立体几何图形操作步骤
高中数学第八章立体几何初步8.1基本立体图形教案第二册
8.1 基本几何图形第1课时棱柱、棱锥、棱台立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小、位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间，学习立体几何对我们更好地认识客观世界，更好地生存与发展具有重要意义。
在立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体观察入手、认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系。
本节内容既是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续和提高，也是后续研究空间点、线、面位置关系的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。
课程目标1．通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征．2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型．3．与平面几何体的有关概念、图形和性质进行适当类比,初步学会用类比的思想分析问题和解决问题．数学学科素养1。
数学抽象:多面体与旋转体等概念的理解；2.逻辑推理：棱柱、棱锥、棱台的结构特点；3.直观想象：判断空间几何体；4。
数学建模：通过平面展开图将空间问题转化为平面问题解决，体现了转化的思想方法.重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征;难点：棱柱、棱锥和棱台的侧面展开图问题.教学方法:以学生为主体，小组为单位,采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在平面几何中，我们认识了三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圆，扇形等平面图形。
但我们知道在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间的一部分.如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.那么对空间中各种各样的几何体，我们如何认识它们的结构特征？对空间中不同形状、大小的几何体我们如何理解它们的联系和区别？要求:让学生自由发言，教师不做判断.而是引导学生进一步观察.研探。
二、预习课本，引入新课阅读课本97-100页，思考并完成以下问题1、什么是空间几何体？什么是多面体与旋转体?2、多面体包含哪些图形?这些图形是怎样定义的？又有什么结构特点?要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
高二解析几何立体几何知识点
高二解析几何立体几何知识点一、知识概述《解析几何与立体几何知识点》①基本定义：- 解析几何：简单说就是用代数方法来研究几何图形。
就是把图形放在坐标系里，通过点的坐标、方程等代数的东西来描述图形的形状、位置啥的。
比如一条直线，我们可以用方程y = kx + b来表示它，其中k 是斜率，b是截距，这样就把直线这个几何对象用代数方程表示出来了。
- 立体几何：这是研究空间里的图形形状、大小、位置关系的学科。
像我们周围的房子、盒子，都是立体几何研究的对象。
在立体空间中有很多元素，比如点、线、面，它们之间有着各种各样的关系。
②重要程度：- 解析几何：在高二数学里特别重要的一部分，它是连接代数和几何的桥梁。
像在物理里的运动轨迹分析，还有工程绘图等很多地方都能用得上。
很多实际问题通过建立解析几何模型就好解决多了。
- 立体几何：对于培养空间想象能力那可太有帮助了。
无论是建筑设计，还是机械制造等领域，都需要立体几何的知识。
对于了解三维世界物体间的关系不可或缺。
③前置知识：- 解析几何：得对代数基础有一定掌握，像函数、方程这些知识。
比如说要有解方程的能力，因为解析几何里经常要解各种直线、曲线的方程。
还得了解坐标的概念和基本运算。
- 立体几何：平面几何知识那肯定是要有的。
像三角形的性质、平行四边形的性质等，因为很多立体图形都是由平面图形构成的。
还得有基本的空间感知能力，虽然可以通过后天培养，但要是对空间有点感觉那学起来就轻松些。
④应用价值：- 解析几何：可以用来分析行星的轨道，就像科学家用它来计算火星探测器的飞行轨迹等。
还能在计算机图形处理中有很大用途，比如游戏里的3D建模等都会用到。
- 立体几何：建筑设计的时候得考虑各个房间、各种结构在空间里的情况，就是立体几何知识的应用。
还有在雕塑创作时，雕塑家要考虑形状、比例、空间布局等，这都是立体几何干的事儿。
二、知识体系①知识图谱：- 解析几何：是代数与几何融合的部分。
在高二数学知识里是函数、方程等代数知识往几何方向的延伸。
如何画立体图形
如何画立体图形立体图形在我们生活中无处不在，我们要要发挥我们的创造力，可以让画板为我们表现出丰富多彩的立体几何图形的。
一、立体几何图形的制作在空间里我们常用到的几何体有长方体、正方体、棱锥、棱台、圆锥和圆台等。
下面以正三棱锥为例，详细介绍下立体几何图形的制作画法。
设计标准：（1）能够反映正三棱锥的的几何性质，（2）能让其旋转。
设计的核心：解决正三角形在底面上的旋转。
为了使图形的直观性更强，我让一个三角形顶点在同一个椭圆上旋转，这样可以更好的表现出空间图形的立体感。
主要步骤：（1）画出椭圆上旋转的三角形。
用圆工具画一圆并在圆上任取一点C ，测算角CAB 的度数。
。
用线段工具。
作两条线段DE 和FG 并测算其长度。
。
利用三个测量值，计算出的值，选择二测算值，并在图表菜单中选择绘出（x,y ）.这时画板中出现点J 。
。
标识中心A ，让点C 分别旋转120度和240度得到C`和C``，并分别测算角C`AB 和角C``AB ，然后通过上述画点J 的方法得到K ，L 。
。
连接三个点便生成了一个在底面可以旋转的三角形。
定义点C 在圆A 上旋转的动画，随着点C 的运动，三角形JKL 也开始旋转。
（2）构造棱锥。
将点A 平移到竖直的上方若干单位得到点A`。
（也可以标识一个向量，让点A 按着标识的向量来平移，这样能达到控制棱锥的高度的目的）。
。
构造线段JA`、KA`，LA`得到三棱锥的侧棱。
AA`为三棱锥的高，在此基础上我们再画出三棱锥的有关要素，例如高及三个重要的直角三角形。
类似的，我们可以得到圆柱、圆锥、圆台等几何图形。
另外，我们可以发挥几何画板动画的功能让我们的几何图形旋转起来，旋转的好处有二，一是在旋转的过程中选取最佳的识图视角，从而提高学生的识图能力；二是可以看到平面图形旋转成旋转体的生成过程，加强知识发生的过程的教学，变“知识重现”为“意义建构”，以往这部分内容的教学是引导学生展开“想象”，但对那些想象能力相对薄弱的学生来说，其中的困难可想而知。
立体几何全部教案.
