辅助角公式 教案
辅助角公式_教案
辅助角公式一、教学目标1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取三、教学过程1、复习•引入 两角和与差的正弦公式()sin αβ+=_________________________________()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=_____________________ 反之,αα化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式（11cos 2αα+ （2）sin αα2、辅助角公式•推导对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？sin cos ))a b αααααβ+==+其中辅助角β由cos sin ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。
3、例题•反馈例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.（11cos 2αα- （2）ααcos sin +（3αα （4）ααcos 4sin 3-例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式.（1）sin cos αα-（2）ααsin cos - （3）cos αα-例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。
例42)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。
辅助角公式及应用
6
6
（2）
3 sin 1 cos
2
2
sin cos 5 cos sin 5
6
6
（3）
3 sin 1 cos
2
2
sin cos 5 cos sin 5
6
6
（4）
3 2
sin
1 2
cos
sin cos cos sin
6
6
辅助角公式的推导及简单应用
导学达标
引例 例1:求证：
分析：其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右
个角 ,它的终边经过点P.设
的终边
y
• P(a,b)
r
OP=r,r= a2 b,2由三角函数 的定义知
O 图1
x
sin b b
r a2 b2
所以 asin x bcos x
a2 b2 cos sin x a2 b2 sin cos x
cos a a
r a2 b2
a2 b2 sin(x ) (其中，tan b)
两个应用：
⒈利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质 解决函数问题 ⒉三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题
sin
6
sin
5
6
sin cos cos sin
6
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin
5
6
sin
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin cos cos sin
6
6
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
辅助角公式
专题一：辅助角公式的应用导学目标：1、复习辅助角公式的由来并能做到公式熟记于心。
2、利用辅助角公式求函数的解析式、周期、最值、对称中心、对称轴方程以及单调区间。
一：复习旧知，铭记于心对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下：y=asinx=bcosx由于上式中的的________与________平方和为1， 故可记 =________，= ________，则有由此我们得到结论：asinx+bcosx=（*）其中θ由来确定。
通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin （）+k 的形式。
二、师生交流，探索问题例1、已知函数f (x )＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1) 求f(x)的最小正周期；(2) 求f(x)的最大值与最小值，并求出当x 取什么值时，函数取到最大值与最小值。
问题1：对于上述式子，我们能直接求出函数的周期吗？如果不能，我们该怎么办？ 问题2：我们能把上述式子变形成是asinx+bcosx 的形式吗？问题3：如何利用辅助角公式求函数的解析式呢？问题4、有了函数的解析式，我们是不是可以轻松求出函数的最值了呢？知识总结：利用辅助角公式解决问题的步骤（1）把函数的解析式先变成asinx+bcosx的形式（2）利用辅助角公式把asinx+bcosx变形成y=Asin（）+k的形式。
（3）利用函数y=Asin（）+k的性质完成问题的讨论。
三、利用知识，解决问题例:2、已知函数f（x）=（2cos2x-1）sin2x+（1/2）cos4x.(2013北京)（1）求f(x)的最小正周期；（2）求函数的对称轴方程及函数的单调增区间问题1：对于上述式子，我们能直接求出函数的周期吗？如果不能，我们该怎么办？问题2：上述式子是asinx+bcosx的形式吗？问题3：如何利用辅助角公式求函数的解析式呢？问题4：求函数的对称轴方程及函数的单调增区间四、综合应用，直击高考例3设向量a=（√3sinx，sinx）,b=(cosx，sinx)，x∈[0, π／2] （1）若| a |=| b |，求x的值；（2）设函数f(x)= a·b,求f(x)的最大值五、目标落实，当堂检测1、函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．2、已知函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x.(1)将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g(x)的图象，求g(x)的解析式；(2)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间．六、课堂小结，总结收获通过本节课的学习，你收获了什么？七、布置作业1、2013课标全国162、2013陕西16。
辅助角公式(高一必修四新授课)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的化归
-辅助角公式
教学目标：
知识与技能：熟练利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化归以及辅助角公式的应用。
过程与方法：讲练结合法
情感、态度及价值观：会用联系变化的观点看待事物，增强解决问题的能力。
教学重点：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式和辅助角公式的应用。
