最新5.3,1实数与向量的积

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高一数学实数与向量的积综合练习教案

湖南师范大学附属中学高一数学教案：实数与向量的积综合练习教材：5.3实数与向量的积综合练习《教学与测试》P141-144 67、68课目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。

过程：一、复习：1．实数与向量的积 (强调：“模”与“方向”两点)2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律） 3．向量共线的充要条件4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）二、处理《教学与测试》1．当λ Z 时，验证：λ(a +b )=λa+λb证：当λ=0时，左边=0•(a +b )=0 右边=0•a+0•b =0 分配律成立当λ为正整数时，令λ=n, 则有：n(a +b )=(a +b )+(a +b )+…+(a +b )=a +a +…+a +b +b +b+…+b =n a +n b即λ为正整数时，分配律成立当为负整数时，令λ= n （n 为正整数），有n(a +b )=n[ (a +b )]=n[( a )+( b )]=n( a )+n( b )= n a +( n b )= n an b分配律仍成立综上所述，当λ为整数时，λ(a +b )=λa+λb 恒成立。

2．如图，在△ABC 中，=a, =b AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量解一：∵AB =a , BC =b 则BD =21BC =21b∴=+=a +21b 而=32∴=32a +31b解二：过G 作BC 的平行线，交AB 、AC 于E 、F ∵△AEF ∽△ABC=32=32a =32=32bD A BCab DAECa bBFG=21=31b∴AG =AE +EG =32a +31b3．在 ABCD 中，设对角线=a ，=b 试用a , b表示，解一：AO =OC =21a BO =21=21b∴AB =+= =21a 21b=+=+=21a +21b解二：设AB =x ，BC =则AB +BC =AC x +y =a ∴ x =21(a b)= =b =21(a +b)即：AB =21(a b ) BC =21(a +b)4．设1e , 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e , =1e +32e , =21e 2e , 若三点A, B, D 共线，求k 的值。

向量与实数之间的计算公式

向量与实数之间的计算公式向量与实数是线性代数中的重要概念，它们之间的计算关系在数学和物理学中都有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨向量与实数之间的计算公式，包括向量的数乘、向量加法、向量减法等基本运算，以及这些运算在实际问题中的应用。

1. 向量的数乘。

向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘的运算。

假设有一个向量a和一个实数k，那么向量a乘以实数k的结果是一个新的向量，记作ka。

具体计算公式如下：ka = (ka1, ka2, ..., kan)。

其中，a = (a1, a2, ..., an)是原始向量，k是实数，ka是数乘后的新向量。

数乘的运算规律包括分配律、结合律和交换律，即：k(a + b) = ka + kb。

(k1k2)a = k1(k2a)。

k(a + b) = ka + kb。

数乘的概念在物理学中有着广泛的应用，例如力的大小和方向就可以用向量来表示，而力的大小和方向的变化可以通过数乘来描述。

2. 向量加法。

向量加法是指两个向量相加的运算。

假设有两个向量a和b，它们的加法结果记作a + b，具体计算公式如下：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。

其中，a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)分别是两个原始向量，a + b是它们相加后的新向量。

向量加法满足交换律和结合律，即：a +b = b + a。

(a + b) + c = a + (b + c)。

向量加法在几何学中有着重要的应用，例如两个力的合成就可以用向量加法来表示。

3. 向量减法。

向量减法是指一个向量减去另一个向量的运算。

假设有两个向量a和b，它们的减法结果记作a b，具体计算公式如下：a b = (a1 b1, a2 b2, ..., an bn)。

其中，a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)分别是两个原始向量，a b是它们相减后的新向量。

高一数学-高一数学实数与向量的积3 精品

实数与向量的积（3）教学目的：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；理解两个向量共线的充要条件，3. 掌握平面向量基本定理；教学重点：实数与向量的积的应用；教学难点：平面向量基本定理的理解及应用。

