高中数学选修12第三章推理与证明1归纳与类比12类比推理

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高中数学北师大版选修1-2 3.1.2 类比推理课件(34张)

( ) ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A．① B．①②
C．①②③
[答案] C
D．③
[ 解析 ]
因为正三角形的边和角可以与正四面体的面 ( 或
棱)和相邻的两面成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以 ①②③都恰当．
[答案] C
[解析]
A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成
0，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不满足对乘法的分配律； C 是正确的； D 中，令 n ＝ 2 显然不成立．
4 ．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的
性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是
[答案] C
[解析] 为合适．从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较
2 ．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人
的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因
此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( ) B．类比推理 D．以上说法都不对 A．归纳推理 C．没有推理 [答案] B [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比
(2)三角形Байду номын сангаас中位线等于第三边的一半，且平行于第三边．
[解析] 三角形与四面体有下列相似的性质： ①三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形；
四面体是空间中由平面所围成的最简单的封闭图形．
②三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段端点连线所形成的图形；四面体可以看作空间中一个三角形所在平面外一点与这个三角形顶点连线所形成的图形．

高中数学第三章推理与证明归纳推理与类比推理异同点比较拓展资料素材北师大版选修1-2

归纳推理与类比推理异同点比较合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理.一.归纳推理和类比推理的联系:归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明.二.归纳推理和类比推理的区别:(一) 归纳推理1.归纳推理定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．说明：归纳推理的思维过程大致如下：2.归纳推理的特点:（1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.3.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同本质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．(二).类比推理（以下简称类比）1.类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．3.说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物, 同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性. 人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具.例1. 如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数a n= ．【答案】 a n=3n2-3n+1.【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个, a1=1; 图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个, a2=2+3+2; 图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称, a3=3+4+5+4+3;……;可以猜想: 第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此a n=n+(n+1)+…+(2n-1)+…+(n+1) + n=3n2-3n+1.【评析】上例是利用归纳推理解决问题的.归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一.例2.如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点．求证：++为定值．分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△ LCV．得++=++。