教学难点：在应用辅助角公式进行化归求值的过程中，涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式的使用。
教学过程：
一、讲解新知：
课本6、化简
解：原式
解：原式
解：原式
知识点讲解：
辅助角公式：
有原式
或原式
其中，叫辅助角。
或
二、当堂训练：
课本6、化简
课本13、化简
答案：课本6、化简原式
课本13、化简原式原式
原式原式
三、课堂小结
四、课后作业。
化一公式,辅助角公式教案
化一公式（第一课时）一、教材剖析化一公式在必修 4 的教材中并无出现特意的一节进行解说，是由于化一公式的实质其实就是两角和的正弦公式的逆应用。
二、教课要点对特别角的化一公式的应用，两角和正弦的逆应用。
知道要从系数中提出a 2b2 .三、教课难点对a2b2的研究，理解为何要提这个出来。
四、教课过程（一）、知识回首引入前方我们学习了两角和的正弦公式，大家回首一下应当等于：sin() sin cos sin cos那我们看一下sin=sin cos cos sin 3cos1 sin33322则那么请同学看下边两个题应当等于多少例一：化简下边式子（ 1）2sin2cos 22（ 2）1sin3cos 22解说：第一个式子中的2能够当作 sin, cos, 变式后利用两角和正弦的逆应244用课进行化简。
第二个式子中的 1 和3能够当作 cos , sin。
2233（二）、新授知识那么此刻我们来看下一个题：例二：化简下边式子（ 1） 2 sin 2 cos（ 2）sin 3 cos（提示学生和例一的关系，让学生自己转变到例一去）解答：（1）22sin2cos2sin224（2） 2 1sin3cos2sin3 22为何要提 2 出来呢？由于提出来后能够在里面创建出特别角的三角函数，是我们想要的那么方才的这些题我们都比较简单看出他们和特别角之间的关系，那么假如碰到较为复杂的系数我们该提多少出来呢？例三：化简下边式子a sin xb cosx（让学生思虑并议论）学生议论后指出这里应当提出 a 2b2，由于里面剩下的a,b恰好a 2b2a2b2能够构一个角的正弦与余弦。
因此 a sin x b cosx a2b2sin(x) ，我们把这类把两三角函数变成一个三角函数的公式称为化一公式。
由此我们就能够办理任何近似的式子了例三：化简下边式子3 15 sin x 3 5 cos x解答：先察看，把315 与3 5 的公因式 35先提出来，变成 3 sin x cos x ，再利用公式，提出32 2 ，能够变成 653sin x1cos x65 sin x12226练习：化简下边式子：（ 1）3cos x3sin x（2） 3 sin x cos x（ 3）2sin x6cos x 2244（让学生上来做并解说）（三）总结同学们你们来谈谈这节课你收获到了什么？1，化一公式 2 ，逆向思想3，化归的思想（四）作业练习册。
辅助角公式
公式在必修4的教材中并没有出现专门的一节进行讲解，是因为公式的本质其实就是两角和的正弦公式的逆应用。
在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化a sin θ+b cos θ为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,总结出公式22sin cos sin()a b a b θθθφ+=++或22sin cos cos()a b a b θθθφ+=+-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.教师引导：P(a,b)总有一个角φ的终边经过点P ，设OP=r=22a b +由三角函数定义可知： 辅助角公式•推导对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ 其中辅助角φ由2222cos sin a a b b a b φφ=+=+ 确定，即辅助角φ（通常02φπ≤≤）的终边经过点P (,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角φ为辅助角。
其中φ的大小可以由sin φ、cos φ的符P号确定φ的象限,再由tanφ的值求出.或和P(a,b)所在的象限来确定. 由tanφ=ba教师指导题目4将下列各式化为一个角的正弦形式教师总结，批阅。
学案一、知识回顾：两角和与差的正余弦公式：二、新课探究：1、利用和差角公式计算下列各式的值：练习：2、求证：cos2sin()6πααα=+3、将sin cosa xb x+化为一个角的正弦形式。
P(a,b)总有一个角φ的终边经过点P，设由三角函数定义可知：b=a=辅助角公式•推导对于一般形式ααcossin ba+（a、b不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？其中辅助角φ由cos__________sin___________φφ==确定，即辅助角φ（通常02φπ≤≤）的终边经过点P (,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角φ为辅助角。
高中数学辅助角公式教案
高中数学辅助角公式教案
一、教学目标
1. 了解辅助角的概念和性质；
2. 掌握辅助角的相关公式和求解方法；
3. 能够运用辅助角公式解决相关问题。
二、教学重点
1. 辅助角的概念和性质；
2. 辅助角公式的掌握；
3. 辅助角公式的应用。
三、教学内容
1. 辅助角的概念和性质；
2. 正弦、余弦、正切、余切辅助角公式；
3. 应用举例与练习。
四、教学过程
1. 辅助角的概念和性质
- 引导学生理解辅助角的概念和性质，解释其在三角函数计算中的作用；- 讲解辅助角的意义和使用方法，引导学生积极思考和互动。
2. 正弦、余弦、正切、余切辅助角公式
- 介绍正弦、余弦、正切、余切辅助角公式的推导和应用；
- 指导学生掌握辅助角公式的应用方法，举例演练解题过程。
3. 应用举例与练习
- 给出一些具体的应用题目，让学生运用所学知识解题；
- 带领学生讨论解题思路和方法，及时纠正错误，加深理解。
五、教学反馈
1. 对学生的练习情况进行检查和评价；
2. 总结学生在辅助角公式运用中存在的问题，并指导学生进行巩固练习；
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，提高解题能力。
六、课后作业
1. 完成课堂练习题和实践题；
2. 针对学生出现的问题进行针对性的练习；
3. 鼓励学生自主学习，准备下节课分享心得。
七、教学效果评估
1. 学生掌握辅助角概念、公式和应用的情况；
2. 学生能否熟练运用辅助角公式解题；
3. 学生对辅助角公式的理解和运用能力。
以上为高中数学辅助角公式教案范本，具体教学内容和安排可根据实际情况进行调整和完善。
辅助角公式及应用导学案
=_________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
（2）
（3）-
变式训练：求 的最小正周期，最大值，最小值。
________________________________
二、新课探究
引例：例1、求证：
一般地, 是否可以化为一个角的三角函数形式呢?
