点的轨迹方程的求法
轨迹方程的求法
M(x,y)
所求曲线 （方程）
5
轨迹方程的求法（一）
一、常用方法:
1、直接法（五步法） 2、定义法：
3、代入法：
4、交轨法： 当动点是两条动直线（或动曲线）的交点时，求动点的轨迹方程。
设 参 数
动直(曲)线1 方 程
消去参数
动直(曲)线2 方 程
动点轨迹 方 程
例题7
轨迹方程的求法（一）
一、常用方法:
4( x 1) 2 y2 1 化简得M的轨迹方程为： 9
常用方法
4
轨迹方程的求法（一）
一、常用方法:
1、直接法（五步法） 建系设点 写出集合 代入坐标 化简方程 给出证明
2、定义法：
根据曲线定义判断轨迹 求出系数 写出方程
3、代入法：
P(x1,y1) 代 入 已知曲线 (方程)
x1=f(x,y) y1=g(x,y)
单 位：天津市汉沽一中 学 科：数 学 授课人：何 韬 授课班：高二2班
1
轨迹方程的求法（一）
一、常用方法: 直接法、定义法、代入法、交轨法、待定系数法、参数法等
1、直接法（五步法） 建系设点 写出集合 代入坐标 化简方程 给出证明
1：点M到边长为6的等边△ABC的三个顶点的距离的平方和等于90，求点 M的轨迹方程。 y A 解：如图建立坐标系，则B(-3,0)，C(3,0)，A(0,3 3 ) 设点M（x,y） 则点M的集合为｛M||MA|2+|MB|2+|MC|2=90｝ 代入坐标得： x2+(y-3
1、直接法（五步法） 2、定义法：
3、代入法：
4、交轨法：
二、小结: 1、掌握求轨迹方程常用的几种方法，并能正确地识别它们；
求点的轨迹方程的六种常见方法
求点的轨迹方程的六种常见方法点的轨迹方程是描述点在运动过程中所经过的路径的数学方程。
在数学和物理等领域，有许多方法可以推导和描述点的轨迹方程。
下面介绍六种常见的方法。
一、直角坐标系方法直角坐标系方法是最常见的一种方法，通常用于平面分析。
在直角坐标系下，点的位置可以用横坐标x和纵坐标y来表示。
如果已知点的坐标与时间的关系，可以通过方程联立或者曲线拟合的方法得到点的轨迹方程。
二、参数方程方法参数方程方法是一种将点的位置用参数表示的方法。
通过引入参数t，点的坐标可以用关于t的函数表示，如x=f(t)和y=g(t)，这样就可以得到点的轨迹方程。
参数方程方法适用于描述直线、圆和其他曲线的方程。
三、极坐标系方法极坐标系方法是一种将点的位置用极径r和极角θ来表示的方法。
通过引入极径和极角的关系表达式，可以得到点的轨迹方程。
例如，对于圆的方程可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)是关于极角θ的函数。
四、矢量方程方法矢量方程方法是一种用矢量表示点的位置的方法。
通过引入位置矢量r(t)，可以得到点的轨迹方程。
位置矢量r(t)通常用分量表示，如r=(x,y,z)。
矢量方程方法适用于描述曲线在三维空间中的轨迹。
五、微分方程方法微分方程方法是一种通过点的运动规律和动力学方程来推导轨迹方程的方法。
通过对点的位置向量或者其分量进行微分，并代入运动规律方程，可以得到点的轨迹方程。
微分方程方法适用于描述受力作用下点的运动。
六、变分原理方法变分原理方法是一种通过极小化或者极大化一些物理量来推导轨迹方程的方法。
通过对点的位置或路径的泛函进行变分，可以得到使泛函取得极值的轨迹方程。
变分原理方法适用于描述光的传播、质点在介质中的传播等问题。
综上所述，点的轨迹方程可以通过直角坐标系方法、参数方程方法、极坐标系方法、矢量方程方法、微分方程方法和变分原理方法等六种常见方法推导和描述。
不同的方法适用于不同的情况和问题，选择合适的方法可以更方便地求解轨迹方程。
轨迹方程的五种求法
轨迹方程的五种求法一、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =--- ，，(3)PB x y =-- ，，由2P AP B x =·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选D ．二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．5b ==∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系． 设点(0)(0)P t t ≠，， 则由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta=+=--，． 两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.五、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD = ，1()2AE AB AD =+．（1）求E 点轨迹方程；（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，，由1()2AE AB AD =+知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD =，则22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； （2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切，1=，解得k =将y =(2)x +代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴， 又由题意知045x =-，即2242(3)5a a =-，解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．配套训练一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2. 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y x D.14922=-x y二、填空题3. △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 三、解答题5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6. 双曲线2222by a x =1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7. 已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5y x y x +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①³②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0). |F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |²|OB |²sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
求轨迹方程的方法
如果动点的轨迹满足已知曲线的定义，可 先设定方程，再确定其中的基本量。
方法2：直接法（也称直译法）
如果动点满足的几何条件本身就是一些 几何量的等量关系，或这些几何条件简 单明了易于表达，我们只需把这种关系 “翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨 迹方程。
方法3：相关点法（也称代入法）
方法5：交轨法（参数法的一种特例）
在求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线 交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方 程组得出含参数的交点坐标，再消去参数 求出所求轨迹的方程，该法经常与参数法 并用。
有些问题中，其动点满足的条件不便用 等式列出，但动点随着另一动点（称之 为相关点）运动的.如果相关点所满足的 条件是明显的，这时我们可以用动点坐 标表示相关点坐标，根据相关点所满足 的方程即可求得动点的轨迹方程。
方法4：参பைடு நூலகம்法（也称中间量法）