⽴体⼏何全部教案.第⼀章:空间⼏何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征⼀、教学⽬标1.知识与技能(1通过实物操作,增强学⽣的直观感知。
(2能根据⼏何结构特征对空间物体进⾏分类。
(3会⽤语⾔概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
(4会表⽰有关于⼏何体以及柱、锥、台的分类。
2.过程与⽅法(1让学⽣通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的⼏何结构特征。
(2让学⽣观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3.情感态度与价值观(1使学⽣感受空间⼏何体存在于现实⽣活周围,增强学⽣学习的积极性,同时提⾼学⽣的观察能⼒。
(2培养学⽣的空间想象能⼒和抽象括能⼒。
⼆、教学重点、难点重点:让学⽣感受⼤量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学⽤具(1学法:观察、思考、交流、讨论、概括。
(2实物模型、投影仪四、教学思路(⼀创设情景,揭⽰课题1.教师提出问题:在我们⽣活周围中有不少有特⾊的建筑物,你能举出⼀些例⼦吗?这些建筑的⼏何结构特征如何?引导学⽣回忆,举例和相互交流。
教师对学⽣的活动及时给予评价。
2.所举的建筑物基本上都是由这些⼏何体组合⽽成的,(展⽰具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体,你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进⾏分类吗?这是我们所要学习的内容。
(⼆、研探新知1.引导学⽣观察物体、思考、交流、讨论,对物体进⾏分类,分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2.观察棱柱的⼏何物件以及投影出棱柱的图⽚,它们各⾃的特点是什么?它们的共同特点是什么?3.组织学⽣分组讨论,每⼩组选出⼀名同学发表本组讨论结果。
在此基础上得出棱柱的主要结构特征。
(1有两个⾯互相平⾏;(2其余各⾯都是平⾏四边形;(3每相邻两上四边形的公共边互相平⾏。
概括出棱柱的概念。
4.教师与学⽣结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表⽰。
5.提出问题:各种这样的棱柱,主要有什么不同?可不可以根据不同对棱柱分类?请列举⾝边具有已学过的⼏何结构特征的物体,并说出组成这些物体的⼏何结构特征?它们由哪些基本⼏何体组成的?6.以类似的⽅法,让学⽣思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征,并得出相关的概念,分类以及表⽰。
几何画板课件制作之立体几何
立体几何在几何画板中绘制固定椭圆椭圆是数学中常见的一种图形，接下来我们看看如何在几何画板中绘制固定椭圆。
1.新建一个几何画板文件，选择“直线工具”，在绘图区域内画出线段AB，选择“构造”—“中点”命令，画出线段A B的中心C。
如下图所示。
依次选中点C、点A，选择“构造”—“以2.选择“箭头工具”，圆心和圆周上的点绘圆”命令，绘制出以点C为圆心经过点A的圆C。
如下图所示。
在圆周上绘制出点D。
选择“箭头工具”，3.选择“点工具”，绘制出线段AB 选中点D和线段AB，选择“构造”—“垂线”命令，的垂线，并使线段AB和AB垂线的交点为E。
如下图所示。
4.选中圆C和直线DE，选择“显示”—“隐藏路径对象”命令，隐藏圆C和直线DE。
5.选择“线段工具”，绘制处线段DE。
选择“构造”—“中点”命令，绘制出线段DE的中点F。
如下图所示。
依次选中点D、点F，选择“构造”—“轨6.选择“箭头工具”，迹”命令，绘制出椭圆。
如下图所示。
7.选中点D、点E、点F、线段DE，选择“显示”—“隐藏对象”命令，隐藏点D、点E、点F、线段DE。
如下图所示。
8.选择“文件”—“保存”命令即可。
几何画板中球体的绘制方法球体如何在几何画板中绘制呢？接下来我们就一同看一看几何画板中球体的绘制。
1.新建一个几何画板文件。
选择“线段工具”，绘制出线段AB的中点。
AB，选择“构造”—“中点”命令，绘制出线段2.选择箭头工具，选中点C、点A，选择“构造”—“以圆心和圆周上的点绘圆”命令，绘制出圆C。
如下图所示。
3.选中点C、线段AB，选择“构造”—“垂线”命令，绘制出线段AB的中垂线。
点击线段AB的中垂线与圆C的交点，作出交点D、交点E。
如下图所示。
4.选择线段AB，选择“构造”—“线段上的点”命令，绘制出线段AB上的点F。
如下图所示。
5.选中点D、点F、点E，然后选择“构造”—“过三点的弧”命令，绘制出弧DFE。
如下图所示。
6.选中点F、弧DFE，选择“构造”—“轨迹”命令即可。
word中怎么画立体几何图形
如何在Word中画立体几何图形唐顺友出数学试卷时，看见某个立体几何题很好，但又不知道怎么把图弄在试卷上，有的老师用几何画板或用扫描仪把资料中的图形扫描，处理后再复制到Word中，这种做法存在画图效果不佳、效率低、图形修改时较麻烦等缺点。
而Word的画图工具，便能快速画出精致的立体几何图形，而且打印效果特别好，看后给人一种心情舒畅的感觉。
一、打开作图工具（视图→工具栏→绘图）具体操作：先必须把有关的图形工具请到工具栏上。
点击“视图→工具栏→绘图”，绘图工具栏便在界面下边显示出来。
二、设置作图工具1.去掉画布，目的是：避免每次画图时，都自动创建画布的麻烦事出现。
（工具→选项→常规→插入自选图形时自动创建画布）：具体操作：在“工具→选项”这一菜单中，有个常规页，切换到这个页面后，在其中有个“插入自选图形时自动创建画布”选项，如果这个选项前面打“√”，则：单击之，取消这一选项，注：如果不设置也可以，每次画图时把画的图形拖出画布，然后把画布删除即可（选中画布，按回车键），要增加图形时选中已经画好的图形，再点击要增加的图形，也可以避免出现画布，操作相对来说要麻烦点。
2.设置间距，目的是：用鼠标移动图形时，较好地控制图形的大小以及搬动到预定地方。
（文件→页面设置→文档网格→绘图网格→会弹对话框→网格设置→水平间距”、“垂直间距”设置为0.01→确认→确认）具体操作：在“文件→页面设置”菜单中有个“文档网格”页面，切换到这个页面后，左下角有个“绘图网格”按钮，点击这个按钮时，会弹出一个设置对话框，在其中的“网格设置”的“水平间距”、“垂直间距”设置为0.01（取这一设置的最小值）。
如果不进行这个操作，移动图形时可能出现线条交接间隔过大，位置要向某个地方移动一点点，却不听使唤。
三、基本作图技巧1.画线段具体操作：点击左下方工具栏中的线条工具“”，在相应位置作图即可。
2.画虚线具体操作：先画线段，选中线段后，点击点击左下方工具栏中的虚线工具“”，选择需要的虚线类型单击即可。
立体几何初步知识点全总结
立体几何初步知识点全总结一、空间几何体的结构。
1. 棱柱。
- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
- 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
- 性质：- 侧棱都相等，侧面是平行四边形。
- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
- 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形。
2. 棱锥。
- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥。
- 性质：- 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。
- 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
3. 棱台。
- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
- 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等。
- 性质：- 棱台的各侧棱延长后交于一点。
- 棱台的上下底面是相似多边形，侧面是梯形。
4. 圆柱。
- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
- 性质：- 圆柱的轴截面是矩形。
- 平行于底面的截面是与底面全等的圆。
5. 圆锥。
- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
- 性质：- 圆锥的轴截面是等腰三角形。
- 平行于底面的截面是圆，截面半径与底面半径之比等于顶点到截面距离与圆锥高之比。
6. 圆台。
- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
第07章 立体几何图形的制作(1)
第七章立体几何图形的制作一：基本立体图形的绘制例：绘制正方体思路：以一个面，按一条棱为标记的向量进行平移步骤：1、先画线段AB2、对点B绕点A旋转90后得A’，旋转45并缩放1/2之后得C3、B点按AC向量平移后得D4、连接BD.CD5、将整个ABCD按向量AA’平移后，连接各个点即可。
利用以上思路可以做各种基本的立体几何图形练习：绘制三菱台，绘制圆柱二：正方体的展开动画步骤：1、画线段AB2、双击点A，以A为中心，选中点B，执行“变换，旋转”得B’3、连接AB’，把B’旋转-45得到AB’’4、构造AB’’的中点C，依次选择点A、B’，标记向量AB’，选中点C，“变换，平移”后得到点C’，连接B’C’和CC’5、依次选中点A、B，执行“变换，标记向量”标记向量AB。