合作探究：例2、化 为一个角的一个三角函数的形式.
尝试练习：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为 的形式
（1） （2）
（3） （4） （5）
三、公式应用
（1）
辅助角公式及应用导学案
课题：
辅助角公式及应用
学习目标：
1、能推导出辅助角公式的一般形式2、会将asinx+bcosx（a、b均不为零）化为只含有一个正弦的三角函数形式3、运用辅助角公式灵活解决综合题目
重点：
辅助角公式的掌．
难点：
辅助角公式的熟练运用
学习方法：启发式，探究式、讨论法
一、复习引入
两角和与差的正弦公式
《辅助角公式》 讲义
《辅助角公式》讲义一、引入在三角函数的学习中，我们常常会遇到形如＼（a\sin x ＋b\cos x\）这样的式子。
为了更方便地对其进行分析和处理，我们引入了一个非常重要的公式——辅助角公式。
二、什么是辅助角公式辅助角公式的一般形式为：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）。
这个公式的作用在于将两个不同的三角函数\（＼sin x\）和\（＼cos x\）合并成一个单一的三角函数\（＼sin(x ＋＼varphi)＼），从而简化计算和分析。
三、辅助角公式的推导为了推导辅助角公式，我们可以利用三角函数的和角公式：＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）令＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝ R\sin(x ＋＼varphi)＼）则＼（R\sin(x ＋＼varphi) ＝ R(＼sin x\cos\varphi ＋＼cosx\sin\varphi) ＝ R\cos\varphi\sin x ＋ R\sin\varphi\cos x\）所以＼（R\cos\varphi ＝ a\），＼（R\sin\varphi ＝ b\）两边平方相加可得：＼（R^2(＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi) ＝a^2 ＋ b^2\）因为\（＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi ＝ 1\），所以＼（R ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）则\（＼tan\varphi ＝＼frac{＼sin\varphi}｛＼cos\varphi} ＝＼frac{b}｛a}＼）这样就得到了辅助角公式：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）四、辅助角公式的应用（一）化简三角函数表达式例 1：化简\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x\）首先，＼（R ＝＼sqrt{（＼sqrt{3}）＾2 ＋ 1^2} ＝ 2\）＼（＼tan\varphi ＝＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛6}＼）则\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x ＝ 2\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛6}）＼）例 2：化简＼（5\sin x 12\cos x\）＼（R ＝＼sqrt{5^2 ＋（－12)＾2} ＝ 13\）arctan\frac{12}｛5}＼）则＼（5\sin x 12\cos x ＝ 13\sin(x ＼arctan\frac{12}｛5}）＼）（二）求三角函数的最值例 3：求函数＼（y ＝ 2\sin x ＋ 2\sqrt{3}＼cos x\）的最大值和最小值先将其化为辅助角公式的形式：＼（R ＝＼sqrt{2^2 ＋（2\sqrt{3}）＾2} ＝ 4\）＼（＼tan\varphi ＝＼sqrt{3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛3}＼）则＼（y ＝ 4\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）因为\（＼sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）的最大值为＼（1\），最小值为\（－1\）所以＼（y\）的最大值为＼（4\），最小值为\（－4\）（三）求解三角函数方程例 4：求解方程＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 2\）将左边化为辅助角公式：＼（R ＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2} ＝ 5\）arctan\frac{4}｛3}＼）则＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＼）原方程变为＼（5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝ 2\）＼（＼sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝＼frac{2}｛5}＼）则＼（x ＋＼arctan\frac{4}｛3} ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5}＼），＼（k\in Z\）＼（x ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5} ＼arctan\frac{4}｛3}＼），＼（k\in Z\）五、使用辅助角公式的注意事项（一）正确确定辅助角\（＼varphi\）要根据\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）来确定\（＼varphi\）的值，同时要注意\（＼varphi\）所在的象限。
辅助角公式
学案
一、知识回顾：
两角和与差的正余弦公式：
二、新课探究：
1、利用和差角公式计算下列各式的值：
练习：
2、求证：cos2sin()
6
π
ααα
=+
3、将sin cos
a x
b x
+化为一个角的正弦形式。
P(a,b)总有一个角φ的终边经过点P ，设
由三角函数定义可知： b= a=
辅助角公式推导
对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式 其中辅助角φ