当动点坐标x,y之间的直接关系难以找到 时，往往先寻找x,y与某一参变量（即中 间量）的关系，再消去该参变量得到动点 轨迹的普通方程，参变量的选取要注意它 的取值范围对坐标取值范围的影响。
求动点轨迹方程最简捷的四种方法
２０２３年４月上半月㊀学法指导㊀㊀㊀㊀求动点轨迹方程最简捷的四种方法◉安徽省全椒县城东中学㊀殷宏林㊀㊀摘要:求符合某种条件的动点轨迹方程,实际上就是利用已知的点的坐标之间的运动规律去寻找变量间的关系．求轨迹方程的常规思路,就是想方设法地把题目中的几何问题转化为代数方程问题来解决．关键词:参数法;复数法;交轨法;相关点法㊀㊀求动点的轨迹方程既是高中数学教学大纲要求掌握的主要内容,也是近年来高考考查的高频考点[１]．这类题型由于涉及到的知识点多,综合性较强,考查的范围广,分值较高,因此学习和掌握求轨迹方程的方法与技巧,已成为考生在高考中夺取高分的必要条件．轨迹是指点的集合,而方程是实数对的集合．二者看似毫不相干,实则它们之间是可以沟通转化的,求轨迹方程运用的就是这种转化思想．由于动点运动规律所给出的条件不同,因此求动点轨迹方程的方法也就不同[２],但其中最简捷㊁最实用的有以下四种．１参数法当所求动点满足的几何条件不易得出,也看不出明显的相关性时,如果经过仔细观察,发现这个动点的运动常常会受到某个变量(时间㊁角度㊁斜率㊁比值等)的制约,那么我们就可以用这个变量作参数,建立轨迹的参数方程,这就是参数法．图１例１㊀动直线l 与单位圆交于不同的两点A ,B ,当l 总保持平行于直线y ＝２x 的条件下移动时,求弦A B 中点轨迹的方程．解:由l 平行于直线y ＝２x ,可设l 的方程为y ＝２x ＋b (b 为参数),将其代入单位圆的方程x ２＋y ２＝１中,整理得５x ２＋４b x ＋b ２－１＝０．如图１,因为l 与单位圆有两个交点,所以Δ＝１６b ２－２０b ２＋２０＝２０－４b ２＞０,则－５＜b ＜５．设弦A B 的中点为P (x ,y ),根据韦达定理可知x ＝x １＋x ２２＝－２５b ,代入l 的方程中,得y ＝b５．所以中点P 的轨迹方程为x ＝－２５b ,y ＝b ５,ìîíïïïï其中－５＜b ＜５．消去参数b ,得x ＋２y ＝０(－２５５＜x ＜２５５),此即为弦A B 中点轨迹的普通方程,其轨迹为单位圆中的一条线段．思路与方法:从本题的解题思路可以看出以下几点．①利用几何直观即可判断出动点轨迹为过原点且垂直于y ＝２x 的含于单位圆中的线段;②当动点位置随着直线的平行移动而变化时,常选择截距作为参数较方便;③在求轨迹方程时,只要参数选择得当,常能使问题获得更简捷的解法．２复数法有些问题可以由复数的几何意义将动点和已知点表示成复数式,然后经过复数运算转化为动点的轨迹,这就是复数法．当涉及有向线段绕定点旋转,长度伸缩变化,或可用复数模的形式给出坐标间关系等问题时,运用复数法求解最简捷．图２例２㊀如图２,以抛物线y ２＝４x 的焦半径F B 为对角线作正方形F A B C (顶点按逆时针方向顺序排列)．求顶点C 的轨迹方程．解:因为抛物线y ２＝４x 中焦参数p ＝２,所以焦点坐标为F (１,０)．设动点C (x ,y ),其相关点B (x ᶄ,yᶄ)．把x 轴看作实轴,y 轴为虚轴,则在复平面上,有z C ＝x ＋y i ,z B ＝x ᶄ＋y ᶄi ,z F ＝１,所以z F Cң＝(x －１)＋y i ,z F Bң＝(x ᶄ－１)＋y ᶄi ．由øB F C ＝π４,F B ＝２F C ,得z F B ң＝z F C ңˑ２c o s (－π４)＋i s i n (－π４)éëêêùûúú,即(x ᶄ－１)＋y ᶄi＝[(x －１)＋y i ] ２(２２－２２i )＝[(x －１)＋y ]＋[y －(x －１)]i ．所以x ᶄ－１＝x －１＋y ,y ᶄ＝y －x ＋１,{即x ᶄ＝x ＋y ,yᶄ＝y －x ＋１．{因为点B 在y ２＝４x 上,所以(yᶄ)２＝４x ᶄ．故(y －x ＋１)２＝４(x ＋y )．整理即得动点C 的轨迹方程为１４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.学法指导２０２３年４月上半月㊀㊀㊀x ２＋y ２－２x y －６x －２y ＝０．思路与方法:本题通过建立复平面,利用复数加法和乘法的几何意义,求出动点对应的复数表达式,然后通过比较实部㊁虚部求得动点的轨迹方程．３交轨法在求动点轨迹时,有时会遇到求两动曲线交点的轨迹问题．这类问题可以通过解方程组求出含参数的交点坐标,再消去参数得出所求轨迹的方程,这就是交轨法．图３例３㊀在直角坐标系中,矩形O A B C 的边O A ＝a ,O C ＝b ,点D 在A O 的延长线上,D O ＝a ,设M ,N 分别是O C ,B C 上的动点,使O M ʒM C ＝B N ʒN C ʂ０,求直线DM 和A N 的交点P 的轨迹方程．解:如图３,建立平面直角坐标系,则各点的坐标分别为A (a ,０),C (０,b ),D (－a ,０),B (a ,b ),设P (x ,y )．设O M ʒM C ＝B N ʒN C ＝λ(ʂ０)．由定比分点公式,得M (０,λb １＋λ),N (a１＋λ,b )．根据两点式,可得直线DM ,A N 的方程分别为㊀㊀㊀㊀y ＝λba (１＋λ)(x ＋a ),①㊀㊀㊀㊀y ＝－b (１＋λ)λa(x －a )．②①ˑ②,得y ２＝－b ２a ２(x ２－a２),即x ２a ２＋y ２b２＝１(０＜x ＜a ,０＜y ＜b )．故点P 的轨迹方程为x ２a ２＋y ２b２＝１其中０＜x ＜a ,０＜b ＜y ．思路与方法:本题中由于动点P 为动直线DM ,A N 的交点,两动直线均有一定点(D ,A )一动点(M ,N ),而两动点又满足O M ʒM C ＝B N ʒN C 这一比值条件,所以设此比值为参数较为方便．从本题的求解过程我们发现,运用交轨法求解时,可以不用求交点的坐标,只要能消掉参数,得出点P 的坐标间的关系即可．这也充分展示了运用交轨法求轨迹方程的便捷性与实用性．４相关点法在求动点轨迹方程的过程中,有时动点满足的条件不方便用等式列出,但动点是随着另外相关点而运动的．如果相关点所满足的条件能够看出,或可分析出,这时就可以用动点的坐标来表示相关点的坐标,根据相关点所满足的方程就能够求得动点的轨迹方程,这就是相关点法．图４例４㊀已知定点O (０,０)和A (６,０),M 为O A 的中点,以O A为一边作菱形O A B C ,M B 与A C 交于点P ,当菱形变动时,求点P 的轨迹方程．解:如图４,设动点P (x ,y ),其相关点B (x ᶄ,yᶄ)．由A (６,０),得M (３,０)．易知M P P B ＝１２．所以由x ＝３＋１２x ᶄ１＋１２,y ＝０＋１２y ᶄ１＋１２,ìîíïïïïïïïïïï得x ᶄ＝３x －６,y ᶄ＝３y ．{由A B ＝O A ＝６,可得(x ᶄ－６)２＋(yᶄ－０)２＝６．即(３x －６－６)２＋(３y －０)２＝６．整理,得(x －４)２＋y ２＝４．因为点P 不可能在x 轴上,所以点P 的轨迹方程为(x －４)２＋y ２＝４(y ʂ０)．思路与方法:本题分析已知点与动点间的关系时,找出相关点是关键的一步．在图４中,若连接O B ,则可知P 为әA B O 的重心,所以选B 为相关点更方便;当然也可由A C 平分øO A B ,推知|B P ||PM |＝２．事实上,求已知曲线关于某定点(或定直线)的中心对称(或轴对称)的曲线方程时,通常选择相关点法较简捷[３]．５结论从上述典型实例可以看出,求动点轨迹方程的方法虽然很多,但上述四种方法最简捷,也非常实用,值得学生借鉴．当然,在求轨迹方程的过程中,要注意以上方法的灵活运用．对同一问题,若几种方法都可解决时,应择优选用;对较复杂的问题,有时需将两种或两种以上的方法结合起来使用．参考文献:[１]钟载硕．求动点轨迹方程八法[J ]．理科考试研究:高中版,２００４(３):１０Ｇ１４．[２]张黎青．求动点轨迹方程的常用方法介绍[J ]．新高考(高二语数外),２０１０(２):３３Ｇ３５．[３]陆钧．浅谈求动点轨迹方程[J ]．理科考试研究:高中版,２００６(１１):１２Ｇ１３．Z ２４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
求点的轨迹方程的六种常见方法
解：以AB所在直线为x轴,过o垂直AB 直线为y轴,建立如图直角坐标系.
