角平分线和全等三角形证明 分类

【例11】已知：如图(2)，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论： ①∠1=∠2；②BE=CF；③△CAN≌△ABM；④CD=DN.其中正确的结论是 __________________.
【例12】如图，已知AB=AD， ∠B=∠D，∠1=∠2，证明：BC=DE
【题型六】大山型的全等三角形 【例14】已知：如图，AB⊥CD,ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，求证：AC⊥CE.
（三）证明角相等 例3.如图，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA于E，CF⊥OB于F． 求证： ∠CDE=∠CDF．
◆基础知识扫描
1.点O是△ABC内一点,且点O到三边的距离相等,∠A=60°,则∠BOC的度数为
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
2.如图1,AB=AD,CB=CD,AC、BD相交于点O,则下列结论正确的是( )
【例5】如图，已知：求证：. 【例6】如图，已知：.求证：（1）;(2)AE∥DF.
【例7】已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF， 求证：△ABC≌△DEF．
【题型三】公共角类型的全等三角形 【例8】如图，AB=AC,BE和CD相交于P，PB=PC,求证：PD=PE.
精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号： 数：3
学员姓名： 师：
年 级：初二 辅导科目：数学
授课类型 T 角平分线
C专题精讲
授课日期时段
教学内容
1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； ③过点P作射线OP，射线OP即为所求．
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠A是角平分线．求证：
角平分线性质的应用
（一）证明线段相等
例1 已知：如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB。求证：M
（二）证明角的平分线 例2已知，如图AF、CF是DABC的外角 DAC、 ACE的平分线
求证：点F必在 B的平分线上。
7.如图4，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为
E，且AB=6cm，则△DEB的周长为__
cm.
8.如图,已知BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且交BE于E.求证:AE平分∠FAC.
9.如图,已知△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,求证:D到AB、AC的距离相等.
D C B A A B C D B C A DD
A B C DD A B F E C D (4) A B E F D C (3) A BB F E D
C (2) A D B E F C (1) ∵ BE=CF ∴ BE+EF=CF+EF ∴ BF=CE ∵ BE=CF ∴ BE-EF=CF-EF ∴ BF=CE ∵ BE=CF ∴ BE+EF=CF+EF ∴ BF=CE ∵ BE=CF ∴ BE-EF=CF-EF ∴ BF=CE A D B E C F B C D E F A
【探究创新实践】
10.如图,已知AB=AC,AD=AE,DB与CE相交于O. (1)若DB⊥AC于D,CE⊥AB于E,试判断OE与OD的大小关系.并证明你的结论. (2)若没有第（1）中的条件,是否有这样的结论?试说明理由.
1、 专题精讲
【题型一】公共边类型的全等三角形
图形1
图形2
图形3
注意隐含条件AD=AD
A. OA=OC
B. 点O到AB、CD的距离相等
C. 点O到CB、CD的距离相等 D. ∠BDA=∠BDC
3.△ABC中,∠C=90°,点O为△ABC三条角平分线的交点,OD⊥BC于D,OE⊥AC于E,OF⊥
F,且AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,则点O到三边AB、AC、BC的距离为( )
同步练习： 1. 如图所示，已知，E是AC上一点. 求证：.
2. 已知：如图，AB=DC,AC=DB,BE=CE.求证：AE=DE.
3.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O. 求证：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE .
4.如图，已知：，. 求证：点B是线段AC的中点.
如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB， ∴∠1＝∠2（OP平分∠ （3） 三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点 角形三边的距离相等。 3. 角平分线性质及判定的应用
①为推导线段相等、角相等提供依据和思路；
②实际生活中的应用．
例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上 桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．
2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2）， PA⊥OM， PB⊥ON，
（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
【题型四】对顶角类型的全等三角形 图形1
图形2
【例9】如图1，已知：AB=CD，AD=CB.求证：∠B=∠D.
【例10】如图，两条直线AC,BD相交于O，BO=DO,AO=CO，直线EF过点O且分别交AB、 于点E,F，求证：OE=OF
【题型五】旋转类型的全等三角形
图形1
图形2
图形3
【例10】已知：如图(1)，AB=AD，BC=DE，∠1=∠2.求证：(1)AC=AE； ∠CAE=∠CDE.
5．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN 6．已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC． 求证：ED⊥AC．
学法提炼：
1、三角形全等的证题思路 （1） （2） （3）
E D C B
A
E A B C D F A B C D E
A B C D
【例题讲解】
1．在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的 长。
2．如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=D 求证：CF=EB
3.如图，P为∠AOB内一点，OA=OB，且△OPA与△OPB面积相等，求证 ∠AOP=∠BOP.
隐含条件AB=BA
【例1】 在中，AB=AC,AD平分∠BAC，求证：≌
隐含条件AC=CA
【例2】如图, ∠ABC=∠DCB, ∠ACB=∠DBC,求证：AC=DB.
【例3】已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．
【题型二】边加减类型的全等三角形
图形1
图形2
图形3
图形
【例4】已知点B,E,C,F在同一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=CF. 求证：∠A=∠D. ．
4.如图，AB=AC，AD=AE，BD、CE交于O，求证AO平分∠BAC.
【同步练习】
1.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE相等？为什么？ ⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， 求BE，AE的长和△AED的周长
2．已知，如图DABC中，AB=AC，D是BC的中点。求证：D到AB、AC的距离相等。 3.△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=64，BD∶DC=9∶7,求D到AB的距离.
A.2cm 2cm 2cm; B. 3cm 3cm 3cm; C. 4cm 4cm 4cm; D. 2cm
4.到一个角的两边距离相等的点在
;角平分线上的点到这个
两边的距离
.
5.如图2,△ABC中,∠B=90°, ∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为
◆能力训练升级
6.如图3,P是∠AHale Waihona Puke BaiduB的平分线上的一点,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,OP与EF的位置关系是