微积分第6章.

y du ( u) ， 解法 令 u ，化为 u x x dx
6
(3) 一阶线性微分方程
形如
dy P ( x ) y Q( x ) dx
上方程称为齐次的．
当Q( x ) 0,
当Q( x ) 0,
分离变量法
上方程称为非齐次的.
P ( x ) dx
解法 齐次方程的通解为 y Ce
叠加原理
5、二阶常系数齐次线性方程解法
二阶常系数齐次线性方程
y py qy 0
二阶常系数非齐次线性方程
y py qy f ( x )
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
12
y py qy 0
特征方程为
r 2 pr q 0
du (1 xu)u , 令 u cos y , 上式化为 dx du 2 u xu , 这是u关于x的伯努利方程,化为 即 dx 1 d u d u 1 2 1 u x , u u x , 即 dx dx
1 x x 解之得 u e ( xe dx C )
14
(2)
f ( x) e (a cos x b sin x) 型 ( 0)
x
设 y ( x) x k ex ( A cos x B sin x)
0 , i 不 是 特 征 根 k 1 , i 是 特 征 根
15
7、差分方程的基本概念
24
例6 求微分方 程 ( y x ) y 4 xy 0 ( y 0) 的通解.
2
解
把y作为自变量,
dx 1 1 原方程改写为 , 这是伯努利方程, x dy 4 y 4x
dx 2 1 2 1 x , 两边乘以x,化为线性方程 dy 2 y 2 求得通解 dy dy 2y 1 2y 2 x e ( e dy C ) 2
19
典型例题
题型1：一阶微分方程
例1 (90,5 分) 求微分方程 y y cos x ln x e
解
sin x
的通解.
这是一阶线性微分方程，通解为
ye
cos x dx
( ln x e
sin x
cos x dx e dx C )
e
sin x
( ln x dx C )
其中 f ( x ) 0 为已知函数，a 是非零常数.
18
y x 1 ayx Pm ( x)q x
(a 0)
k x Pm ( x ) 同 设特解 y x x Q m ( x )q ，其中 Q m ( x ) 是与
次的多项式，而多项式 Q m ( x ) 的系数待定 . k 的取值为
设函数 y f ( x ) 为定义在非负整数集上的函数，简 记 y x , 并把差 y x 1 y x 称为函数y x 的 差分， 也称一阶差 分 ，记为 y x ，即
y x y x 1 y x .
y x 的一阶差分的一阶差分称为 y x 的二阶差分，记
2 为 y x , 即有
那末 y C 1 y1 C 2 y 2 也是(1)的解.
(1)
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个解,
定理 2
如果 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个线性无
关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通解.
10
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构：
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)

(2)
定理 3 设 y 是(2)的一个特解,Y 是与(2)对应的齐次
y Y y 方程(1)的通解, 那么 是二阶非齐次线性
微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端f ( x ) 是几个函数之和,
.
非齐次微分方程的通解为
常数变易法
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx ( Q( x ) e dx C )
7
(4) 伯努利(Bernoulli)方程
dy 形如 P ( x ) y Q( x ) y n dx
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程.
x y
由 y(0) 0 , 得 C ln2 , 4
所以所求特解为
ln( e 1) arctane ln2
x y