DF
y
C
依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)
P
E
设 BE CF DG =k(0≤k≤1),由此有
G
BC CD DA
A
o
Bx
E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak) 直线OF的方程为 2ax+(2k-1)y=0……………①
且 BE CF DG .P为GE与OF的交点（如图）. BC CD DA
问：是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在， 求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
y
DF
C
E P
G设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两点，
使得P到两定点距离的和为定值.按题意有A(2, 0)，B(2, 0)，C(2, 4a)，D(, 2, 4a).
整理得
x2 1
(y a)2 a2
1.
2
当a2 1 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点 2
当a2 1 时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长. 2
当a2 1 时，点P到椭圆两个焦点( 1 a2 , a)和( 1 a2 , a)的距离之和为定值 2.
2
2
• 以下举一个例子说明：
1.定义法
【例1】在ΔABC中，已知BC=a，当动点A满足条件sinC-sinB= 1 sinA时， 2
求动点A的轨迹方程.
解：以BC边所在直线为x轴，以线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.
因为sinC-sinB= 1 sinA，由正弦定理得：AB - AC = 1 BC ，
求轨迹方程的五种方法
求轨迹方程的五种方法有五种方法可以求解轨迹方程，分别是：1.参数方程法2.一般方程法3.极坐标方程法4.隐函数方程法5.线性方程组法接下来将对这五种方法进行详细解释。
1.参数方程法：参数方程法是指将坐标轴上的点的位置用一个参数表示，通过参数的变化来表示轨迹。
例如，一个点在x轴上运动，其速度为v，经过时间t后的位置可以用参数方程表示为x = vt。
参数方程法可以很方便地描述物体的运动轨迹，特别适用于描述曲线的参数方程。
2.一般方程法：一般方程法是指将轨迹上的点的位置用一般方程表示。
例如，对于一个圆形轨迹x^2+y^2=r^2，其中r为半径，可以通过该一般方程来描述圆的轨迹。
一般方程法可以描述各种曲线轨迹，但是求解过程可能较为繁琐。
3.极坐标方程法：极坐标方程法是指将轨迹上的点的位置用极坐标系表示。
极坐标系由极径和极角两个参数组成，其中极径表示点到原点的距离，极角表示点在极坐标系中的方向角度。
通过给定极径和极角的值可以唯一确定一个点的位置。
例如，对于一个以原点为中心的圆形轨迹，可以用极坐标方程表示为r=R，其中R为圆的半径。
极坐标方程法适用于描述具有对称性的轨迹，如圆形、椭圆形等。
4.隐函数方程法：隐函数方程法是指将轨迹上的点的位置用隐函数方程表示。
隐函数方程是一个含有多个变量的方程，其中至少有一个变量无法用其他变量表示。
通过给定其他变量的值，可以计算出不能用其他变量表示的变量的值，从而确定轨迹上的点的位置。
例如，对于一个抛物线轨迹y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，可以根据给定的x的值求解出y的值，从而确定轨迹上的点的位置。
5.线性方程组法：线性方程组法是指将轨迹上的点的位置用线性方程组表示。
线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数是轨迹上的点的坐标。
通过求解线性方程组可以得到轨迹上的点的坐标。
线性方程组法适用于描述由多个轨迹组成的复杂图形，如多边形等。
以上就是求解轨迹方程的五种方法，分别是参数方程法、一般方程法、极坐标方程法、隐函数方程法和线性方程组法。
求点的轨迹方程常用方法
求点的轨迹方程的常用方法一.直接法.1.设点()()1,0,1,0A B -，直线,AM BM 相交于点,M 且它们的斜率之积为2，求点M 轨迹方程.2.已知动点(),Px y 与定点()4,0F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求点P 轨迹方程.二.定义法3.y 轴及y 轴右侧的点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离大1，求点M 轨迹方程.4. 已知动圆M 过定点()4,0P-，且与圆22:80C x y x +-=相切，求动圆圆心M 的轨迹方程.5.已知椭圆2214x y +=的左、右焦点12,;F F P 是椭圆上一个动点，如果延长1F P 到Q ，使2,PQ PF =那么动点Q 的轨迹方程.6. 已知ABC ∆的顶点()()4,0,4,0,A B -C 为动点，且满足5sin sin sin ,4B A C +=求顶点C 轨迹方程.三.相关点法（代入法）7.已知点()4,0D,在圆224x y +=上任取一点P ，求线段PD 的中点M 的轨迹方程.8.在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 做x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点M 在DP 的延长线上，且3,2DM DP =当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程.9.已知椭圆2214x y +=的焦点12,;F F P 是椭圆上一个动点，12F PF ∠的外角平分线,l 点2F 关于直线l 的对称点为Q ，2F Q 交l 于点,R 求动点R 的轨迹方程.四.参数法10.已知动圆222:42640,Mx y bx by b ++-+-=求动圆圆心M 的轨迹方程.11.已知动圆22:6cos 4sin 0,Mx y x y ββ++-=求动圆圆心M 的轨迹方程.高考实战（2013年）1.已知动圆P 与圆()22:11Mx y ++=外切，且与圆()22:19N x y -+=相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.（2014年）2.已知点()2,2P ,圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于,A B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.（2017年）3.在椭圆22:12x C y +=上任取一点M ，过点M 做x 轴的垂线段MN ，N 为垂足，点P 满足2,NPNM =求点P 的轨迹方程.（2013年）4.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆P 在x 轴上，截得线段长为P 在y 轴上，截得线段长为求点P 的轨迹方程.参考答案; 1. ()22102y x y -=≠ 2. 221259x y += 3. 24y x =4. 221412x y -=5. (2216x y ++=6. ()2210259x y y +=≠ 7. ()2221x y -+= 8. ()221049x y y +=≠ 9. ()2240x y y +=≠ 10. ()2044x y x +=-<< 11.22194x y += 1. ()221243x y x +=≠- 2. ()()22132x y -+-= 3. 222x y += 4. 221y x -=。
轨迹方程的五种求法
轨迹方程的五种求法一、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =u u u r u u u r·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =---u u u r ，，(3)PB x y =--u u u r ，，由2PA PB x =u u u r u u u r·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+，P ∴点轨迹为抛物线．故选D ．二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来 例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=u u u r u u u u r·，求直线AP与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系．设点(0)(0)P t t ≠，， 则由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta =+=--，．两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变. 五、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD =u u u r ，1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r．（1）求E 点轨迹方程；（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，，由1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD =u u u r，则22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； （2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切，1=，解得k =．将y =(2)x +代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴， 又由题意知045x =-，即2242(3)5a a =-，解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．配套训练一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2. 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y x D.14922=-x y二、填空题3. △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 三、解答题5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6. 双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7. 已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-.答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0)6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