选中四边形AB’C’C，执行“变换，平移”，得到四边形BB’’’C’’’C’’’’。
连接B’B’’’,C’C’’’,CC’’’’完成后得到正方体6、双击点A，标记点A为中心，选中点B，执行“变换，旋转”，角度为180，绘制点D，依次选中A,B’和D,执行“构造，圆上的弧”命令，构造出弧B’D，在弧B’D上绘点E，依次选中点E,A。
执行“构造，以圆心和圆周上的点做圆”，绘制圆E。
双击E，以E为中心点，选中点A，执行“变换，旋转”，旋转角度为180，绘制出点A’，选中点A’，执行“变换，旋转”，旋转角度为-90，绘制出点A’’。
7、依次选中点E,A’’和A’，执行“构造，圆上的弧”，构造弧A’A’’。
在弧A’A’’上取一点F，依次选中点B’和C’。
执行“变换，标记向量”，标记出向量B’C’，选中点E,F。
执行“变换，平移”，按向量平移出点E’和F’。
连接AE,EF,FF’,F’E’,EE’。
这样就完成了上底面和左侧面的展开制作。
8、连接B’’C’，选中B’’C’，构造中点G，过点G做B’’C’的垂线，交AB’与H，依次选中H,B’’和C’，执行“构造，圆上的弧”，构造出弧B’’C’，在此弧上任取一点I，依次选中点C和C’’’’。
制作正方体手工制作
制作正方体手工制作正方体是最简单的立体几何图形之一，由六个相等的正方形面组成。
如果你想制作一个正方体，只需要一些基本的材料和工具，就可以在短时间内完成。
以下是一个简单的手工制作教程，帮助你完成一个精美的正方体模型。
材料：1.6个正方形的卡纸或纸板2.双面胶或胶棒3.剪刀4.铅笔或钢笔5.尺子步骤一：准备工作首先，你需要决定你的正方体的大小。
使用尺子和铅笔在卡纸上画出一个正方形，边长可以根据个人喜好来确定。
然后，使用剪刀剪下这个正方形，成为你的模板。
重复这个步骤，制作出6个相同大小的正方形。
步骤二：制作正方体的面将一个正方形面平放在桌面上。
拿出双面胶或胶棒，在正方形的四个边缘分别涂上一些胶水。
然后，将另一个正方形面平放在上面，将四个边缘连接在一起。
重复这个步骤，将剩下的四个正方形面依次粘贴在一起，形成一个成品。
步骤三：将面粘贴在一起现在，你手中应该有一个成品，它由四个正方形面组成一个空心的立方体。
在两个相邻的正方形面上，涂上一些胶水，然后将它们粘贴在一起。
重复这个步骤，将剩下的三个正方形面依次粘贴在一起，直到你的正方体的所有面都连接在一起。
步骤四：整理边缘当你的正方体的所有面都连接在一起后，你可能会发现边缘有些凌乱。
使用剪刀修剪边缘，使其整齐。
你还可以使用胶带或彩色纸条来装饰边缘，增加正方体的美观度。
步骤五：加强结构为了增强正方体的结构稳定性，你可以在内部添加一些支撑物。
使用剪刀或刀片小心地开槽，然后将一小块纸板插入槽中。
这样可以使正方体更牢固，不容易变形或塌陷。
步骤六：涂装装饰完成基本的正方体制作后，你可以根据个人喜好进行涂装装饰。
你可以使用彩色纸，彩色胶带或丙烯颜料等材料，为正方体的每个面绘制独特的纹理或图案。
这是一个可以发挥创意的环节，让你的正方体更加个性化。
制作正方体的手工制作过程并不复杂，只需简单的材料和工具即可完成。
只要按照以上步骤进行，你将能制作出一个精美的正方体模型。
无论是用于教育展示、装饰或仅仅是作为一个有趣的手工制作项目，这个正方体都将给你带来乐趣和成就感。
第八章 立体几何初步(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)
第八章立体几何初步（公式、定理、结论图表）1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱互相平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.正棱柱、正棱锥的结构特征(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．3．旋转体的结构特征(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的长度特征：“长对正、高平齐、宽相等”，即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽．5．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．6．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．7．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l三者关系S圆柱侧＝2πrl――→r′＝rS圆台侧＝π(r＋r′)l――→r′＝0S圆锥侧＝πrl8.柱、锥、台和球的表面积和体积(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．10．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(3)平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．11．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线与平面的位置关系空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a12．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a ∥β，b ∥β，a ∩b ＝P ，a ⊂α，b ⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，∴a ∥b14．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．15．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.(3)直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°.16．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角的范围是0°≤θ≤180°.17．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理l⊥α<常用结论>1．特殊的四棱柱2．球的截面的性质3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下：5．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，6．异面直线的判定定理7．等角定理的引申(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．8．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．9.线、面平行的性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．12．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．<解题方法与技巧>一、空间几何体概念辨析题的常用方法A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线D[A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．图1图2B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．]二、识别三视图的步骤(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．典例2：(1)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥ABCD 的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)()A B C D(2)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()(1)A(2)A[(1)正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，故为虚线，易知选A.(2)由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的图形．]三、由三视图确定几何体的步骤典例3:(1)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N 的路径中，最短路径的长度为()A．217B．25C．3D．2(1)C(2)B[(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥PABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C.(2)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图1所示．图1图2圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图2所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．ON＝14×16＝4，OM＝2，∴MN＝OM2＋ON22 5.