高中数学第三章推理与证明1.1.2类比推理教案含解析北师大版选修1_2

1．2 类比推理类比推理三角形有下面两个性质：(1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底乘积的12.问题1：你能由三角形的这两个性质推测空间四面体的性质吗？试写出来．提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.问题2：由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么？提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．定义特征由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，把这种推理过程称为类比推理. 类比推理是两类事物特征之间的推理.合情推理合情推理的含义(1)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．1．类比推理是从人们已经掌握了的事物特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠；2．类比推理以旧的知识作为基础，推测新的结果，具有发现功能．平面图形与空间几何体的类比[例1] (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦； (2)与圆心距离相等的两弦长相等； (3)圆的周长C ＝πd (d 是直径)； (4)圆的面积S ＝πr 2.[思路点拨] 先找出相似的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面积类比体积． [精解详析] 圆与球有下列相似的性质：(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.圆球圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面(不经过球心的小圆面)圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面的面积相等圆的周长C ＝πd 球的表面积S ＝πd 2圆的面积S ＝πr 2球的体积V ＝43πr 3[一点通] 解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形立体图形点点、线直线直线、平面边长棱长、面积面积体积三角形四面体线线角面面角平行四边形平行六面体圆球1．下面类比结论错误的是( )A ．由“若△ABC 一边长为a ，此边上的高为h ，则此三角形的面积S ＝12ah ”类比得出“若一个扇形的弧长为l ，半径为R ，则此扇形的面积S ＝12lR ”B ．由“平行于同一条直线的两条直线平行”类比得出“平行于同一个平面的两个平面平行”C ．由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”类比得出“在空间中，垂直于同一个平面的两个平面平行”D ．由“三角形的两边之和大于第三边”类比得出“凸四边形的三边之和大于第四边” 解析：选C 只有C 中结论错误，因为两个平面还有可能相交．2.如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.定义、定理与性质的类比[例2][精解详析] ①两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是向量； ②从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律，即：a ＋b ＝b ＋a ，a ＋b ＝b ＋a ，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； ③从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a ＋x ＝0与a ＋x ＝0都有唯一解，x ＝－a 与x ＝－a ；④在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a ＋0＝a .在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a ＋0＝a .[一点通] 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，本例中实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量0分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位．因此我们可以从这四个方面进行类比．3．试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.等式不等式a ＝b ⇒a ＋c ＝b＋c① a ＝b ⇒ac ＝bc ② a ＝b ⇒a 2＝b 2③答案：①a >b ⇒a ＋c >③a >b >0⇒a 2>b 2(说明：“>”也可改为“<”)4．已知等差数列{a n }的公差为d ，a m ，a n 是{a n }的任意两项(n ≠m )，则d ＝a n －a mn －m，类比上述性质，已知等比数列{b n }的公比为q ，b n ，b m 是{b n }的任意两项(n ≠m )，则q ＝________.解析：∵a n ＝a m qn －m，∴q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a m 1n －m.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a m 1n －m1．类比推理先要寻找合适的类比对象，如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．2．归纳推理与类比推理都是合情推理．归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发现的．1．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形D ．矩形解析：选C 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．2．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C 设内切球的球心为O ，所以可将四面体P ABC 分为四个小的三棱锥，即O ABC ，O PAB ，O PAC ，O PBC ，而四个小三棱锥的底面积分别是四面体P ABC 的四个面的面积，高是内切球的半径，所以V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.3．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 类比等比数列{b n }中b 1b 2b 3…b 9＝b 95，可得在等差数列{a n }中a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝9×2.4．类比三角形中的性质： ①两边之和大于第三边； ②中位线长等于底边长的一半； ③三内角平分线交于一点．可得四面体的对应性质：①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；②过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14；③四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理方法正确的有( ) A ．① B ．①② C ．①②③D ．都不对解析：选C 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．5．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ―→＝12()AB ―→＋AC ―→ ，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：______________________________________.．解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．答案：在四面体A BCD 中，G 是△BCD 的重心，则AG ―→＝13()AB ―→＋AC ―→＋AD ―→ 6．运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一条固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线方程分别是x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为__________．解析：由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a，即k ＝b a，所以椭圆面积S ＝πa 2·b a＝πab . 答案：πab7．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b2c 2＝1.于是把结论类比到四面体P A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P A ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.8．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明； (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．解：(1)在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…＋10d ＝100d ＝300，10个同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300. (2)在公差为d 的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则对于任意k ∈N ＋，数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 也成等差数列，且公差为k 2d .9．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证a 21＋a 22≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2，则f (x )＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22. 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，所以a 21＋a 22≥12.(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)类比上述证法，对你推广的结论加以证明．解：(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，求证：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.(2)证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2，则f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n . 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0.。

高中数学第三章推理与证明归纳推理教案北师大版选修1-2(1)

3.1归纳与类比归纳推理教材依据“归纳推理”是北京师范大学出版社出版的普通中学课程标准实验教科书数学（选修1－2）第三章第一节的内容。

教学目标：1.知识与技能目标：理解归纳推理的原理，并能运用解决一些简单的问题。

2.过程与方法目标：通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”的理念。

3.情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

教学重点：归纳推理的原理教学难点：归纳推理的具体应用。

教法学法：自主、合作探究教学教学准备：多媒体电脑、课件、空间多面体模型等教学过程：1.创设情景：1．情景㈠：苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理”思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

2．情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。

如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7， 16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，……2.探求研究:探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。

教师指导，合作交流，归纳：22V V V =棱柱棱台棱锥＝－，32EE E =棱柱棱台棱锥＝，1F F F 棱柱棱台棱锥＝＝＋，F+V-E=2等等，其中“F+V -E=2”为“欧拉公式”。

3.概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。

定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).说明：⑴归纳推理的作用：发现新事实，获得新结论；(2)归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；⑶归纳推理的结论不一定成立。