求点轨迹方程的方法
求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法（相关点法）：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。
常见的曲线特征及要素有：①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p 。
若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程。
【题型一】直接法求轨迹【典例分析】设点(A，B ，M 为动点，已知直线AM 与直线BM 的斜率之积为定值13，点M 的轨迹是（）A ．()22109x y y -=≠B ．()22109y x y -=≠C ．()22103x y y -=≠D ．()22103y x y -=≠【详解】解：设动点(),M x y，则x ≠，则MA k =MB k =，(x ≠，直线AM 与直线BM 的斜率之积为定值13，13=，化简可得，()22103x y y -=≠，故点M 的轨迹方程为()22103x y y -=≠.故选：C.例1：设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是（）A.22132x y +=B.22132x y -= C.()224136x y --= D.22123x y +=解：设(),P x y33P ld PA-∴=33x ∴-=()()222331x x y ⇒-=-+2221626x x y ⇒--=-()()22224246136x y x y -⇒--=⇒-=答案：C 【变式演练】1.若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足2MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D 【详解】以点A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点(,)Mx y=22(4)4x y -+=，于是得点M 的轨迹是以点(4,0)为圆心，2为半径的圆，其面积为4π，所以M 点的轨迹围成区域的面积为4π.2.已知点(0,1)F ，直线:1l y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP PQ ⋅=⋅，则动点P 的轨迹C 的方程为（）A ．24x y=B ．23y x=C ．22x y=D ．24y x=【答案】A 【详解】设点(,)P x y ，则(,1)Q x -，因为(0,1)F 且QP QF FP PQ ⋅=⋅，所以(0,1)(,2)(,1)(,2)y x x y x +⋅-=-⋅-，即22(1)2(1)y x y +=--，整理得24x y =，所以动点P 的轨迹C 的方程为24x y =.故选：A 3.已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；解(1)设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )，由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.∴点P 的轨迹方程是椭圆C ：x 24＋y 23＝1.【题型二】相关点代入法【典例分析】已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程．【解析】解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴．③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．例3：已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点M 的轨迹方程是（）A.212x y =-B.21216x y =-C.222x y =- D.221x y =-思路：依题意可得()0,1F ，(),M x y ，()00,P x y ，则有0000221212x x x x y y y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩，因为()00,P x y 自身有轨迹方程，为：204x y =，将00221x xy y =⎧⎨=-⎩代入可得关于,x y 的方程，即M 的轨迹方程：()()22242121x y x y =-⇒=-答案：D例4：已知F 是抛物线24y x =上的焦点，P 是抛物线上的一个动点，若动点M 满足2FP FM =，则M 的轨迹方程是__________解：由抛物线24y x =可得：()1,0F 设()()00,,,M x y P x y ()()001,,1,FP x y FM x y ∴=-=-2FP FM = ()00002112122x x x x y y y y =--=-⎧⎧∴⇒⎨⎨==⎩⎩①P 在24y x =上2004y x ∴=，将①代入可得：()()22421y x =-，即221y x =-【变式演练】1.已知抛物线24C y x =：的焦点为F .(1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程;【答案】(1)设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，,因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1 )A A FA x y =-，,由2AP FA =- 得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，.即2(1)2A A A Ax x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩解得2A A x x y y=-⎧⎨=-⎩代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-.2.已知圆()2221:0C x y r r +=>与直线01:2l y x =+相切，点A 为圆1C 上一动点，AN x ⊥轴于点N ，且动点M满足()22OM AM ON +=-，设动点M 的轨迹为曲线C .（1）求动点M 的轨迹曲线C 的方程；【答案】（1）试题解析：（I）设动点，由于轴于点又圆与直线即相切，∴圆由题意，，得即将代入，得曲线的方程为3.设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．【解析】解设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)，∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0.由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，－x 0＝－2x 0＝2y 0，0＝－x 0＝12y.∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【题型三】定义法【典例分析】已知动圆M 过定点(4,0)P -，且与圆2280C x y x +-=：相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解析】依题意，4MC MP -=，说明点M 到定点C P 、的距离的差为定值，∴动点M 的轨迹是双曲线的一支，∵24a =，∴2a =．∵4c =，∴22212b c a =-=∴动圆圆心M 的轨迹方程是221(2)412x y x -=≤-．例6：若动圆过定点()3,0A -且和定圆()22:34C x y -+=外切，则动圆圆心P 的轨迹方程是___________思路：定圆的圆心为()3,0C ，观察到恰好与()3,0A -关于原点对称，所以考虑P 点轨迹是否为椭圆或双曲线，设动圆P 的半径为r ，则有PA r =，由两圆外切可得2PC r =+，所以2PC PA -=，即距离差为定值，所以判断出P 的轨迹为双曲线的左支，则1,3a c ==，解得2228b c a =-=，所以轨迹方程为()22118y x x -=≤-【变式演练】已知两个定圆O1:(x+2)2＋y 2＝1：和O 2(x-2)2＋y 2＝4，它们的半径分别是1和2，.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，求动圆圆心M 的轨迹方程，【解析】解由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)、O2(2,0)．设动圆M 的半径为r，则由动圆M 与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；由动圆M 与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝3.∴点M 的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x29－4y27＝1(x≤－32)．2、已知点⎪⎭⎫⎝⎛0,41F ，直线41:-=x l ，点B 是直线l 上动点，若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是（）A 、双曲线B 、抛物线C 、椭圆D 、圆【答案】B【解析】由题意知MF MB =，点M 的轨迹为抛物线。
轨迹方程的求法
又 AM 4, AB 6 PA PM PA PB 8 AB
点P的轨迹是以 A, B为焦点的椭圆
x2 y2 设 椭 圆 的 方 程 为 2 ＋ 2 1(a b 0) a b
15
M
10
N
5
由题意得 : 2a 8,2c 6 b 4 3 7
2 2
3 2 则|PM|· |PN|＝|t1t2|＝ . 1＋11sin2α 所以当 sin2α＝0 时，即 α＝0，|PM|· |PN|的最小值为 .