故选B.]四、由几何体的部分视图确定剩余视图的方法解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验．典例4：如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()A B C DA [由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A ，故选A.]五、空间几何体的直观图1．用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．2．原图形与直观图面积的关系典例5：(1)已知等腰梯形ABCD ，CD ＝1，AD ＝CB ＝2，AB ＝3，以AB 所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为()A.2B.24C.22D ．22(2)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6cm ，O ′C ′＝2cm ，则原图形是()A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形(1)C (2)C [(1)法一(作图求解)：如图，取AB 的中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，y 轴交DC 于点E ，O ，E 在斜二测画法中的对应点为O ′，E ′，过E ′作E ′F ′⊥x ′轴，垂足为F ′，因为OE ＝(2)2－12＝1，所以O′E′＝12，E′F′＝24.所以直观图A′B′C′D′的面积为S′＝12×(1＋3)×24＝22，故选C.法二(公式法)：由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S＝12×(1＋3)×1＝2.由S直观图＝24S原图形，得S直观图＝24×2＝22，故选C.(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2cm.所以OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，所以OA＝OC，由题意得OA綊BC，故四边形OABC是菱形，故选C.]六、求解几何体表面积的类型及求法A．48＋πB．48－πC．48＋2πD．48－2π(2)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π(1)A(2)B[(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.]七、求体积的常用方法典例7：(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1 D.3π2＋3(2)如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为．(1)A (2)13[(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1，高为3的半个圆锥和三棱锥SABC 组成的，如图，三棱锥的高为3，底面△ABC 中，AB ＝2，OC ＝1，AB ⊥OC .故其体积V ＝13×12×π×12×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1.故选A.(2)四棱锥A 1BB 1D 1D 的底面BB 1D 1D 为矩形，其面积S ＝1×2＝2，又四棱锥的高为点A 1到平面BB 1D 1D 的距离，即h ＝12A 1C 1＝22，所以四棱锥的体积V ＝13×2×22＝13.]八、空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．典例8：(1)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543(2)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310(1)B(2)C[(1)如图，E是AC中点，M是△ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为S△ABC＝34AB2＝93，所以AB＝6，BM＝23BE＝23AB2－AE2＝2 3.易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝OB2－BM2＝2，所以当D，O，M三点共线且DM＝OD＋OM时，三棱锥DABC的体积取得最大值，且最大值V ma x＝13S△ABC×(4＋OM)＝13×93×6＝18 3.故选B.(2)如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC 的中点M .因为AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，所以BC ＝5.又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA＝132，故选C.]九、共点、共线、共面问题的证明方法(1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．典例9：(1)以下命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则A ，B ，C ，D ，E 共面；③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A ．0B ．1C ．2D ．3(2)如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：①E ，C ，D 1，F 四点共面；②CE，D1F，DA三线共点．(1)B[①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．](2)[证明]①如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．②∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．十、空间两条直线的位置关系典例10：(1)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c，给出下列命题：①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c.其中真命题有．(填序号)(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(填上所有正确答案的序号)．①②③④(1)①③(2)②④[(1)对于①，若c与a，b都不相交，则c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正确．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]十一、平移法求异面直线所成角的步骤典例11：(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD 所成角的正切值为()A.2 2B.32C.52D.72(2)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为()A.12B ．－12C.32D ．－32(1)C (2)A [(1)如图，连接BE ，因为AB ∥CD ，所以异面直线AE 与CD 所成的角等于相交直线AE 与AB 所成的角，即∠EAB .不妨设正方体的棱长为2，则CE ＝1，BC ＝2，由勾股定理得BE ＝ 5.又由AB ⊥平面BCC 1B 1可得AB ⊥BE ，所以tan ∠EAB ＝BE AB ＝52.故选C.(2)如图，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，EG ，OG ，FO ，FG ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以∠FEG 为异面直线AC 与BD 所成的角．易知FO ∥AB ，因为AB ⊥平面BCD ，所以FO ⊥平面BCD ，所以FO ⊥OG ，设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 2＝2a ，所以∠FEG ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为12，故选A.]十二、判定线面平行的四种方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．典例12：如图，在四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：GH ∥平面P AD .[证明](1)连接EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，E 为AD 中点，所以BC AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点．又因为F 是PC 的中点，所以FO ∥AP ，因为FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点，所以FH ∥PD ，因为FH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以FH ∥平面PAD .