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第二章推理与证明一、合情推理1、归纳推理：个别一般（结论不一定正确）2、类比推理：特殊特殊例 1、推导等差数列通项公式。

解： a2a3da3a22d个别a4a33d一般a n a1(n1)d例 2、求132333n3________.解： 131121323932特殊333212 3 =36= （ 1+2+3 ）(1 2 3n) 21一般13 +2 3+3 3++n 3n2 (1 n) 24二、演绎推理1 大前提： M 是 P三段论 2 小前提： S 是 M一般特殊结论正确3 结论： S 是 P例：“自然数是整数， 4 是自然数，所以 4 是整数”。

三、直接证明、综合法：条件结论12、分析法：结论条件例：设 a, b, c, d0, 且 a+b=c+ d,证明：1 若 ab cd ，则 a b c d .2 若 a b c d , 则 a b c d .证明： 1要证a b c d，只要证 (a b) 2(c d )2，即 a 2ab b c2cd d，分析法因为 a b c d, 所以只要证ab cd ，只要证 ab cd,因为 ab cd 成立 ,所以 a b c d 成立 .2 若 a b 即(a b)2因为 a bc d ,( a b) 2(c d )2，4ab(c d )24cd ，综合法c d, 所以 ab cd ，由（ 1）可知a b c d .四、间接证明反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。

例 1、若 x 2 -( m n) x mn 0，则 x m 且 xn.证：假设 x m 且 x n 不成立，则x=m 且 x=n ，2 -( m n) x mn 0 矛盾 ,所以 ( x m)( x n)=0 与 x故假设不成立，x m 且 x n 成立 .例 2、证明2是无理数.q证明：假设 2 是有理数，则2=（p、q互质的整数）,p2p2q2 ,q2是偶数，q是偶数，可设 q=2 （k k 为整数） ,2p 24k 2 ,p22k 2 ,p2是偶数，p也是偶数，与p、 q 互质矛盾，则假设不成立，2 是无理数 .五、数学归纳法*步骤：①：（归纳奠基）证明当n 取第一个值an 0 (n 0N ) 时命题成立.例1、例2、。