(2011· 课标高考 ) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 x ＝2cosα ， C1 的参数方程为 y＝2＋ 2sin α (α 为参数)．M 是 C1 上的动
因此其方程为
（2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，
2 x（y≠0） y2 1 . 9 5
5 5
因此|PA|-|PB|=1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支， 1 且2a=1，2c=4，即a= ,c=2,b= ， 15 2 2 因此其方程为 2
4y 1 4x 1(x ) 15 2
y
o
x
复习1：
求动点轨迹方程的基本步骤是什么？
(1)建系: 建立直角坐标系； (2)设点: 设所求动点P(x,y); (3)列式: 根据条件列出动点P满足的关系式; (4)化简: 化简方程； (5)检验：检验所得方程的纯粹性和完备性, 多余的点要剔除,不足的点要补充。
复习2：
求动点轨迹方程的基本方法有哪些？
B x
?
过点
P
求动点轨迹方程的几种方法
求动点轨迹方程的几种方法由运动轨迹求解方程是解析几何中的一个重要问题。
一、直接法通过给定固定点满足的几何条件列出方程，然后将坐标代入并，化简得到期望的轨迹方程。
这种方法称为直接法。
例1、已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。
解析：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得。
（1）当x≤3时，方程变为，化简得。
（2）当x>3时，方程变为，化简得。
故所求的点P的轨迹方程是或。
二、定义法通过对给定动点所满足的几何条件进行简化变形，可以看出动点满足二次曲线的定义，进而得到轨迹方程。
这种方法叫做定义法。
例2、已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。
解析：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。
故所求轨迹方程为。
三、待定系数法从题意可以知道曲线的类型，将方程设为曲线方程的一般形式，利用题意给出的条件得到所需的待定系数，进而得到轨迹方程。
这种方法称为待定系数法。
例3、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，求此双曲线方程。
解析：设双曲线方程为。
将y=x－1代入方程整理得。
你从维耶塔定理得到的。
同时，联立方程被求解。
∴此双曲线的方程为。
四、参数法选取合适的参数，分别用参数表示动点的坐标，得到动点轨迹的参数方程，然后消去参数得到动点轨迹的一般方程。
这种方法称为参数法。
例4、过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解析：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。
把它代入抛物线方程。
因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得。
设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。
由消去k得。
又。
∴点M的轨迹方程为。
轨迹方程的求法
故P点的轨迹方程为：
即：（x+y-6）2=2|xy| 当xy≥0时，方程为(x-6)2+(y-6)2=36 当xy<0时，方程为x2+4xy+y2-12x-21y+36=0
2、定义法
［例2］如图，在△ABC中边BC=a，若三内角满足 1 sinC－ sinb= 2 sinA，求点 A的轨迹方程。 解:以BC所在的直线为x轴，BC中点为坐标 原点，建立如图所示的直角坐标系，则 B （一 a/2 ， 0 ）， C （ a/2 ， 0 ），设 A （ x ， y ） 则 1 由sinC－ sinB= 2 sinA 1 ∴c-b= 2 a
x y _____________________ . 12 16
2
2
1 y 0，x 0
3x 4 y -1 5
5.动点M(x,y)满足 x - 12 y - 3 2 (D) (A)圆 (B)双曲线
则点M轨迹是
(C)椭圆
(D)抛物线
6. 函数 y=x2+(2m+1)x+m2-1(m∈R) 的图象的顶点轨迹 4x-4y-3=0 方程是___________________.
轨迹方程的基本求法
求平面上的动点的轨迹方程不仅是 教学大纲要求掌握的主要内容之一，也 是高考考查的重点内容之一。
一 方法探究
1、直接法
例1、动点P到直线x＋y=6的距离的平方等于 由两坐标轴及点 P 到两坐标轴之垂线所围成 的矩形面积，求P的轨迹方程． 解：设动点P（x，y）则 S=| x︱· ︱y |=︱xy︱ 点P到直线x十y=6的距离
| AP | 2 | PB | 1
A
2 3 a, 1 3
求轨迹方程的几种常用方法
求轨迹方程的几种常用方法求轨迹的方程，是学习解析几何的基础，求轨迹的方程常用的方法主要有：1．直接法：若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。
从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。
例1：在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。
解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则有A (,0)a -，B (,0)a 。
设动点C 为(,)x y ，∵222||||||AC BC AB +=，∴2224a +=，即222x y a +=．由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点，故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。
2．代入法（或利用相关点法）：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。
例2：已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且:1:2AM MB =，求动点M 的轨迹方程。
解：设A (,0)a ，B (0,)b ，M (,)x y ，一方面，∵||6AB =，∴2236a b +=， ①另一方面，M 分AB 的比为12，∴1022133122130121312a x a a xb y b y b ⎧+⨯⎪==⎪⎪+⎧=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+⎩⎪==⎪+⎪⎩ ② ②代入①得：223()(3)362x y +=，即221164x y +=。
评注：本例中，由于M 点的坐标随着A 、B 的变化而变化，因而动点M 的坐标(,)x y 可以用A 、B 点的坐标来表示，而点M 又满足已知条件，从而得到M 的轨迹方程。
求动点轨迹方程的常用方法
参考答案：x2
y2
4(
7 2
x
4)
求动点轨迹方程方法：
１．直接法：是通法，适用性强，但要尽量避免复杂计算．
２．定义法：要准确判断轨迹形状．
３．代入法：要有双动点和已知其一动点轨迹方程．
４．向量法：要能找到垂直或平行的动向量．
５．参数法：已知特殊曲线方程．
相应习题
1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，则 P点的轨迹方程是____y_=_0_(_x_≥_1_)___.
弦OA的中点M的轨迹方程.
yA M
O C(1,0)
方法二 定义法(公式法):先判断并证明轨 迹形状,再根据特殊曲线定义写出方程.
由垂径定理可知: CM OA x OMC为直角三角形
直角顶点M的轨迹为以斜边
OC为直径的圆.