教学过程：一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=02．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a分配律：(λ+μ)a =λa +μa λ(a +b )=λa+λb3．向量共线定理向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .4．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；二、例题例1 已知向量a 、b 是两个非零向量，在下列条件中，能使a 、b 共线的条件是○1 2a -3b =4e 且a +2b =-3e ; ○2 存在相异实数,0;a b λμλμ+=、使 ○3 x a +y b =0（其中x ,y 满足x +y =0） ○4 已知梯形ABCD,其中,.AB a CD b == A. ○1○2 B. ○1○3 C. ○2○4 D. ○3○4例2 已知不共线的非零向量a 、b 、c ，求作向量132.2a b c -+例3 设12,e e 是两个不共线的向量,已知1212122,3,2.AB e ke CB e e CD e e =+=+=-若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.例4 如图所示，已知梯形ABCD 中，AD//BC,E 、F 分别是AD 、BC 边上的中点，且BC=3AD,,.BA a BC b a b ==试以、为基底表示,,.E F D F C D 例5 如图所示，已知平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是 BC 、DC 边上的中点，若,.AB a AD b a b ==试以、为基底表C示,.DE BF例6 如图所示，已知四边形ABCD ，在四边AB 、BC 、CD 、DA 上各取一点P 、Q 、R 、S ，使,,,.B P B Q D R D Sa b c b B A B C D C D A λλλλ=+=-=-=+其中a 、b 、c 是常数，λ是参数，试证：PR QS +是常向量.三、作业《精析精练》P84 1~20.。