由
cos __________
sin ___________
φφ== 确定，即辅助角φ（通常02φπ≤≤）
的终边经过点P (,)a b
------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角φ为
辅助角。
4、 将下列各式化为一个角的正弦形式
5、
求函数sin y x x =+的周期、最大值与最小值。
课堂检测： 思考：
6、求函数44sin cos cos y x x x x =+-的最小正周期、最大值与最小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间。
导学案课题：3.1 三角函数的辅助角公式(补充)
【使用说明及学法指导】
1.先仔细阅读教材必修4：P.128—132再思考导学案中【自主学习】所提问题，有针对性的二次阅读教材，力争准确完成所提问题，并能独立构建知识体系；
2.限时30分钟独立、规范完成【合作探究】、【巩固提高】两部分，并总结规律方法；
3.作业要求：A层全做，B层做除两星外的题目，C层做不带星的题目。
【自主纠错】请珍惜每一次训练的机会，发现自己存在的问题，重视纠错，总结经验，继续前进！
【学习目标】
1、理解两角和、差余弦、正弦和正切公式，推导辅助角公式
2、体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，应用解决某些三角问题。
【重点难点】辅助角公式的推导过程及运用。
自主学习
（1）基本公式面的系数是怎么得到的？
思考：怎样求 类型？
探究：
其中 由 确定，即辅助角 的终边经过点 ,
结论：辅助角公式：
其中辅助角 由 来确定
预习检测：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6) ．
合作探究
例1：不查表计算 的值：
练习1：不查表计算 的值：
练习2：化简(1) (2)
例2：求函数 的周期，最大值和最小值。
巩固提高
练习化简（1）3 （2）
（3） （4）
【总结提升】
1.知识方面：
2.数学思想方法：
辅助角公式教案
§5.4(5) 辅助角公式执教者：万兆云班 级：建平中学高一数学B7班时 间：2010年3月19日下午第二节一、教学内容分析一般地，三角式sin cos a b αα±(0)ab ≠可通过添设辅助角，利用三角变换知识转化为)αϕ±，即本课所要讲解的辅助角公式．辅助角公式的作用是把两个同角的正弦、余弦三角式化为一个三角式的形式，从而起到化简三角式的作用．这个公式为日后继续研究三角比的问题提供了一个强有力的工具，是教材三角比章节的重要拓展内容．逆推和构造是数学的重要思想方法，理解和掌握辅助角公式的来龙去脉是为后续其他三角公式的研究奠定基础．二、教学目标1． 掌握辅助角公式的推导和辅助角的意义；2． 应用辅助角公式和其他三角恒等式解决某些三角问题；3． 经历辅助角公式的发生、发展的过程，培养学生的逻辑思维和推理能力；4． 进一步培养学生分析问题、解决问题的能力；5． 通过构造应用，培养思维的创造性、激发学习兴趣．【教学重点】辅助角公式的推导．【教学难点】辅助角公式的应用．三、教学过程【问题引入】在前面的学习中，我们已经掌握了和角的正弦公式，那么如果我们逆向应用这一公式会得到什么启示？能否对形如sin cos a b αα±(0)ab ≠的三角式进行变换？能否推导出一般化的公式呢？如何应用这一公式？这是我们今天所要探究的内容．【解决问题】1. 特殊情形：根据公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±，将下列各式化为()sin A αϕ±的形式：（1αα+； （2）sin αα．2. 一般情形：将三角式()sin cos 0a b ab αα±≠化为()sin A αϕ±的形式：sin cos )a b x x αααϕ⎛⎫±±⎪⎭， 其中辅助角ϕ（通常取02ϕπ≤<）由cos sin ϕϕ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩确定． 3. 小结（强调公式的形式、特点、作用、如何应用）：辅助角公式的实质是和（差）角正弦公式的逆应用，它可以把两个同角的正弦、余弦三角式化为一个正弦三角式的形式，从而对三角式的化简、求值、证明等起到积极的作用．【例题选讲】例1：把下列各式化为()sin A αϕ±的形式（其中,02A R πϕ∈<<）：（1）5sin 2αα； （2）αα--．例2：求满足sin cos 2θθ-=︒︒的θ，其中()0,2θπ∈． 例3：求5sin 12cos y x x =+的取值范围．【课堂练习】1. 把下列各式化为()sin A αϕ+的形式（其中,02A R πϕ∈<<）：（13cos αα+；（23cos αα-；（3）3cos αα+；（4）3cos αα-；（51cos 2αα-； （6）sin cos αα+．2. cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．3. 计算：1sin10-︒．4. 已知sin cos y a x x =+a 的值．【课堂总结】1. 结合公式的产生、推导过程，引导学生体会逆用公式从而开拓出新的解题思路的数学方法；2. 关注公式中辅助角的确定，通过三角恒等变换体会辅助角公式的作用；3. 阐明辅助角公式是和（差）角正弦公式的变形，为后续研究奠定基础．【课后作业】1. 作业：完成有效作业．2. 思考：将式子()sin cos 0a b ab αα±≠化为()cos A αϕ的形式．四、教学设计说明1. 关于公式的发生：由“如何利用和角的正弦公式，把两个同角的正弦、余弦三角式化为一个三角式的形式？”来引起学生探索的欲望，并进一步引导研究辅助角公式．2. 关于公式的推导：从学生的最近发展区构建新知，逆用已学公式，架构认知的桥梁．3. 关于辅助角公式的教学：反复运用辅助角公式进行单纯的三角恒等变换，使课堂教学中心突出，同时引发学生课后进一步思考．§5.4(5) 辅助角公式(讲义)执教者：万兆云班 级：建平中学高一数学B7班时 间：2010年3月19日下午第二节【教学目标】1． 掌握辅助角公式的推导和辅助角的意义；2． 应用辅助角公式和其他三角恒等式解决某些三角问题；3． 经历辅助角公式的发生、发展的过程，培养学生的逻辑思维和推理能力；4． 进一步培养学生分析问题、解决问题的能力；5． 通过构造应用，培养思维的创造性、激发学习兴趣．【教学重点】辅助角公式的推导．【教学难点】辅助角公式的应用．【问题引入】在前面的学习中，我们已经掌握了和角的正弦公式，那么如果我们逆向应用这一公式会得到什么启示？能否对形如sin cos a b αα±(0)ab ≠的三角式进行变换？