圆的圆心为OC的中点(
1 2
,0),
半径
r
1 2
|
OC
|
1 2
2
x0 y0
2x 2y
由于点A在圆C上， 则 (x0 1)2 y02 1
(2x 1)2 (2y)2 1
(x
1 2
)
2
y2
1 4
所求轨迹方程为：(x
-
1 2
)2
y2
1 4
(舍去原点(0,0))
例:已知圆C的方程为: (x -1)2 y2 1,过原点O作任一弦OA,求
x
0 xA 2
y
0 ya 2
1cos 2 sin 2
高中数学考前归纳总结求轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的常用方法一、求轨迹方程的一般方法：1,待定系数法：如果动点P的运动规律符合我们的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义,那么可先设出轨迹方程,再根据条件, 待定方程中的常数,即可得到轨迹方程,也有人将此方法称为定义法.2,直译法：如果动点P的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义难以判断, 但点P满足的等量关系易于建立,那么可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系, 再用点P的坐标〔x, y〕表示该等量关系式,即可得到轨迹方程.3 .参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,那么可寻求引发动点P运动的某个几何量t ,以此量作为参变数,分别建立P点坐标x, y与该参数t 的函数关系x = f〔t〕, y = g 〔t〕,进而通过消参化为轨迹的普通方程 F 〔x, y〕 =0.4 .代入法〔相关点法〕：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的, 而该点的运动规律,〔该点坐标满足某曲线方程〕,那么可以设出P 〔x, y〕,用〔x, y〕表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.5 .几何法：假设所求的轨迹满足某些几何性质〔如线段的垂直平分线,角平分线的性质等〕,可以用几何法,列出几何式,再代入点的坐标较简单.6:交轨法：在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程〕,该法经常与参数法并用.二、求轨迹方程的考前须知：1 . 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律, 即P 点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变.2 .轨迹方程既可用普通方程F〔x,y〕 0表示,又可用参数方程x f〔t〕〔t为参数〕y g〔t〕来表示,假设要判断轨迹方程表示何种曲线,那么往往需将参数方程化为普通程的某些解为坐标的点不在轨迹上〕,又要检验是否丢解.〔即轨迹上方程.3.求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解, 〔即以该方的某些点未能用所求的方程表示),出现增解那么要舍去,出现丢解,那么需补充.检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形.4 .求轨迹方程还有整体法等其他方法.在此不一一缀述.三、典例分析1,用定义法求曲线轨迹求曲线轨迹方程是解析几何的两个根本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系,在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时,要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用,只要动点满足已知曲线定义时,通过待定系数法就可以直接得出方程.例1:ABC的顶点A, B的坐标分别为(-4 , 0) , (4, 0) , C为动点,且满足一一一5 .sin B sin A —sinC,求点C的轨迹.45 . . 5【解析】由sin B sin A -sinC,可知b a -c 10,即|AC| | BC | 10 ,满足椭4 42 2圆的定义.令椭圆方程为J 2 1,那么a' 5,c' 4 b' 3,2 2a b2 2那么轨迹方程为土2―1 (x 5),图形为椭圆(不含左,右顶点) .25 9【点评】熟悉一些根本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键.(1) 圆：到定点的距离等于定长(2) 椭圆：到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)(3) 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)(4) 到定点与定直线距离相等.【变式1]:1:圆尸=有的圆心为M,圆住一4尸4了, .的圆心为M, 一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程.解：设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得：|P%l=R + 5 , |P叫l=R + l.,-.|PM1P5HPMJ-b|PM1|-|PM a|=4•••动圆圆心P的轨迹是以M、M2为焦点的双曲线的右支, c=4, a=2, b2=12.故所求轨迹方程为4 12M 的轨迹是：A:抛物线B:圆C:椭圆D:双曲线一支2.用直译法求曲线轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系.例2： 一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动,求 AB 中点P 的轨迹方程？解 设M 点的坐标为〔x, y 〕由平几的中线定理：在直角三角形 一— 1 一 1 八 AO 升,OM=AB - 2a a,2 2―22-222x y a,x y aM 点的轨迹是以O 为圆心,a 为半径的圆周.1【点评】此题中找到了 OM=1AB 这一等量关系是此题成功的关键所在.一般直译法有以下几2种情况:1〕代入题设中的等量关系：假设动点的规律由题设中的等量关系明显给出,那么采用直 接将数量关系代数化的方法求其轨迹.2〕列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再根据题设条 件列出等式,得出其轨迹方程.3〕运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应的 恒等变换即得其轨迹方程.4〕借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何中 的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其数 量的关系,这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法^| PAI 一【变式2】：动点P(x,y)到两定点A(—3,0)和B(3,0)的距离的比等于2(即 2),|PB|求动点P 的轨迹方程？［解答］. . | PA = J(x 3)2__y 7/ PB | J(x 3)2父| PA | (x 3)2 y 2 2 2 22代入 ——1 2得 ——2 (x 3)2y 2 4(x 3)2 4y 22: 一动圆与圆O: x 2 y 21外切,而与圆C ： x 22y 6x 8 0内切,那么动圆的圆心【解答】令动圆半径为R, 皿士 |MO| R那么有। ।| MC | R1c,那么 |MO|-|MC|=2 ,1满足双曲线定义.应选Do|PB| ..(x 3)2 y2化简彳导(x-5) 2+y2=16,轨迹是以(5, 0)为圆心,4为半径的圆.3.