高中数学4.2《向量的减法》教案(湘教版必修2)

《向量的减法》教案

教学目标：

〈一〉知识目标

1、 掌握向量的减法运算，并理解其几何意义，会作两个向量的差向量。

2、 理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系。

〈二〉能力目标

1、向量的运算能反映出一些物理规律，从而加深学科之间的联系，提高我们的应用能力。

2、培养学生逻辑思维能力、发散思维能力及从多方位，多角度分析问题的能力，提高学生自身解题的能力。

〈三〉德育目标

理解事物之间相互转化、相互联系的辩证思想。

〈四〉美育目标

通过学习体会数学的内在美及向量证明方法的逻辑美。

教学重点：向量减法的运算及其几何意义。

教学难点：向量减法定义的理解。

学法引导：类比向量加法运算与数的运算，培养学生的观察力，提高学习兴趣及探究精神。

教学过程：

一、 创设情境

如图,已知a 、b ，求作向量c ,使c =a ＋b 。

(学生板演后，保留图形，方便后面对比)

向量是否有减法？如何理解向量的减法？

我们知道，减法是加法的逆运算，类比实数的减法运算，能否把向量的减法同样作为向量加法的逆运算引入？

二、 展示目标

三、 自主探究 a

b

阅读课本p94---p96 2.2.2向量减法运算及其几何意义，回答下列问题：

1、

小东从A 地走10米到B 地，又再从B 地走10米到A 地，他的位移是多少？ 2、

什么叫做相反向量？相关性质？ 3、

你如何理解向量减法的定义？ 4、 已知两个向量a ，b ，如何作出两个向量的差？

小试牛刀：

（1）设b 是a 相反向量，则下列说法错误的是（ C ）

A 、a 与b 的长度必相等

B 、a ∥b

C 、a 与b 一定不相等

D 、a 是b 的相反向量

（2）下列等式，①a + 0 =a ②、b +a = a +b ③、-(-a )= a

④、a +(-a )=0 ⑤、a +(-b )=a -b 正确的有( )个？

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

（3）已知向量a , b 怎样作出向量m ，使m =a -b ？

四、 共同探导

1、从上面习题（3）中，引导从之前的加法作图法中，归纳出作两向量差的方法。

三角形法则：①起点重合，连接两向量终点，箭头指向被减数（几何意义）

②、利用a －b ＝a ＋（－b ）(板书演示作图过程)

2、改变a 、b 的位置（如下图），该怎样作出 a －b ？

3、上题中，向量a 、b 不共线，若a 、b 共线时，怎样作a －b ？（指名板演，师生共同评议） 引导归纳 作两共线向量差的方法：利用向量减法的几何意义。并与怎样作a +b 比较。

5、 再展牛刀 (1)课本p95例3 (2)课本p96 第3题

(3) 课本p96 第2题

a

b a b a b

(4)、已知菱形ABCD 的边长为2，求向量AB CB CD -+u u u r u u u r u u u r 的模的长。

五、 新手上路

1、例4 如图，平行四边形ABCD 中，AB u u u r =a ,AD u u u r =b ,你能用a 、b 表示向量AC uuu r ，DB u u u r 吗？

分析：AC uuu r ＝a ＋b ，DB u u u r ＝a －b ，＝b －a ，并指导

学生如何判断是做向量加法还是减法。

强调：上题结论在以后的应用中非常广泛，应该理解并记住

变式：（1）当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与 a －b 垂直？

（2）当a 、b 满足什么条件时，│a ＋b │＝│a －b │？

（3）a ＋b 与 a －b 可能是相等向量吗？

（4）当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？ （5）若│a │＝│b │＝│a －b │，求a 与a ＋b 所在直线的夹角 知识迁移：已知│a │＝6，│b │＝8，且│a ＋b │＝│a －b │，则│a －b │＝ 。（提示：解法一:以a 、b 、a ＋b 、、a －b 组成一个平行四边形的边与对角线。解法二：利用必修2“平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和”）

2、我们在上节课已证出，对任意给定的向量a 、b ，都有│a ＋b │≤｜a ｜＋｜b ｜，你还能证明│｜a ｜－｜b ｜│≤│a －b │，并指出等式成立的条件吗？

若把上面两式中的b 换成－b ，各得到什么式子？（│a －b │≤｜a ｜＋｜b ｜，│｜a ｜－｜b ｜│≤│a ＋b │）

综合四式，可得什么结论？（│｜a ｜－｜b ｜│≤│a ±b │≤｜a ｜＋｜b ｜）

此三角不等式在后继学习中（即证明不等式）有着重要的作用，需深入理解记忆。

六、成果检验

1、在三角形ABC 中，BC uuu r ＝a ，CA u u u r ＝b ，则AB u u u r 等于（ B ）

A 、a ＋b

B 、-a ＋（-b ）

C 、a - b

D 、b – a

2、在平行四边形ABCD 中，若│+│=│-│,则边AB 与AD 所夹的角＝

3、若向量a 、b 满足｜a ｜＝8，｜b ｜＝12，则│a ＋b │的最小值为 4 ，│a －b │的最大值为 20 。

七、学习内容及学习方法（学生谈）

C

学习内容：

1、

相反向量的定义、性质 2、

向量减法的意义 3、 两向量和、差的作法及比较

学习方法：

向量的减法与加法互为逆运算，有关向量的减法可同加法向类比，也可同实数的减法向类比，体现化生为熟，化未知为已知的化归思想。

师补充：在学习过程中，要养成对例题或习题进行变式训练的习惯，培养我们的发散思维的能力，从多方位，多角度分析问题，提高我们自身解题的能力。

八、 作业

1、已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 的交点，若AB u u u r =a ，BC =u u u r b ，OD =u u u r c , OB uuu r

=c + a +b ？并试证明你的结论。

2、课本p101 习题2.2A 组4、5及第二教材相关习题。