高一数学-5.3实数与向量的积精品

5.3 实数与向量的积【基础知识精讲】1.实数与向量的积的定义实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下： (1)｜λ｜=｜λ｜·｜｜;(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λa =0,方向是任意的.2.实数和向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么：(1)λ(μa)=λμa (2)(λ+μ) a =λa +μa (3)λ(+)=λ+λ 3.两个向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b =λa . 4.平面向量基本定理如果1e ，2e ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使：=λ11e +λ22e其中不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.注意：(1)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式. (2)上面分解是唯一的.向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫做向量的初步运算.任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合.【重点难点解析】1.实数与向量的积的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是实数与向量相乘的分配律有两种不同形式.(λ+μ) a =λa +μa 和λ(a +b )=λa +λb ；实数与向量相乘的运算中的关键是等式两边向量的模相等的同时，方向也必须相同.2.掌握实数与向量积的概念，运算及两个向量共线的充要条件.例1 化简32［(4a -3b )+31b -41(6a -7b )］= .解：原式=32［4-3+31-23 +47］=32［(4-23) a +(-3+31+47)b ］=32［25-1811］=35-1811∴应填：35-1811例2 设a ，b 是不共线的两个向量，已知AB =2a +k b ，=a +b , CD =a -2b ，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.分析：由于A 、B 、D 三点共线，因此必存在实数λ，使AB =λBD . 解：由已知，必存在实数λ，使AB =λBD 而=BC +=(+)+( -2)=2- ∴2+k =λ(2-)=2λ-λ 于是2=2λ,k=-λ,∴k=-1例3 如图E 、F 分别为任意四边形ABCD 两边AD 、BC 的中点：求证：EF =21( +).证法1：如图=,=,作=，则ABGC 是平行四边形，所以对角线AG 过BC 的中点F ，由=+=+，又EF 是△AGD 的中位线，∴=21(+) 即=21( +)证法2：如图取点O ，作OE ，OF 则=21( +) OF =21(OC +OB )=-=21(+)-21(+)=21(+--) =21(-+-) =21(AB +) 评析：通过上述几个例题可看出，在向量这部分学习过程中，数形结合是解题的一个入手处，通过作图，观察图形得到解题的方法，有时，还需要构造图形.数形结合，构造法是数学解题的常用方法.在今后的学习过程中加深理解.例4 已知□ABCD ，D 、F 分别是DC 和AB 的中点，判断AE 、CF 是否平行?分析：要判断、是否平行，就是判断能否用表示出来. 解：设=,=因为E 、F 分别是DC 和AB 的中点所以=21 =21 =21 =21 AB =21AE =AD +DE =b +21aCF =CB +BF =DA +BF =-AD -=-b -21a =-(b +21a ) ∴与平行. 例5 求向量,:分析：此题是解向量方程组，类比二元一次方程组，采用消元，转化为一元向量方程，逐一解元.解：2×①-3×②得： =-2a +3b 3×①-4×②得：=3-4【难题巧解点拔】例1 设M 为△ABC 的重心，证明对任意一点O ，有=31( ++)证明：连结AM 并延长交BC 于Q ，连结OQ. 由三角形法则=OC -OB ∵M 是重心，∴Q 是BC 中点 ∴=21=21( -)又=+=21 ( -)+=21( +) 又=OA -由M 是重心，∴QM =31QA =31-31OQ 从而，=+=+31-31=31 +32·21( +)=31( ++) 例2 如图，已知在△ABC 中，D 是BC 上的一点，且DCBD=λ.试证：AD =λλ++1分析：在要证的等式中，不含向量、，只含有向量与.因此我们可根据三角形法则先给出两个含有向量BD 与CD 的等式，然后再想法消去这两个向量，即可使结论得证.证明：∵DCBD=λ. ∴BD =λDC由向量求和的三角形法则知：=+=+λ① AD =AC +CD =AC -DC ②再由①+λ②得：AD +λAD =AB +λAC ∴=λλ++1.说明：①特别地，当λ=1(即D 为BC 中点)时，有AD =21AB +21. ②其实在上述论证过程中，我们是将①、②两式看成以向量与为未知元的方程，通过加、减消元法，消去DC 后，求出AD (即由AB 与AC 表示AD 的).例3 若O 、A 、B 三点不共线，已知=m ·+n ·,m ·n ∈R,且m+n=1,那么P 点位置如何?请说明理由.解：由已知，OP =m OA +(1-m) OB =OB +m(OA -OB ) ∴-=m(-) 即=m BA∴与共线，即点P 在直线AB 上.例4 求证：平行四边形一顶点和对边中点的连线三等分此平行四边形的一条对角线(如图)分析：如图就是要证AF(F 是CD 的中点)与BD 的交点E 是BD 的三等分点，就是要证：BE=32BD ,可设BE =u BD .再通过图中各向量之间的关系建立相应的方程组，并进行运算，求出u=32即可.证明：设实数λ，u 满足：于是，AE =AB +BE =AB +u BD . ∴λAR =AB +u BD ;又∵BD =AD -AB ,AF =AD +DF =AD +21DC =AD +21AB . ∴λ(+21)=+u(-) ∴(λ-u) =(1-u-21λ)由于AB 与AD 不共线，所以必有：解之得：∴=u =32.即E 是BD(靠近D)的一个三等分点. 同理可证：C 与AB 中点连线和BD 的交点是BD(靠近B)的一个三等分点. 综上所述，问题得证.【课本难题解答】课本第108页习题5.3第6题.OC =a ,OD =-, DC =-a ,BC =-a -第7题：AE =41, =b -a ,DE =41 ( -a ),DB =43 a ,EC =43 ,DN =81( -),AN =81( +)【命题趋势分析】本节主要考查实数与量的积的定义及实数与向量的积的运算律，两个向量共线的充要条件，及平面向量的基本定理，考试中一般以中低档题形式出现.【典型热点考题】例1 若AB =31e , CD =-51e 且｜AD ｜=｜｜,则四边形ABCD 是( ) A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.非等腰的梯形解：∵AB =31e , =-51e ∴=-35AB ∴与平行且方向相反易知｜｜＞｜｜又∵｜｜=｜｜∴四边形ABCD 为等腰梯形故选C.例2 已知λ，u ∈R ，则在以下各命题中，正确的命题共有( ) (1)λ＜0，≠时，λ与的方向一定相反 (2)λ＞0，a ≠时，λa 与a 的方向一定相同(3)λ≠0，a ≠0时，λa 与a 是共线向量 (4)λu ＞0，≠时，λ与u 的方向一定相同 (5)λu ＜0，≠时，λ与u 的方向一定相反 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个分析：要对以上5个命题进行真假判断，只要掌握关于实数λ与向量的积是一个向量，其方向规定为：当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反，就不难作出正确选择.解：根据实数λ与向量的积λ的方向的规定，易知命题(1)、(2)、(3)都是正确的. 对于命题(4)与(5)，(i)λu ＞0,可得λ，u 同为正或同为负，所以λ与u 或者都与同向，或者都与反向，所以λ与u 同向.故命题(4)是正确的；(ii)若λμ＜0，则λ与u 异号，λa 与u a 中，一个与a 同向，一个与a 反向，∴λa 与u a 反向，故命题(5)也是正确的.综上所述，应选择(D).例3 梯形ABCD ，AB ∥CD ，且AB=2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，如图，若AB =a ,=b ，试用a ，b 表示BC 和MN ，则BC = , MN =__________。