用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置适宜的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程.注意参数的取值范围.例3.过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l i, 12,假设l i交x轴于A点,l 2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【解析】分析1:从运动的角度观察发现,点M的运动是由直线l i引发的,可设出l i的斜率k作为参数,建立动点M坐标(x, y)满足的参数方程.解法1:设M (x, y),设直线l i的方程为y-4= k (x-2), ( k w 0 )1 _由l i l2,那么直线l2的万程为y 4 —(x 2)k4l1与x轴交点A的坐标为(2 4,0),kl2与y轴交点B的坐标为(0,4 2), k・•.M为AB的中点,2k(k为参数)消去k,得x+ 2y—5=0.另外,当k = 0时,AB中点为M (1, 2),满足上述轨迹方程；当k不存在时,AB中点为M (1, 2),也满足上述轨迹方程.综上所述,M的轨迹方程为x+2y—5=0.分析2：解法1中在利用k1k2=- 1时,需注意匕、k2是否存在,故而分情形讨论,能否避开讨论呢？只需利用^ PAB为直角三角形的几何特性：1 . .|MP| 21ABi解法2:设M (x, y),连结MP 那么 A (2x, 0), B (0, 2y),•••l」l 2, PAB为直角三角形1 .由直角二角形的性质,|MP| 31ABi--------------- 2 2-1 -----------2 2..(x 2)2 (y 4)22；,(2x)2 (2y)2化简,得x + 2y-5 = 0,此即M 的轨迹方程.分析3::设M (x, y),由l i _L l 2,联想到两直线垂直的充要条件： k i k 2=—1,即可 列出轨迹方程,关键是如何用 M 点坐标表示 A 、B 两点坐标.事实上,由 M 为AB 的中点,易 找出它们的坐标之间的联系.解法3:设M (x, y), •「M 为AB 中点, 又l 1, l 2过点P (2, 4),且l/l 2••• PAX PB,从而 k PA • k PB= — 1, 中点M (1, 2),经检验,它也满足方程 x+2y-5=0 综上可知,点 M 的轨迹方程为x+2y-5=0o【点评】 解法1用了参数法,消参时应注意取值范围.解法 2, 3为直译法,运 1 ,k PA • k PB= - 1, | MP | - | AB|这些等量关系.用参数法求解时,一 般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角度, 有向线段的数量,直线的斜率,点的横,纵坐标等.也可以没有具体的意 义,选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆O: x 2+y 2= 4外一点A(4,0),作圆的割线,求割线被圆截得的弦 BC 的中点M 的轨迹. 解法一：“几何法〞设点M 的坐标为(x,y ),由于点M 是弦BC 的中点,所以 OML BC, 所以 |OM | 2 + | MA | 2 =| OA | 2 ,即(x 2+y 2)+(x -4)2 +y 2=16化简得：(x —2) 2+ y 2=4 .................................. ①由方程 ① 与方程x 2+y 2= 4得两圆的交点的横坐标为 1,所以点M 的轨迹方程为 (x —2) 2+ y 2=4 (0<x<1)o 所以M 的轨迹是以(2, 0)为圆心,2为半径的圆在圆 O 内的局部. 解法二：“参数法〞设点M 的坐标为(x,y ), B (x 1,y0 ,C (x 2,y 2)直线AB 的方程为y=k(x -4), 由直线与圆的方程得(1+k 2) x 2—8k 2x +16k 2—4=0 .................... (*),由点M 为BC 的中点,所以x=x —x 2 」4k ) ................................ (1),2 1 k又 OMLBC,所以 k=Y (2)由方程(1) (2)消去k 得(x — 2) 2+ y 2=4,又由方程(* )的^> 0得k 2< 1,所以x< 1.3••• A (2x, 0),B (0, 2y).而k pA4 0 2 2x' 4 2y2 2x 2注意到l i^x 轴时,1,化简,得x 2y 5 0l 2±y 轴,此时 A (2, 0), B (0,4)用了2+ y 2=4 ( 0<x< 1)为圆心,2为半径的圆在圆 O 内的局部.【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式4】如下图, R4 , 0)是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足ZAPE =90 ,求矩形APBQ 勺顶点Q 的轨迹方程【解析】： 设AB 的中点为R,坐标为(x , y ),那么在Rt^ABP 中,|AR =| PR 又由于R 是弦 AB 的中点,依垂径定理在 Rt △ OAF^, | AR 2=| A .2—|OR 2=36—(x 2+y 2)又|AR =| P 帘(x 4)2 y 2所以有(x-4) 2+y 2=36- (x 2+y 2),即 x 2+y 2—4x —10=0因此点R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求 的轨迹上运动 设Qx ,y) , R (x 1, y 1),由于R 是PQ 的中点,所以 y o ,222x +y -4x- 10=0,得(_y )2 4 x 4 _10=022所以点M 的轨迹方程为(x-2)所以M 的轨迹是以(2, 0) 4,用代入法等其它方法求轨迹方程x 2例4.点B 是椭圆-2 a2与1上的动点,A(2a,0)为定点,求线段AB 的中点M 的 b 2轨迹方程.分析：题中涉及了三个点 A 、B 、M,其中A 为定点,而B 、M 为动点,且点 B 的运动是有 规律的,显然 M 的运动是由B 的运动而引发的,可见 M B 为相关点,故采用相关点法求动点 M 的轨迹方程.【解析】设动点 那么由M 为线段 M 的坐标为(x, y),而设B 点坐标为(xo, yo)AB 中点,可得x 0 2a 2 V . 0 2 x 0 2x 2aV . 2y即点 B 坐标可表为(2x - 2a, 2y)x 2点B(x°, y°)在椭圆-y a 2—1上b 22x 0 -2- a2〞1 b 2(2x 从而有——2a)2 2a叱1b 2整理,得动点M 的轨迹方程为4J a22a) 4y 1 b 2x 4 x1=—,y 1代入方程(7)22QR整理得 x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程四、常见错误：【例题5】 ABC 中,B, C 坐标分别为(-3, 0), (3, 0),且三角形周长为16,求点A 的轨 迹方程.22【常见错误】由题意可知,|AB|+|AC|=10 ,满足椭圆的定义.令椭圆方程为 : 4 1 ,那么a b22由定义可知a 5,c 3,那么b 4,得轨迹方程为—匕 1516【错因剖析】ABC 为三角形,故A, B, C 不能三点共线.【正确解答】ABC 为三角形,故 A, B, C 不能三点共线.轨迹方程里应除去点(5,0).( 5,0),22即轨迹方程为二匕 1(x5)25 16提示：1 ：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略,除；另一方面,又要注意有无“漏网之鱼〞仍逍遥法外,2:求轨迹时方法选择尤为重要,首先应注意定义法,几何法,直接法等方 法的选择.3:求出轨迹后,一般画出所求轨迹,这样更易于检查是否有不合题意的部 分或漏掉的局部. 