求轨迹方程方法之相关点法(代入法)
求动点轨迹方程的几种方法
1、求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.2、求动点轨迹方程的几种方法：(1)直接法：(2)定义法：(3)相关点代入法：(4)待定系数法；（5）交轨法；（6）参数法：（7）点差法： 典型例题一：直接法： 此类问题重在寻找数量关系。
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1：已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1．求曲线C 的方程．二：定义法：熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键.1)圆：到定点的距离等于定长；2)椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）；3)双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）；4)抛物线：到定点与定直线距离相等.（定点不在定直线上）.例1.已知点()1,0F ，点A 是直线1:1l x =-上的动点，过A 作直线2l ，12l l ⊥，线段AF 的垂直平分线与2l 交于点P .求点P 的轨迹C 的方程.例2： 一条线段AB 的长等于a 2,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点M 的轨迹方程？例3：已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.求曲线Γ的方程.例4：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
5:一动圆与圆O ：122=+y x 外切，而与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是：A ：抛物线B ：圆C ：椭圆D ：双曲线一支三：相关点代入法 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．例1：点P (4,－2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )例2：已知抛物线2 4C y x =： 焦点为F .点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 轨迹方程.3.已知A 为曲线2:410C x y 上的动点，定点(2,0)M ，若2AT TM ，求动点T 的轨迹方程.四、交轨法 1.求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程. 2.若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程，也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程，再化为普通方程.例：两条直线10x my --=和10mx y +-=的交点的轨迹方程是（ ）五、待定系数法六、参数法此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。
三、相关点法求轨迹方程(高中数学解题妙法)
三、相关点法求轨迹方程(高中数学解题妙法)2.求出动点C和动点P之间的等量关系式；3.将等量关系式代入已知曲线方程，得到所求动点的轨迹方程。
本文介绍了相关点法求轨迹方程的基本步骤。
当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程：某个动点P在已知方程的曲线上移动；另一个动点M随P的变化而变化；在变化过程中P和M满足一定的规律。
关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系。
举例来说，对于点P(4.-2)与圆x^2+y^2=4上任一点连线的中点轨迹方程，我们可以设点P与圆上任一点N(x,y)连线的中点为M(x,y)，然后求出x=2x-4,y=2y+2的关系式，代入圆的方程可得(x-2)^2+(y+1)^2=1，因此答案为A.(x-2)^2+(y+1)^2=1.另一个例题是：设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN=2MP，PM⊥PF，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程。
我们可以设动点P的坐标为(x，y-yA)，动点C为F(1,0)，求出等量关系式后代入y^2=4x，得到点N的轨迹方程为y^2=4x。
综上所述，相关点法求轨迹方程的基本思路是设定两个动点，求出它们之间的等量关系式，再代入已知曲线方程得到所求动点的轨迹方程。
y0)，B(x,y)，P(x1,y1)，则由题意得：点B在抛物线上，即y2=x+1，代入得y=x2+1；点P在线段AB上，且点M的坐标为(2,0)，即线段AB的中点坐标为((x0+x)/2,(y0+x2+1)/2)。
根据上述条件，可以列出以下方程组：y=x2+1y-y0=(x-x0)/2y-(y0+x0^2+1)/2=2(x-2)/3解方程组得到：x1=3x0/2-x/2+2/3y1=3x0^2/4+y0/2+1/3代入抛物线方程y2=x+1得到点P的轨迹方程为：y1^2=(3x1/2-1)^2+1。
求轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的常用方法重点: 掌握常用求轨迹方法难点：轨迹的定型及其纯粹性和完备性的讨论【自主学习】知识梳理：（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
高中数学解题方法-----求轨迹方程的常用方法
练习
1.一动圆与圆
外切，同时与圆 x2 + y2 − 6x − 91 = 0内切，求动圆圆心
M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
2. 动圆 M 过定点 P（－4，0），且与圆 ：C x2+ －y2 8x = 0 相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。 1.在∆ABC 中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为 16，则点 A 的轨迹方 程是_______________________________.
高中数学解题方法
---求轨迹方程的常用方法
（一）求轨迹方程的一般方法： 物1线.）定的义定法义：，如则果可动先点设P出的轨运迹动方规程律，合再乎根我据们已已知知条的件某，种待曲定线方（程如中圆的、常椭数圆，即、可双得曲到线轨、迹抛 方程。 P 满2.足直的译等法量：关如系果易动于点建立P 的，运则动可规以律先是表否示合出乎点我P们所熟满知足的的某几些何曲上线的的等定量义关难系以，判再用断点，但P 点的 坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量y＝tg，（以t）此，量进作而为通参过变消数参，化分为别轨建迹立的普P 点通坐方标程xF，（yx与，该y）参＝数0。t 的函数关系 x＝f（t）， 4. 代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的 运出动相规关律点已P'知的，坐（标该，点然坐后标把满P足'的某坐已标知代曲入线已方知程曲），线则方可程以，设即出可得P（到x动，点y），P 的用轨（迹x，方y程）。表示
