由分布列求期望、方差

• 类型二 离散型随机变量的方差 • 解题准备：求离散型随机变量ξ的期望与方差的方
法． • (1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； • (2)求ξ取每个值的概率； • (3)写出ξ的分布列； • (4)由期望的定义求Eξ； • (5)由方差的定义求Dξ.
• 【典例2】 编号1,2,3的三位学生随意入座编号为 1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编 号相同的学生的个数是ξ.
[解析] (1)依题意，随机变量 ξ 的取值是 2、3、4、5、6. 因为 P(ξ＝2)＝3822＝694； P(ξ＝3)＝2×8232＝1684； P(ξ＝4)＝32＋28×2 3×2＝2614； P(ξ＝5)＝2×832×2＝1624； P(ξ＝6)＝2×82 2＝644. 所以，当 ξ＝4 时，其发生的概率最大，为 P(ξ＝4)＝2614.
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正
• ①列出离散型随机变量的分布列；②利用公式Eξ＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…，求出期望值．
【典例1】 (2011·福州市高中毕业班综合测试卷)口
袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1， 三张标有数字2，两张标有数字3，第一次从口袋里任 意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记 第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ. (1)ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由． (2)求随机变量ξ的期望Eξ.
由分布列求期望、方差
• 3．如果离散型随机变量ξ所有可能的取值是x1， x2，…，xn，…且取这些值的概率分别是p1，p2，…， pn，…，设Eξ是随机变量ξ的期望，那么把Dξ＝(x1－ Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做随 机变量ξ的均方差，简称方差．Dξ的算术平方根叫做 随机变量ξ的标准差，记作σξ.随机变量的方差与标准 差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散 的程度．其中标准差与随机变量本身有相同的单位．
• 点评：当ξ的所有可能取值为x1，x2，…，xn这n个值 时，若p1＝p2＝…＝pn＝ 1/n ，则x1，x2，…，xn 的方差就是我们初中学过的方差．因此，现在学的方 差是对初中学过的方差作了进一步拓展．
• 类型一 求离散型随机变量的期望
• 解题准备：求离散型随机变量的期望，一般分两个步 骤：
(2)Eξ＝2×694＋3×6148＋4×2614＋5×1624＋6×644＝145.
• [点评] 本题主要考查某事件发生概率的求法，以及 离散型随机变量分布列的数学期望的求法．问题(1)， 对ξ的取值做到不重不漏，这是学生容易出错的地 方．利用好计数原理和排列、组合数公式，求事件发 生的概率，问题(2)比较容易，用好离散型随机变量分 布列的数学期望公式即可．
[解析] (1)P(ξ＝0)＝A233＝13；P(ξ＝1)＝CA3313＝12；
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P(ξ＝3)＝A133＝16；
∴概率分布列为： ξ013
P
1 3
1 2
1 6
(2)Eξ＝1×12＋3×16＋0×13＝1. Dξ＝(0－1)2·13＋(1－1)2·12＋(3－1)2·16＝1.
• [点评] 本题是研究对号入座学生个数为离散型随机 变量的概率分布列、期望、方差问题，关键是分析对 号入座学生个数的情况，以及每种取值下事件所包含 的结果数，基本事件的总数．若问题推广为错位入座 的学生个数．其变量ξ的概率分布列、期望、方差也 可用类似方法解决．
• (1)求随机变量ξ的概率分布；
• (2)求随机变量ξ的数学期望和方差．
• [分析] (1)随机变量ξ的意义表示对号入座的学生个数； 它的取值只有0、1或3，若2人对号入座第3人必对号 入座，所以ξ＝2不存在．由排列知识与等可能事件概 率公式易求分布列．
• (2)直接用随机变量的数学期望和方差计算公式即可．