点的轨迹方程的求法

解:设点M的坐标是 (x, y)
由题意得 MO 1 MA 2
即
x2 y2 1
(x 3)2 y2 2
两边平方，得
x2 y2 1
化简，得
(x 3)2 y2 4
x2 y2 2x 3 0 即(x 1)2 y2 4
即为点M的轨迹方程。
点M的轨迹是圆心为(-1,0),半径长是2的圆
2. 长为2a的线段的两个端点A和B分别在 x轴,y轴上滑动，求线段AB中点的轨迹方程。
解:设AB中点M坐标是 (x, y)
由题意得 MO 1 AB 2
即 x2 y2 1 2a a 2
两边平方，得 x2 y2 a2
即为AB中点的轨迹方程。 点M的轨迹是以（0，0）为圆心，a为半径长的圆
画图检验
点B(3,5)关于点A(4,2)对称的点B/的坐标是 (5,-1)
因为ABC构成三角形 所以点C不能与点B、点B/重合 所以点C的轨迹是以（4，2）为圆心，
半径长是 10 的圆，除去点(5,-1)和点(3,5)
4、已知线段AB的端点B的坐标 是(4,3),端点A在圆 (x 1)2 y2 4 上运动,求线段AB的中点M的轨 迹方程，并说明轨迹的形状
图像
解:设点M的坐标是(x, y)
点A的坐标是(x0 , y0 )
因为M是AB的中点，
所以，
x
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x0 2
4
y
y0
3
x0 y0
2x 4 2y 3
①
2
因为点A (x0 , y0 ) 在圆 (x 1)2 y2 4 上运动
(x0 1)2 y02 4
②
将①代入②中,得 (2x 4 1)2 (2 y 3)2 4
求点的轨迹方程的步聚： 1、建立适当的直角坐标系，
设动点的坐标为(x,y) 2、列出动点满足的几何等式 3、列方程（即将几何等式代数化） 4、化简 5、检验（除去不满足题意的点）
一、求动点的轨迹方程的常用方法
1、直接法
1. 已知点M与两个定点O(0，0) 、A(3，0)
距离的比为
1 2
求点M的轨迹方程,说明它是什么图形
kOP kAP 1 y y 0 1
x x4
化简，得
即(x 2)2 y2 4
由图可知，
0 x 1
所以点P的轨迹方程是：
(x 2)2 y2 4 (0 x 1)
x2 4x y2 0
3. 等腰三角形的顶点是A（4，2），底边一个 端点是B（3，5），求另一个端点C的轨迹方程， 并说明它是什么图形？
解:设另一个端点C的坐标是 (x, y)
因为 ABC是等腰三角形 所以 AB AC
(4 3)2 (2 5)2 (x 4)2 (y 2)2
10 (x 4)2 (y 2)2 (x 4)2 (y 2)2 10
化简，得 (x 3)2 ( y 3)2 1
2
2
所以点M的轨迹是以 (3 , 3) 为圆心，半径长是1的圆
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【小结】 求一个随着已知曲线上的动点而动的点的 轨迹方程用的方法叫 相关点法
求动点的轨迹方程的常用方法
1、直接法:
2、相关点法 (也称坐标转移法): 所求动点M 的运动依赖于一已知曲线上的一个动点M0的 运动,将M0的坐标用M的坐标表示,代入已知 曲线,所得的方程即为所求.
练习： 1、已知点P是圆x2+y2=1上的一个动点，又A(3，0) 求线段AP的中点M 的轨迹方程；
(x 3)2 y2 1
2
4
练习： 2、过点A(4,0)作直线l交圆O：x2+y2=4于B,C两点， 求线段BC的中点P的轨迹方程
解:设BC中点P坐标是 (x, y)
由题意得 OP BC
即OP AP