用
Finite Element Analysis and Its Applications
曾攀
职称
教授
开课学期 授课语言
践中进行教学的环节，使学生在实践中学到知识并增长才干，这需要精心组织和设计了上机内容，编写
出专门用于教学的适合引导学生上机的“上机操作指南”，以便学生能在较短的时间里基本掌握实际分
析工具，同时加深理论知识的理解。开展该 Project 的形式为：学生按照所编写的“上机操作指南”独 立上机，助教博士生进行辅导并检查完成情况，记成绩。
杆件系统有限单元法
e
（3）单元应力场的表达 由弹性力学中物理方程有：
σ e ( x ) = E eε e ( x ) = E e B e ( x ) ⋅ δ e = S e ( x ) ⋅ δ e
其中Se为单元的应力函数矩阵：
⎡ E S ( x) = E B ( x) = ⎢ − ⎣ l
e e e
e
E ⎤ ⎥ l ⎦
平面梁单元的节点位移δe和节点力Fe为：
δ =⎡ ⎣ui vi θi u j v j θ j ⎤ ⎦
e e
T
F =⎡ ⎣ FNi FQi M i FNj FQj M j ⎤ ⎦
相应的刚度方程为：
T
K e ⋅δ e = F e
将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组 合，可得到平面梁单元的刚度矩阵：
可以写出节点位移向量和节点力向量：
δ =⎡ ⎣ui u j ⎤ ⎦
e
e
T
T ⎡ ⎤ F = ⎣ FNi FNj ⎦
（1）单元位移模式的表达 由于每个节点只有一个轴向位移，即一个单元共有 两个自由度，因此可假设该单元的位移模式为具有 两个待定系数的函数模式：
u ( x ) = a 0 + a1 x
e
第三章
杆件结构的有限元分析 (FEA)
在杆件系统中根据单元受力的特点，我们可以 把它们分成两大类：杆和梁。为了以后描述的 方便，我们把两端铰接，只受轴向力的基本结 构称为杆单元，而受轴向力和弯矩、扭矩、剪 力共同作用的基本结构称为梁单元。
3.1 平面杆单元
局部坐标系中的杆单元描述
设有一任意的杆单元如图所示，i 和j 为单元的两 个结点，x 为该单元的局部坐标，其原点设在单 元的i 结点。设两个结点在x 方向的位移为 u i 和 u j ，它们的正方向如图3-1 所示，与它们相应的 结点力 FN δ e
（3）单元应力场的表达 由弹性力学中物理方程有：
σ e ( x ) = E eε e ( x ) = E e B e ( x ) ⋅ δ e = S e ( x ) ⋅ δ e
其中Se为单元的应力函数矩阵：
⎡ E S ( x) = E B ( x) = ⎢ − ⎣ l
e e e
e
E ⎤ ⎥ l ⎦
平面梁单元的节点位移δe和节点力Fe为：
δ =⎡ ⎣ui vi θi u j v j θ j ⎤ ⎦
e e
T
F =⎡ ⎣ FNi FQi M i FNj FQj M j ⎤ ⎦
相应的刚度方程为：
T
K e ⋅δ e = F e
将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组 合，可得到平面梁单元的刚度矩阵：
可以写出节点位移向量和节点力向量：
δ =⎡ ⎣ui u j ⎤ ⎦
e
e
T
T ⎡ ⎤ F = ⎣ FNi FNj ⎦
（1）单元位移模式的表达 由于每个节点只有一个轴向位移，即一个单元共有 两个自由度，因此可假设该单元的位移模式为具有 两个待定系数的函数模式：
u ( x ) = a 0 + a1 x
e
第三章
杆件结构的有限元分析 (FEA)
在杆件系统中根据单元受力的特点，我们可以 把它们分成两大类：杆和梁。为了以后描述的 方便，我们把两端铰接，只受轴向力的基本结 构称为杆单元，而受轴向力和弯矩、扭矩、剪 力共同作用的基本结构称为梁单元。
