第五章常用概率分布

第五章 常用概率分布
二项分布的概念与特征：如果每个观察对象阳性结果的发生概率是π,陰性結果的發生概率均為(1-π),而且各個觀察對象的結果是相互獨立的，那么，重复观察n个人，发生阳性结果的人数X的概率分布为二项分布，记作B（n,π)
二项分布的概率函数：P(X)=C(n,X)*π^X*(1-π)^(n-X).
二项分布的特征：二项分布图的形态取决于π和n，高峰在μ=nπ处。当π接近0.5时，图形是对称的；π离0.5越远，对称性越差，但随着n的增大，分布趋于对称。当n→∞时，只要π不太靠近0或1（特别是nπ和n(1-π)均大于5时），二项分布趋于对称。
二项分布的总体均数为 μ=nπ
方差为σ^2=nμ=nπ(1-π).
标准差为σ
如果将出现阳性结果的频率计为p=X/n
则p的总体均数为μp=π。
方差为σp^2=π(1-π)/n.
标准差为σp.
二项分布的应用：1）概率估计。 2）累计概率计算。

poisson分布的概念与特征：poisson分布可以看作是每个观察对象阳性结果的发生概率π很小，而观察例数n很大时的二项分布。除二项分布的三个基本条件以外，它还要求π接近于0.有些情况π和n都难以确定，只能以观察单位（时间，空间，面积等）内某种稀有事件的发生数X来近似。
poisson分布的概念函数：P(X)=e^-λ * λ^x /x!.
其中，λ=nπ为poisson分布的总体均数，X为观察单位内某种稀有事件的发生次数，e为自然对数的底，为常数，约等于2.71828.
分布特征：当总体均数λ<5时为偏峰，λ愈小分布愈偏，随着λ增大，分布趋向对称。poisson分布的总体均数和总体方差相等，均为λ，且poisson分布的观察结果具有可加性。
特点：凡个体有传染性，聚集性，均不能视为二项分布或poisson分布。
poisson分布的应用：1）概率估计。 2）累计概率计算。

正态分布的概念：正态分布是自然界最常见的分布之一，正态分布的特点是中间频数最多，两边频数渐少且对称。
正态曲线是一条高峰位于中央，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟形曲线。
正态分布曲线的特点：
1）关于x=μ对称。
2）在x=μ处取得该概率密度函数的最大值，在x=μ和x=-μ处有拐点。
3）曲线下面积为1.
4）μ决定曲线在横轴上的位置，μ越大，曲线沿横轴向右移；反之，μ越小，曲线沿横轴向左移。
5）σ决定曲线的形状，当μ恒定时，σ越大，数据越分散，曲线矮胖；σ越小，数据越集中，曲线越瘦高。
一般来说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用均不太大，那么这个指标服从正态分布。
正态曲线下面积的分布规律：
标准正态分布：总体均数为0，

