第4章 控制系统的根轨迹分析法

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
极点 s1 离虚轴最近，所以 系统的主导极点为 s1 ，而其 他两个极点可以忽略。
图4-25
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
这时系统可以看做是一阶系统。 传递函数为 1 1
(s)
2k 1 与实轴正向夹角为 n m
p z
i 1 i j 1
n
m
Leabharlann Baidu
j
nm
；
n 1 1 j 1 d z j i 1 d pi m
规则六：根轨迹的分离点d在实轴上且满足
例1： •设一单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求 K 0 时的闭环根轨迹。
•解：将开环传递函数写成零、极点形式 2 K ( s 1) G(s) s( s 2)
按绘制根规迹法则逐步进行：
① 法则一，有两条根轨迹
② ③ 法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、－2，一条 终于有限零点－1，另一条趋于无穷远处。 法则四，在负实轴上，0到－1区间和－2到负无穷区间 是根轨迹。
0.67 s 1

Ts 1
*
A0
(s s )
i i 1 s 0
j 1 n

m
( 0)
Ak
K ( s zj )
*
m
s ( s si )
i 1 i k s sk
j 1 n

K ( sk zj )
* j 1 n
m
sk ( sk si )
i 1 i k
j 1 j
为相角条件
同时满足幅值条件与相角条件的s值即为特征根， 即系统的闭环极点。
4.2 绘制根轨迹的基本法则 规则一：根轨迹的分支数等于开环极点数n； 规则二：根轨迹起始于开环极点，终于开环零点； 规则三：根轨迹是连续的，并且关于实轴对称；
规则四：实轴上的根轨迹区域右侧实轴上开环零极点
的个数是奇数； 规则五：根轨迹的渐近线有n-m条，交与实轴
4.3.2 零度根轨迹
特征方程 D s 1 G s H s 根轨迹方程
Gs H s 1
i
幅值方程：
m
K
sz
i 1 n i 1
m
s p
i
1
n
i
相角方程：
s z s p 2k
i 1 i 1 i
C(s)
-
R(s)
-
k s( s 1)
C(s)
K 0, S1 0, S2 1
1 1 K , S1 S 2 4 2 1 1 1 1 1 K , S1 j , S2 j 2 2 2 2 2 1 1 K , S1 j, S2 j 2 2
可知系统的特称方程为：
4.1.2 根轨迹与系统性能
jω
将K值从零增大到正无穷时，系 统特征根的变化情况绘制在s平 面上如图所示。 稳定性：特征根都在s左半平面；
K=0.5
K=0 -1
K=0.25 -0.5 K=0.5
K=0 O σ
稳态性能：根据系统的稳态误差要 求，可以由根轨迹图确定闭环极点 位置的允许范围； 动态性能：由根轨迹图可知，当 0<K<0.5时，特征根都在负实轴上， 单位阶跃响应为非周期响应…..
p j pi
j 1 j i
n
z 2k z z p z
i
m
m
j 1 j i
j i
j 1
j i
分离角与会合角
除上述四个法则外，其他法则不变
K * (s 2) 其中 G( s) 例：某正反馈系统， ( s 3)( s 2 2s 2)
z1 2
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
4－4 系统闭环零、极点分布 与阶跃响应的关系
主要任务：
G(s)H (s) →闭环极点的根轨迹
零点
由开环
对某K*
求闭环极点 确定闭环传函
闭环系统动态性能
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r（t）
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使用常规根轨迹法绘制零度根轨迹时，对 于与相角方程有关的某些法则要修改
• 实轴上某一区域，若其右方开环实数零、 极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨 迹。 • 根轨迹的渐近线
2k A nm
a 计算公式不变。
根轨迹的起始角与终止角
p 2k z
i
m
j 1
j pi
在 对 系 统 进 行 分 析 时就 ，可 以 将 其 忽 略 不 计 。
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
四、利用主导极点估算系统的性能指标
• 既然主导极点在动态过程中起主要作用， 那么，计算性能指标时，在一定条件下 就可以只考虑暂态分量中主导极点对应 的分量，将高阶系统近似看做一、二阶 系统，直接应用第三章中计算性能指标 的公式和曲线。
递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、 极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系 统的分析与设计带来了极大的方便。
4.1 根轨迹的基本概念 所谓根轨迹，就是指开环传递函数某个参数（如开环 增益K）从零变化到无穷大时，闭环系统特征根在s平 面上变化的轨迹。 4.1.1 根轨迹的概念
R(s)
k s( s 1)
Ta s 2 ( s 1) 等效开环传递函数为 G1 ( s ) H1 ( s ) 2 s sK
D(s) s(s 1)(Ta s 1) K 0
等效开环传递函数有3个零点，即0，0，-1；2个极点， 不同K值可计算出不同极点。
按照常规根轨迹的绘制法则可绘制出广义根轨迹如图
一、用闭环零、极点表示的阶跃响应 0011 0010 1010表达式 1101 0001 0100 1011
Ｎ阶系统的闭环传递函数可写为：
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm ( s ) n n 1 R( s ) a0 s a1 s an
试绘制开环系统根轨迹增益 K * 解：该系统是正反馈系统。
, H ( s) 1
0 变化时的根轨迹。
当 K * 0 变化时的根轨迹是零度根轨迹。利用零度根轨 迹法则绘制该系统的闭环根轨迹。 •实轴根轨迹在(3, )和(2, )区间内。 起始于开环极点 p1 3, p2 1 j1, p3 1 j1 终止于开环零点
•稳定性
所有闭环极点位于s平 面的 左半部； 平稳性
n k 1
C ( t ) (0) Ak e sk t
•复数极点设置在s平面中 与负实轴成 450夹角线附近；
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快速性
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
sk t C ( t ) ( 0 ) A e 闭环极点远离虚轴； k k 1 n
最后绘制出根轨迹如图所示。
例2： •已知系统的开环传递函数
K ( s 1) G(s) H (s) 2 s 3s 3.25
*
试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概 略绘制出根轨迹图。
解：根据系统开环传递函数求出开环极点
p1 1.5 j1, p2 1.5 j1
按步骤：
①n=2,m=1,有两条根轨迹 ②两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环 零点和无穷远零点 ③实轴上根轨迹位于有限零点－1和无穷零点 之间，因此判断有分离点
④渐近线
1.5 j1 1.5 j1 1 a 2 2 1 (2k 1) a 2 1
⑤求分离点坐标d
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例4-12
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
•某系统的闭环传递函数为
1 ( s ) (0.67 s 1)(0.01s 2 0.08s 1)
试近似计算系统的动态性能指标 %, t。 s
解：
这是三阶系统，有三个闭环极点 s1 1.5, s2,3 4 j9.2 其零、极点分布如图4-25所示。
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
将C(s)表达式进行拉式反变换得：
C ( t ) (0) Ak e
k 1
n
sk t
（4－74）