实数与向量的积PPT教学课件

(2)若O为 ABCD的对角线交点，AB 4e1 ，BC 6e2 ，则 3e2 2e1 等于（ B ）
A．AO B．BO C． CO D． DO
06《世界分区－东亚和日本》
一、东亚概况
1、位置和范围
东亚在亚洲的东部、太平洋的西侧,包括中国、朝鲜、韩国、蒙古和日本等国家 ( 见下图)。其中朝鲜、蒙古同我国接壤, 日本、韩国与我国隔海相望。
• ①森林多，山区是我国森林资源主要分布地区: 最大林区是东北原始林区包括大小兴安岭和长白山,第二大林区是西南原始林区包括喜马拉雅山南坡和雅鲁藏布江大拐变处以及横断山区,第三是东南丘陵人工次生林区包括台闽赣等;
• ②丘陵可发展林果，丘陵多己开辟为梯田、果园、或栽培经济林木;
• ③名山成旅游资源，少数挺拔峻峭的山峰成为名山和
• (2)东亚的气候显著成因
• 东亚是世界上季风气候最显著的地区之一。冬季盛行偏北风,风由寒冷的西伯利亚和蒙古高原吹向太平洋,风力强劲( 图),受其影响,大部分地区气候寒冷干燥。夏季盛行偏南风,风从太平洋、印度洋带来丰沛的水汽( 图)。降水由沿海向内陆减少。
亚洲亚洲东部一月的气压和风向
亚洲东部七月的气压和风向
• 朝鲜、日本最早都曾使用汉字,至今日本文字中仍保留不少汉字。朝鲜的音乐、舞蹈在隋唐时已传入中国。
二、日本
• 1、日本的地理位置:
• 中国一衣带水的近邻
日本位于亚洲的东部，东
濒太平洋，西面濒临日本
海，隔海与中国、朝鲜、
韩国和俄罗斯相望。
• 2、日本的领土组成和
太平
概况
洋
• 日本领土是由北海道、本
• 4、居民
• 1 人口超一亿
• 2 单一民族——大和民族 • 3 兼有东西方文化特点

实数与矢量的积说课课件

设计意图引导学生进行课堂小结，并对学法给予指导
小结
教学环节
教学程序
设计意图巩固所学知识，强化基本技能的培训，培养学生良好的学习品质。
课本P110 2、3、4、5
布置作业板书设计
五．单元课结评价：
本节课的设计最大的特色在于向量共线定理的应用过程中例题的安排，按照一定的梯度，从直接应用到间接应用，符合学生的认知规律，特别是体现了向量知识在解决几何问题的便捷性，也符合高考考纲中要求学生熟练掌握以向量为工具解决问题的能力，其次本节课对教学疑点有作进一步的阐明，不仅发现问题也解决了问题，达到很好的教学效果。
一般地，实数与向量 a 的积是一个向量，记作 a 它的长度与方向规定如下： 1、| a |=| || a | a 方向与a 的方向相同， 2、当＞0时， a方向与 a 的方向相反，当＜0时， a = 0 当 =0时，
教学环节
教学程序
设计意图
运算律
实数与向量的积也可称为数乘向量，它与向量运算律的给出采用开的加法、减法以及它们门见山的方式，但可的混合运算称为向量的说明证明这些运算律线性运算。成立的关键，是证明根据实数与向量的定义，等式两边的向量的模可以得出下面的运算律：相等，且方向相同。 1、 ( a) ( )a
教学环节
教学程序
设计意图由数与数的积的概念推广到实数与向量的积，这不仅符合从已知到未知的探索规律，也对后面启发学生发现向量的线性运算与代数运算中实数乘法的运算律的相似性作了一个铺垫。
在代数运算中， a+a+a=3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法引入课题的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算，由此引入本节的课题“实数与向量的积”