能否推导出一般化的公式呢？如何应用这一公式？这是我们今天所要探究的内容．【解决问题】1. 根据公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±，将下列各式化为()sin A αϕ±的形式：（1αα+； （2）sin αα．2. 将三角式()sin cos 0a b ab αα±≠化为()sin A αϕ±的形式：【例题选讲】例1：把下列各式化为()sin A αϕ±的形式（其中,02A R πϕ∈<<）：（1）5sin 2αα； （2）αα--．例2：求满足sin cos θθ-=︒︒的θ，其中()0,2θπ∈．例3：求5sin 12cos y x x =+的取值范围．【课堂练习】1. 把下列各式化为()sin A αϕ+的形式（其中,02A R πϕ∈<<）：（13cos αα+；（23cos αα-；（3）3cos αα+；（4）3cos αα-；（51cos 2αα-； （6）sin cos αα+．2. cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．3. 计算：1sin10-︒．4. 已知sin cos y a x x =+a 的值．。
辅助角公式教案范文
辅助角公式教案范文一、辅助角公式的原理（300字）具体来说，我们可以通过以下几种方法引入辅助角：1.两角和与两角差公式：利用三角函数中的和差公式，将一个角的三角函数表示成两个角的三角函数的和或差。
2.导出辅助角：通常情况下，我们可以通过其中一种变换或运算，得到一个较为简单的三角函数表达式，该表达式中采用了其他角的三角函数。
二、辅助角公式的应用（400字）1.化简复杂表达式：辅助角公式可以将一个复杂的三角函数表达式转化成若干个较为简单的三角函数的和或差的形式，从而便于进行计算和简化。
2.求解三角方程：在解三角方程时，有时候需要将方程中的三角函数表达式进行化简，而辅助角公式可以在一定程度上帮助我们简化方程并求解。
3.凑公式：在一些特定的数学问题求解中，我们需要凑公式，使用辅助角公式可以将复杂的表达式转化成一些常见的三角函数表达式，使问题求解更加方便。
三、辅助角公式的示例（500字）1.例题一正弦和余弦的辅助角公式已知点P(x, y)在单位圆上，且点P的x坐标为cosθ，y坐标为sinθ。
求证：cos(π/2-θ)=sinθ。
解析：由已知条件，将点P转化成极坐标(r, θ)的形式，即r=1，θ=arccosx。
而根据极坐标与直角坐标之间的关系可知，cosθ=x，sinθ=y。
我们有：cos(π/2-θ)=cos(π/2-arccosx)=sin(arccosx)=y=sinθ所以，证毕。
2.例题二正切的辅助角公式已知点P(x, y)在单位圆上，且点P的x坐标为cosθ，y坐标为sinθ。
求证：tanθ=sinθ/cosθ。
解析：由已知条件，将点P转化成极坐标(r, θ)的形式，即r=1，θ=arccosx。
而根据极坐标与直角坐标之间的关系可知，cosθ=x，sinθ=y。
我们有：tanθ=sinθ/cosθ=y/x由已知条件x=cosθ可以得到：tanθ=sinθ/cosθ所以，证毕。
3.例题三和差角的辅助角公式求证：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)。
辅助角公式导学案
3.2.2《简单的三角恒等变换》导学案编写人：fangzhou7702 审核：高一数学组 时间：2012-02-10班级 组名： 姓名【学习目标】A 级目标： 通过三角恒等变形，把形如x b x a y cos sin +=的函数转化为()0)sin(>+=A x A y ϕ的函数；B 级目标： 灵活利用公式，处理三角函数式化简及解决函数的最值、 周期、单调性等问题。
【重点难点】重点：将形如x b x a y cos sin +=的函数转化为()0)sin(>+=A x A y ϕ的函数。
难点：辅助角ϕ的确定；利用辅角公式解决函数的最值、周期、单调性等问题。
【学习过程】一、 课题引入复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的正弦公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-探究1：∵ ααπαπαπαcos 21sin 236sin cos 6cos sin )6sin(+=+=+ ∴ =+ααcos 21sin 23 （其中=23 ；=21 。
） 将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为形如()()0sin >+A A ϕα的形式=-ααcos 22sin 22 =+ααsin 21cos 23=-ααcos sin 3二、自主探究 得出结论辅助角公式推导：探究2：将形如x b x a cos sin +的三角形式转化为()0)sin(>+A x A ϕ的形式x b x a cos sin += =()ϕα++sin 22b a其中辅助角ϕ由⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2222cos sin b a a b a b ϕϕ 确定。
三．合作交流，解决问题 问题1.已知函数()x b x a x f cos sin +=，当24=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，且()x f 的最大值为10时，求a 、b 的值。
问题2.化简.10tan 3150sin ）（︒+︒ 解：）（原式︒︒+︒=10cos 10sin 3150sin ︒︒+︒⋅︒=10cos )10sin 2310cos 21(250sin ︒︒︒+︒︒⋅︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2 ︒︒⋅︒=10cos 40sin 40cos 2 110cos 10cos 10cos 80sin =︒︒=︒︒=.四．突破疑难问题3．已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（1） 求)(x f 的最小正周期，（2）当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合．点评：本题是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数 ()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用． 问题4（选讲）．求函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4cos 12sin 231ππx x x f 的单调区间。