总体标准差为1的正态分布。用N(0,1)表示。
对于任意一个服从正态分布N(μ,σ^2)的随机变量，经如下的标准化变换:
Z=(X-μ)/σ.都可以转变为标准正态分布。
正态曲线下面积有一个共同规律，即如果用标准差作为衡量单位，正负一个标准差内，其总面积为68.27%，正负两个标准差内，面积为95.44%，正负三个标准差内，面积为99.74%。
标准正态分布的分布函数值等于标准正态曲线下z值左侧的面积，记作φ（z）。对于正态分布而言，正负1.96个标准差内面积为95%，正负2.58个标准差内面积为99%。
正态分布的应用：
1）确定医学参考值范围。医学参考值范围是指特定的正常人群（排除了对研究指标有影响的疾病和有关因素的特定人群）的解剖，生理，生化指标及组织代谢产物含量等数据中大多数个体取值所在的范围。人们习惯用该人群95%个体某项医学指标的取值范围作为该指标的医学参考值范围。
计算方法 ：确定医学参考值范围的方法有两种：
①百分位数法：双侧95%医学参考值范围是（P2.5,P97.5）,单侧范围是P95以下或P5以上。该法适用于任何分布类型的资料。
②正态分布法：若X服从正态分布，医学参考值范围还可以依正态分布的规律计算。正态分布资料双侧医学参考值范围一般按下式作近似估计：Xbar=+-1.96S.三个符号依次表示样本的均数和样本的标准差。
2) 质量控制图。当影像某一数量指标的随机因素很多，且每个因素所起的作用均不大时，这个指标的随机波动属于随机误差，则往往服从正态分布。相反，如果除随机误差外，还存在某些较大的影响因素导致的误差，这时指标的波动就不再服从正态分布。利用这一原理，人们可以进行测量过程的质量控制。质量控制的一个重要工具是控制图。
控制图的基本原理：如果某一波动仅仅由于个体差异或随机测量误差所致，那么观察结果服从正态分布。控制图共有七条线，中心线位于总体均数μ处，警戒限位于μ+-2σ处，控制限位于μ+-3σ处。此外还有两条位于μ+-σ处。如果总体样本和总体标准差未知，也可用样本估计值代替。
依时间顺序记录观察数据，在控制图上依次描点。如果发生下列情况之一，则认为可能存在某种非随机的系统性误差。
1）有一个点位于控制限以外。
2）连续三个点中有两个点位于警戒限以外。
3）连续五个点中有四个点距中心线距离超过一个标准差。
4）连续六个点稳定的增加或减少。
5）中心线两侧连续八个点距中心线距离都超过一个标准差范围。
6）在中心线的一侧连续有九个点。
7）连续十四个点交替上下。
8）中心线两侧连续15个点距中心线距离都在一个标

准差以内。

二项分布，泊松分布的正态分布近似：
1二项分布的正态近似：随着n的增大，二项分布趋于对称。理论上可以证明，当n相当大时，只要π不太靠近0或1，特别是nπ和n（1-π）都大于5时，二项分布近似于正态分布。由于二项分布为离散型变量分布，为了借用连续型变量的分布函数计算概率，要对概率函数作校正。
二项分布累计概率的正态近似计算公式为：
P(X<=K)=φ((K+0.5-nπ)/√(nπ（1-π）)). 即P=φ((X-μ)/σ).
同理可计算P(X>=K)和P(K1<=X<=K2).
2泊松分布的正态近似：随着总体均数λ的增大，泊松分布趋向对称。理论上可以证明，随着λ→∞，泊松分布也渐近正态分布。一般，当λ>=20时，泊松分布资料可按正态分布处理。和二项分布相同，泊松分布也是离散型变量，也需对其进行相应校正。公式略。

1简述二项分布，泊松分布和正态分布的区别与联系。
二项分布，泊松分布是离散型概率分布，用概率函数描述其分布情况，而正态分布是连续型概率分布，用密度函数和分布函数描述其分布情况。泊松分布可以视为n很大而π很小的二项分布。当n很大而π不太靠近0或1的时候，二项分布近似正态分布，当λ>=20时，泊松分布渐近正态分布。

2控制图的基本原理。
如果某一波动仅仅由于个体差异或随机测量误差所致，那么观察结果服从正态分布；依据标准正态分布曲线下面积的分布规律，确定出现概率非常小的若干情况作为异常标准，如果出现相应结果则判为异常。

3简述双侧正态分布资料的医学参考值范围为什么是均数+-1.96倍标准差。
因为医学参考值范围是指特定的正常人群（排除了对研究指标有影响的疾病和有关因素的特定人群）的解剖，生理，生化指标及组织代谢产物含量等数据中大多数个体取值所在的范围。人们习惯用该人群95%个体某项医学指标的取值范围作为该指标的医学参考值范围。对于过大，过小均属不正常的情形取双侧。观察值出现在均数+-1.96倍标准差范围内的概率是95%，所以双侧正态分布资料的医学参考值范围是均数+-1.96倍标准差。