金典教案辅助角公式

辅助角公式22sin cos )a b a b θθθϕ+=++教学应

注意的的几个问题

在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θ

θ+为一个角

的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式

sin cos a b θθ+22)a b θϕ++或sin cos a b θθ+22a b + cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个

学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法

教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 3α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3

π

）.

其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出

结论: 可见3α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.

一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θ

θ+为一个角的一个三角函数的形式.

解: asin θ+bcos θ22

a b

+2

2

a b

+sin θ2

2

a b

+cos θ),

① 2

2

a b

+=cos ϕ2

2a b

+=sin ϕ,

则asin θ+bcos θ22a b +θcos ϕ+cos θsin ϕ)

2

2

a b +θ+ϕ),(其中tan ϕ=b

a

)

② 2

2

a b

+=sin ϕ2

2

a b

+=cos ϕ,则

asin θ+bcos θ22a b +θsin ϕ+cos θcos ϕ22a b +θ-ϕ),(其中tan ϕ=

a b

) 其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出.或由tan ϕ=

b

a

和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习.

但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令

2

2

a b

+=cos ϕ2

2

a b

+=sin ϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推

导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θ

θ+22)a b θϕ++来得更自然

能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.

首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角

函数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设22

a b

+由三角函数的定义知 sin ϕ=

b r 22

a b +cos ϕ=2

2

a r

a b

=

+.

所以asin θ+bcos θ22a b +ϕ sin θ22a b +ϕcos θ

2

2

)a b θϕ++.(其中tan ϕ=b

a

)

r

图1

O

ϕ的终边 P(a,b)

y

x

•

2.若在平面直角坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角ϕ的终边经过点P(b,a),设OP=r,则22a b +由三

角函数的定义知

sin ϕ=a

r 22a b +,

cos ϕ=b

r 22

a b + asin θ+bcos θ2222sin cos cos a b sin a b ϕθϕθ+++

2

2

s()a b co θϕ+-. (其中tan ϕ=a

b

)

例3 3sin cos θθ+为一个角的一个三角函数的形式.

解:在坐标系中描点P(3

,1),设角

ϕ

的终边过点P,则OP

()

2

23

1+ϕ=

1

2

,cos ϕ=32.

∴

3sin cos θθ+=2cos ϕsin θ+2sin ϕcos θ=2sin(θϕ+).tan ϕ=3

3

. 26

k π

ϕπ=

+,3sin cos θθ+=2sin(6

π

θ+

).

经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式 asin

θ

+bcos

θ

=

22

a b +(2

2

a b

+sin

θ

+

2

2

a b

+cos

θ

)=

2

2

)a b θϕ++,(其中tan ϕ=b

a

).或者

asin

θ

+bcos

θ

=

22

a b +(

2

2

a b

+sin

θ

+

2

2

a b

+cos

θ

)=

2

2

)a b θϕ+-,(其中tan ϕ=a

b

)

图2

r

O

x

y

ϕ的终边 P(b,a)

•