金典教案-辅助角公式（精编文档）.doc
⾦典教案-辅助⾓公式（精编⽂档）.doc【最新整理，下载后即可编辑】辅助⾓公式sin cos )a b θθθ?+=+教学应注意的的⼏个问题在三⾓函数中，有⼀种常见⽽重要的题型，即化sin cos a b θθ+为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式，进⽽求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学⽣记忆和掌握这种题型的解答⽅法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θ?+或sin cos a b θθ+cos()θ?-,让学⽣在⼤量的训练和考试中加以记忆和活⽤.但事与愿违,半个学期不到,⼤部分学⽣都忘了,教师不得不重推⼀遍.到了⾼三⼀轮复习,再次忘记,教师还得重推!本⽂旨在通过辅助⾓公式的另⼀种⾃然的推导,体现⼀种解决问题的过程与⽅法,减轻学⽣的记忆负担;同时说明“辅助⾓”的范围和常见的取⾓⽅法,帮助学⽣澄清⼀些认识;另外通过例⼦说明辅助⾓公式的灵活应⽤,优化解题过程与⽅法;最后通过例⼦说明辅助公式在实际中的应⽤,让学⽣把握辅助⾓与原⽣⾓的范围关系,以更好地掌握和使⽤公式.⼀.教学中常见的的推导⽅法教学中常见的推导过程与⽅法如下1.引例例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:可见, α+cos α可以化为⼀个⾓的三⾓函数形式.⼀般地,asin θ+bcos θ是否可以化为⼀个⾓的三⾓函数形式呢?2.辅助⾓公式的推导例2 化sin cos a b θθ+为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ),①则asin θ+bcos θθcos ?+cos θsin ?)θ+?),(其中tan ?=b a ) ②=sin ?,则asin θ+bcos θθsin ?+cos θcos ?s(θ-?),(其中tan ?=a b ) 其中?的⼤⼩可以由sin ?、cos ?的符号确定?的象限,再由tan ?的值求出.或由tan ?=b a 和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和⼤量的练习.但是这种推导⽅法有两个问题:⼀是为什么要令=cos ?=sin ??让学⽣费解.⼆是这种 “规定”式的推导,学⽣难记易忘、易错!⼆.让辅助⾓公式sin cos a b θθ+)θ?+来得更⾃然能否让让辅助⾓公式来得更⾃然些?这是我多少年来⼀直思考的问题.2009年春.我⼜⼀次代2008级学⽣时,终于想出⼀种与三⾓函数的定义衔接⼜通俗易懂的教学推导⽅法.⾸先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式，⽆需化简.故有ab ≠0. 1.在平⾯直⾓坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描⼀点P(a,b)如图1所⽰,则总有⼀个⾓?,它的终边经过点P.设由cos ?=a r =. 所以asin θ+bcos θsin θcos θ)θ?+.(其中tan ?=b a ) 2.若在平⾯直⾓坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所⽰,则总有⼀个⾓?的终边经过点P(b,a),设OP=r,则r=.由三⾓函数的定义知sin ?=a r, cos ?=b rasin θ+bcos θsin cos ?θ?θ+s()θ?-. (其中tan ?=a b) 例3cos θθ+为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式. 解:在坐标系中描点P(设⾓?的终边过点P,则OP∴cos θθ+=2cos ?sin θ+2sin ?cos θ=2sin(θ?+).tan ?=3. 26k π?π=+,cos θθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运⽤,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助⾓公式asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θ?+,(其中tan?=ba).或者asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=))我想这样的推导,学⽣理解起来会容易得多,⽽且也更容易理解asinθ+bcosθ凑成sinθcosθ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化sinαα-为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式.解法⼀:点(1,-)在第四象限.OP=2.设⾓?过P点.则sin2=-,1cos2=.满⾜条件的最⼩正⾓为53π,52,.1sin2(sin cos)2(sin cos cos sin)22552sin()2sin(2)2sin().33kααααα?α?α?αππαπ∴-=-=+=+=++=+解法⼆:点P(-,1)在第⼆象限,OP=2,设⾓?过P点.则1sin2=,cos2=-.满⾜条件的最⼩正⾓为56π,52,.6k k Z1sin2(sin cos)2(sin sin cos cos)22552cos()2cos(2)2cos().66kααααα?α?α?αππαπ∴-=-=+=-=--=-三.关于辅助⾓的范围问题由sin cos)a bθθθ?+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的⾓可能有四种情况(第⼀象限、第⼆象限、第三象限、第四象限).设满⾜条件的最⼩正⾓为1?,则12k ??π=+.由诱导公式(⼀)知1sin cos ))a b θθθ?θ?+=+=+．其中1(0,2)?π∈，1tan b a ?=，1?的具体位置由1sin ?与1cos ?决定，1?的⼤⼩由1tan b a=决定．类似地，sin cos )a b θθθ?+=-，?的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满⾜条件的最⼩正⾓为2?，则22.k ??π=+由诱导公式有2sin cos cos())a b θθθ?