又因为O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，所以OH ∥AD ，因为OH ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD .所以OH ∥平面P AD .又FH ∩OH ＝H ，所以平面OHF ∥平面PAD .又因为GH ⊂平面OHF ，所以GH∥平面PAD.十三、判定平面与平面平行的四种方法(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．注意：谨记空间平行关系之间的转化典例13：已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC 为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，M，N分别为DB，DC的中点．(1)求证：平面EMN∥平面ABC；(2)求三棱锥AECB的体积．[解](1)证明：取BC中点H，连接AH，∵△ABC为等腰三角形，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN ∥AH ，∵EN ⊄平面ABC ，AH ⊂平面ABC ，∴EN ∥平面ABC ，又M ，N 分别为BD ，DC 中点，∴MN ∥BC ，∵MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC ，又MN ∩EN ＝N ，∴平面EMN ∥平面ABC .(2)连接DH ，取CH 中点G ，连接NG ，则NG ∥DH ，由(1)知EN ∥平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等，又△BCD 是边长为2的等边三角形，∴DH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，DH ⊂平面BCD ，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ，∴DH ＝3，又N 为CD 中点，∴NG 又AC ＝AB ＝3，BC ＝2，∴S △ABC ＝12·|BC |·|AH |＝22，∴V E ABC ＝V N ABC ＝13·S △ABC ·|NG |＝63.十四、证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．典例14：如图，在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为2的正三角形，M 为棱BC 的中点，BB 1＝3，AB 1＝10，∠CBB 1＝60°.(1)求证：AM ⊥平面BCC 1B 1；(2)求斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积．[解](1)证明：如图，连接B 1M ，因为底面ABC 是边长为2的正三角形，且M 为棱BC 的中点，所以AM ⊥BC ，且AM ＝3，因为BB 1＝3，∠CBB 1＝60°，BM ＝1，所以B 1M 2＝12＋32－2×1×3×cos 60°＝7，所以B 1M ＝7.又因为AB 1＝10，所以AM 2＋B 1M 2＝10＝AB 21，所以AM ⊥B 1M .又因为B 1M ∩BC ＝M ，所以AM ⊥平面BCC 1B 1.(2)设斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积为V ，则V ＝3VB 1ABC ＝3VA B 1BC＝3×13S △B 1BC ·|AM |＝12×2×3×sin 60°×3＝92.所以斜三棱柱ABCA1B1C1的体积为9 2 .十五、证明面面垂直的两种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决，注意：三种垂直关系的转化典例15：(1)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B[取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE.∵点N为正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且为BD的中点．∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝3，∴EN＝FN2＋EF2＝2.∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG＝12EF＝32，BG＝CG2＋BC2＝52，∴BM＝MG2＋BG2＝7.∴BM≠EN.∵BM，EN是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．故选B.](2)如图，四棱锥PABCD中，△PCD为等边三角形，CD＝AD＝2AB，E，S，T，Q为CD，P A，PB，AD的中点，∠ABC＝∠BCD＝∠PEA＝90°，平面STRQ∩平面ABCD＝RQ.①证明：平面P AE⊥平面STRQ；②若AB＝1，求三棱锥QBCT的体积．[解]①证明：因为E为CD的中点，CD＝2AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，所以四边形ABCE 为矩形，所以AE⊥CD.由已知易得RQ∥CD，所以RQ⊥AE.因为∠PEA＝90°，PE∩CD＝E，故AE⊥平面PCD，又因为AE⊂平面ABCD.故平面PCD⊥平面ABCD.因为PE⊥CD，所以PE⊥平面ABCD.因为RQ⊂平面ABCD，所以RQ⊥PE.又PE ∩AE ＝E ，所以RQ ⊥平面PAE .所以平面P AE ⊥平面STRQ .②由①可知，PE ⊥平面ABCD ，又T 是PB 的中点，∴点T 到平面BCQ 的距离为12PE ＝32，易知S △BCQ ＝12S 梯形ABCD ＝12×12×(1＋2)×3＝334.故三棱锥Q BCT 的体积V ＝13×334×32＝38.十六、求点到平面的距离(高)的两种方法(1)定义法：求几何体的高或点到面的距离，经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或点到面的距离．其步骤为：一作、二证、三求．如何作出点到面的距离是关键，一般的方法是利用辅助面法，所作的辅助面，一是要经过该点，二是要与所求点到面的距离的面垂直，这样在辅助面内过该点作交线的垂线，点到垂足的距离即为点到面的距离．(2)等体积法：求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置，其体积相等的方法求解．典例16:(1)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为．2[如图，过点P 作⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离．再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC .又PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ，所以CO 为∠ACB 的平分线，即∠ACO ＝45°.在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1，所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝(3)2－12＝ 2.](2)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．①证明：PO ⊥平面ABC ；②若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．[解]①证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .②作CH ⊥OM ，垂足为H .又由①可得OP ⊥CH ，OP ⊂平面POM ，OM ⊂平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.十七、求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．典例17:(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．62C．82D．83C[如图，连接AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝2sin30°＝4.在Rt△ACC1中，CC1＝42－(22＋22)＝22，∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×22＝82.](2)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝23，∠BAD＝90°.①求证：AD⊥BC；②求异面直线BC与MD所成角的余弦值；③求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．[解]①证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.②如图，取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND .又因为M 为棱AB 的中点，所以MN ∥BC .