定积分的概念与性质

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二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2,)，在各小区间上任取 一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2,)
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四、定积分的几何意义
b
f ( x) 0, a f ( x)dx A
f ( x) 0,
b
a
f
(
x)dx
A
曲边梯形的面积ຫໍສະໝຸດ Baidu
曲边梯形的面积 的负值
A1 A2
A3
A4
b
a
f
(
x)dx
A1
A2
A3
A4
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几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
归纳 它们求的都是展布在某个区间上的总
量（总面积或总路程）
解决方法：
通过局部取近似（求微分），求和取极限
（微分的无限求和）的方法，把总量归结为
求一种特定和式的极整限理课件
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类似的例子还可以举出很多（几何、物 理的，在下一章定积分应用中即可见到）
这些问题虽然研究的对象不同，但解决 问题的思路及形式都有共同之处。为了一般 地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体 含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
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（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
ti ti ti1 si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
式，定积分的换元法和分部积分法
难点 定义及换元法和分部法的运用
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基本要求
①正确理解定积分的概念及其实际背景
②记住定积分的性质并能正确地运用
③掌握变上限定积分概念，微积分基本定理， 并会用N-L公式计算定积分，
④能正确熟练地运用换元法和分部积分法
计 算定积分
⑤正确理解两类广义积分概念， 并会用定义 计算一些较简单的广义积分。
x轴与两条直线 x a、 x b所围成.
y f (x) y
A?
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
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y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形 面积的关系是越来越接近．
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曲边梯形如图所示 在区间 [a,b]内插入若干
Ai f (i )xi
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曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 ,xn } 趋近于零 ( 0) 时，
n
曲边梯形面积为
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
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实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t ) 是 时 间 间 隔[T1 ,T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t ) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
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一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
求面积问题由来已久，对于由直线所围成的
平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形
如何求面积
ym
将其置于直角
坐标系下考察 A
B
问题归结为AmBbaA与AnBbaA
n
的面积之差
曲边梯形整理课件
o
a
3b x
曲边梯形由连续曲线 y f ( x)( f ( x) 0)、
积分上限
b a
f
( x)dx
I
lim 0
n i 1
f (i )xi
数 积分下限 被 式 被 量 积
积分和
积 函
积 表
分 变
[a,b] 积分区间
注意：
达
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的字母无关.
b
b
b
a f ( x)dx a f (t)dt a f (u)du
（2）定义中区间的分法和i 的取法是任意的.
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例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
定积分的概念
前一章我们从导数的逆运算引出了不定积 分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类 基本问题。本章先从实例出发，引出积分学的第 二类基本问题——定积分，它是微分（求局部量 ）的逆运算（微分的无限求和——求总量），然 后着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领 域中有着极其广泛的应用。
重点 定积分的概念和性质，微积分基本公
n
n
（2）求和 s si v( i )ti
i 1
i 1
（3）取极限 max{t1, t2 ,, tn }
n
路程的精确值
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
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问题
以上两个例子，一个是几何问题，求的 是以曲线 y = f(x)为曲边，以 [a,b] 为底边的 曲边梯形的面积。一个是物理问题，求的是 速度函数为v(t)的变速直线运动的物体在时 间区间 [a,b] 所走过的路程
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间 [a,b] 分成 n y
个小区间 [ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
在每个小区间 [ xi1, xi ]
上任取一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
n
并作和S f (i )xi ，记 max{x1 , x2 ,, xn }， i 1 如果不论对[a, b] 怎样的分法，也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法， 只要当 0时， 和 S 总趋于
确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数 f ( x)
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在区间[a, b]上的定积分，记为
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（3）当函数 f ( x)在区间[a, b]上的定积分存在时， 称 f ( x)在区间[a,b]上可积.
三、存在定理
定理1 当函数 f ( x)在区间[a, b]上连续时， 称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
定理2
设函数 f ( x)在区间[a, b]上有界， 且只有有限个间断点，则 f ( x)在 区间[a, b]上可积.