4
.
21
例3Hale Waihona Puke Baidu
满足条件 y ( e ) 2e 的特解 .
dy 2 2 x y (91,5 分 ) 求微分方程 xy dx
dy du 解 这是齐次方程， 令 y ux , 则 u x , dx dx dy du 1 u x u , 原方程化为 dx dx u du 1 dx 1 2 x , udu , 积分得 u ln x C . dx u x 2 将 y ux 代入,得原方程的通解为 y 2 2 x 2 (ln x C ) .
， 0, q 不是特征根 k . 1, q 是特征根
叠加原理：如果y1 、 y2 分别是 y x 1 ayx f1 ( x ) 和
y x 1 ayx f 2 ( x ) 的 特 解 ， 则 y1 y2 是 差 分 方 程 y x 1 ayx f1 ( x ) f 2 ( x ) 的特解 .
y y 如 y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) f 2 ( x ) ，而 1 与 2 分
别是方程,
y y 2 就是原方程的特解. 的特解, 那么 1
11
y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
4
内容提要
1、基本概念
微分方程，微分方程的阶，微分方程的解，通解，
特解，初始条件，初值问题 。
5
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y ) dy f ( x ) dx
解法
g( y ) dy f ( x ) dx
dy y ( ) dx x
分离变量
(2) 齐次方程
y x (y x ) y x 1 y x y x 2 2 y x1 y x .
2
3 2 y ( y x ) ，……， n 阶 一般地，三阶差分： x
差分： y x (
n
n 1
yx ) .
16
含有未知函数 y x 在 x 的两个或两个以上的函数值
通解的表达式
特征根的情况
实根 r1 r2
y C1er1 x C2er2 x
y (C1 C2 x) er1 x
y e (C1 cos x C2 sin x)
x
实根 r1 r2
复根r1, 2
i
13
6、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
第六章
1
考试内容
常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程，齐
次微分方程，一阶线性微分方程，线性微分方程解的
性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程
及简单的非齐次线性微分方程，差分与差分方程的概 念，差分方程的通解与特解，一阶常系数线性差分方 程，微分方程的简单应用
2
考试要求
1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解 等概念。 2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶 线性微分方程的求解方法。
当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
解法 需经过变量代换化为线性微分方程．
令z y
1 n
,
dz (1 n) P ( x ) z (1 n)Q( x ) . dx
8
3、二阶线性微分方程解的性质
y py qy 0 (1)
y py qy f ( x ) (2)
3、会解二阶常系数齐次线性微分方程。
4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解 自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数 的二阶常系数非齐次线性微分方程。 5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
3
考试要求
6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法。 7、会用微分方程求解简单的经济应用问题。
将 y(e) 2e 代入, 得C 1 ,
2 2 所以所求特解为 y 2 x (ln x 1) .
22
dy (1 x cos y ) cos y 的通解. 例4 求微分方程 sin y dx d cos y (1 x cos y ) cos y , 解 先凑微分 ,方程改写为 dx
e sin x ( x ln x x C ) .
20
e ) dx (e 例2 求微分方程(e 满足条件 y(0) 0 的特解.
x
x2 y
x y
e ) dy 0
y
e dx dy 0 , 解 分离变量 x 2y e 1 1 e
积分得
e
x
y
ln( e 1) arctan e C ,

x 1 Ce x ,
23
故原方程的通解为
1 x 1 Ce x . cos y
例5
求微分方程 x ln xdy ( y ln x )dx 0
满足条件 y(e) 1 的特解.
解
(Ⅱ90三5) 1 1 y , 原方程改写为 y x ln x x

这是一阶线性微分方程, 通解为
通解为
y Y ( x) y ( x) ，


其中Y ( x ) 是对应齐次方程(1) 的通解，y ( x ) 是(2)的 一个特解，其求法如下：
待定系数法：
(1)
f ( x) e Pm ( x) 型
x
0 , 不 是 特 征 根 k x 设 y x e Qm ( x) , k 1 , 是 单 特 征 根 2 , 是 重 特 征 根
y ( y C ) y C y .
25
例7
(99,6 分) 设有微分方程 y 2 y ( x ) ，其中
y y ( x ) ，使之在( , 1) 和 (1, ) 内都满足所给方 程，且满足条件 y ( 0 ) 0 .
8、一阶常系数线性差分方程的解法
一阶常系数线性齐次差分方程：
y x 1 ayx 0 (a 0)
特征方程： a 0 ，特征根： a ，
通解： yx Aa x ，其中 A 为任意常数.
一阶常系数线性非齐次差分方程：
y x 1 ayx f ( x) ( x 0,1,2,)
y x , y x 1 , 的函数方程称为差分方程 . 即形如 G( x, y x , y x 1 ,, y x n ) 0 , ( n 1)
和
H ( x, y x , y x 1 ,, y x n ) 0 , ( n 1)
都是差分方程. 差分方程中所出现的未知函数下标的最大值与最 小值的差称为差分方程的阶. 若一个函数代入差分方程后，方程两边恒等，则 称此函数为该差分方程的解. 若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且 个数恰好等于差分方程的阶数，则称该解为差分方 程的通解.不含任意常数的解称为特解. 17
ye

dx x ln x
1 ( e x
dx x ln x
dx C )
1 ln x 1 1 2 [ dx C ] [ ln x C ] , ln x x ln x 2
将 y(e) 1 代入, 得C 1 / 2 ,
所以所求特解为
1 1 y (ln x ). 2 ln x
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；
2、方程(1)的任意一个解的任意倍数仍是(1)的解； 3、方程(2)的任意两个解的差是(1)的解；
4、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是 (2)的解.
9
4、二阶线性微分方程解的结构
（1）二阶齐次方程解的结构：
形如 y P( x ) y Q( x ) y 0