高中数学平面向量知识及注意事项

高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。

5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。

实数与向量的乘积

实数与向量的乘积可以改变向量的大小和方向，从而实现向量的缩放、旋转等操作。
实数与向量的应用
实数与向量的乘积在物理、工程等领域有着广泛的应用，如力的合成与分解、速度的计算等。
03
实数与向量的乘积运算
乘积的运算规则
结合律
对于任意实数λ、μ和向量a，有λ(μa) = (λμ)a。
分配律
对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b) = λa + λb。
来得到。
在工程中的应用
结构力学
在工程学中，实数与向量的乘积被广泛应用于结构力学。例如，桥梁或建筑物的结构分析需要考虑各种力的作用，这些力可以用向量表示，并通过实数与向量的乘积进行计算和分析。
电气工程
在电气工程中，电流、电压和电场强度等物理量都是向量。实数与向量的乘积可以用来计算电路中的功率、能量等参数。
03
代数性质
实数与向量的乘积满足一系列代数性质，如结合律、分配律等，这些性质使得向量运算更加灵活和方便。
对未来研究的展望
拓展应用领域
实数与向量的乘积作为一种基础的数学工具，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。未来可以进一步探索其在其他领域的应用，如机器学习、数据分析等。
高维向量空间的研究
目前对实数与向量的乘积的研究主要集中在二维和三维向量空间。未来可以拓展到更高维度的向量空间，研究高维空间中实数与向量的乘积的性质和应用。
与其他数学概念的结合
实数与向量的乘积可以与其他数学概念相结合，如矩阵、张量等，产生更丰富的数学结构和性质。未来可以探索这些结合所带来的新的数学理论和应用。
THANKS

高一数学实数与向量的积

D
例3：
如图：G 为 ABC 的重心
A
求证： 1AB BC CA 0
2 GA GB GC 0 3GD GE GF
0
F G C D B P E
4 PA PB PC 3PG P为平面内任意一点
4、平面向量基本定理
基本定理：如果 e1、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数 1、2，使
a 1 e1 2 e2
说明：我们把不共线的向量 e1、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
例4：
如图,平行四边形 ABCD的两条对角线相交于点 M , 且 AB a , AD b ,用 a 、b 表示 MA、 MB、 MC 和 MD
D C
b
M
A
a
B
例5：
如图， OA ，OB 不共线， AP t ABt R
jch58kcf
子？往好处想，老太太一日不死，两位太太再大也大不过老太太去，嘉颜还在老太太院子里，平常跟着老太太享享福，有什么事，出去，阖府还都跟敬老太太似的敬着她，有些银钱财物的孝敬是不来了，但也省去很多劳碌，对养身有益。洛月交付了桩差事，回转门来，厚棉门帘子一动，带进来一丝冷冽，她仔细把门帘子放好，抬头看宝音神色，问：“姑娘这几日有心事？”还不是七王爷那档子事……苏小横把担子揽了过去，也没深责怪宝音。宝音总觉得眼皮跳，怕这事儿没这么容易完。“酒庐那儿——”宝音开口，想同洛月诉诉心事。 “那个蝶老板难为了？！”洛月立刻倒吸一口冷气。七王爷在酒庐带走蝶宵华一事，沸沸扬扬，洛月因此知道蝶宵华也在酒庐。她一见为酒庐为难，怎么立刻以为是蝶宵华呢？宝音静下来，问她：“我见过蝶老板，是不是？”洛月的表情很奇怪。见过蝶老板，是当然的，为什么还问“是不是”？第九十三章那夜笙蝶初相见（4）宝音坐在床沿，拍拍旁边的褥子：“过来坐。”洛月便贴着宝音裙边，掇个杌子坐了。宝音携她：“上来。”洛月不肯上。宝音无奈道：“傻丫头，你坐那么低，难道要我弯腰勾头跟你说话儿？”洛月还是不敢上座，便另换了张高些的椅子，在宝音下首坐了。宝音一说话，她便立起身，弯腰在宝音嘴边听着。宝音捺她在椅子上，自己弯腰与她头凑头，低低道：“我那天差点病死，活是活转来，却落下病根。”洛月神色凄然：“嗯。”“你看出来了？”宝音问。 “ 许多事情记不得了。”洛月伤心道。饶宝音手段高、遮掩得宜，洛月贴身尽心服侍久了，又怎能看不出破绽？一些习惯性动作、处世风格有变化，宝音还可说是经历生死大关，性情巨变，但有些该知道的，懵然无所知，就不可以拿“性情大变”来解释了。宝音问洛月：“你早就知道，怎么不跟我提？”洛月低郁道：“ 没提。”她以为天，不提的，她就不多嘴，甚至连想都不多想。宝音道： “我现在告诉你，我忘了很多事。”“忘了……”洛月喃喃的重复着，没听懂。“那天，我真以为自己死过去了，再醒过来，有那么一会儿连自己是谁都记不起，后来，陆陆续续想起一些、又想起一些，但总有些东西丢了，拣都拣不回来。”洛月一脸的错愕、心疼，甚至……失落？“我记得你是我最好的丫头。”宝音赶紧表白。洛月还是有点难过。喂！如果是如胶似漆的小夫妻，一方忽然失忆，告诉对方：“我记得你是我的好妻子。”对方心里还是难受，那还情有可原。只是和丫头而已，有没有必要这么撒娇啊……不过，表六亲无靠，屋中晨昏倚仗的，无非丫头洛月。对洛月来说，在阁一天，服侍一天，出了阁，多半带了走的非零向量，