针对性练习：5 ___ 5、 一 一 22 一1:两点M(1,—), N( 4,一)给出以下曲线方程：① 4x 2y 1 0；②x y 3；③4 422— y 21y 21,在曲线上存在点 P 满足|MP | | NP |的所有曲线方程是(22A ①③B ②④C ①②③D ②③④【答案】：D【解答】：要使得曲线上存在点 P 满足|MP| |NP|,即要使得曲线与 MN 的中垂线y 有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有①无解,那么选D2.两条直线x my 1 0与mx y 1 0的交点的轨迹方程是 : 【解答】：直接消去参数 m 即得(交轨法)：x 2 y 2 x y 03:圆的方程为(x-1) 2+y 2=1,过原点O 作圆的弦0A,那么弦的中点M 的轨迹方程是 ^因此, 在求出曲线方程的方程之后,应仔细检查有无“不法分子〞掺杂其中, 将其剔要将其“捉拿归案〞.2x 3【解答】：令 M 点的坐标为(x, y),那么A 的坐标为(2 x,2y),代入圆的方程里面便可得到动点的轨迹方程.【解答】：抛物线方程可化为它的顶点坐标为消去参数m 得:(4, 0)的距离与它到直线 x 4的距离相等.那么点 M 的 4为准线的抛物线.故所求轨迹方程为 y 2 16x .6：求与两定点OO 1, 0、A3, 0距离的比为1： 2的点的轨迹方程为八, …, ,□… POl1一、… 一— 一〜…,一八【分析】：设动点为巳由题意- -,那么依照点P 在运动中所遵循的条件,可列出等量关| PA| 2系式.【解答】：设P x, y 是所求轨迹上一点,依题意得L1 O 得：(x 1)22y 2 ：(x 0)4随意变化时,那么抛物线y x 2 2m 1 xm 2 1的顶点的轨迹方程为把所求轨迹上的动点坐标x, y 分别用已有的参数 m 来表示,然后消去参数 m故所求动点的轨迹方程为4x 4y 305:点M 到点F (4, 0) 的距离比它到直线50的距离小1 ,那么点M 的轨迹方程为【分析】：点M 到点F (4, 0)的距离比它到直线 50 的距离小1,意味着点M 到点F(4, 0)的距离与它到直线 x 40的距离相等. 由抛物线标准方程可写出点 M 的轨迹方程.【解答】：依题意,点M 到点F轨迹是以F (4, 0)为焦点、x由两点间距离公式得:x 2 y 21PO 1 PA 2化简彳导:x 2 y 2 2x 3027抛物线y 4x 的通径〔过焦点且垂直于对称轴的弦〕与抛物线交于 A 、B 两点,动点C 在抛物线上,求^ ABC 重心P 的轨迹方程.【分析】：抛物线y 4x 的焦点为F 1,0 .设^ ABC 重心P 的坐标为〔x, y 〕,点C 的坐 标为〔x 1, y 1〕.其中x 1 1【解答】：因点P x, y 是重心,那么由分点坐标公式得：x 另一2, y 也33即 x 1 3x 2, y 1 3y由点C x 1,y 1在抛物线y 2 4x 上,得：y 12 4x 124 2将x i3x 2, y i3y 代入并化简,得：y — x —( x 1) 338 .双曲线中央在原点且一个焦点为F 〔乔,0〕,直线y=x —1与其相交于 M N 两点,MNUI中点的横坐标为 5 ,求此双曲线方程.22【解答】：设双曲线方程为 2T 当 a b (b 2-a a)x a+ 2a ax- a 3- a ab a=0,此双曲线的方程为9 .动点P 到定点F 〔1, 0〕和直线x=3的距离之和等于【解答】：设点P 的坐标为〔x, y 〕,那么由题意可得1.将y=x — 1代入方程整理得由韦达定理得x 1 x 2解得 a 2 2,b 25.22aX I x 2~2~2 --a b 22 ,2a b2.又有+ 联立方程组,34,求点P 的轨迹方程.J (犬 _ + y* + | x — 31= 4(1)当xw3 时,方程变为J(x 1)2—y2 3 x 4,J(x 1)2―y2 x 1,化简得2y 4x(0 x 3).(2)当x>3 时,方程变为J(x 1)2—y7 x 3 4,J(x 1)2—y7 7 x,化简得y a = -12(x-4)(3<x<4)o毋足十的人口的-■铲曰必=4式.弓工43)一,= T2(x —4)0仃44)故所求的点P的轨迹方程是‘ 工 ,或, 八■10 .过原点作直线l和抛物线y x24x 6交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在,设直线l的方程y=kx.把它代入抛物线方程了=/一4天4®,得又‘一04•的白=口.由于直线和抛物线相交,所以△>0,解得x ( , 4 2而)(4 2^/6,).设A (叼打),B (叼力),M (x, y),由韦达定理得句中句=4*k.盯盯=6.产1 4k由户工一厂消去k得y=2x〞-必.又2黑f % =4 +上,所以x ( , V6)(后).,点M的轨迹方程为y 2x24x, x ( , <6) (<16, ) o。
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练习： 1、已知点P是圆x2+y2=1上的一个动点，又A(3，0) 求线段AP的中点M 的轨迹方程；
(x 3)2 y2 1
2
4
练习： 2、过点A(4,0)作直线l交圆O：x2+y2=4于B,C两点， 求线段BC的中点P的轨迹方程
解:设BC中点P坐标是 (x, y)
由题意得 OP BC
即OP AP
3. 等腰三角形的顶点是A（4，2），底边一个 端点是B（3，5），求另一个端点C的轨迹方程， 并说明它是什么图形？
解:设另一个端点C的坐标是 (x, y)
因为 ABC是等腰三角形 所以 AB AC
(4 3)2 (2 5)2 (x 4)2 (y 2)2
10 (x 4)2 (y 2)2 (x 4)2 (y 2)2 10
图像
解:设点M的坐标是(x, y)
点A的坐标是(x0 , y0 )
因为M是AB的中点，
所以，
x
x0 2
4
y
y0
3
x0 y0
2x 4 2y 3
①
2
因为点A (x0 , y0 ) 在圆 (x 1)2 y2 4 上运动
(x0 1)2 y02 4
②
将①代入②中,得 (2x 4 1)2 (2 y 3)2 4
求点的轨迹方程的步聚： 1、建立适当的直角坐标系，
设动点的坐标为(x,y) 2、列出动点满足的几何等式 3、列方程（即将几何等式代数化） 4、化简 5、检验（除去不满足题意的点）
一、求动点的轨迹方程的常用方法
1、直接法
1. 已知点M与两个定点O(0，0) 、A(3，0)
距离的比为
1 2
求点M的轨迹方程,说明它是什么图形
解:设点M的坐标是 (x, y)
由题意得 MO 1 MA 2
即
x2 y2 1
(x 3)2 y2 2
两边平方，得
x2 y2 1
化简，得
(x 3)2 y2 4
x2 y2 2x 3 0 即(x 1)2 y2 4
即为点M的轨迹方程。
点M的轨迹是圆心为(-1,0),半径长是2的圆
2. 长为2a的线段的两个端点A和B分别在 x轴,y轴上滑动，求线段AB中点的轨迹方程。
解:设AB中点M坐标是 (x, y)
由题意得 MO 1 AB 2
即 x2 y2 1 2a a 2
两边平方，得 x2 y2 a2
即为AB中点的轨迹方程。 点M的轨迹是以（0，0）为圆心，a为半径长的圆
kOP kAP 1 y y 0 1
x x4
化简，得
即(x 2)2 y2 4
由图可知，
0 x 1
所以点P的轨迹方程是：
(x 2)2 y2 4 (0 x 1)
x2 4x y2 0
画图检验
点B(3,5)关于点A(4,2)对称的点B/的坐标是 (5,-1)
因为ABC构成三角形 所以点C不能与点B、点B/重合 所以点C的轨迹是以（4，2）为圆心，
半径长是 10 的圆，除去点(5,-1)和点(3,5)
4、已知线段AB的端点B的坐标 是(4,3),端点A在迹方程，并说明轨迹的形状
化简，得 (x 3)2 ( y 3)2 1
2
2
所以点M的轨迹是以 (3 , 3) 为圆心，半径长是1的圆
22
【小结】 求一个随着已知曲线上的动点而动的点的 轨迹方程用的方法叫 相关点法
求动点的轨迹方程的常用方法
1、直接法:
2、相关点法 (也称坐标转移法): 所求动点M 的运动依赖于一已知曲线上的一个动点M0的 运动,将M0的坐标用M的坐标表示,代入已知 曲线,所得的方程即为所求.