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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第三章推理与证明 §1 归纳与类比课时目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．归纳与类比定义特征归纳推理由某类事物的__________具有某些特征，推出该类事物的______对象都具有这些特征的推理，或者由________概括出________的推理归纳推理是由__________，由__________的推理类比推理由两类对象具有某些____特征和其中一类对象的某些________，推出另一类对象也具有这些特征的推理类比推理是由____________的推理2.合情推理归纳和类比都是合情推理，得出的结论____________________．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误2．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n －1＋1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的一个表达式是( )A ．n 2－1B ．(n －1)2＋1C ．2n －1D ．2n －1＋13．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝1112×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 ……A ．1111110B ．1111111C ．1111112D ．1111113 4．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35. 观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A ．■B ．C ．□D ．○二、填空题6．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是__________________________．7．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________．8．观察下列等式： ①cos 2α＝2c os 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18co s 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________.三、解答题9．观察等式sin 220°＋sin 240°＋sin 20°·sin 40°＝34；sin 228°＋sin 232°＋sin 28°·sin 32°＝34.请写出一个与以上两个等式规律相同的一个等式．10.已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n (n ∈N *)，求出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式．.能力提升11．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆C 上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在时，记为k PM 、k PN ，那么k PM与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似的特性的性质，并加以证明．1．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质．(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．2．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系．在应用类比推理时，其一般步骤为：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．③检验这个猜想．第三章推理与证明 §1 归纳与类比答案知识梳理 1. 定义特征一般步骤归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理由特殊到一般 1.通过观察个别情况发现某些共同性质；2.从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理由特殊到特殊1.找出两类事物的相似性或一致性；2.用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得到一个明确的命题(猜想)2.不一定是正确的作业设计1．B [合情推理的结论不一定正确，但必须有前提有结论．]2．C [a 2＝2a 1＋1＝2×1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝2×3＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n ＝2n －1.故选C.]3．B [由数塔可以猜测，结果是各位都是1的七位数，即1111111.] 4．B5．A [图形涉及□、○、三种符号；其中○与各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个□符号，即应画上■才合适．]6．正四面体的内切球的半径是高的14解析原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是高的14.7．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 8．962解析观察各式容易得m ＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，将m ＝512代入得n ＋p ＋350＝0.对于等式⑤，令α＝60°，则有cos 600°＝512·1210－1 280·128＋1 120·126＋116n ＋14p －1，化简整理得n ＋4p ＋200＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋p ＋350＝0，n ＋4p ＋200＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－400，p ＝50. ∴m －n ＋p ＝962. 9．解 ∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°，而cos 60°＝12，sin 60°＝32，由此题的条件猜想，若α＋β＝60°，则sin 2α＋sin 2β＋sin α·sin β＝sin 2(α＋β)＝34.10．解由a 1＝S 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1得，a 1＝1a 1，又a 1>0，所以a 1＝1.当n ≥2时，将S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ， S n －1＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1的左右两边分别相减得a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n －12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1，整理得a n －1a n ＝－⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1，所以a 2－1a 2＝－2，即a 22＋2a 2＋1＝2，又a 2>0，所以a 2＝2－1.同理a 3－1a 3＝－22，即a 23＋22a 3＋2＝3，又a 3>0，所以a 3＝3－ 2. 可推测a n ＝n －n －1.11．D [由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．]12．证明类似性质为：若M 、N 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与P 点位置无关的定值．其证明如下：设P (x ，y )，M (m ，n )，则N (－m ，－n )，其中m 2a 2－n 2b 2＝1，即n 2＝b 2a 2(m 2－a 2)． ∴k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋nx ＋m ，又x 2a 2－y 2b 2＝1，即y 2＝b 2a2(x 2－a 2)， ∴y 2－n 2＝b2a2(x 2－m 2)．∴k PM ·k PN ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a2.故k PM ·k PN 是与P 点位置无关的定值．。

北师版数学高二选修1-2课件归纳与类比

an＝a1qn－1
性质若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq 若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq
跟踪训练3 若数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有数列bn＝a1＋a2＋n …＋an (n∈N＋)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0，则有数列dn＝_n_c_1_c_2c_3_…_c_n_(n∈N＋)也是等比数列.
解答
(1)类比推理的一般步骤
反思与感悟
(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：
平面图形点
直线边长面积三角形线线角
空间图形直线平面面积体积四面体面面角
跟踪训练4 如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明.
答案
梳理
(1)定义：由两类不同对象具有某些类似的特征在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理称为类比推理(简称类化). (2)特征：由特殊到特殊的推理.
知识点三合情推理
思考1
归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案区别：归纳推理是由特殊到一般的推理，而类比推理是由特殊到特殊的推理. 联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假.
C.n2
D.n
解析答案
反思与感悟
图形中归纳推理的特点及思路 (1)从图形的数量变化规律入手，找到数值变化与数量的关系. (2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化.

归纳推理与类比推理

2
解：当当当
1 n 6
时
2
n 1

n 1
n 1 n 1
2
n=7 时 n>8 时
2 2
n 1 n 1

2

2
二、类比推理
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转有大气层有大气层一年中有四季的变更温度适合生物的生存一年中有四季的变更大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存
一、归纳推理
整体一般
例1：第一个数为2 ，第二个数为4，第三个数为6 ，第四个数为8。猜想:第n个数为 2 n
部内角和为凸五边形内角和为
180

