金典教案辅助角公式

辅助角公式22sin cos )a b a b θθθ?+=++教学应

注意的的几个问题

在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θ

θ+为一个角

的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式

sin cos a b θθ+22)a b θ?++或sin cos a b θθ+22a b + cos()θ?-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个

学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法

教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 3α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3

π

）.

其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出

结论: 可见3α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.

一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θ

θ+为一个角的一个三角函数的形式.

解: asin θ+bcos θ22

a b

+2

2

a b

+sin θ2

2

a b

+cos θ),

① 2

2

a b

+=cos ?2

2a b

+=sin ?,

则asin θ+bcos θ22a b +θcos ?+cos θsin ?)

2

2

a b +θ+?),(其中tan ?=b

a

)

② 2

2

a b

+=sin ?2

2

a b

+=cos ?,则

asin θ+bcos θ22a b +θsin ?+cos θcos ?22a b +θ-?),(其中tan ?=

a b

) 其中?的大小可以由sin ?、cos ?的符号确定?的象限,再由tan ?的值求出.或由tan ?=

b

a

和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习.

但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令

2

2

a b

+=cos ?2

2

a b

+=sin ??让学生费解.二是这种 “规定”式的推

导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θ

θ+22)a b θ?++来得更自然

能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.

首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角

函数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角?,它的终边经过点P.设22

a b

+由三角函数的定义知 sin ?=

b r 22

a b +cos ?=2

2

a r

a b

=

+.

所以asin θ+bcos θ22a b +? sin θ22a b +?cos θ

2

2

)a b θ?++.(其中tan ?=b

a

)

r

图1

O

?的终边 P(a,b)

y

x

?

2.若在平面直角坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角?的终边经过点P(b,a),设OP=r,则22a b +由三

角函数的定义知

sin ?=a

r 22a b +,

cos ?=b

r 22

a b + asin θ+bcos θ2222sin cos cos a b sin a b ?θ?θ+++

2

2

s()a b co θ?+-. (其中tan ?=a

b

)

例3 3sin cos θθ+为一个角的一个三角函数的形式.

解:在坐标系中描点P(3

,1),设角

?

的终边过点P,则OP

()

2

23

1+?=

1

2

,cos ?=32.

∴

3sin cos θθ+=2cos ?sin θ+2sin ?cos θ=2sin(θ?+).tan ?=3

3

. 26

k π

?π=

+,3sin cos θθ+=2sin(6

π

θ+

).

经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式 asin

θ

+bcos

θ

=

22

a b +(2

2

a b

+sin

θ

+

2

2

a b

+cos

θ

)=

2

2

)a b θ?++,(其中tan ?=b

a

).或者

asin

θ

+bcos

θ

=

22

a b +(

2

2

a b

+sin

θ

+

2

2

a b

+cos

θ

)=

2

2

)a b θ?+-,(其中tan ?=a

b

)

图2

r

O

x

y

?的终边 P(b,a)

?

我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asin θ+bcos θ22

a b

+2

2

a b

+sin θ2

2

a b

+cos θ)的道理,以

及为什么只有两种形式的结果.

例4 化sin 3α

α-为一个角的一个三角函数的形式.

解法一:点(1,-

3

)在第四象限.OP=2.设角

?

过P 点.则

3sin 2?=-

,1cos 2

?=.满足条件的最小正角为53π,5

2,.3

k k Z ?ππ=+∈ 13sin 32(sin cos )2(sin cos cos sin )

2255

2sin()2sin(2)2sin().

33

k ααααα?α?α?αππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点P(-

3

,1)在第二象限,OP=2,设角

?

过P 点.则

1

sin 2

?=

,

3cos 2

?=-

.满足条件的最小正角为

5

6

π,52,.6k k Z ?ππ=+∈

13sin 32(sin cos )2(sin sin cos cos )

2255

2cos()2cos(2)2cos().

66

k ααααα?α?α?αππαπ∴-=-=+=-=--=-

三.关于辅助角的范围问题 由22sin cos )a b a b θ

θθ?+=++中,点P(a,b)的位置可知,终

边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).

设满足条件的最小正角为1?,则12k ?

?π=+.由诱导公式(一)知

22221sin cos ))a b a b a b θθθ?θ?+=++=++．其

中1(0,2)?π∈，1

tan b

a

?=

，1?的具体位置由1sin ?与1cos ?决定，1?的大小由1tan b

a

?=决定．

类似地，22sin cos )a b a b θ

θθ?+=+-，?的终边过点Ｐ

（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2?，则22.k ??π=+由诱导公式有

22222sin cos cos())a b a b a b θθθ?θ?+=+-=+-，其

中2(0,2)?π∈，2

tan a

b

?=

，2?的位置由2sin ?和2cos ?确定，2?的大小由2tan a

b

?=确定．

注意：①一般地，1

2??≠；②以后没有特别说明时，角1?（或2?）是所

求的辅助角．

四．关于辅助角公式的灵活应用

引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为

221sin cos )

a b a b θθθ?+=++的形式或

222sin cos )a b a b θθθ?+=+-的形式．可以利用两角和与差的正、

余弦公式灵活处理．

例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．

3cos αα-；

（２）26sin()cos()6363

ππαα-+-． 解： （１）31

3cos sin cos )

222(sin cos cos sin )2sin()

666

ααααπππ

ααα-=-=-=-

（２）26sin()cos()6363213[sin()cos()]32323

2[sin()cos cos()sin ]3333322sin()33

ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-

在本例第（１）小题中，3a =1b =-3１），而取的是点Ｐ3１）

．也就是说，当a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（

a ，

b ）

，或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的角1?（或2?）是锐角，

就更加方便．

例6 已知向量(cos(),1)3a

x π=+,1(cos(),)32

b x π=+-,

(sin(),0)3

c x π

=+,求函数()h x =2a b b c ?-?+的最大值及相应的x

的值.

解:2

1()cos

()sin()cos()23233

h x x x x πππ

=+--+++

=

2

1cos(2)

1233sin(2)2232

x x ππ++-++ =

1212

cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++ =

22222cos(2)sin(2)]222323

x x ππ+-++ =211

cos(2)2212

x π++ max

2

()22

h x ∴=+

这时1111

22,.1224

x k x k k Z ππππ+

==-∈. 此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.

五.与辅助角有关的应用题

与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.

例7 如图3,记扇OAB 的中心角为

45?,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇

形,求矩形的对角线l 的最小值.

解:连结OM,设∠AOM=

θ

.则

MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θ

θ-.

222l MQ PQ =+

=2

2sin

(cos sin )θθθ+-

=31

(sin 2cos 2)22

θθ-+ =135sin(2)22θ?-

+,其中11tan 2?=,1(0,)2π?∈,11

arctan 2

?=. 04π

θ<<,111arctan 2arctan .222

πθ?∴<+<+

2min 3522l ∴=

-,min 512

l -=. 所以当11

arctan 422

π

θ=-时, 矩形的对角线l 的最小值为

512-.

θ

N

B

M

A

Q

P

O

图3