高中数学技巧--妙--构造对偶式的八种途径

构造对偶式的八种途径

在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。下面通过实例来谈谈构造对偶式的八种途径。

一． 和差对偶

对于表达式()()u x v x ±，我们可构造表达式()()u x v x 作为它的对偶关系式。

例１若02

πθ<<

，且3sin 4cos 5θθ+=，求tan θ的值。

解析：构造对偶式：3sin 4cos y θθ-=

则3sin 4cos 5,3sin 4cos y θθθθ+=⎧⎨-=⎩得5sin 6

5cos 8y y

θθ+⎧

=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩

再由2

2sin

cos 1θθ+=，得：7

3,tan 54

y θ=-∴=。

点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。 例２已知：,,,a b c d R ∈，且2222

1a b c d +++≤，

求证：4

4

4

4

4

4

()()()()()()6a b a c a d b c b d c d +++++++++++≤。

解：

4444444

4

4

4

4

4

()()()()()():()()()()()()

M a b a c a d b c b d c d N a b a c a d b c b d c d =+++++++++++=-+-+-+-+-+-设,构造对偶式

则有：

4444222222222222222226(222222)6()6

M N

a b c d a b a c a d b c b d c d a b c d +=+++++++++=+++≤ 又0N ≥，故6M ≤，即原不等式成立。

点评：这个对偶式构造得好！它的到来一下子使问题冰消融了。解法自然，朴素，过程简洁，运算轻松！

10=

a =，再由原方程联立可解得：

10,(1)2

10,(2)2

a a +=-=

那么2

2

(1)(2)+得：2

21

242(100),(3)2

x a +=

+ 22

(1)(2)-得：1610x a =，即85

x a =，

代入（３）中得：2

2164242(100)225

x x +=+，

整理得：29425x =， 解得：10

3

x =±。

二． 互倒对偶

互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。 例４若,,(0,1)x y z ∈，求证：

111

3111x y y z z x

++≥-+-+-+。

解：设111

111M x y y z z x

=

++-+-+-+,

构造对偶式：(1)(1)(1)N x y y z z x =-++-++-+，则

1111

(1)(1)(1)11112226M N x y y z z x x y y z z x y z

+=

+-+++-+++-++

-+-+-+-+≥++=而3N =，故3M ≥，即

111

3111x y y z z x

++≥-+-+-+。

例５设123,,,,n a a a a 为互不相等的正整数，

求证：3

2122

2

111

12323n a a a a n

n +

+++

≥++

+

。 解：设Ｍ＝3

2122

2

23n a a a a n +

+++

，构造对偶式：

1211

1

n

N a a a =+++ 则2122

1211111

1()()(

)1232

n n a a M N a a a a n

n

+=++++++≥+++

又123,,,

,n a a a a 为互不相等的正整数，所以11

1

123

N n

≤+

++

，因此111123

M n

≥+

++

。 点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题这目的。

例６已知对任意(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞总有1()2()0f x f x x

++=，求函数()y f x =的

解析式。

解析：因1()2()0f x f x x

++= ①

用

1x 替代上式中的x ，构造对偶式：11

()2()0f f x x x

++= ② 由①－②×２得：12

()4()0f x x f x x

+--=

故22()3x x

f x x

-=。

三． 共轭对偶

共轭对偶是反映利用共轭根式或共轭复数来构造对偶式的方法。 例７已知z c ∈，解方程：313z z iz i ⋅-=+。

解析：由313z z iz i ⋅-=+ ① 构造对偶式：313z z iz i ⋅+=- ②

由①－②得2z z =--，代入②得(1)(13)0z z i ++-=， 故1z =-或13z i =-+。

例８若z c ∈，已知1z =且1z ≠±，证明：

1

1

z z -+为纯虚数。 解：设Ｍ＝

1

1z z -+，则11()11z z M z z --==++，构造对偶式：Ｎ＝11

z z -+ 则Ｍ＋Ｎ＝

11z z -+＋11

z z -+＝０（因为2

1z z z ⋅==） 又

1

01z z -≠+（因为1z ≠±） ∴11

z z -+为纯虚数。

例９已知：0,0a b >>，且1a b +=≤

+

∵2

2

2

4()48M M N a b ≤+=++=

∴M ≤，即原不等式成立。

四． 倒序对偶

倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法。

例１０求和：1234

1234n

n n n n n S C C C C nC =++++

+