3.1 平面杆单元
局部坐标系中的杆单元描述
设有一任意的杆单元如图所示，i 和j 为单元的两 个结点，x 为该单元的局部坐标，其原点设在单 元的i 结点。设两个结点在x 方向的位移为 u i 和 u j ，它们的正方向如图3-1 所示，与它们相应的 结点力 FN δ e
《有限元理论与数值方法》第三讲-杆、梁结构有限元分析
杆件结构可分为桁杆和梁两类。 由杆件组成的结构体系称为杆系。由桁杆组成的杆系称为桁架； 由梁组成的杆系称为刚架。若杆系和作用力均位于同一平面内，则称 为平面桁架或平面刚架，否则称为空间桁架或空间刚架。
Finite Element Theory and Numerical Method
一、杆、梁的物理力学模型
拉压杆单元如图3-6所示，已知等直杆件杆长为 l 横截面面积为 A 材料弹性模量为 E 所受轴向分布载荷集度为 p(x) 杆端位移分别为 u1 u2
杆端力分别记为 F1 F2
1、建立位移场
F1, u1 xa
1
a p(x)
2 F2 , u2
x
设局部坐标系下杆中任意点a的坐标为 xa
因为只有两个边界条件 u1
形函数具有如下性质： 1)本端为1，它端为0 2)单元内任意一点总和为1
N1(0) 1
N1(1) 0
N2 (0) 0 N2 (1) 1
N1() N2 () 1
2、应变分析
du dx
dN dx
ue
dN1 dx
B为应变矩阵或者几何矩阵。
dN2 dx
u
e
1 l
1 l
ue
[B1
B2 ]ue Bue
图示所示桁架 l 2m
EA 1.2106 kN
试求1-2杆和1-4杆单元的局部坐标单元 刚度矩阵
1-2杆：抗拉刚度 EA / l 6106 kN/m
F1 10N 3
1
F2 20N 4
2
ke1
EA l
1 1
1
1
6
105
1 1
1
1
kN
/
m
1-4杆：抗拉刚度 EA /( 2l) 4.24264 105 kN/m
Finite Element Theory and Numerical Method
一、杆、梁的物理力学模型
拉压杆单元如图3-6所示，已知等直杆件杆长为 l 横截面面积为 A 材料弹性模量为 E 所受轴向分布载荷集度为 p(x) 杆端位移分别为 u1 u2
杆端力分别记为 F1 F2
1、建立位移场
F1, u1 xa
1
a p(x)
2 F2 , u2
x
设局部坐标系下杆中任意点a的坐标为 xa
因为只有两个边界条件 u1
形函数具有如下性质： 1)本端为1，它端为0 2)单元内任意一点总和为1
N1(0) 1
N1(1) 0
N2 (0) 0 N2 (1) 1
N1() N2 () 1
2、应变分析
du dx
dN dx
ue
dN1 dx
B为应变矩阵或者几何矩阵。
dN2 dx
u
e
1 l
1 l
ue
[B1
B2 ]ue Bue
图示所示桁架 l 2m
EA 1.2106 kN
试求1-2杆和1-4杆单元的局部坐标单元 刚度矩阵
1-2杆：抗拉刚度 EA / l 6106 kN/m
F1 10N 3
1
F2 20N 4
2
ke1
EA l
1 1
1
1
6
105
1 1
1
1
kN
/
m
1-4杆：抗拉刚度 EA /( 2l) 4.24264 105 kN/m
有限单元法课件第四章 杆件系统的有限元法
桁杆 梁
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
R
lP
R
R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
R
lP
R
R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
杆梁结构有限元分析(第四章)汇总.