4 2 180 360 540 5 2180
3 2180
为半径的圆的方程为 (x-x0)2+(y-y0)2=r2.
二、类比推理
例4：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
A Ｂ
c2=a2+b2
a
Ｃ
c b
Ａ B
s1
o s 2
C
s3
2 2 2 2 S =S +S +S 猜想: △ABC △AOB △AOC △BOC
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
abba a b, b c a c a b ac bc a b ac bc
二、类比推理
. 弦
. 截面圆经过球心的截面圆表面积体积
直径
周长面积
二、类比推理

高中数学第三章推理与证明1.2类比推理课件北师大版选修1_2

1 2 34 5
解析答案
2.下面使用类比推理，得出的结论正确的是 A.若“a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b” B.“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”
√C.“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“a＋c b＝ac＋bc(c≠0)”
D.“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”
解析显然A，B，D不正确，只有C正确.
1 2 34 5
解析答案
3.根据“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体 A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点
√C.各正三角形的中心
D.各正三角形外的某点
解析正四面体的四个面都是正三角形，其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心.
梳理合情推理的定义及分类定义：根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式. 分类：常见的合情推理有归纳推理与类比推理.
[思考辨析判断正误] 1.由平面三角形的性质推测四面体的性质是类比推理.( √ ) 2.类比推理是从特殊到特殊的推理.( √ ) 3.合乎情理的推理一定是正确的.( × )
则 b2＝ac，即 c2－a2＝ac，可得 e2－e＝1，又由 e>1，则 e＝
5＋1 2.
解析答案
达标检测
1.下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是
A.三角形
√C.平行四边形
B.梯形 D.矩形
解析因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
③由“平面内，垂直于同一直线的两直线相互平行”，类比得到“空

【精编】北师大版高中数学选修1-2课件第3章推理与证明本章整合-精心整理

如:��△△��12��12
=
��1 ��2
·��1��1 ��△��2��2
证明:不妨设直线 a 与平面 α 相交,假设直线 b 不与平面 α 相交,则 b⫋α 或 b∥平面 α.
①若 b⫋α,由 a∥b,a⊈α,得 a∥α 或 a⫋α,这与“a 与平面 α 相交”矛盾. ②若 b∥α,则平面 α 内有直线 b',使 b'∥b. 而 a∥b,故 a∥b',因为 a⊈α,所以 a∥α,这与“a 与平面 α 相交”矛盾. 综上所述,假设不成立,则直线 b 与平面 α 只能相交.
只需证(2cos α-1)2≥0.上式显然成立. 所以原不等式成立,即 2sin 2α≤1s-cino��s��.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四反证法
1.反证法是间接证明的一种基本方法,它不是直接证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上,运用正确的推理,导出矛盾,从而肯定结论的真实性.在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”等字句的命题时,正面证明较难,可考虑反证法,即“正难则反”.
·��12
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三综合法与分析法
综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,分析法既可用于寻找解题思路,也可以是完整的证明过程.分析法与综合法相互转换、相互渗透,充分利用这一辩证关系,在解题中综合法与分析法联合运用,转换解题思路,增加解题途径.

2020北师大版高中数学选修1-2：第三章类比推理

异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条连
线所在直线的斜率之积为定值 − ��.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
反思平面几何中的类比主要体现在圆与椭圆、双曲线,椭圆与双曲线之间的类比.解决该类问题同样应抓住所给问题的相似特征, 同时要注意平面几何图形之间的差异,进行合理类比,实际类比的结果往往都是通过计算得到的.
1.2 类比推理
-1-
目标导航
1.理解类比推理的概念,能利用类比推理进行简单的推理,掌握类比推理解决问题的思维过程.
2.理解合情推理的含义,体会并认识合情推理在数学发展中的作用.
知识梳理
1.类比推理
定义
由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理
=
��1��1 ��
,
试在立体几何
中写出类似的结论.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
解:
如图,在三棱锥 S-ABC 中,D,E,F 分别是侧棱 SA,SB,SC 上的点,
若
SA=a,SB=b,SC=c,SD=a1,SE=b1,SF=c1,则
��-�� -��
的面积公式为
弧长×半径 2
,
即S扇
=
�� .
2
答案:C
1234
2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数

