近世代数学习系列二十一 群论与物理的问题

群论问题与物理问题（和众多牛人的讨论总结）

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群：终极理论之梦 2009-11-30

一、与尤亦庄的讨论 2009/9/28 在2009-09-27，"Yi-Zhuang You" 写道：

1.有一本高等代数的书中说“幺正”是指矩阵与它的逆之积等于1，而“正交”则是之积等于单位阵 E. 看书认真一点，我敢保证书上不是这样定义的。任何矩阵和它的逆之积都是1，这里的1不是数字，1 = E 都是是代表单位阵的符号。我不给你重复正确的定义了，你自己再去认真看，我只强调一下“幺正”和“正交”的区别就像复数和实数的区别一样，你要是体会清楚这个类比了，那你就算懂了。

2.有一本书说U代表酉群。为什么用“酉”这个词？另外，U既代表“幺正”，又代表“酉”，是不是说二者同义？“幺正”=“酉”，这两个词是同一个英文单词(unitary)的不同翻译，前者是意译，后者是音译，这就是区别。还说“正交”对应实数域上的线性空间，而“酉”是推广到复数域上的结果。那么与第1条比较，发现从实数域扩展到复数域时，矩阵与它的逆之积从E变为1.这说明什么？矩阵和群什么关系？“矩阵”中的概念是否可以移用到“群”中来？ ok，这里你已经看到这个类比了，实数和复数的关系。那么与第一条相比，你别瞎比了，第一条的定义是错的，E 和 1没有任何区别，他们都是单位阵的记号，不同的书不一样而已。O和U的区别不是 E和1的区别，而是转置(transpose)和厄米共轭(hermitian conjugate)的区别。

3.Hermite（埃尔米特）的意思是共轭转置。这与量子力学中可观测的“厄米算符”有什么区别？厄米算符(Hermitian operator)是这样一类特殊的算符，特殊之处在于它的厄米共轭恰好就是它自己本身。这个出现在“酉”中，与“幺正”的联系是什么？再说一次，“酉”和“幺正”是同一个词的不同翻译，它们同义。“幺正”和“厄米”的关系是：幺正阵= exp (i×厄米阵)，就类比于复数（幺正）和它的幅角（厄米）的关系。

4.O群经常用来讨论转动。那么用什么讨论平移呢？为什么转动那么特殊，使得讨论10维宇宙之类问题用的是O群而不是别的？用平移群讨论平移，用转

动群讨论转动。平移群的记号是R，转动群的记号是O。讨论10维宇宙之类问题用的是O群，这是你的认识，你只见过用O群讨论10维宇宙，但并不意味着10维宇宙只有O群的对称性，10维宇宙还有很多其他的对称性，你现在没见过而已。

5.电磁场为什么是U（1）？怎么由“相位变换”体现？这两个问题是目前为止最有水准的好问题。你问电磁场为什么是U(1)之前应该先问，电磁场是什么？电磁场就是电场+磁场。那么你要继续问，电场是什么，磁场是什么？请注意，我很强调物理是一门实验科学，所以我希望你在思考任何问题的时候都能从实验出发。所以上面两个问题应该被翻译成：怎么用实验表明电场和磁场的存在，及其强度。那么就是要放测试电荷。电荷的在电磁场中的运动方式和自由空间中的匀速直线运动是不一样的。好了，这就是电磁场的定义。比较极端的说法是，电磁场什么都不是，它的全部意义就是去改变测试电荷运动方式，观察到这种改变，就是观察到电磁场。好了什么叫做电磁场是U(1)的，那就是说，物理学家给物质运动方式的所有可能发生的改变都编好号了，而且居然全部都是U群，有U(1),SU(2), SU(3)....电磁场是U(1)，就是说电磁场就是那个能够使电荷的运动按照U(1)那种方式的变化的东西。什么叫做按照U(1)的方式变化？那就要问题，电磁场中的电荷到底和没有电磁场的电荷有什么区别。举出一个例子来。那么比如说，磁场中的运动电荷会受Lorentz力，轨道会弯曲。任何时候，只要你见到一个东西它居然不走直线，而是走着走着就弯了，你就说，啊，我看到了磁场。比如地球上有地转偏向力，也就是Coriolis力，北半球水流会左偏，这就是磁场，但这不是地磁场，而是一种更广意义上的虚拟磁场。再比如说，陀螺你放手以后不会直接倒下来，它会进动。本应该倾倒，却不倾倒反而拐个弯进动，这就同样属于走着走着就弯了，这也是磁场。好了，为什么一个东西会走着走着就走弯了呢？这就是相位在作怪。这里我要开始解释Lorentz力的起源。你要去想象这个问题，就知道它是很深刻的。书本上告诉你有Lorentz力，但是却不告诉你为什么有，Lorentz力的机理是什么。Lorentz力的微观机理就是物质波的干涉效应！波的干涉，知道吧。波的干涉有什么现象，有的地方会相消，有的地方会相涨。波是携带能量的，波一会儿消没了，一会儿又涨出来，那能量不守恒吗。不是的，能量仍然守恒，只不过从相消干涉处转移到相涨干涉处。物质波转