可以验证：它满足位移边界条件。这是一个待定函数，也称为试函 数，所谓该函数是待定的，就是因为它中间有一个待定系数，这就需要 通过一个原理来确认它，下面由虚功原理来进行确认。基于式(4-13)的试 函数，则它的应变、虚位移以及虚应变为
( x) c u ( x) c.x ( x) c
x 0
E
du dx
d x 0 dx
x
x
力边界条件BC(p)
( x ) | x l
F px A
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
从求解思路来说，可以有两类方法来对该问题进行求解，即: 直接求解法：可以由3个方程来直接求解3个变量;
间接法(试函数)：选取变量(位移)作为基本的待求变量，将其它变量都
E c c去δc后，有解
1D问题的最小势能原理求解 先介绍最小势能原理的基本表达式。设有满足位移边界条件BC(u)的许 可位移场，计算该系统的势能为
(u ) U W
其中U为应变能，W为外力功，对于如图4-2所示的算例，有
U (u ( x)) (u ( x))d
面讨论该问题的力学描述与求解。
图4-2 一端固定的拉杆
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
基本变量： 由于该问题是沿x方向的一维问题，因此只有沿x方向的基本变量， 即定义沿x方向移动为位移： 定义：沿x方向移动为位移：
沿x方向的相对伸长(或缩短)量为应变：
沿x方向的单位横截面上的受力为应力： 基本方程：
1 2 x x
W P u( x l )
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
对于包含有待定系数的试函数而言，真实的位移函数应使得该系统的 势能取极小值，即
梁的有限元分析原理
Advantages of 2D Storage 1)Space-saving; 2)Easy to be computerized Disadvantages of 2D Storage Enormous storage is required when local bandwidth is large.
输入基本数据 计算单元刚度矩阵 形成总体刚度矩阵 形成结点荷载向量
3、系统分析
（1）整体刚度矩阵[K]的组装； （2）整体载荷列阵{P}的形成；
引入约束条件 求解方程组，输出结点位移 计算单元应力，输出结果
[K]的存储；约束引入；求解
结束
40
总刚存贮
全矩阵存贮法：不利于节省计算机的存贮 空间，很少采用。K[i,j] 对称三角存贮法：存贮上三角或下三角元 素。 半带宽存贮法 ：存贮上三角形（或下三角 形）半带宽以内的元素 。 一维压缩存贮法 ：半带宽存贮中仍包含了 许多零元素。存贮每一行的第一个非零元 素到主对角线元素。
有限元程序设计
——梁单元，静力问题
谷 音 福州大学土木工程学院
2012
1
§1. 介绍. 框架结构，例如桁架、桥梁 轴力构件 axial elements 杆 受弯构件 flexural elements 梁 平面梁单元 plane beam element
2
§2. 经典梁单元 (Bernoulli-Euler) Beam ： 梁在纯弯曲时的 平面假设 平面－梁－假设 Plane-beam-assumption 梁的各个横截面在变形后仍保持为平
除非ψ是常数（没有弯曲变形），否则， dw/dx-ψ不会为零。这种现象称为剪切闭锁。 shear-locking
17
桥梁结构分析的杆系有限元法及结构模型的建立2015
结构的离散化
确定了结构的全部 节点，也就确定了 结构的单元划分， 然后对结构进行单 元编号和节点编号， 通常单元编号用①， ②，……表示，节 点编号用1， 2，……表示，如图 所示。
6 67
5
4
3
5
4
1
2
1
2
3
单元杆端力与杆端位移的表示方法
• 平面桁架单元的局部坐标和整体坐标：
y
y
x
3
x2
2
y
1
结构分析的杆系有限元法
• 概述 • 有限单元法的概念及应用 • 结构的离散化 • 单元杆端力与杆端位移 • 逆步变换 • 单元刚度矩阵 • 总刚度矩阵 • 边界条件的后处理法 • 线性代数方程组的数值解法
结构分析的含义
• 结构分析的含义，不仅指在一定的已知条件下对结构的变 形和内力等进行计算，而且包括分析构件刚度变化对内力 变化的影响，对结构的几何组成进行分析，以及选择合理 的结构形式等等。