高中数学第三章推理与证明 3.1 归纳与类比 3.1.2 类比推理知识导航素材北师大版选修12

1.2 类比推理自主整理1.两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为___________.2.类比推理是两类事物___________之间的推理.3.利用类比推理得出的结论___________（填“一定”或“不一定”）正确.4.根据解决问题的需要，可对___________、___________、___________进行类比.5.___________和___________是最常见的___________，___________是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理公式.高手笔记1.类比推理是数学命题来源的另一条途径，也是知识推广的思维过程.学习立体几何常常要类比平面几何，发现和得到一些立体几何的结论.2.归纳推理与类比推理都是合情推理.归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来.的学习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力.3.合情推理只是一种猜测，结论不一定正确.名师解惑合情推理的结果不一定正确，但合情推理是科学发现和创造的基础，你如何看待这一问题？剖析:数学真理知识的发现、发掘和推陈出新是在前面知识的基础上，通过对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理得到，合情推理通常是靠猜想与联想等心智活动串联起来.这种心智活动形式能导致人们作出新的判断和预见，能帮助发现数学真理，包括发现新的数学关系结论、新的数学方法及数学命题等等，但它毕竟是一种非逻辑的思维形式，属于“发散思维”范畴，当然并不能用以精确地建立数学命题和理论，最后要证明命题或定理，还需运用严格的逻辑分析与演绎推理，即“收敛思维”.讲练互动【例1】一个等差数列{a n}，其中a10=0，则有a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(1≤n≤19)，一个等比数列{b n}，其中b15=1,类比等差数列{a n}有下列结论：___________.分析:在等差数列{a n}中，a10=0,已知以a10为等差中项的项和为0，如a9+a11=a8+a12=…=a2+a18=a1+a19=0，而在等比数列{b n}中，b15=1,类似地有b1b29=b2b28=…=b14b16=1,从而类似的总结规律应为各项之积.解:∵在等差数列{a n}中，a10=0,∴a1+a19=a2+a18=…=a8+a12=a9+a11=0,即a19-n+a n+1=0,a18-n+a n+2=0,a17-n+a n+3=0,…∴a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a n+a n+1+a n+2+…+a19-n.∵b15=1,∴b1b29=b2b28=…=b14b16=1,即b29-n b n+1=b28-n b n+2=…=b14b16=1.∴有b1b2…b n=b1b2…b29-n(1≤n≤29,n∈N+).绿色通道本题考查了等差中项、等比中项和等差数列、等比数列的性质及观察判断、猜想类比的能力.对于等差数列、等比数列有许多类似的性质，可结合定义进行类比. 变式训练1.已知等差数列{a n }，公差为d,前n 项和为S n ，有如下性质：（1）通项a n =a m +(n-m)d.(2)若m+n=p+q,其中m 、n 、p 、q∈N +,则a m +a n =a p +a q . (3)若m+n=2p,m 、n 、p∈N +，则a m +a n =2a p . (4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 构成等差数列. 类比得出等比数列的性质.解:等比数列{b n },公比为q,前n 项和S n ,有如下性质:(1)通项a n =a m q n-m.(2)若m+n=p+q,其中m 、n 、p 、q∈N +,则a m ·a n =a p ·a q .(3)若m+n=2p,q 、m 、n∈N +,则a m ·a n =a p 2. (4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 构成等比数列.【例2】若射线OM 、ON 上分别存在点M 1、M 2与N 1、N 2，则三角形面积之比为212211OM OM S S N OM N OM =∆∆·21ON ON . 若不在同一平面内的射线OP 、OQ 和OR 上，分别存在点P 1、P 2，点Q 1、Q 2，点R 1、R 2，则类似的结论是什么？分析:本题已知三角形的面积之比需弄清楚点分得到的结论，然后才能类比得结论扩展到空间的问题.解:∵22221111sin 21sin 212211ON M ON OM ON M ON OM S S N OM N OM ∠∙∠∙=∆∆=2221ON OM ON OM ∙∙，其面积比中有一个共同的角，类似地，连结P 1Q 1、Q 1R 1、P 1R 1、P 2Q 2、Q 2R 2、P 2R 2，得到的是锥体，需研究锥体的体积并找出不变量，两条相交线确定一个面，另一条线不在这个面内就有线面角，而线面角不随点的位置变化而变化，设OP 与面QRO 所成的角为θ.OP 在面ORQ 内的射影为OP′，P 1、P 2的射影分别为P 1′、P 2′，则22211'''OP P P OP P P ==sin θ，且22112211OR OQ OR OQ S S R OQ R OQ ∙∙=∆∆.∴2122112211222111'31'31OP OP S P P S P P V V R OQ R OQ R Q OP R Q OP =∙∙=∆∆·2211OR OQ OR OQ ∙∙. ∴类似地有21222111OP OP V V R Q OP R Q OP =·2211OR OQ OR OQ ∙∙. 