θ?+=-=-，其中2(0,2)?π∈，2tan a b ?=，2?的位置由2sin ?和2cos ?确定，2?的⼤⼩由2tan a b ?=确定．注意：①⼀般地，12??≠；②以后没有特别说明时，⾓1?（或2?）是所求的辅助⾓．题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθ?+=+的形式或2sin cos )a b θθθ?+=-的形式．可以利⽤两⾓和与差的正、余弦公式灵活处理．例５化下列三⾓函数式为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式．cos αα-；（２）sin()cos()6363ππαα-+-．解：1cos sin cos )222(sin cos cos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）sin()cos()63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）⼩题中，a =1b =-，我们并没有取点．也就是说，当a 、b 中⾄少有⼀个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的⾓1?（或2?）是锐⾓，就更加⽅便．例6 已知向量(cos(),1)3a x π=+,1(cos(),)32=+,求函数()h x =2a b b c ?-?+的最⼤值及相应的x 的值.解:21()cos ()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++ =21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++ =1212cos(2)sin(2)2323xx ππ+-++=22cos(2)sin(2)]22323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++ max ()2.2h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈. 此处,若转化为两⾓和与差的正弦公式不仅⿇繁,⽽且易错,请读者⼀试.五.与辅助⾓有关的应⽤题与辅助⾓有关的应⽤题在实际中也⽐较常见,⽽且涉及辅⾓的范围,在相应范围内求三⾓函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中⼼⾓为45?,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对⾓线l 的最⼩值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin (cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)2θθ-+ =13sin(2)22θ?-+,其中11tan 2?=,1(0,)2π?∈,11arctan 2?=. 04πθ<<,111arctan 2arctan .222πθ?∴<+<+ 2min322l ∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时, 矩形的对⾓线l 的最⼩值为12-.θ N B M A Q P O 图3。
辅助角公式
3.3.1辅助角公式及其应用一. 复习引入同学们，我们前面学习了三角恒等变换的和角正弦公式、 差角的余弦公式，现在我们一起温故一下：sin （ ） sin cos cos sin cos （ ） cos cossin sin请同学们根据公式做一下下面几道题目：f(1) 一sin x cosx cos —sin x sin — cosx sin(x — 2 2333（同学们做的很好，但如果给出来的是 asi nx bcosx （ab 0）,这时候我们还能对它进行化简么？如果能，那又该如何去化简呢？这就是 我们这节课要探讨的内容，这节课我们来学习一下辅助角公式及其应 用。
二、新课讲解请同学们思考一下：上面三道题目中，结果的系数和题目给出来 的两个函数的系数有什么关系呢？1 2 3 2（1）：（2）2（2）2 1（学生思考一分钟后回答）：（2）〔（ 2）2（ 2）22⑶,12（ 3）22教师总结：这位同学的观察的很细致，通过观察，我们取出来的那个(2) 2 sin x 2 cosx 2(*2-cosx) 22si n(x )4(3) sinx .3 cosx2(—sin x»x) 2 si n(x —)数等于原来那两个数的平方和的算术平方根。
那利用这种办法，我们 能否化简asin x bcosx(ab 0),请大家动手做一下。
学生动手后，教师请某个学生尝试一下:asinxbcosx 扁2b 2(a2sinx昇.a b .. a(学生做完这一步后，教师设问)(学生思考，教师引导后)请某个学生来回答一下：因为所以一定存在，使得上式是成立的 由此，我们得到结论：asinx bcosx 、a 2b 2sin(x).()其中 由cos j a，sin』b确定v'a 2 b 2Ya 2b 2以后我们就把()式都叫做辅助角公式。
在()式中，我们能得到tan b。
a教师提问：辅助角公式是否还有其他形式呢？asinx bcosx . a 2b 2cos(x )是否成立呢？请同学们 课后思考一下。
《辅助角公式》 说课稿
《辅助角公式》说课稿尊敬的各位评委、老师们：大家好！今天我说课的内容是《辅助角公式》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析辅助角公式是高中数学三角函数部分的重要内容，它在三角函数的化简、求值、证明以及解决实际问题中都有着广泛的应用。
本节课是在学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式的基础上，进一步研究如何将形如\（a\sin x ＋ b\cos x\）的式子化为一个角的三角函数形式，从而为后续学习三角函数的图象和性质奠定基础。
教材通过具体的例子，引导学生观察、分析、推导辅助角公式，注重培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
二、学情分析学生已经掌握了三角函数的基本概念和两角和与差的正弦、余弦公式，具备了一定的数学运算和推理能力。
但是，对于如何将\（a\sin x＋ b\cos x\）化为一个角的三角函数形式，学生可能会感到困难，需要教师通过引导和启发，帮助学生理解和掌握。
同时，学生在学习过程中可能会出现粗心大意、运算错误等问题，教师需要及时给予纠正和指导。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解辅助角公式的推导过程。