结构分析的有限元法
• 美国20世纪70年代推出的至今仍然是世界销售量最大的 NASTRAN(NAsa STRuctural Analysis，美国国家航空和 宇宙航行局结构分析程序系统)程序与当时西德推出的 ASKA(Automatic System for Kinematics Analysis，运动 分析的自动程序系统)齐名，同为当时最为著名和广泛应 用的程序，但几十年后的现在，ASKA已无法与 NASTRAN相比。原因是ASKA后来没有大规模的资金投 入，使程序不断得到滚动发展（维护）和组织推广、剌激 程序在竞争中不断改进各种功能。
向量
X
e i
Yi e
F
e
Fi e Fje
第04讲-有限元分析方法及桥梁常用单元类型、单元选择
• 有限元分析理论已有100多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅炉进行手算评核的基础。
May,19,2009
湖南大学·土木·桥梁
4-6
节点和单元
荷载
节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。
单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、 面或实体以及二维或三维的单元等种类。
May,19,2009
湖南大学·土木·桥梁
4-27
2009-5-24
Mass21单元
¾ 动力分析中，如横隔板的质量，均可以采用质量单元予以考虑。 ¾ Mass21单元实常数也需要根据单元自由度数量的多少进行确定
（Keyout（3）的值而定）。
¾ 质量单元不适应静力分析（静力分析是通过施加静力荷载考虑的）。除 非具有加速度或旋转加载时、或者惯性解除时（IRLF）。
第四讲 有限元分析 (FEA) 方法
桥梁结构常用单元的选择
May,19,2009
湖南大学·土木·桥梁
4-1
内容及目标
Part F. Combine系列 Combine14:空间弹簧单元
Part G. BEAM系列 BEAM3:二维梁单元 BEAM54 :二维变截面梁单元 BEAM4:三维梁单元 BEAM44:三维变截面梁单元 BEAM188:三维梁单元 BEAM189:三维梁单元 梁单元截面
线性Leabharlann 二次9 壳体结构——桥面板、腹 板、横隔板等薄结构模拟板 壳元，如shell63、shell93、 shell91/99（250层复合壳） 等。
9 实体结构——桥墩、桥台、桩基 等实体结构模拟实体单元，如 solid45、solid95、silod65(加 筋混凝土单元，可以计算混凝土 压溃、开裂及其破坏后的工作状 态)等。
May,19,2009
湖南大学·土木·桥梁
4-6
节点和单元
荷载
节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。
单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、 面或实体以及二维或三维的单元等种类。
May,19,2009
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4-27
2009-5-24
Mass21单元
¾ 动力分析中，如横隔板的质量，均可以采用质量单元予以考虑。 ¾ Mass21单元实常数也需要根据单元自由度数量的多少进行确定
（Keyout（3）的值而定）。
¾ 质量单元不适应静力分析（静力分析是通过施加静力荷载考虑的）。除 非具有加速度或旋转加载时、或者惯性解除时（IRLF）。
第四讲 有限元分析 (FEA) 方法
桥梁结构常用单元的选择
May,19,2009
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4-1
内容及目标
Part F. Combine系列 Combine14:空间弹簧单元
Part G. BEAM系列 BEAM3:二维梁单元 BEAM54 :二维变截面梁单元 BEAM4:三维梁单元 BEAM44:三维变截面梁单元 BEAM188:三维梁单元 BEAM189:三维梁单元 梁单元截面