题目 6：已知点 P 是圆(x +1)2 + y2 =16 上的动点，圆心为 B ，A(1,0) 是圆内的定点；PA 的中垂线交 BP 于点Q ．（1）求点Q 的轨迹C 的方程；
轨迹方程的求法
解:以BC所在的直线为x轴，BC中点为坐标
原点，建立如图所示的直角坐标系，则B
（一a/2，0），C（a/2，0），设A（x，y）
则
由sinC－ sinB=
∴c-b=
1 2
a
1 2
sinA
A
B
C
即|AB|-|AC|=
1 2
a（定值）
些密如发丝的暗青色珠粒被烟一晃，立刻变成皎洁辉映的珠光，不一会儿这些珠光就闪烁着飞向罕见异绳的上空，很快在四金砂地之上 变成了隐隐约约的凸凹飘动的摇钱树……这时，宝石状的物体，也快速变成了树皮模样的湖青色胶状物开始缓缓下降……只见女政客
4、参数法 例题4、已知线段AB的长为a，P分AB为
AP∶PB= 2∶l两部分，当A点在y轴上运动时， B点在x轴上运动，求动点P的轨迹方程。
解 ： 设 动 点 P （ x ， y ） ， AB 和 x 轴 的 夹 角 为 θ ，
|θ|≤
2
，作PM⊥x于M,
PN⊥y轴于N
∵|AB|= a, | AP | 2
皮肤时浓时淡渗出水睡朦胧般的晃动！接着玩了一个，飞蟒吊灯翻一千零八十度外加狐嚎排骨旋七周半的招数，接着又来了一出，怪体 牛蹦海飞翻七百二十度外加笨转四百周的尊贵招式……紧接着异常的如同原木一样的脚立刻蠕动变形起来……鲜红色酒罐耳朵闪出水绿 色的团团明烟……深灰色麦穗样的嘴唇闪出中灰色的点点神响。最后摆起多变的深黄色土堆模样的卷发一嚎，飘然从里面涌出一道佛光， 她抓住佛光冷峻地一颤，一件银晃晃、黄澄澄的咒符『蓝鸟骨怪火腿宝典』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边转化，一边发出“咝 咝”的神响。骤然间女政客Ｔ．克坦琳叶女士急速地弄了一个侧卧扭曲炸蛤蟆的怪异把戏，，只见她修长的淡灰色怪石一样的脑袋中，威
轨迹方程问题的解决方法---四种
轨迹方程问题的解决办法
方法一直接法
使用情景：可以直接列出等量关系式。
解题步骤：
第一步根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。
）
第二步根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
方法二定义法
使用情景：轨迹符合某一基本轨迹的定义。
解题步骤：
第一步根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）
第二步直接根据定义写出动点的轨迹方程
方法三相关点法（代入法）
使用情景：动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动。
解题步骤：
第一步判断动点P（x，y）随着已知曲线上的一个动点Q（x ,y）的运动而运动
第二步求出关系式X=f(x,y),y=g(x,y)
第三步将Q点的坐标表达式代入已知曲线方程。
方法四参数法
使用情景：动点的运动受另一个变量的制约时。
解题步骤：
第一步引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标x,y; 第二步消去参数，得到关于x,y的方程，即为轨迹方程。
2、相关点法和点差法求轨迹方程
相关点法和点差法求轨迹方程除了直译法和定义法，相关点法和点差法也是求轨迹方程的一种重要方法。
一、相关点法相关点法所适用的题目特征：（1）题目中出现已知点A 在曲线C ：f(x,y)=0上 （2）已知点A 、B 满足一定的关系式 （3）求点B 的轨迹方程其中A 叫做主动点，B 叫做被动点。
我们的解题步骤一般为： （1）设00(,),(,)B x y A x y（2）根据A 、B 关系式，整理出()()0102,,x f x y y f x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ （3）根据题目中原有的曲线()00,0f x y =，替换掉x0和y0，整理出(),0g x y =即为所求例1 已知点A 为椭圆2212516x y +=上任一点，点B(2，1)，动点P 满足2AP PB =，求P 轨迹方程解析：显然符合相关点法的题目特征，这里A 是主动点，B 是定点，P 是被动点。
我们按照步骤进行操作。
设()()00,,,P x y A x y由2AP PB =得到()()00,22,1x x y y x y --=--从而有003432x x y y =-⎧⎨=-⎩由220012516x y +=得到()()22343212516x y --+=例2 已知M 、N 是椭圆22142x y +=上的两个动点，且直线OM 与直线ON 的斜率之积为12-，若点P 满足2OP OM ON =+，求点P 的轨迹方程 解析：显然符合相关点法的题目特征。
只不过这里有两个主动点M 和N ，那么方法依然是没有变的。
只不过在代换的时候，需要结合题目条件处理的更灵活。
设()()()1122,,,,,P x y M x y N x y由2OP OM ON =+得到()()()1122,,2,x y x y x y =+即121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩而2211142x y +=以及2222142x y +=，即2222112224,24x y x y +=+= 又由12OM ON k k =-得到121212y y x x =-，即121220y y x x +=寻找其中的关系，我们可以得到：()()()()()22221212222211221212222224242416020x y x x y y x y x y x x y y +=+++=+++++=++=因此轨迹方程为22220x y +=即2212010x y +=二、点差法点差法的适用题目特征更明显，只要题目是求弦中点轨迹的，一般都用点差法进行解决。
4.轨迹方程.代入法
第四讲:轨迹方程.代入法若动点P(x,y)的运动变化依赖于己知曲线C:F(x,y)=0上的动点Q(s,t)的运动变化,此时我们把动点P(x,y)中的x 、y 视为己知,根据题目条件着力于求点Q(s,t)的坐标,即s=f(x,y),t=g(x,y),然后把s=f(x,y)与t=g(x,y)代入方程F(x,y) =0,并化简整理即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法我们称为代入法.一.解题程序例1:(2009年江西高考试题)己知点P 1(x 0,y 0)为双曲线22228b y b x -=1(b 为正常数)上任意一点,F 2为双曲线的右焦点,过P 1作右准线的垂线,垂足为A,连 y 结F 2A 并延长交y 轴于点P 2. P 2 (Ⅰ)求线段P 1P 2的中点P 的轨迹E 的方程; P (Ⅱ)设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点,在E P 1 A上任取一点Q(x 1,y 1)(y 1≠0),直线QB 、QD O F 2 x 分别交y 轴于M 、N 两点,求证:以MN 为 直径的圆过两定点.解析:(Ⅰ)因a 2=8b 2⇒c=3b ⇒c a 2=38b,由点P 1(x 0,y 0)⇒A(38b,y 0);设点P 2(0,t)由t:y 0=c:(c-c a 2)⇒t=9y 0.