四川省成都七中2021届高三上学期入学考试数学文试题及答案

成都七中2020~2021学年度上期2021届高三入学考试数学试卷（文科）考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．把答案涂在答题卷上．）1．已知集合(){},21A x y y x ==-，(){}2,B x y y x ==，则AB =（ ）A ．∅B ．{}1C ．(){}1,1D ．(){}1,1-2．复数z = ）A ．1BC ．2D3．已知命题():,0p x ∃∈-∞，23x x <；命题:0,2q x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x <，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝4．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ） A ．55.2，3.6 B ．55.2，56.4C ．64.8，63.6D ．64.8，3.66．设2323a ⎛⎫=⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>7．若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，()5cos 13αβ+=，则sin β的值为（ ） A ．1665-B ．3365C ．5665D ．63658．要做一个圆锥形漏斗，其母线为20，要使其体积最大，则其高为（ ） AB ．100C ．20D ．2039．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（ ）A ．12π+B ．22π+C ．1π+D ．2π+10．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n ∈N ，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i 行有i 个数，*i ∈N ），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （i ，*j ∈N 且j i ≤），则()21,20a =（ ）．A ．21132⨯B ．21232⨯C ．23032⨯D ．23132⨯11．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．()6,10B ．()6,8C ．()8,10D ．()6,1212．己知函数()212ln x f x x -=的定义域为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，若对任意的1x ，210,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．(],5-∞D ．(],6-∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）13．在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =________．14．已知x ，y 满足22x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-+的最大值为________．15．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+，若b =4a c +=，则a 的值为________．16．已知椭圆2222:1x y a b Γ+=与双曲线2222:1x y m nΩ-=共焦点，1F 、2F 分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1．若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为________． 三、解答题（共70分，22与23题二选一，各10分，其余大题均为12分）17．（本题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a =，121n n a S +=+，数列{}n b 满足11a b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（本题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，平面PDC ⊥底面ABCD ，PDC △是等边三角形，底面ABCD 为梯形，且60DAB ∠=︒，ABCD ，22DC AD AB ===．（Ⅰ）证明：BD PC ⊥； （Ⅱ）求A 到平面PBD 的距离．19．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()g y 与尺寸()mm x 之间近似满足关系式by c x =⋅（b ，c 为大于0的常数）．按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（0.302，0.388）内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率；（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程． 附：对于样本()(),1,2,,6i i v u i =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1122211nniii i i i nniii i v v u u v u nvub v v vnv====---==--∑∑∑∑，a u bv =-， 2.7183e ≈．20．（本题12分）设函数()()24143xf x ax a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f处的切线与x 轴平行，求a ； （2）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围．21．（本题12分）如图，设椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121F F DF =12DF F △的面积为2．（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由． （22题与23题为选做题，二选一）22．（本题10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22114x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程；（2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=，()ρ∈R ，直线l与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度AB ． 23．（本题10分）已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b ≥-．成都七中2020-2021学年度上期2021届高三入学考试数学试卷（理科）答案1-5：CBCBD 6-10：BBABA 11-12：AB 1314．1- 15．1或3 1617．【答案】（Ⅰ）1321n n n a b n -==- （Ⅱ）1133n n n T -+=-【解析】（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥． 又21213a S =+=，所以213a a =．故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以13n n a -=．由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=．则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221n b n n =+-⋅=-． （Ⅱ）因为1213n n n n b n c a --==，所以0121135213333n n n T --=++++． 