线性Leabharlann 二次9 壳体结构——桥面板、腹 板、横隔板等薄结构模拟板 壳元，如shell63、shell93、 shell91/99（250层复合壳） 等。
9 实体结构——桥墩、桥台、桩基 等实体结构模拟实体单元，如 solid45、solid95、silod65(加 筋混凝土单元，可以计算混凝土 压溃、开裂及其破坏后的工作状 态)等。
杆梁结构的有限元分析原理
杆梁结构的有限元分析原理杆梁结构是一种常见的工程结构，广泛用于建筑、桥梁、机械等领域。
为了研究杆梁结构的力学性能和设计优化，常用的方法之一是有限元分析。
有限元分析是一种数值计算方法，通过将连续结构离散化为一个个有限的单元（元素），再通过计算单元之间的相互作用来近似表示整个结构的力学性能。
下面将逐步介绍杆梁结构的有限元分析原理。
1.离散化：首先，将杆梁结构离散化为一个个的单元，通常可以选择线性单元、二次单元等。
线性单元简单且计算效率高，而二次单元更准确但计算开销较大。
根据具体工程需求和分析要求，选择合适的单元进行离散化。
每个单元由节点和单元梁组成。
2.建立本地坐标系：为了方便计算，对于每个单元，可建立本地坐标系。
本地坐标系是以单元的一个节点为原点，并建立与该节点有关的坐标轴。
通过本地坐标系可以方便地描述单元内部的各种力和力矩。
3.单元刚度矩阵计算：对于每个单元，需要计算其刚度矩阵。
刚度矩阵描述了单元内部的相互作用，包括节点间的弯曲刚度和剪切刚度等。
通过根据材料的力学特性和几何信息，可以得到单元刚度矩阵。
4.装配全局刚度矩阵：将所有单元的刚度矩阵按照它们的几何关系组装成全局刚度矩阵。
全局刚度矩阵描述了整个杆梁结构的力学行为。
5.施加边界条件和加载情况：根据具体问题的边界条件和加载情况，在全局刚度矩阵中添加与之对应的约束和加载项。
边界条件通常涉及到约束的位移和力的平衡，加载情况则涉及到外界施加在结构上的力。
6.求解杆梁结构的位移：通过求解全局刚度矩阵与位移的乘积等式，可以得到结构的位移。
位移是描述结构变形的重要参数，可以用来计算应力、应变和变形等。
7.计算应力和应变：通过已知的位移以及杆梁的几何信息，可以计算单元内部的应力和应变。
应力和应变是评估杆梁结构受力情况的重要指标，在结构设计和安全评估中具有重要作用。
8.结果后处理：最后，可以通过后处理技术对有限元分析的结果进行处理和展示。
例如，可以绘制位移云图、应力云图等，以方便工程师对结构的力学性能进行评估和优化。
第3讲、杆梁问题的有限单元法
M yi
MT zi
（d）
单元刚度方程为
K e e Fe
（e）
其中：单元刚度矩阵
k1,1
K e
k2,1
k12,1
k1,2 k2,2
k12,2
k1,12
k2,12
k12,12
（f）
单元刚度矩阵元素根据其物理意义分析如下：
⑴ ui 1，其他结点自由度方向位移为0（如图32），生成单元刚度矩阵的第一列元素。
同样
vi ui cos y, x vi cos y, y i cos y, z i ui cos z, x vi cos z, y i cos z, z
图13
图14
这种转换关系如图14所示，写成矩阵形式，即
ui
vi
cos c os
x, y,
x x
i cos z, x
l32 m32 n32
由于 l1, m1, n1,l2, m2, n2 ,l3, m3, n3 实际上是用整体
坐标表示的沿局部坐标系三个坐标轴方向的三个单
位矢量，它们两两相互垂直，由矢量数量积的性质
可知
1 0 0
t t 0 1 0 I
0 0 1
则
t t t t 1
故 t 为正交矩阵。显然，由此又可得出转换矩阵T
0
0 1
则单元的坐标转换矩阵
T
t0
0
0
t0
显然也是正交矩阵。
也为正交矩阵的结论：
T T 1
（3-15）
则（3-11）式成为
K e T T KeT
（3-16）
⑵平面杆单元的坐标转换矩阵
先考察结点线位移的坐标转换，由 ui vi 转换
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12
பைடு நூலகம்
写成矩阵形式为
e 1 eT T q B EBq e Ae l e Pu 1 1 P 2u2 2 u1 1 1 1 e e 1 u1 u2 e EA l e 1 1 P 1 u 2 l 1 l 2 1 u1 2 EAe e l u2 EAe e l EAe e l u1 1 u P e EA 2 le