设点P(x,y),则x=21x 0,且y=5y 0⇒x 0=2x,y 0=51y,代入双曲线22228b y b x -=1得:2222252by b x -=1,此即是点P 的轨迹E 的方程;(Ⅱ)在2222252b y b x -=1中,令y=0得x=±2b ⇒B(-2b,0),D(2b,0)⇒直线QB 、QD 的方程分别为y=bx y 211+(x+2b)、y=bx y 211-(x-2b)⇒M(0,bx by 2211+)、N(0,bx by 2211--)⇒以MN 为直径的圆:x 2+(y-bx by 2211+)(y+bx by 2211-)=0⇒x 2+y 2+22122b x by -y 1-22121222b x y b -=0(由221221252by b x -=1⇒x 12-2b 2=252y 12)⇒252(x 2+y 2-25b 2)y 1+2by=0⇒x 2+y 2-25b 2=0,且y=0⇒x=±5b.即以MN 为直径的圆过两定点(-5b,0)和(5b,0).类题:1.(1985年上海高考试题)如图,由抛物线y=x 2+2上的点M(x 0,y 0)向直线y=21x 作垂线,垂足为N,延长MN 至P 点,使得|MN|=4|NP|.(Ⅰ)用x 0,y 0表示点N 的坐标(x 1,y 1); (Ⅱ)用x 0,y 0表示点P 的坐标(x,y);(Ⅲ)求当点M 沿抛物线移动时,点P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.2.(2011年全国高中数学联赛河北预赛试题)已知O 为坐标原点,B(4,0),C(5,0),过C 作x 轴的垂线,M 是这垂线上的动点,以O 为圆心,OB 为半径作圆,MT 1,MT 2是圆的切线,求△MT 1T 2垂心的轨迹方程.二.压缩变换例2:(2011年陕西高考试题)如图, y设P 是圆x 2+y 2=25上的动点,点D 是 P P 在x 轴上的摄影,M 为PD 上一点, M 且|MD|=54|PD|. O D x (Ⅰ)当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为54的直线被C 所截线段的长度.解析:(Ⅰ)设M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(x p ,y p ),由已知x p =x,y p =45y,由P 在圆上⇒x 2+(45y)2=25⇒轨迹C:252x +162y =1; (Ⅱ)过点(3,0),且斜率为54的直线方程为y=54(x-3),设直线与C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由⎪⎩⎪⎨⎧⋅=+-=25162516)3(5422y x x y ⇒x 2 -3x-8=0⇒|AB|=541. 类题:1.(1992年上海高考试题)设动直线l 垂直于x 轴,且与椭圆2422y x +=1交于A 、B 两点,P 是l 上满足|PA|.|PB|=1的点,求点P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.2.(2012年湖北高考试题)设A 是单位圆x 2+y 2=1上任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m ≠1)当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C. (Ⅰ)求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(Ⅱ)过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P,Q 两点,其中P 在第一象限,且它在y 轴上的射影为点N,直线QN 交曲线C 于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ ⊥PH ？若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.三.一相关点例3:(2006年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知椭圆C:22ax +22by =1(a>b>0),其离心率为54,两准线之间的距离为225. (Ⅰ)求a,b 之值;(Ⅱ)设点A 坐标为(6,0),B 为椭圆C 上的动点,以A 为直角顶点,作等腰直角△ABP(字母A,B,P 按顺时针方向排列),求P 点的轨迹方程.解析:(Ⅰ)设c 为椭圆的焦半径,则a c=54,2c a 2=225,于是有a ＝5,b ＝3; (Ⅱ)解法一:设B(s,t),P(x,y),于是有AB =(s-6,t),AP =(x-6,y).AB AP =0⇒(s-6)(x-6)+ty=0⇒s-6=-6-x ty; |AB |=|AP |⇒(s-6)2+t 2=(x-6)2+y 2⇒(6-x ty )2+t 2=(x-6)2+y 2⇒t 2=(x-6)2⇒y 2=(s-6)2⇒s=6-y 代入椭圆方程,即得动点P 的轨迹方程9)6(2-x +25)6(2-y =1.解法二:设P(x,y),AP =(x-6,y),z=(x-6)+yi ⇒z(cos900+isin900)=-y+(x-6)i ⇒AB (-y,x-6)⇒B(6-y,x-6)代入椭圆方程,即得动点P 的轨迹方程9)6(2-x +25)6(2-y =1. 类题:1.(1986年全国高考试题)己知抛物线y 2=x+1,定点A(3,1),B 为抛物线上任意一点,点P 在线段AB 上,且有BP:PA=1:2, 当点B 在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程,并指出这个轨迹是哪个曲线？ 2.(2013年辽宁高考试题)如图,抛物线C 1: A y x 2=4y,C 2:x 2=-2py(p>0),点M(x 0,y 0)在抛物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点为A,B(M 为 B原点时,A,B 重合于O).当x 0=1-2时,切线 O x MA 的斜率为-21. M (Ⅰ)求p 的值;(Ⅱ)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O).四.两相关点例4:(2011年重庆高考试题)(文)如图,椭圆的中心为原点O,离心率e=22,一条准线的方程是x=22.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设动点P 满足:OP =OM +2ON ,其中M,N 是椭圆上的点, 直线OM 与ON 的斜率之积为-21.问:是否存在定点F,使得 |PF|与点P 到直线l:x=210的距离之比为定值？若存在,求F 的坐标;若不存在,说明理由.解析:(Ⅰ)设椭圆:22a x +22b y =1(a>b>0),则221a b -=22,222b a a -=22⇒a 2=4,b 2=2⇒椭圆的标准方程42x +22y =1;(Ⅱ)设P(x,y),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则由直线OM 与ON 的斜率之积为-21⇒11x y ⋅22x y=-21⇒x 1x 2+2y 1y 2=0;由OP =OM +2ON ⇒x=x 1+2x 2,y=y 1+2y 2;由x 12+2y 12=4,x 22+2y 22=4⇒x 2+2y 2=(x 1+2x 2)2+2(y 1+2y 2)2=(x 12+2y 12)+4(x 22+2y 22)+4(x 1x 2+2y 1y 2)=20⇒202x +102y =1⇒动点P 的轨迹是椭圆:202x +102y =1,其右焦点F(10,0),右准线为直线l:x=210⇒|PF|与点P 到直线l:x= 210的距离之比为定值e=22. 类题:1.