立体几何全国卷高考真题

2015-2017立体几何高考真题

1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）

（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B

【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯==16

3

r =

，所

以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=320

9

，故堆放的米约为

320

9

÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式

2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221

42222

r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.

考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式

3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC. （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ；

（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1易证EG ⊥AC ，通过计算可证EG ⊥FG ，根据线面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ，由面面垂直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ；（Ⅱ）以G 为坐标原点，

分别以,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB u u u r

为单位长度，建立空间直角坐标

系G-xyz ，利用向量法可求出异面直线AE 与CF 所成角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不

妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得由BE ⊥平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ，

又∵AE ⊥EC ，∴，EG ⊥AC ，

在Rt △EBG 中，可得，故

在Rt △FDG 中，可得FG=

2

在直角梯形BDFE 中，由BD=2，，DF=2

可得EF=2，

∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ， ∵AC∩FG=G，∴EG ⊥平面AFC ，

∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC.

（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴正方向，||

GB u u u r

为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （0，－3，0），E

（2，F （－1,02，C （030），∴AE u u u r =（132），CF uuu r =

（-1，32

2

）.…10分 故3

cos ,3||||

AE CF AE CF AE CF ⋅<>==u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r .

所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为

3

考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

4、（2015年2卷6题）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A ．81

B ．71

C ．61

D ．5

1

【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则111

33111326

A A

B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为

3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为5

1

，故选D ．

考点：三视图．

C

A

D

D 1C 1

B 1

A 1

B

O

A

C

5、（2015年2卷9题）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B．64π C．144π D．256π

【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311

13632

6

O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ． 考点：外接球表面积和椎体的体积．

6、（2015年2卷19题）（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，

=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的

平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：

（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为

D D C

A E

F

A

B

C B