从上式看出，系统单位阶跃响 应将由闭环极点及系数决定， 而系数也与闭环零、极点分布 有关。
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二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定 性关系 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
位的极点，一般是离虚轴最近的极点。
如果有两个极点： sk k j k si i j i
i 若 4，极点si的作用就可以忽略。 k
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• 偶极子：就是一对靠得很近的闭环零、极点。
当 sk zi sk 0.1时 ， 就 可 以 认 为 sk 与zi 是 一 对 偶 极 子 。
第四章 控制系统的根轨迹分析法
本章学习目标： 明确根轨迹的概念及基本法则，熟练掌握 常规根轨迹的绘制； 能够利用根轨迹分析系统的性能； 了解特殊根轨迹的有关概念。
闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极 点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确 定出闭环极点位置是十分有意义的。
根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传
(s s )
i i 1
j 1 n
1 s
假设(s)中无重极点，上式分解为部分分式
A0 An A0 n Ak A1 C ( s) s s s1 s sn s k 1 s sk
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K0100 (s zj ) 0011 0010 1010 1101 0001 1011
* K ( s zj ) m
(s s )
i i 1
j 1 n
zj为闭环传递函数的零点
si为闭环传递函数的极点
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设输入为单位阶跃：r(t)=1(t),有：
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
* K ( s zj ) m
C ( s ) ( s ) R( s )
P( s) G1 ( s ) H1 ( s ) A Q( s )
K 例： 已知系统的开环传递函数为 G( s) H ( s) s( s 1)(Ta s 1) 1
2 试绘制当开环增益K为 2 ,1, 时，时间常数 化时的根轨迹。
Ta 变 0
解：
题目显然是求广义根轨迹问题。
系统特征方程为
1 1 1 d 1.5 j1 d 1.5 j1 d 1 d1 2.12, d2 0.12
（舍去）
4.3 特殊根轨迹
4.3.1 广义根轨迹 设系统开环传递函数为 闭环特征方程为
G( s) H ( s)
G( s ) H ( s ) 1 0
令：
等效变换成
P( s) A 1 0 Q( s)
i 1 i j 1 n
m
1
K*
(s z ) (s p )
i 1 i j 1 n j
m
1(2k 1)
所以
m
K*
| s p | | s z
j 1 n
i 1
n
i 1 m
i
为幅值条件
j
|
i
(s z ) (s p ) (2k 1)
4.1.3 根轨迹的幅值条件与幅角条件
R(s) B(s) G（s） H（s） C(s)
系统的特征方程为：1 G(s) H (s) 0
G(s) H (s) 1
K*
(s z ) (s p )
i 1 i j 1 n j
m
1
为根轨迹方程
K
*
(s z j ) (s p )
动态过程尽快消失
Ak 小，闭环极点之间间距
Ak
K ( sk z j )
*
m
大,零点与极点间间距小。
sk
(s
i 1 ik
j 1 n
4
k
1
si )
2
三、主导极点和偶极子
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• 主导极点：就是对动态过程影响占主导地