绿色通道要准确地得到相似的结论，需先弄清楚前面的结论是怎么得到的，才能类似地推出.一般地平面内的面积问题推广到空间内为体积问题，平面内的线段问题，推广到空间为面积问题.变式训练2.三角形的面积为S=21(a+b+c)r,a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，求出四面体的体积公式. 解:V=31(S 1+S 2+S 3+S 4)r(S 1、S 2、S 3、S 4分别为四个面的面积,r 为内切球半径),设△ABC 的三边与⊙O 分别切于D 、E 、F, 则OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB 且OD=OE=OF=r. 连结OA 、OB 、OC, 则S △ABC =S △OAB +S △OAC +S △OBC =21cr+21br+21ar=21(a+b+c)r. 类似地,三棱锥P —ABC 的内切球为球O,半径为r,则球心O 到各面的距离都为r,四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4,则V P —ABC =V O —ABC +V O —PBC +V O —PAC +V O —PAB=31S 1r+31S 2r+31S 3r+31S 4r =31(S 1+S 2+S 3+S 4)r.【例3】若a 1、a 2∈R +，则有不等式22221a a +≥(221a a +)2成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广.分析:注意观察不等式两边的结构，两个数的平方，若三个数、四个数、n 个数怎样变化呢？若次数为三次、四次、n 次又怎样变化呢？注意思维要发散开.解:第一种类型：3232221a a a ++≥(3321a a a ++)2，424232221a a a a +++≥(44321a a a a +++)2，…n a a a n 22221+++ ≥(n a a a a n ++++ 321)2.第二种类型：23231a a +≥(221a a +)3，24241a a +≥(221a a +)4， …221nn a a +≥(221a a +)n. 第三种类型：3333231a a a ++≥(3321a a a ++)3，…n a a a nn n n +++ 21≥(na a a n +++ 21)n .绿色通道像这样的类比推广的问题，可采用纵、横推广法，如本例中，第一种类型是从个数上进行推广——横向推广；第二种类型是从指数上进行推广——纵向推广；第三种类型则是纵、横综合推广. 变式训练3.设f(x)(x∈［a,b ］)满足2)()(21x f x f +≤f(221x x +)(其中x 1、x 2为［a,b ］上任意两点)，你能将此不等式推广吗？解:设在［a,b ］上任意n 个点x 1,x 2,x 3,…,x n ,则n x f x f x f n )()()(21+++ ≤f(nx x x n+++ 21).【例4】设F 1、F 2分别为椭圆C ：22a x +22by =1(a>b>0)的左、右两个焦点.（1）若椭圆C 上的点A （1,23）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标.（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程.（3）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值，试写出双曲线2222by a x -=1具有类似特性的性质并加以证明.分析:由已知条件可写出椭圆方程及代入法求轨迹，本题不是直接证明椭圆中的性质，而是类似地转化到双曲线中证明双曲线具有的性质,用斜率公式及双曲线方程即可得证.解:（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.又点A （1，23）在椭圆上，因此221+22)23(b =1,b 2=3.∴c 2=a 2-b 2=1.∴椭圆C 的方程为42x +32y =1,焦点F 1（-1，0），F 2（1，0）.(2)设椭圆C 上的动点为K(x 1,y 1)，线段F 1K 的中点Q （x,y ）满足x=211x +-,y=21y, ∴x 1=2x+1,y 1=2y.∴4)12(2+x +3)2(2y =1,即（x+21）2+342y =1为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m,n ），则点N 的坐标为（-m,-n ），其中2222bn a m -=1.又设点P 的坐标为（x,y ），由k PM =mx ny --, k PN =m x n y ++,得k PM ·k PN =m x n y --·m x n y ++=2222m x n y --.将y 2=22a b x 2-b 2,n 2=22a b m 2-b 2,代入得k PM ·k PN =22ab .绿色通道类比定义和性质是中学数学中最常考查的一类问题，它能很好地培养学生探索问题的能力，应该给予足够的重视.有兴趣的同学也可证明椭圆具有的性质.类比是研究圆锥曲线的一种方法. 变式训练4.类比圆的下列特征，找出球的相关特征:(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆； (2)平面内不共线的3个点确定一个圆； (3)圆的周长与面积可求；(4)在平面直角坐标系中，以点（x 0,y 0）为圆心、r 为半径的圆的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=r 2. 解:(1)空间内与定点距离等于定长的点的集合是球. (2)空间内不共面的4个点确定一个球. (3)球的表面积与体积可求.(4)在空间直角坐标中,以点(x 0,y 0,z 0)为球心,r 为半径的球的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2=r 2.。