(2011年重庆高考试题)(理)如图,椭圆的中心为原点O,离心率e=22,一条准线的方程是x=22.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设动点P 满足:OP =OM +2ON ,其中M,N 是椭圆上的点, 直线OM 与ON 的斜率之积为-21.问:是否存在两定点F 1,F 2,使 得|PF 1|+|PF 2|为定值？若存在,求F 1,F 2的坐标;若不存在,说明理由. 2.(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)如图所示,过双曲线x 2-42y =1的中心O 作两条互相垂直的射线,交双曲线于A 、B 两点.试求: y B (Ⅰ)弦AB 的中点P 的轨迹方程; A(Ⅱ)双曲线的中心O 到直线AB 的距离. O x五.多相关点例5:(2011年安徽高考试题)设λ>0,点A 的坐标为(1,1), y A点B 在抛物线y=x 2上运动,点Q 满足BQ =λQA ,经过点Q Q与x 轴垂直的直线交抛物线于点M,点P 满足QM =λMP , B O M x 求点P 的轨迹方程. P解析:设P(x,y),则:M(x,x 2),由QM =λMP ⇒Q(x,x 2-λ(y-x 2));由BQ =λQA ⇒B((1+λ)x-λ,(1+λ)2x 2-λ(1+λ)y-λ);由点B 在抛物线y=x 2上⇒(1+λ)2x 2-λ(1+λ)y-λ)=[(1+λ)x-λ]2⇒2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0⇒2x-y -1=0.x=22OB 1yxPNMx=22OB 1yxPNM类题:1.(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)直角坐标系xOy 中,设A,B,M 是椭圆C:42x +y 2=1上的三点.若OM =53OA +54OB .证明:线段AB 的中点在椭圆22x +2y 2=1上.2.(2005年全国高中数学联赛试题)过抛物线y=x 2上的一点A(1,1)作抛物线 的切线,分别交x 轴于D,交y 轴于B.点C 在抛物线上,点E 在线段AC 上,满足EC AE =λ1;点F 在线段BC 上,满足FCBF=λ2,且λ1+λ2=1,线段CD 与EF 交于点P. 当点C 在抛物线上移动时,求点P 的轨迹方程.六.动直线点例6:(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)抛物线y=x 2与过点P(-1,-1)的直线l 交于P 1,P 2两点.(Ⅰ)求直线l 的斜率k 的取值范围; (Ⅱ)求在线段P 1P 2上满足条件11PP +21PP =PQ2的点Q 的轨迹方程. 解析:(Ⅰ)直线l 的方程为y+1=k(x+1),与抛物线方程y=x 2联立得x 2-kx-(k-1)=0,由(-k)2+4(k-1)>0,解得k>-2+22,或k<-2-22;(Ⅱ)设Q(x,y),P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则x 1+x 2=k,x 1x 2=1-k.又P 1,P 2,Q 都在直线l 上.由11PP +21PP =PQ2⇒ 2121)1()1(1+++y x +2222)1()1(1+++y x =22)1()1(2+++y x ⇒|1|11+x +|1|12+x =|1|2+x .又(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=2 >0,点Q 在线段P 1P 2上,所以x 1+1,x 2+1,x+1同号.则111+x +112+x =12+x ⇒x=221212121+++++x x x x x x =24+k -1∈(-2-1,-1)∪(-1,2-1),⇒y=k(x+1)-1=3-28+k ⇒2x-y-1=0,因此点Q 的轨迹方程是2x-y-1=0,x ∈(-2-1,-1)∪(-1,2-1). 类题:1.(2011年天津高考试题)在平面直角坐标系xOy 中,点P(a,b)(a>b>0)为动点,F 1,F 2分别为椭圆22a x +22b y =1的左右焦点.已知△F 1PF 2为等腰三角形. (Ⅰ)求椭圆的离心率e;(Ⅱ)设直线PF 2与椭圆相交于A 、B 两点,M 是直线PF 2上的点,满足AM ⋅BM =-2,求点M 的轨迹方程. 2.(1995年全国高考试题)己知椭圆162422y x +=1,直线l:812y x +=1.P 是l 上一点,射线OP 交椭圆于点R,又点Q 在OP 上,且满足:|OQ||OP|=|OR|2.当点P 在l 上移动时,求点Q 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.。
高考数学中求动点轨迹方程的方法
高考数学中求动点轨迹方程的方法数学轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述。
数学轨迹方程常在选做题和大题中出现，那么这种题型应该怎么解答?下面由为大家高考数学中求动点轨迹方程的方法有关的资料，希望对大家有所帮助!⒈建系——建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉设点——设轨迹上的任一点P(x，y)，写出点P的集合;⒊列式——列出动点p所满足的关系式;⒋代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为X，Y的方程式，化简方程为最简形式;⒌证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
求高考数学轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
如果动点P的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，那么可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标(x，y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
根据条件及一些根本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种曲线的定义，那么可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
待定系数法：如果动点P的运动规律符合我们的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，那么可先设出轨迹方程，再根据条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
⒊相关点法(代入法)：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
求轨迹方程问题—6大常用方法
求轨迹方程问题—6大常用方法知识梳理：（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。
专题四：求动点轨迹方程5种方法(解析版)
专题四：求动点轨迹方程5种方法（解析版）一、直接法步骤：1、建立恰当的坐标系，设动点坐标()y x ，；2、由已知条件列出几何等量关系式，建立关于y x ，的方程()0=y x f ，；3、化简整理；4、检验，检验点轨迹的纯粹性与完备性。
[例1] 已知圆O 的方程是0222=-+y x ，圆O '的方程是010822=+-+x y x ，如图所示。