实数与向量的积PPT优选课件

2020/10/18
1
复习向量的加法(三角形法则)
引入练习如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
新课讲解
b
例题讲解 a o
作法:在平面中任取一点o,
过O作OA= a
定理讲解
课堂练习
a
A
小结回顾 2020/10/18
a+b 过A作AB= b
则OB= a+b. bB
2
复习向量的加法(平行四边形法则)
a 新课讲解
2a+2b，并进行比较。 3(2a)
例题讲解定理讲解课堂练习
b
a
3(2a)=
6a
2a2b
ab
小结回顾 2020/10/18
2 ( a b ) 2 a 2 b2a
2b
7
复习
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有引入练习 ①λ(μa)=(λμ) a
②(λ+μ) a=λa+μa
问题1：如果 b=λa ,
新课讲解
那么，向量a与b是否共线？
例题讲解
问题2：如果向量a与b共线那么，b=λa ？
定理讲解
课堂练习向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 b=λa
小结回顾 2020/10/18
9
复习向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只
当λ<0时,λa的方向与a方向相反；例题讲解特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
定理讲解课堂练习小结回顾 2020/10/18
课本P105-1,2 (比较两个向量时,主要看它们的长度和方向)
6
复习 (1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为

高中数学向量解题技巧必看

高中数学向量解题技巧必看各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，运用，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。

下面是小编给大家整理的一些高中数学向量解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。

高二数学向量重点学习方法高二数学向量重点-向量公式：1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|2.P(x,y)那么向量OP=x向量i+y向量j|向量OP|=根号(x平方+y平方)3.P1(x1,y1)P2(x2,y2)那么向量P1P2={x2-x1,y2-y1｝|向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]4.向量a={x1,x2｝向量b={x2,y2｝向量a.向量b=|向量a|.|向量b|.Cosα=x1x2+y1y2Cosα=向量a.向量b/|向量a|.|向量b|(x1x2+y1y2)=————————————————————根号(x1平方+y1平方).根号(x2平方+y2平方)5.空间向量：同上推论(提示：向量a={x,y,z｝)6.充要条件：如果向量a⊥向量b那么向量a.向量b=0如果向量a//向量b那么向量a.向量b=±|向量a|.|向量b|或者x1/x2=y1/y27.|向量a±向量b|平方=|向量a|平方+|向量b|平方±2向量a.向量b=(向量a±向量b)平方高二数学向量重点-三角函数公式：1.万能公式令tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2)2.辅助角公式asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r)cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]tanr=b/a3.三倍角公式sin(3a)=3sina-4(sina)^3cos(3a)=4(cosa)^3-3cosatan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)]4.积化和差sina.cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa.sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa.cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina.sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/25.积化和差sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]高考数学平面向量易错点分析1.数0有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定。