移了就是物质转移了，这就是量子力学的乾坤挪移大法，用干涉效应把物质从一个地方移到另一个地方，这就是Lorentz 力的起源，原来电荷好好的走直线，可是由于磁场的存在，它的物质波的相位会发生一个改变，干涉效应就使得它被挪移到偏离直线的旁边去。因此什么是电磁场，电磁场就是能造成电荷改变相位的那个东西。好了什么是改变相位的群，那就是U(1)，这就是为什么说电磁场是U(1)的。如果U代表“幺正”，这和“矩阵与它的逆之积等于1”之间有什么联系？再说一次，“幺正”不是定义成“矩阵与它的逆之积等于1”，它们之间没有关系。

6.O（3）中的“3”是代表空间的维数，而U（1），SU（2）中的数字为什么没有代表空间维数？如果这里的“1”代表一种性质（相位），那么“2”代表什么？ U(1)， SU(2)的数字也是空间的维数。我们说了O和U可以类比，O是什么意思，U就是什么意思，唯一的区别就是把实数改成复数。比如说，O(1)是一维实空间的转动（当然这个群实际上不存在，因为一维空间不能转动）；那么U(1)就是一维的复空间的转动。什么是一维的实空间，那就是一个实数轴，上面的每一个点都有一个坐标，坐标是一个实数，比如往东走1米。那么一维复空间就是一个复数，也就是说坐标是复数，比如往东走1+i 米，这当然就不是我们生活的空间了。这是波函数生活的空间。什么叫做转动一个复数呢，那就是改变它的相位嘛，这不是很容易理解了吗。那么SU(2)呢，那就是两维复空间嘛，就是说有两个坐标，两个坐标都是复数，也就是有两个复数。那么两个复数怎么转，它们要构成一个有两个分量的复矢量，然后实际上是在一个4维空间里面转，这个你自己去想象。 SU（3）、SU（2）×U（1）、SU（3）×SU（2）×U（1）、SU（5）的含义分别是什么？ SU(3)是强相互作用，SU(2)×U(1)是弱电相互作用，SU(3)×SU(2)×U(1)就是标准模型，SU(5)是强弱电大统一的一种可能的模型。他们的含义就像U(1)是电磁相互作用一样。就是说强相互作用，会使波函数按照SU(3)的方式（也就是三维复矢量空间里转动）发生改变。那就是意味这这个波函数是一个包含三个复数的矢量嘛，你知道波函数里面的每一个复数都表示一种粒子的几率幅，那么三个复数就是三个粒子，那么是哪三个粒子呢，那就是红、绿、蓝三种颜色夸克，因此这样的模型就描述了三色夸克之间的相互作用，那是什么，那当然就是强相互作用。 SU（3）×SU（2）×U（1）与SU（5）的区别