由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，求动点P 的轨迹方程。
【解析】设()y x P ，，由圆O 的方程为：222=+y x ，圆O '的方程为()6422=+-y x 。
由已知得BP AP =，所以22BP AP =，所以2222B O P O OA OP '-'=-，则6222-'=-P O OP 。
所以()6422222-+-=-+y x y x ，化简得23=x 。
所以动点P 的轨迹方程为23=x 。
[练习1] 已知平面上两定点()20-，M ，()20，N ，点P 满足MN PN MN MP ⋅=⋅，求点P 的轨迹方程。
【解析】设()y x P ，，则()2+=y x MP ，，()40，=MN ，()y x PN --=2，，因为MN PN MN MP ⋅=⋅，所以()()222424y x y -+=+，所以()2222y x y -+=+。
两端同时平方得：2224444y y x y y +-+=++，整理得：y x 82=。
所以点P 的轨迹方程为y x 82=二、定义法步骤：1、分析几何关系；2、由曲线的定义直接得出轨迹方程。
[例2] 已知圆A ：()36222=++y x ，()02，B ，点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。
【解析】 由题可得，()02，-A ，4=AB 。
因为Q 点在线段PB 的中垂线上，所以QB PQ =。
求曲线轨迹方程的方法
四、参数法求曲线方程
若过点 P(1，1)且互相垂直的两条直线 l1，l2 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，则 AB 中点 M 的轨迹方程为________．
四、参数法求曲线方程
【审题】 斜率存在时，点斜式设l1的方程→得l2的方程→ 联立方程→求交点坐标→消去参数→得结果→斜率不存在时将
三、相关点法求曲线轨迹方程
基本思路：
①设点：设被动点的坐标 M (x, y)，主动点的坐标 P(x0, y0；) ②求关系式：用被动点的坐标M (x, y) 表示主动点的坐标 P(x0, y0 )，即
得关系式
xy00
g(x, h(x,
y) y)
③代换：将上述关系式带入主动点满足的方程，化简整理可得所求动 点的轨迹方程。
三、相关点法求曲线轨迹方程
x 例 在圆 x2 y2 4上任取一点P，过点P作 轴的垂线段PD，
D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设M (x, y), P(x0 , y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x带入上式得：x2 4 y2 4.
二：定义法求轨迹方程
思路：如果动点的轨迹满足某种已知曲线定义，则可由曲 线的定义直接写出方程，利用定义法求轨迹方程要善于抓 住曲线定义的特征。 要点：四种曲线定义及成立条件
方法：建系设点 定型（思考几何关系，进而寻求数量关系） 定方程 定范围
二：定义法求轨迹方程
圆的定义： |PC|=r (r>0) 椭圆的定义：
一：直接法（直译法）求轨迹方程
例 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
轨迹方程的几种求法整理.docx
轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题. 本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考 .求轨迹方程的一般方法：1.直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（ x， y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2.定义法：如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3.参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量 t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x，y 与该参数t 的函数关系x＝ f （ t ），y＝ g（ t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（ x， y）＝ 0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P' 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（ x， y），用（ x， y）表示出相关点P' 的坐标，然后把P' 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6.待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y, 的方程基本步骤是：建系。
设点。
列式。
化简。
说明等，圆锥曲线标准方程的推导。
1.已知点A( 2，0)， B(3，0)，动点P( x， y)uuur uuurx2，求点P的轨迹。
y2x 6 ，满足·PA PB2. 2. 已知点 B（－ 1， 0）， C（ 1， 0），P 是平面上一动点，且满足| PC | | BC |PB CB.（1）求点 P 的轨迹 C 对应的方程；（2）已知点 A（ m,2）在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C的两条弦 AD和 AE，且 AD⊥ AE，判断：直线 DE是否过定点试证明你的结论 .（3）已知点 A（ m,2）在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD，AE，且 AD，AE 的斜率k1、k2满足 k1· k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.解：（1）设P(x,y)代入|PC| |BC|PB CB得(x1)2y 21x,化简得 y2 4 x.二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、若动圆与圆外切且与直线x=2 相切，则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（－2， 0）的距离等于它到定直线x =4 的距离，故所求轨迹是以（－2， 0）为焦点，直线x =4 为准线的抛物线，并且=6，顶p点是（ 1，0），开口向左，所以方程是．选（ B ）．2、一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为 r ，则有动点 M 到两定点的距离之差为 1，由双曲线定义知，其轨迹是以 O 、 C 为焦点的双曲线的左支3、在 △ABC 中， BC 24，AC ， AB 上的两条中线长度之和为39，求 △ABC 的重心的轨迹方程．解：以线段 BC 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系， 如图 1， M为重心，则有 BM239 26 ．CM3∴ M 点的轨迹是以 B ，C 为焦点的椭圆，其中 c 12， a 13 ． ∴ ba 2c 25 ．22∴所求 △ABC 的重心的轨迹方程为xy．169 1( y 0)25注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设 Q 是圆 x 2+y 2=4 上动点另点 A （ 3 。