简记为
Sq e
应力矩阵或者是应力转换矩阵
11
单元势能的表达
e U e W e 1 e ij ij d Pu 1 1 P 2 u2 2 1 le e T e e Bq Sq A dx Pu 1 1 P 2 u2 0 2 1 le eT T q B EBq e Ae dx Pu 1 1 P 2 u2 0 2 1 q e T B T EBq e Ae l e Pu 1 1 P 2 u2 2
a0 ui , a1 u j ui le
i 1, j 2
8
回代得
写成矩阵形式为
u ( x ) a0 a1 x ui u j ui
e
l x x 1 e ui e u j l l N i ui N j u j
其中Ni，Nj是形函数。
3
本章主要内容
4.1有限元分析的过程
4.2有限元分析的基本步骤及表达式 4.3杆单元及其坐标变换 4.4梁单元及其坐标变换
4
4.1有限元分析的过程
E(1)=E(2)=2x107Pa A(1)=2A(2)=2cm2 L(1)=l(2)=10cm
P3为10N
5
问题的解题思路：
1）用标准化的分段小单元来逼近原结构 2）寻找能够满足位移边界条件的许可位移场 3）基于位移场的最小势能原理来求解 基本变量为：
几何方程
节点 位移
(1)
内部各 点位移
(2)
应变
(3)
应力
位移模式
物理方程
6
完整的求解过程
1）离散化
该构件由两根杆件做成，因此可以自然离散成2个杆单元。
假定以这类单元位移的特征为两个端点位移，就这两个离散单元给出
节点编号和单元编号。
单元1：i=1，j=2 单元2：i=2，j=3
7
2）单元分析
单元1：i=1，j=2 单元位移模式：u(x)=a0+a1x 单元节点条件：u(x=0)=u1， u(x=l)=u2 从而得
第4章 杆梁结构的有限元分析原理
1
基本原理
最小势能原理
技术核心： 分段离散的方式来组合全场几何域上 的试函数，而不是直接寻找全场上的试函 数。
2
杆梁单元概述
讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统.
从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件 承受轴力或扭矩的杆件成为杆 杆梁问题都有精确解 承受横向力和弯矩的杆件称为梁 平面桁架 平面刚架 连续梁 空间刚架 空间桁架等 变截面杆和弯曲杆件
简记为
Bq e
几何函数矩阵或者是应变转换矩阵
10
根据物理方程可得应力的表达
x E
du E u j ui dx l e
写成矩阵形式为
E Niu ui E ui N ju e 1 1 u j l u j
x
形函数矩阵
9
根据几何方程可得应变的表达
x
du 1 a1 e u j ui dx l
写成矩阵形式为
Niu ui 1 ui N 1 1 e ju u j l u j
u1 P2 u2
u1 P2 u2
1 eT e e q K q PeT qe 2
刚度矩阵
节点力列阵
13
3）离散单元的装配 在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以 求出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分
e 1 2 1 q1T K 1q1 q 2T K 2 q 2 P1T q1 P 2T q 2 2 EA1 EA2 EA1 EA2 1 2 1 2 u2 u1 u1 1 1 l l l l u2 R1 0 u2 u3 u1 u2 0 F 3 2 EA1 EA2 EA1 u2 EA2 u3 u2 2 u3 1 2 l1 l2 l l EA1 EA1 0 1 1 l l u1 u1 1 1 2 2 EA EA EA 1 EA u u1 u2 u3 1 u R 0 F 2 1 3 1 2 2 2 2 l l l l u 2 2 u3 EA EA 3 2 0 l l2
14
4）边界条件的处理
处理边界条件是获取可能位移场，将左端的约束条件，即u1=0代入 上式可以得到简化的势能表达式
e 1 2 1 q1T K 1q1 q 2T K 2 q 2 P1T q1 P 2T q 2 2 EA1 EA2 EA2 2 2 1 u 2 u2 1 l l l 0 F3 u2 u3 2 2 2 EA EA u3 u3 2 l l2