克里格方法(Kriging)

1 2
克里格法
01
Z(p)为区域Ω上随机过程，p∈Ω； Ω上有n个测点（样本点）， z i z ( pi )在 pi处的测值，则 p0 处的最优线性估计为
ˆ0 i zi z
i 1
n
02
ˆ0 ) 2 ] ,可推导出克里 最小化非测点 p0 处的估值方差 02 E[(z0 z 格方程组 n
(k ) ( k 1) 情况二： v(i ) ，表明网格节点上的较大估值方差变大了， g (i )
则取消第（k+1）次测点的移动。
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Kriging 方法与测点优化
克里格（Kriging）法
克里格法是地质统计学的核心。
解决问题：主要对矿产资源储量进行估计，
现已推广运用到各领域。
方法概要：根据已知样品的空间位置和相关
程度，求出未知区域线性无偏、估计误差最小
的储量。
优点：考虑到样品的空间变异性特征。
基本概念
01
变差函数：Z(p)为一随机过程，Z(p)在p，p+h两点处的值之差 的方差之半定义为Z（p）在p方向上的变差函数，记为
时，同理可得m个网格节点上的估值方差序列
( k 1) ( k 1) ( k 1) g (1) g ( 2) g ( m)
(k ) ( k 1) v ( i ) g ( i ) 是否成立，若成立，则让i=i+1,继续 令i=1，判断
判断是否成立，…
( k 1) 当 v((ki)) g 不成立时，分两种情况 (i ) ( k 1) 情况一： v((ki)) g ( i ) ，表明网格节点上的较大估值方差变小了， 则接受第（k+1）次测点的移动。
测点分布的优化的步骤
将区域Ω网格化，网格单元为边长等于d的正方形；将落在区 域Ω中的m个网格节点依次编号1、2、…、m,相应的空间坐标 为q 1、q2、…、qm
( 0) ( 0) ( 0) p , p , , p 1 2 n 设置区域Ω上n个测点的初始的空间坐标值值 ，取
一变异函数理论模型为B(h),并给c(0)赋一正值 假设测点的空间分布调整了k次后，区域Ω中m个网格节点q1、 (k ) ) (k ) m 2 、…、 q2、…、qm上的估值方差依次为 1(k、 ，将这m个估值 方差按由大到小的次序排列，得到
i 1
n

2 e
1 e i ce (hi 0 )
i 1
n
则
2 2 0 c(0) e
2
e 取决于区域Ω上测点的空 其中， c(0) 取决于区域Ω上的样本值， 间分布。上式在优化区域Ω上测点的空间分布时，只需任意赋予C(0) 一个正数，而无需实际采集的样本值。
上式说明，随机场上估值方差的分布相对大小仅取决于测点的空间分布。
) v((k1)) v((k2)) v((km )
这里，i和 v(i) [1, m] ，且对于任一 j [1, m] ，当 i j 时， v(i ) v( j ) 。
测点分布的优化的步骤
(k ) (k ) (k ) p , p , , p 当n个测点的空间分布由 1 2 n ( k 1) ( k 1) ( k 1) p , p , , p 调整为 1 2 n
(h) Var [( z ( p) z ( p h)]
(h) 只依赖于h。 变差函数描述了区域化变量的空间结构性。
02 协方差函数：随机过程Z(p) 在p1、p2处的两个随机变量Z(p1) 和Z(p2)的二阶混合中心矩，即 Cov{Z(p1), Z(p2)}=E[Z(p1)*Z(p2)]-E[Z(p1)]*E[Z(p2)]，记 为 C(p1, p2) 整个区域中，Z(p)的协方差函数存在且相同，即只依赖于h Cov{Z(p),Z(p+h)} ≜C(h)； 当h=0时，C(0)=Var{Z(x)}，x 03 (h)= C(0) —C(h)
c(hij ) j c(hi 0 )
j 1
n j
j 1
03
ˆ 0 的估值方差为 方程求解后，可得 z
2 0
c(0) i c(hi 0 )
i 1
n
2 ˆ 0 及估值方差 0 由此可知，估值 z 完全取决于C（h）
克里格法步骤
测点数据的分析和选择。
c(h) c(0)ce (h)
令 c(0)e 将上述式子代入克里格方程组可得与C(0)无关的克里 格方程组和克里格方差，如下
ce (hij ) j e ce (hi 0 )
j 1
n
i∈[1,n]
j 1
j 1
n
和 令
2 0
c(0)[1 e i ce (hi 0 )]
, ,, s 利用最大似然法求解，得到 03 至于B(h) 的参数 1 2
B' (hij ) 1 0 k i 1 j 1 B' (hij )
n n
优化测点分布的克里格方程组
由(h)=C(0)B(h)，可得
C(h)=C(0)(1-B(h)) 设 ce (h) 1 B(h) ，则上式可表示为
结构分析与变差函数的拟合、运算。
利用(h)= C(0) —C(h)公式得到C(h)
利用克里格方程求出估计量Z(p)
克里格法新解
01
变差函数：几乎所有的变差函数理论模型都可归纳为以下形式
(h)=A(h)*B(h)
(h)仅取决于测点的样本值，(h)则仅取决于测点的空间分布
02
A(h)由下式确定：A(h)=C(0)