求轨迹方程的常见方法
求轨迹方程的常见方法由运动轨迹求方程是解析几何的一类重要问题，下面谈谈求轨迹方程的几种常用方法。
一、直接法建立适当的座标系后，设动点为，根据几何条件寻求之间的关係式。
例1 已知动点m到椭圆的右焦点的距离与到直线x=6的距离相等，求点m的轨迹方程。
变式：已知点m与椭圆的左焦点和右焦点的距离之比为，求点m的轨迹方程。
变式2：在三角形abc中，b（-6，0）, c（-6，0）,直线ab,ac斜率乘积为，求顶点a的轨迹。
说明：求轨迹需要说明是什幺曲线并指出曲线的位置与大小，求轨迹方程怎不必说明。
二、定义法由题设所给动点满足的几何条件，经过化简变形，可以看出动点满足圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程。
例2 已知圆的圆心为m1，圆的圆心为m2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心p的轨迹方程。
解：设动圆的半径为r，由两圆外切的条件可得：，。
∴动圆圆心p的轨迹是以m1、m2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。
故所求轨迹方程为。
三、待定係数法由题意可知曲线型别，将方程设成该曲线方程的一般形式，利用题设所给条件求得所需的待定係数，进而求得轨迹方程。
例3 已知双曲线中心在原点且一个焦点为f（，0），直线y=x－1与其相交于m、n两点，mn中点的横座标为，求此双曲线方程。
解：设双曲线方程为。
将y=x－1代入方程整理得。
由韦达定理得。
又有，联立方程组，解得。
∴此双曲线的方程为。
四、引数法选取适当的引数，分别用参数列示动点座标，得到动点轨迹的引数方程，再消去引数，从而得到动点轨迹的普通方程。
例4 过原点作直线l和抛物线交于a、b两点，求线段ab的中点m的轨迹方程。
解：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。
把它代入抛物线方程，得。
因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得。
设a（），b（），m（x，y），由韦达定理得。
由消去k得。
又，所以。
求点轨迹方程的方法
求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法（相关点法）：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。
常见的曲线特征及要素有：①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p 。
若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程。
【题型一】直接法求轨迹【典例分析】设点(A，B ，M 为动点，已知直线AM 与直线BM 的斜率之积为定值13，点M 的轨迹是（）A ．()22109x y y -=≠B ．()22109y x y -=≠C ．()22103x y y -=≠D ．()22103y x y -=≠【详解】解：设动点(),M x y，则x ≠，则MA k =MB k =，(x ≠，直线AM 与直线BM 的斜率之积为定值13，13=，化简可得，()22103x y y -=≠，故点M 的轨迹方程为()22103x y y -=≠.故选：C.例1：设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是（）A.22132x y +=B.22132x y -= C.()224136x y --= D.22123x y +=解：设(),P x y33P ld PA-∴=33x ∴-=()()222331x x y ⇒-=-+2221626x x y ⇒--=-()()22224246136x y x y -⇒--=⇒-=答案：C 【变式演练】1.若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足2MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D 【详解】以点A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点(,)Mx y=22(4)4x y -+=，于是得点M 的轨迹是以点(4,0)为圆心，2为半径的圆，其面积为4π，所以M 点的轨迹围成区域的面积为4π.2.已知点(0,1)F ，直线:1l y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP PQ ⋅=⋅，则动点P 的轨迹C 的方程为（）A ．24x y=B ．23y x=C ．22x y=D ．24y x=【答案】A 【详解】设点(,)P x y ，则(,1)Q x -，因为(0,1)F 且QP QF FP PQ ⋅=⋅，所以(0,1)(,2)(,1)(,2)y x x y x +⋅-=-⋅-，即22(1)2(1)y x y +=--，整理得24x y =，所以动点P 的轨迹C 的方程为24x y =.故选：A 3.已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；解(1)设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )，由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.∴点P 的轨迹方程是椭圆C ：x 24＋y 23＝1.【题型二】相关点代入法【典例分析】已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程．【解析】解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴．③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．例3：已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点M 的轨迹方程是（）A.212x y =-B.21216x y =-C.222x y =- D.221x y =-思路：依题意可得()0,1F ，(),M x y ，()00,P x y ，则有0000221212x x x x y y y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩，因为()00,P x y 自身有轨迹方程，为：204x y =，将00221x xy y =⎧⎨=-⎩代入可得关于,x y 的方程，即M 的轨迹方程：()()22242121x y x y =-⇒=-答案：D例4：已知F 是抛物线24y x =上的焦点，P 是抛物线上的一个动点，若动点M 满足2FP FM =，则M 的轨迹方程是__________解：由抛物线24y x =可得：()1,0F 设()()00,,,M x y P x y ()()001,,1,FP x y FM x y ∴=-=-2FP FM = ()00002112122x x x x y y y y =--=-⎧⎧∴⇒⎨⎨==⎩⎩①P 在24y x =上2004y x ∴=，将①代入可得：()()22421y x =-，即221y x =-【变式演练】1.已知抛物线24C y x =：的焦点为F .