所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM ＝1，故DM ＝AD 2＋AM 2＝13.因为AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AC .在Rt △DAN 中，AN ＝1，故DN ＝AD 2＋AN 2＝13.在等腰三角形DMN 中，MN ＝1，可得cos ∠DMN ＝12MN DM＝1326.所以，异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为1326.③如图，连接CM .因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，所以CM ⊥AB ，CM ＝ 3.又因为平面ABC ⊥平面，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，所以∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，CD ＝AC 2＋AD 2＝4.在Rt △CMD 中，sin ∠CDM ＝CM CD ＝34.所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34.十八、转化思想的应用(1)证明线面平行、面面平行可转化为证明线线平行；证明线线平行可以转化为证明线面平行或面面平行．(2)从解题方法上讲，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行．(3)求几何体的体积也常用转化法．如三棱锥顶点和底面的转化，几何体的高利用平行、中点，比例关系的转化等．典例18:如图，在四棱锥P ABCD 中，△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝90°，∠ABC ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝2BC ＝8，平面PAD ⊥平面ABCD ，M 是PC 的三等分点(靠近C 点处)．(1)求证：平面MBD ⊥平面P AD ；(2)求三棱锥D MAB 的体积．[解](1)证明：由题易得BD ＝AD ＝42，∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴BD ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面P AD .又∵BD ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PAD .(2)过点P 作PO ⊥AD 交AD 于点O (图略)，∵平面PAD ⊥平面DAB ，平面PAD ∩平面DAB ＝AD ，∴PO ⊥平面DAB ，∴点P 到平面DAB 的距离为PO ＝2 2.∴V D MAB ＝V M DAB ＝13S △DAB ·13PO ＝13×12×(42)2×13×22＝3229.十九、解决平面图形翻折问题的步骤典例19：图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.图1图2(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．[解](1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE＝1＝3，故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为4.二十、存在性问题的一般解题方法先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．典例20：如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．。
高中数学中的立体几何证明案例详细步骤与演绎
高中数学中的立体几何证明案例详细步骤与演绎立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的图形和变换关系。
在高中数学中，立体几何的证明是一个重要的部分，它既考察了学生对几何图形性质的理解，同时也培养了学生的逻辑推理和分析问题的能力。
本文将以几个典型的立体几何证明案例为例，详细介绍其步骤与演绎。
一、案例1：平行四边形的性质证明平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边是平行的。
我们来证明平行四边形的一个性质：对角线互相平分。
证明过程如下：1. 过平行四边形ABCD的顶点A和C分别作BD和AC的垂线，设分别交于点E和F；2. 由平行线性质，得到AE // CF和DE // AF；3. 观察△ADE和△CFE，可以发现它们是全等三角形；4. 因此，AE = CF，DE = AF，即对角线互相平分。
二、案例2：立体图形的相似性质证明相似是几何中一个重要的概念，它描述了两个图形在形状上的相似程度。
我们来证明两个立体图形相似的性质：对应边成比例。
证明过程如下：1. 设立体图形A和B，它们的形状相似，记作A ~ B；2. 假设A的一个边长为a，B对应的边长为b；3. 观察A和B的对应边，可以发现它们的长度比为a : b；4. 因此，对应边成比例,即A ~ B。
三、案例3：球的体积公式证明球是一种典型的立体图形，它表现了三维空间中的旋转对称性。
我们来证明球的体积公式：V = (4/3)πr³。
证明过程如下：1. 设球的半径为r；2. 将球划分为无数个小圆柱，每个小圆柱的截面都是圆；3. 假设一个小圆柱的高为h，半径为r；4. 计算小圆柱的体积，即V₁ = πr²h；5. 通过对所有小圆柱体积求和，得到球的体积，即V = ∑V₁；6. 由于球的位置对称性，每个小圆柱的高都是2r，即h = 2r；7. 求和化简得到V = ∑(πr²h) = ∑(πr²·2r) = 2πr³；8. 由于无数个小圆柱填满整个球，因此球的体积为V = 2πr³；9. 化简得到V = (4/3)πr³，即球的体积公式成立。
四元正四面体摆法要点
四元正四面体摆法要点
一、四元正四面体的基本概念
四元正四面体，又称四面体，是由四个等边三角形组成的立体几何图形。
在每个面上，都有一个顶点与其他三个顶点相连，形成一个正四面体的结构。
这种独特的结构使其在力学、物理学等领域具有广泛的应用。
二、四元正四面体摆法的原理
四元正四面体摆法的原理是基于地球重力和物体摆动的规律。
当四个等边三角形组成一个四元正四面体时，摆动中心位于正四面体的重心。
在摆动过程中，重力会对摆动产生影响，使得摆动轨迹呈现出特定的规律。
三、四元正四面体摆法的操作步骤
1.准备工具：四元正四面体摆、支架、重物。
2.安装支架：根据实际情况选择合适的支架，确保支架稳定可靠。
3.悬挂四元正四面体：将四元正四面体摆的四个顶点分别悬挂在支架上，使其保持平衡。
4.调整摆动角度：根据需要调整四元正四面体的摆动角度，使其达到预期的摆动效果。
5.观察摆动规律：观察四元正四面体摆动过程中的轨迹，分析其与重力、摆动角度等因素的关系。
四、四元正四面体摆法的应用领域
1.物理学：研究物体在重力作用下的运动规律，为桥梁、建筑等工程结构的设计提供理论依据。
2.地球物理学：通过研究地球重力场，探测地下的矿产资源、地质构造等信息。
3.工程领域：在桥梁、塔架等工程结构中，利用四元正四面体摆法检测结构的稳定性和安全性。
五、总结与建议
四元正四面体摆法作为一种实用的摆动实验方法，在多个领域具有广泛的应用。
通过对四元正四面体的研究和实践，我们可以更好地了解物体在重力作用下的运动规律，为实际工程应用提供理论支持。
《基本立体图形》立体几何初步 PPT教学课件(第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征)
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点． 解析：棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因
而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台
是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而
其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶
点)，故②错，③对．因而正确的有①③. 答案：①③
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第八章 立体几何初步
4．一个棱柱有 10 个顶点，所有的侧棱长的和为 60 cm，则每 条侧棱长为__________cm. 解析：因为棱柱有 10 个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧 棱，所以侧棱长为650＝12(cm)． 答案：12
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第八章 立体几何初步
空间几何体的平面展开图
(1)水平放置的正方体的六个面分别用
“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，
如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在
正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的
上面，则这个正方体的下面是( )
A．1
B．9
C．快
D．乐