则12311352133333n nn T -=++++， 两式相减得：21222221133333n n n n T --=++++-11113321121313n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=+⨯--1121233n n n --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴21112113323233n n n n n nT ----+=--=-⋅⋅ 18．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2h =． 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得BD == ∴222BD AB AD +=，∴90ABD ∠=︒，BD AB ⊥，∵AB DC ，∴BD DC ⊥．又平面PDC ⊥底面ABCD ，平面PDC底面ABCD DC =，BD ⊂底面ABCD ，∴BD ⊥平面PDC ，又PC ⊂平面PDC ，∴BD PC ⊥． （Ⅱ）设A 到平面PBD 的距离为h ．取DC 中点Q ，连结PQ ，∵PDC △是等边三角形，∴PQ DC ⊥． 又平面PDC ⊥底面ABCD ，平面PDC 底面ABCD DC =，PQ ⊂平面PDC ，∴PQ ⊥底面ABCD ，且PQ =由（Ⅰ）知BD ⊥平面PDC ，又PD ⊂平面PDC ，∴BD PD⊥． ∴APBD P ABD V V --=，即1111213232h ⨯⨯=⨯⨯ 解得h =19．【答案】（1）15；（2）0.5y ex =． 【解析】由已知，优等品的质量与尺寸的比()0.302,0.388yx∈ 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为a ，b ，c ，有3件为非优等品，记为d ，e ，f ，现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，选中的两件均为优等品的事件为(),a b ，(),a c ，(),b c ， 所求概率为31155=． （Ⅱ）对by c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+ 令ln i i v x =，ln i i u y =，则u b v a =⋅+，且ln a c = 由所给统计量及最小二乘估计公式有：11222175.324.618.360.271101.424.660.542ni i nii v u nuvb vnv==--⨯÷====-÷-∑∑118.324.6216a u bv ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=-==，由ln a c =得c e =，所以y 关于x 的回归方程为0.5y ex=．20．【答案】（1）a 的值为1；（2）a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． 【解析】（1）因为()()24143xf x ax a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦，所以()()()()22414143x xf x ax a e ax a x a e x '⎡⎤=-++-+++∈⎡⎤⎣⎦⎣⎦R ()2212xax a x e ⎡⎤=-++⎣⎦．()()11f a e '=-．由题设知()10f '=，即()10a e -=，解得1a =．此时()130f e =≠． 所以a 的值为1．注：没验证()130f e =≠要酌情扣分（2）由（1）得()()()()221212x xf x ax a x e ax x e '⎡⎤=-++=--⎣⎦．若12a >，则当1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>． 所以()0f x <在2x =处取得极小值． 若12a ≤，则当()0,2x ∈时，20x -<，11102ax x -≤-<，所以()0f x '>． 所以2不是()f x 的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． 21．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 【解析】（1）设()1,0F c -，()2,0F c ，其中222c a b =-，由121F F DF =得12DF ==从而1221121222DF F S DF F F =⋅==△，故1c =．从而12DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此22DF =．所以122a DF DF =+=a =2221b a c =-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=（2）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()111,P x y ，()222,P x y 是两个交点，10y >，20y >，11F P ，22F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥由圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =1212PP x =．由（1）知()11,0F -，()21,0F ，所以()11111,F P x y =+，()22111,F P x y =--，再由1122F P F P ⊥ 得()221110x y -++=，由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=， 解得143x =-或10x = 当10x =时，1P ，2P 重合，此时题设要求的圆不存在． 当143x =-时，过1P ，2P 分别与11F P ，22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ，设()00,C y 由111CP F P ⊥，得1011111y y y x x -⋅=-+，而11113y x =+=，故053y = 圆C的半径1CP == 综上，存在满足条件的圆，其方程为：2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．22．【答案】（1）26y x =-（2x ≤-或2x ≥）；（2． 【解析】（1）曲线C 的参数方程为221,14,x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩①②（t 为参数），将①式两边平方，得22212x t t =++③， ③-②，得26x y -=，即26y x =-，因为112x t t t t =+=+≥=，当且仅当1t t =，即1t =±时取“=”，所以2x ≥，即2x ≤-或2x ≥，所以曲线C 的普通方程为26y x =-（2x ≤-或2x ≥）．（2）因为曲线C 的直角坐标系方程为26y x =-（2x ≤-或2x ≥）， 所以把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得：22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥，则曲线C 的极坐标方程为22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥设A ，B 的极坐标分别为1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由226sin cos 6πθρθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 得22sincos 666ππρρ=-，即232240ρρ--=，且ρ≥因为44324473∆=+⨯⨯=⨯，∴ρ=ρ=，满足3ρ≥，不妨设113ρ-=，213ρ=所以12AB ρρ=-=注：没考虑3ρ≥要酌情扣分 23．【解析】（1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b ≥-，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b -≥-+，即2242a ab b ≥++，即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+ 因为a ，b M ∈，所以2a b +≤， 所以所证不等式成立．。