(1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程;【答案】(1)设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，,因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1 )A A FA x y =-，,由2AP FA =- 得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，.即2(1)2A A A Ax x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩解得2A A x x y y=-⎧⎨=-⎩代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-.2.已知圆()2221:0C x y r r +=>与直线01:2l y x =+相切，点A 为圆1C 上一动点，AN x ⊥轴于点N ，且动点M满足()22OM AM ON +=-，设动点M 的轨迹为曲线C .（1）求动点M 的轨迹曲线C 的方程；【答案】（1）试题解析：（I）设动点，由于轴于点又圆与直线即相切，∴圆由题意，，得即将代入，得曲线的方程为3.设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．【解析】解设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)，∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0.由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，－x 0＝－2x 0＝2y 0，0＝－x 0＝12y.∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【题型三】定义法【典例分析】已知动圆M 过定点(4,0)P -，且与圆2280C x y x +-=：相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解析】依题意，4MC MP -=，说明点M 到定点C P 、的距离的差为定值，∴动点M 的轨迹是双曲线的一支，∵24a =，∴2a =．∵4c =，∴22212b c a =-=∴动圆圆心M 的轨迹方程是221(2)412x y x -=≤-．例6：若动圆过定点()3,0A -且和定圆()22:34C x y -+=外切，则动圆圆心P 的轨迹方程是___________思路：定圆的圆心为()3,0C ，观察到恰好与()3,0A -关于原点对称，所以考虑P 点轨迹是否为椭圆或双曲线，设动圆P 的半径为r ，则有PA r =，由两圆外切可得2PC r =+，所以2PC PA -=，即距离差为定值，所以判断出P 的轨迹为双曲线的左支，则1,3a c ==，解得2228b c a =-=，所以轨迹方程为()22118y x x -=≤-【变式演练】已知两个定圆O1:(x+2)2＋y 2＝1：和O 2(x-2)2＋y 2＝4，它们的半径分别是1和2，.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，求动圆圆心M 的轨迹方程，【解析】解由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)、O2(2,0)．设动圆M 的半径为r，则由动圆M 与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；由动圆M 与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝3.∴点M 的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x29－4y27＝1(x≤－32)．2、已知点⎪⎭⎫⎝⎛0,41F ，直线41:-=x l ，点B 是直线l 上动点，若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是（）A 、双曲线B 、抛物线C 、椭圆D 、圆【答案】B【解析】由题意知MF MB =，点M 的轨迹为抛物线。
轨迹方程的求法
又 AM 4, AB 6 PA PM PA PB 8 AB
点P的轨迹是以 A, B为焦点的椭圆
x2 y2 设 椭 圆 的 方 程 为 2 ＋ 2 1(a b 0) a b
15
M
10
N
5
由题意得 : 2a 8,2c 6 b 4 3 7
2 2
3 2 则|PM|· |PN|＝|t1t2|＝ . 1＋11sin2α 所以当 sin2α＝0 时，即 α＝0，|PM|· |PN|的最小值为 .
(2011· 课标高考 ) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 x ＝2cosα ， C1 的参数方程为 y＝2＋ 2sin α (α 为参数)．M 是 C1 上的动
因此其方程为
（2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，
2 x（y≠0） y2 1 . 9 5
5 5
因此|PA|-|PB|=1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支， 1 且2a=1，2c=4，即a= ,c=2,b= ， 15 2 2 因此其方程为 2
4y 1 4x 1(x ) 15 2
y
o
x
复习1：
求动点轨迹方程的基本步骤是什么？
(1)建系: 建立直角坐标系； (2)设点: 设所求动点P(x,y); (3)列式: 根据条件列出动点P满足的关系式; (4)化简: 化简方程； (5)检验：检验所得方程的纯粹性和完备性, 多余的点要剔除,不足的点要补充。
复习2：
求动点轨迹方程的基本方法有哪些？
B x
?
过点
P
相关点法求轨迹方程 微课
来试试 已知抛物线Ｃ：y2 4x和直线l : x y 1 0.
求抛物线Ｃ关于直线l的对称曲线的方程.
参考答案 (x 1)2 4( y 1)
四、求动点的轨迹方程
例 5 已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O，且恰好与直线 l1： x－y－2 2＝0 相切．
又点 A(x0，y0)在椭圆 C 上，故 y20＝1－x920 ④ 将④代入③得x92－y2＝1(x<－3，y<0)．
因此点 M 的轨迹方程为x92－y2＝1 (x<－3，y<0)．
求轨迹方程的相关点法，我就介绍到这里， 谢谢你的观看 .
下一节我要介绍的是求轨迹方程的交轨法. 欢迎你继续观看. 再见!
从而 t＝ 5时，矩形 ABCD 的面积最大，最大面积为 6.
(2)由 A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3，0)，A2(3，0)知
直线
AA1
的方程为
y＝ y0 (x＋3) x0＋3
①
直线
A2B
的方程为
y＝ －y0 (x－3) x0－3
②
由①②得 y2＝x－20－y209(x2－9) ③
(2)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程．
Байду номын сангаас
[解析](1)设 A(x0，y0)，则矩形 ABCD 的面积 S＝4|x0||y0|. 由x920＋y20＝1 得 y20＝1－x920， 从而 x20y20＝x20(1－x920)＝－19(x20－92)2＋94. 当 x20＝92，y20＝12时，Smax＝6.
例 如：已知点Ａ（４，０），点Ｐ的轨迹方程
是 x2 y2 4,求线段ＰＡ中点Ｍ的轨迹方程.