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第八章 立体几何初步
(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
【解】 (1)选 B.由题意，将正方体的展开图还原成 正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0” 与“快”相对，所以下面是“9”．
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第八章 立体几何初步
(2)题图①中，有 5 个平行四边形，而且还有两个全等的五边形， 符合棱柱的特点；题图②中，有 5 个三角形，且具有共同的顶 点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有 3 个梯 形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合 棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
立体几何知识点总结(全)
必修2 第一章 空间几何体知识点总结一.空间几何体的三视图正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和长度 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和宽度 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
反映了物体的长度和宽度 三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 二.空间几何体的直观图斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450（或1350）③画对应图形在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半； 直观图与原图形的面积关系：42S ⋅=原图形直观图S 三.空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 ⑶圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面 h S V ⋅=柱体h S V ⋅=31锥体()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上球的表面积和体积 32344R V R S ππ==球球，. 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。
第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识点总结一. 平面基本性质即三条公理公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭,,,,A B C A B C α⇒不共线确定平面,lP P P l αβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩I作用 判断线在面内确定一个平面证明多点共线公理2的三条推论：推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.二．直线与直线的位置关系共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
《立体图形的直观图》立体几何初步PPT课件
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4．如图所示为一个水平放置的矩形 ABCO，在直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为(4,2)，
则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中，顶点 B′到 x′轴的距离为________．
解析：直观图如图所示，则 O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故 B′到 x′ 轴的距离为 22.
答案：
2 2
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探究一 画水平放置的平面图形的直观图 [例 1] 如图，画出水平放置的等腰梯形的直观图(尺寸自定)．
[解析] 画法：(1)如图，取 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点 O 为原点，建立平面直角 坐标系，画对应的坐标系 x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
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画水平放置的平面图形的直观图的技巧 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平 面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点． (2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比 较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要 我们经过这些点作坐标轴的平行线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定． (3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．
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探究三 由直观图还原平面图形
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[例 3] 如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观
图，将其恢复成原图形． [解析] (1)如图②，画直角坐标系 xOy，在 x 轴上取 OA＝O′A′，即 CA＝C′A′；
(2)在图①中，过 B′作 B′D′∥y′轴，交 x′轴于 D′，在图②中，在 x 轴上取 OD＝O′D′，过 D 作 DB∥y 轴，并使 DB＝2D′B′. (3)连接 AB，BC，则△ABC 即为△A′B′C′原来的图形，如图②.
制作立体几何图形的Photoshop技巧
制作立体几何图形的Photoshop技巧制作立体几何图形是Photoshop中常见的技巧之一，它可以给平面图像增加立体感，使其更加生动有趣。
下面将详细介绍几种制作立体几何图形的Photoshop技巧，并分步骤进行说明。
1. 创建新的Photoshop文档：打开Photoshop软件，点击"文件"，然后选择"新建"来创建一个空的文档。
2. 选择合适的尺寸：在弹出的新建文档窗口中，可以选择合适的图像尺寸，如宽度和高度。
根据实际需要选择一个适当的尺寸。
3. 绘制基础图形：在工具栏中选择图形工具，如矩形工具、椭圆工具或多边形工具。
使用这些工具在画布上绘制基础图形。
例如，可以使用矩形工具绘制一个矩形，或使用椭圆工具绘制一个圆形。
4. 将图形转化为立体：选择绘制的基础图形图层，然后点击"图层"，选择"新建"，再选择"图层样式"来添加样式效果。
在图层样式窗口中，可以选择"内阴影"、"外阴影"、"渐变叠加"等效果，通过调整参数和选项，使基础图形具有立体感。
5. 添加阴影效果：单击基础图形图层上的"图层样式"，选择"外阴影"、"内阴影"或"倒影"等样式效果。
通过调整参数，如颜色、距离和角度，可以使图形的表面呈现出立体阴影效果。
6. 应用渐变：使用渐变工具或渐变图层样式来为图形添加渐变颜色效果。
选择一个渐变样式，并将渐变应用于基础图形上的图层。
7. 调整透明度和不透明度：使用不透明度工具调整图形的透明度，使其看起来更加立体。
透明度可以在图层面板中调整，通过减少透明度可以使图形的阴影效果更明显。
8. 添加深度效果：可以使用文字工具添加文字，并为文字图层应用立体样式。
通过调整文字图层的阴影、渐变和不透明度，使文字呈现出类似于浮雕的立体效果。
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实训二、制作几何球体（2学时）
【实训目的】：
1.掌握图层的基本操作
2.掌握图层的种类，会建立各种图层
3.掌握运用基本的形状如立体图形、基本规则形状、圆角矩形、圆角四边形，自定义图形，直线在图层上的相关的操作
4.掌握在图层上进行字体设计
【实训重难点】：
掌握运用基本的形状如立体图形、基本规则形状、圆角矩形、圆角四边形，自定义图形，直线在图层上的相关的操作。
【实训教学手段】：
教师讲解实验内容及要求，学生进行实验训练
【实训内容】：
1．制作球体、制作圆柱体、制作圆锥体、制作立方体、制作圆环、制作投影与倒影、2．完成综合布局
【操作步骤】：
1、制作球体
（1）启动photoshop软件
（2）执行菜单命令“文件”－－“新建”，建立一个图像文件：400*400像素，分辨率280像素/英寸，RGB模式，背景白色。
（3）添加背景色。
单击“渐变”工具，再单击上方的“渐变编辑器”，打开渐变编辑对话框。
（4）设置线性渐变，从黑（R=0,G=0,B=0）到蓝(R=41,G=83,B=169).