高中数学第三章推理与证明高考中的类比推理拓展资料素材北师大版选修1-2

高考中的类比推理大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。

”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。

类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。

例1、（2006湖北）半径为r 的圆的面积2)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R 的球，若将R 看作看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，,34)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'34(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例2．（2000年上海高考第12题）在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。

类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式成立。

分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。

在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。

高中数学第三章推理与证明章末高效整合课件北师大版选修1_2

反证法是假设原命题不成立，经过正确的推理最后推出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．理论根据是互为逆否命题的两个命题是等价命题，即若 p⇒q成立，则 ¬q⇒¬p成立，这里得出的矛盾可以与某个已知条件矛盾，可以是与某个事实、定理、公理相矛盾，也可以是自身相矛盾．反证法的使用范围：唯一性问题，“至少”“至多”问题，问题本身是否定语气提出的问题．
x＋1x≥2 x·1x，小前提
所以 x＋1x≥2，结论
以上推理过程中的错误为( )
A．大前提
B．小前提
C．结论
D．无错误
解析：大前提中a、b∈(0，＋∞)，而小前提中x∈R，
故小前提出错，应添加x∈(0，＋∞、B*C、C*D、D*B分别对应下列图形，
那么下面的图形中，可以表示A*D，A*C的分别是( )
章末高效整合
知能整合提升
1．合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理． 2．归纳推理 (1)概念：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理叫做归纳推理． (2)特点：归纳是从特殊到一般的过程． (3)归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质． ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 (猜想)．
(2) 如果点 D 在 △ABC 之外 ( 如图 ②) ，根据假设 ∠BAD ， ∠B ， ∠BCD ， ∠D 都小于 90° ，这与四边形内角之和等于 360°矛盾．
综上所述，原结论成立．
3．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．
求证：sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn

高中数学选修12第三章推理与证明1归纳与类比12类比推理

高中数学北师大版选修1-2 3.1.2 类比推理课件(34张)

高中数学 第三章 推理与证明 归纳推理与类比推理异同点比较拓展资料素材 北师大版选修1-2

高中数学第三章推理与证明1.1.2类比推理教案含解析北师大版选修1_2

高中数学 第三章 推理与证明 归纳推理教案 北师大版选修1-2(1)