求轨迹方程的几种常用方法
求轨迹方程的几种常用方法求轨迹的方程，是学习解析几何的基础，求轨迹的方程常用的方法主要有：1．直接法：若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。
从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。
例1：在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。
解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则有A (,0)a -，B (,0)a 。
设动点C 为(,)x y ，∵222||||||AC BC AB +=，∴2224a +=，即222x y a +=．由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点，故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。
2．代入法（或利用相关点法）：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。
例2：已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且:1:2AM MB =，求动点M 的轨迹方程。
解：设A (,0)a ，B (0,)b ，M (,)x y ，一方面，∵||6AB =，∴2236a b +=， ①另一方面，M 分AB 的比为12，∴1022133122130121312a x a a xb y b y b ⎧+⨯⎪==⎪⎪+⎧=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+⎩⎪==⎪+⎪⎩ ② ②代入①得：223()(3)362x y +=，即221164x y +=。
评注：本例中，由于M 点的坐标随着A 、B 的变化而变化，因而动点M 的坐标(,)x y 可以用A 、B 点的坐标来表示，而点M 又满足已知条件，从而得到M 的轨迹方程。
圆锥曲线(求轨迹方程)
专题 圆锥曲线（求轨迹方程）求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系或F (x ，y )＝0；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入转移法（相关点法）：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程．1．一个区别——“轨迹方程”与“轨迹”“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的．前者只须求出轨迹的方程，标出变量x ，y 的范围；后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据．2．双向检验——求轨迹方程的注意点求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．考向一 直接法求轨迹方程【例1】 已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状．【解】 (1)由题意可知，直线PM 与PN 的斜率均存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·y x －1＝λ，整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ＞0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)；②当－1＜λ＜0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)．④当λ＜－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．【对点练习1】已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，是圆的轨迹方程；当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程；当λ＝0时，是直线的轨迹方程．综上，方程不表示抛物线的方程．【答案】 C图8-8- 2 图8-8- 1考向二 定义法求轨迹方程【例2】已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．【解】 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2.∴|MO 2|－|MO 1|＝3.∴点M 的轨迹是以O 1，O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤－32.【对点练习2】如图8-8-1所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2,0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．(1)△P AB 的周长为10；(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；(3)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．【解】(1)根据题意，知|P A |＋|PB |＋|AB |＝10，即|P A |＋|PB |＝6＞4＝|AB |，故P 点轨迹是椭圆，且2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.因此其轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．(2)设圆P 的半径为r ，则|P A |＝r ＋1，|PB |＝r ，因此|P A |－|PB |＝1.由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a ＝1,2c ＝4，即a ＝12，c ＝2，b ＝152，因此其轨迹方程为4x 2－415y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12. (3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4. 因此其轨迹方程为y 2＝－8x .考向三 代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图8-8-2所示，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．【解】(1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝x ，y P ＝54y . ∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.图8-8-5(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625(x 1－x 2)2＝4125×41＝415.【对点练习2】(2014·合肥模拟)如图8-8-5所示，以原点O 为圆心的两个同心圆的半径分别为3和1，过原点O 的射线交大圆于点P ，交小圆于点Q ，P 在y 轴上的射影为M .动点N 满足PM →＝λPN →且PM →·QN→＝0. (1)求点N 的轨迹方程；(2)过点A (0,3)作斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2与点N 的轨迹分别交于E ，F 两点，k 1·k 2＝－9.求证：直线EF 过定点．【解】(1)由PM →＝λPN →且PM →·QN →＝0可知N ，P ，M 三点共线且PM ⊥QN . 过点Q 作QN ⊥PM ，垂足为N ，设N (x ，y )，∵|OP |＝3，|OQ |＝1，由相似可知P (3x ，y )．∵P 在圆x 2＋y 2＝9上，(3x )2＋y 2＝9，即y 29＋x 2＝1. 所以点N 的轨迹方程为y 29＋x 2＝1.(2)证明：设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，依题意，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x ＋3，y 29＋x 2＝1⇒(k 21＋9)x 2＋6k 1x ＝0，① 解得x ＝0或x ＝－6k 1k 21＋9. 所以x E ＝－6k 1k 21＋9，y E ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1k 21＋9＋3＝27－3k 21k 21＋9， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1k 21＋9，27－3k 21k 21＋9. ∵k 1k 2＝－9，∴k 2＝－9k 1.用k 2＝－9k 1替代①中的k 1， 同理可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 1k 21＋9，3k 21－27k 21＋9. 显然E ，F 关于原点对称，∴直线EF 必过原点O .【达标训练】一、选择题1．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 2．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线3．(2014·天津模拟)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )图8-8-4 A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线4．(2014·合肥模拟)如图8-8-4所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于E ，则点E 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →， 且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是 ( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)6．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程是( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝8x 2C ．2y ＝8x 2－1D ．2y ＝8x 2＋1二、填空题7．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是_______________________．8．动圆与⊙C 1：x 2＋y 2＝1外切，与⊙C 2：x 2＋y 2－8x ＋12＝0内切，则动圆圆心的轨迹是_______________________．9．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为_______________________．10.(2014·佛山模拟)在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是_____________．三、解答题11．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于P ，Q 两点，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．12．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．13．(2013·课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．【达标训练】 参考答案一、选择题1．A. 【解析】∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN ，∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆．2．D. 【解析】由已知：|MF |＝|MB |，由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线．3．A ．【解析】设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎨⎧ x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝y ＋3x 10，λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x 10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.4．B ．【解析】由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r ＞|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆，故选B.5．A. 【解析】设P (x ，y )，A (x A,0)，B (0，y B )，则BP →＝(x ，y －y B )，P A →＝(x A －x ，－y )，∵BP →＝2P A →，∴⎩⎨⎧ x ＝2(x A －x )，y －y B ＝－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＝32x ，y B＝3y .∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，0，B (0,3y )． 又Q (－x ，y )，∴OQ →＝(－x ，y )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，∴OQ →·AB →＝32x 2＋3y 2＝1， 则点P 的轨迹方程是32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．6．C ．【解析】设AP 中点M (x ，y )，P (x ′，y ′)，则x ＝x ′2，y ＝y ′－12，∴⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y ＋1， 代入2x 2－y ＝0，得2y ＝8x 2－1，故选C.二、填空题7．y 2＝8x 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设点M(x,y),则B(2x-4,2y) 将点B的坐标代入圆的方程,得
(2x-4)2+(2y)2=4整理得 (x-2)2+y2=1
例2 在平面直角坐标系中,点A在圆 x2+y2=4上运动,过点A向x轴作垂线,垂 足为B,M为线段AB上靠近点A的三A在椭圆 x2/4+y2/3=1上运动,过点A向x轴作垂 线,垂足为B,A为线段BM的中点,求点 M的轨迹方程.
求轨迹方程方法之 相关点法(代入法)
教学目的: 要求学生熟练掌握相关点法求轨
迹方程的方法,能灵活运用它解决相关问题
例1 在平面直角坐标系中,A(4,0),点B 在圆x2+y2=4上运动,M为线段AB的中 点,求点M的轨迹方程.
例1 在平面直角坐标系中,A(4,0),点B 在圆x2+y2=4上运动,M为线段AB的中 点,求点M的轨迹方程.