（5）回到工具面板，选择“渐变”工具，由上至下拉出渐变色.
（6）执行菜单命令“窗口”－－“图层”打开图层面板，新建图层1。
（7）回到工具面板，将“矩形选框工具“换成”椭圆选框工具“, 按shift键，在图层1画一个正圆。
（8）按照开始所讲的立体规律做一个渐变色，选择颜色块可以进行色彩的编辑。
如图2。
（9）回到工具面板，将“线性渐变”切换到“径向渐变”。
图1
（10）在图层1的选区中，由圆的高光部位斜向下方拉出渐变。
图2
（11）取消浮动，一个立体感的球体就呈现在你眼前。
最后存盘：文件－－另存为－－圆球。
图3
2、制作圆柱体
（1）在层面板关闭球体层，建一个新层圆柱，回到工具面板，选取矩形选框工具，在新层上画一个长方形的选区。
（2）选择渐变工具，进行渐变编辑。
图4
（3）在方形选区内从左至右进行渐变，然后取消浮动。
图5
（4）圆柱的立体关系如下图：
图6
（5）新建层2，做圆柱的透视效果。
图7
（6）选择层２，在圆柱的上部画一个椭圆选区。
（7）选择前景色为灰色，红框中是颜色的RGB值。
图8
（8）填充，注意不要取消浮动。
图9
（9）回到圆柱层，按键盘上的向下方向键，将选区向下移动。
（10）选择矩形选框工具，按键盘上的shift键进行加选。
图10
（11）选择菜单命令“选择”－－“反向”进行反选，然后按键盘上的Delete键，删除不需要的部分，完成圆柱体的制作。
图11
（12）选择菜单命令“选择”－－“反向”进行反选，然后按键盘上的Delete键，删除不需要的部分，完成圆柱体的制作。
图12
（13）如果你想得到一个空心体的圆筒，方法是：
a.在层面板上使层2的椭圆浮动（选择――载入选区――确定）,
b.新建层3，
c.进行相反方向的渐变,
图13
（14）最后存盘，取名：圆柱体。
3、制作圆锥体
（1）建新层，命名：圆锥，画一个渐变的矩形，编辑－－变换－－透视。
图14
（2）点击右上方小方块平行移到中心，使左右两个方块在中心重叠。
图15
（3）在锥形的下方画一个椭圆选区。
图16
（4）在工具面板选择矩形工具，按Shift键进行加选．
图17
（5）执行菜单命令“选择”――“反向”，然后按Delete键删除多余的部分．
图18 （6）圆锥体的制作就完成了。
存盘。
图19 4、制作立方体
立方体在光线下，将产生不同的明暗面。
图20
（1）建新层：立方体，按shift键画正方形，填充灰。
图21
（2）复制这一层，“图象”－－“调整”－－“亮度／对比度”，设置如图：
图22
（3）将调整后的这一层复制，“图象”――“调整”――“亮度／对比度”。
图23
（4）调整立方体的透视效果，将暂不需要的层关闭。
（5）在立方体层执行“编辑”－－“自由变换”，在菜单栏的下一栏设置变换的数值，然后按“回车”完成。
图24
（6）激活“立方体副本层”，自由变换，设置如图：
图25
图26
（7）激活“立方体副本2层＂，自由变换设置如图：
图27
（8）激活另外两层，分别移动到合适的位置。
图28
如果你觉得各个面的角度不好调节，也可手动修改，直到满意为止。
最后将三个层合并，存盘。
5、制作环形体
（1）建新层，画正圆，填充灰。
图29 （2）在中心画小圆，按Delete键删除。
图30 （3）按住Ctrl+D键，点取消选区。
（4）添加图层样式-斜面和浮雕，并设置相应的参数。
图31
（5）好了，一个圆环到此完成，保存。
图32
六、制作投影与倒影
（1）以前做好的球体没有删掉吧，如果删了就再做一个，全当是又练习了一回。
（2）复制球体层，按向下的方向键将复制的球体移动到适当位置，垂直翻转，稍微模糊一点，降低透明度。
倒影做完了，就怎么简单。
图33
（3）再复制一个球体层，放在球体层下，选择扭曲变换工具将其变形。
３.按住Ctrl 键不放点击层面板眼睛旁的方框，使投影变为选区。
４.填充黑色，高斯模糊，降低透明度，球体的投影便完成了。
图34
7、综合布局
我们的球体、圆柱、圆桶、锥体、圆环、立方体都还在吧，好！将它们分别缩小，加上阴影，摆好位置，做这一步的时候要细心哦。
若要看起来美观些，可分别调整上你喜欢的色调.。