（2）掌握辅助角公式，并能熟练运用公式进行三角函数的化简、求值和证明。
2、过程与方法目标（1）通过对辅助角公式的推导，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
（2）通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在探究中体验成功的喜悦，增强学习数学的信心。
（2）培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。
四、教学重难点1、教学重点辅助角公式的推导和应用。
2、教学难点辅助角的确定以及公式的灵活运用。
五、教法与学法1、教法为了实现教学目标，突出重点，突破难点，我将采用启发式教学法、讲授法和练习法相结合的教学方法。
通过启发引导，让学生自主探究，从而理解和掌握辅助角公式。
2、学法在教学过程中，我将引导学生采用自主学习、合作学习和探究学习的学习方法。
辅助角公式导学案
第5课时辅助角公式导学案【学习目标】1.通过三角恒等变形，把形如x b x a y cos sin +=的函数转化为()0)sin(>+=A x A y ϕ或()0)-cos(>=A x A y ϕ的函数；2.灵活利用公式，处理三角函数式化简及解决函数的最值、周期、单调性等问题。
【重点难点】重点：将形如x b x a y cos sin +=的函数转化为()0)sin(>+=A x A y ϕ的函数。
难点：辅助角ϕ的确定；利用辅角公式解决函数的最值、周期、单调性等问题。
【学习过程】一、课题引入探究1：∵ααπαπαπαcos 21sin 236sin cos 6cos sin )6sin(+=+=+∴=+ααcos 21sin 23（其中=23；=21。
）将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为形如()()0sin >+A A ϕα的形式=-ααcos 22sin 22=+ααsin 21cos 23=-ααcos sin 3二、自主探究公式推导：sin cos a x b x +如何化为一个角的三角函数形式？sin b r ϕ==cos a r ϕ==sin cos )=________________________a xb x x x +=__________________________________________=其中辅助角ϕ由⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2222cos sin b a a b a b ϕϕ确定.三．合作交流，解决问题①例1：转化为()0)sin(>+A x A ϕ或()0)cos(>+=A x A y ϕ的形式2cos 23.-sin cos 224.-2sin )cos()1212x x ααααααααππ=+=-==+++=②化简例2.化简.10tan 3150sin ）（︒+︒例3已知函数()x b x a x f cos sin +=，当24=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，且()x f 的最大值为10时，求a、b 的值。
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辅助角公式2010-4-7
一、教学目标
1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式
2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式
二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取
三、教学过程
1、复习•引入 两角和与差的正弦公式
()sin αβ+=_________________________________
()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭=_____________________ 反之,
αα
化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式
（1
1cos 2
αα+ （2
）sin αα
2、辅助角公式•推导
对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？
sin cos ))
a b αααααβ+=+
其中辅助角β
由cos sin ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b
------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。
3、例题•反馈
例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.
（11cos 2αα- （2）ααcos sin +
（3αα （4）ααcos 4sin 3-
例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式.
（1）sin cos αα-
（2）ααsin cos - （3）cos αα-
例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。
例42)cos()12123x x ππ+
++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。
4、小结•思考 （1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定
（2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的
一个三角比的形式？
5、作业布置
(1)3cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫
+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =________________（化为)sin(βα+A ()0A >的形式）
(2) 、关于x 的方程12sin x x k =
有解，求实数k 的取值范围。
(3)、已知46sin 4m x x m
-=-，求实数m 的取值范围。
(4)、利用辅助角公式化简：
()sin801cos50︒
︒︒ 四、教学反思。