新课标人教A版数学必修4全部课件：实数与向量的积

1
PQ=_____________ 2
a b
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能力·思维·方法
1.设e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且a=-(2e1+e2)，b=e1-λe2. (1)若a∥b，求λ； (2)若a⊥b，求λ.
【解题回顾】a∥b<=>a=λb(b≠0),a⊥b<=>a· b=0
2.设△ABC的重心为G，点O是△ABC所在平面内一点，求证： OG=
2.在能力· 思维· 方法3中，充要条件的证明极易混乱，一定要分清条件和结论.另外，向量上的箭头不要丢掉，如把0写成了0.
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第2课时实数与向量的积要点·疑点·考点
课前热身
能力·思维·方法
延伸·拓展
误解分析
要点·疑点·考点
1.实数与向量的积的概念 . (1)实数λ与向量a的积记作λa，其长度|λa|=|λ||a|；方向规定如下：当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0. (2)设λ、μ为实数，则有如下运算律：λ(μa)=(λμ)a， (λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb 2共线定理.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa 3.平面向量基本定理如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 , 其中e1，e2叫基底.
【解题回顾】利用例3结论，本题还可这样：设AE=e1，AD=e2，∵D、F、E共线，∴可设AF=λe1+(1-λ)e2，又易知AC=3e1+e2根据A、F、C三点共线可得λ=3/4，故AF/FC=1/3. 另外还可以用坐标运算的方法来解，略.

实数与向量积及几何意义

实数与向量积及几何意义1.点积（内积）：点积，也称为内积或数量积，是两个向量的一个二元运算。

对于给定的两个n维向量A和B，其点积定义为：A·B=A1B1+A2B2+…+AnBn其中A1,A2,…,An和B1,B2,…,Bn表示向量A和B的分量。

点积有以下几个重要性质：（1）交换律：A·B=B·A；（2）分配律：(A+B)·C=A·C+B·C；（3）结合律：k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)其中k是一个实数；（4）A·A=，A，^2，其中，A，表示向量A的长度。

点积的几何意义是通过向量的长度和夹角来描述向量之间的关系。

具体来说，A·B是A和B的长度的乘积与它们之间的夹角的余弦的乘积。

特别地，当A·B=0时，表示向量A和B垂直或正交；当A·B>0时，表示向量A和B之间的夹角小于90度；当A·B<0时，表示向量A和B之间的夹角大于90度。

这个性质对于判断两个向量之间的几何关系非常有用。

2.叉积（外积）：叉积（也称为向量积、外积或叉乘）是两个向量的二元运算。

对于给定的三维向量A和B，其叉积定义为：A×B=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3,A1B2-A2B1)其中A1,A2,A3和B1,B2,B3表示向量A和B的分量。

叉积有以下几个重要性质：（1）反交换律：A×B=-B×A；（2）分配律：A×(B+C)=A×B+A×C(B×C)×D=(A×D)×(B×C)其中A,B,C和D是向量；（3）结合律：k(A×B)=(kA)×B=A×(kB)其中k是一个实数；（4）A×B=0当且仅当A和B共线。

叉积的几何意义是通过向量的长度和夹角来描述平面上的向量之间的关系。

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18
新课讲解例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
例题讲解试判断AC与AE是否共线。 E
定理讲解
C
课堂练习
A B
小结回顾
D
小结回顾
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明向量共线 2. 证明三点共线: AB=λBC 3. 证明两直线平行:
小结回顾
复习
引入练习
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
1
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
3
新课讲解三点共线。
提示：设AB = a BC = b
例题讲解
定理讲解
则MN=
1
…=
6
1 a +3
b
D
C
课堂练习 MC= … = 1 a+ b 2
N
小结回顾
A
M
B
结束语
谢谢大家聆听！！！
5.3,1实数与向量的积
复习向量的加法(三角形法则)
引入练习如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
新课讲解
b
例题讲解 a o
作法:在平面中任取一点o,
过O作OA= a
定理讲解
课堂练习
a
A
小结回顾
a+b 过A作AB= b
则OB= a+b. bB
复习
引入练习对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ,
问题1：如果 b=λa ,
新课讲解
那么，向量a与b是否共线？
例题讲解
问题2：如果向量a与b共线那么，b=λa ？
定理讲解
课堂练习向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当有且只有一个实数λ，使得 b=λa
小结回顾
复习
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当引入练习有且只有一个实数λ，使得 b=λa
A,B,C三点共线
AB=λCD
AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
复习
一、课时作业5.316~P118 预习提纲：
例题讲解（1）平面向量的坐标表示与平面向量定理讲解基本定理的关系.
（2）平面向量的坐标运算有何特点？课堂练习（3）向量平行的坐标表示什么？