5.4假设检验概述

两厂生产同一种铸件, 例2 A、B 两厂生产同一种铸件, 已知两厂铸件的 重量都服从正态分布 都服从正态分布, 重量都服从正态分布, 从两厂生产的铸件中各取 如下: 若干, 测得重量如下 若干, 测得重量如下: A厂: 55.7, 56.3, 55.1, 54.8, 55.9 B厂: 50.6, 53.4, 54.7, 55.8, 51.3, 54.8 问:两厂生产的铸件的重量 和方差 有无显著差异? 有无显著差异? X ~ N(µ1 , σ12 ) 设两厂生产铸件的重量分别为 的重量分别为X 设两厂生产铸件 的重量分别为X和Y, 2 2 Y ~ N(µ2 , σ 22 ) 即要判断 µ1 = µ2 和 σ 1 = σ 2 是否成立. 是否成立. 对两个正态总体的参数分别提出假设: 对两个正态总体 的参数分别提出假设: µ1 = µ2 的参数分别提出假设 2 2 σ 1 = σ 2， 然后根据抽取的样本观测值, 然后根据抽取的样本观测值,对这两个假设 分别作出判断: 是接受假设, 还是否定假设? 分别作出判断: 是接受假设, 还是否定假设?
§5.4 假设检验概述 一、问题的提法 某厂生产的一批产品， 出厂标准为： 出厂标准为： 次品率 例1 某厂生产的一批产品， 问 不超过4% 现抽查了60件产品， 4%， 现抽查了60件产品， 60件产品 发现3件次品， 发现3件次品， 不超过4%， 这批产品能否出厂？ 这批产品能否出厂？ 1 取到次品 X ~ 0 1 任取一件产品， −p p 任取一件产品， X = 令 1 取到正品 0
α
2
y = f ( x)
接受域越大 “纳伪”的概率越大 纳伪” 纳伪 降低检验的功效. 降低检验的功效.
1 −α
−λ
α
2
λ
拒绝域 接受域 拒绝域
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通常事先给定显著性水平α来控制犯第一类错误 通常事先给定显著性水平α来控制犯第一类错误 显著性水平 的概率, 犯第二类错误的概率. 的概率, 再设法尽可能减少犯第二类错误的概率.
当总体中有多个未知参数时, 当总体中有多个未知参数时,即
X ~ F ( x; θ1 ,θ 2 ,...,θ k )
如果只对其中一个参数 提出假设, 进行检验, 如果只对其中一个参数 提出假设, 进行检验, 称为单参数假设检验;如果对其中多个参数 称为单参数假设检验;如果对其中多个参数 一起 单参数假设检验 提出假设,进行检验, 称为多参数假设检验. 多参数假设检验. 提出假设,进行检验, 称为多参数假设检验
假设检验: 假设检验: 对总体X的分布类型 或分布中的参数 提出假设, 对总体X的分布类型 或分布中的参数 提出假设, 然后根据抽取的样本观测值, 对这一假设作出判断: 根据抽取的样本观测值, 对这一假设作出判断: 是接受这个假设, 还是否定这个假设? 是接受这个假设, 还是否定这个假设? 总体的分布类型已知, 对其中的参数作出假设, 总体的分布类型已知, 对其中的参数作出假设, 进行检验 称为参数检验. 如例1 参数检验. 称为参数检验 如例1 当总体的分布类型未知时, 当总体的分布类型未知时, 对总体的分布类型 非参数检验 作出假设,进行检验,称为非参数检验. 作出假设,进行检验,称为非参数检验. 例1中只有一个总体, 对一个总体的参数作出 中只有一个总体, 假设,进行检验， 单总体的参数检验; 称为单总体的参数检验 假设,进行检验， 单总体的参数检验; 称为 中有两个总体, 对两个总体的参数作出假设, 例2中有两个总体, 对两个总体的参数作出假设, 进行检验称为双总体的参数检验. 称为双总体的参数检验 进行检验 称为双总体的参数检验.
在例2中, 对总体期望作假设检验时, 对总体期望作假设检验时, 在例2 H 0 : µ1 = µ2 H 1 : µ1 ≠ µ2 对方差作假设检验时, 对方差作假设检验时, H 0 : σ 12 = σ 22 H 1 : σ 12 ≠ σ 22 在例3 在例3中, H 0 : X ~ P (λ ) 不服从P( P(λ H1 : X不服从P(λ)
检验的显著性水平与两类错误 四、检验的显著性水平 与两类错误 纳伪” “弃真” 弃真” 弃真 为第一类错误; “纳伪” 为第二类错误. 为第一类错误; 纳伪 为第二类错误. 在前例中 构造的小概率事件 P { T > λ }= α α是观测值落在拒绝域 的概率, 因此 犯第一类 的概率, 错误的概率 最多是α 错误的概率 最多是α. 显著性水平α可用来控制犯第一类错误的概率. 显著性水平α可用来控制犯第一类错误的概率. α越小 α越小 拒绝域越小 1-α越大 接受域越大 “纳伪”的概率越大 纳伪” 纳伪
在例1 提出假设: 在例1中, 提出假设: H 0 : p ≤ 4% 对立的命题为
H 1 : p > 4% H 0 和 H1 成立与否 二者必居其一. 二者必居其一. H 0 称为原假设, 或零假设; 称为原假设, 零假设; 原假设
H 1 称为备择假设. 或对立假设; 备择假设. 对立假设; 称为备择假设 H 1 : p > 4% 简述为 H 0 : p ≤ 4%
二、假设检验的基本思想 假设检验的基本思想 是某种带有概率性质的 反证法. 反证法.这种反证法的依据 是小概率原理： 是小概率原理： 几乎不会发生” “小概率事件在一次试验中几乎不会发生” 小概率事件在一次试验中几乎不会发生
三、假设检验的基本步骤 1.根据实际问题 1.根据实际问题 提出原假设 H 0 2.假定原假设 H 0 成立,在 H 0 成立的条件下,选取 2.假定原假设 成立, 成立的条件下, 一个适当的 适当的统计量 或枢轴量ξ 并确定其分布. 一个适当的统计量 或枢轴量ξ,并确定其分布. 分布, 3.取一个小概率 取一个小概率α 并根据所选取的 3.取一个小概率α, 并根据所选取的ξ的分布, 找出一个小概率事件 P{....} = α ≤ α 称为显著性水平 称为显著性水平 4.根据样本观测值 根据样本观测值, 4.根据样本观测值, 计算并检验上述小概率事件 则拒绝原假设H 0 , 是否发生, 是否发生, 如果小概率事件发生了, 发生 如果小概率事件发生了, 接受备择假设 接受备择假设 H1 如果小概率事件没发生, 如果小概率事件没发生,则接受原假设 H 0
拒绝域 接受域 拒绝域
“弃真”的概率越小 弃真” 弃真
α
2
y = f ( x)
α
2
1−α
−λ
λ
纳伪” “弃真” 弃真” 弃真 为第一类错误; “纳伪” 为第二类错误. 为第一类错误; 纳伪 为第二类错误. 第二类错误的概率, 设β为 犯第二类错误的概率,则１－β为 不犯第二类错误的概率, 称为检验的功效. 不犯第二类错误的概率, 称为检验的功效 第二类错误的概率 功效. α越小 1-α越大
X 是总体, p 是取到次品的概率, 即这批产品的 是总体, 是取到次品的概率, 是否成立. 次品率. 次品率. 即要判断 p ≤ 4% 是否成立. 对总体X的参数p 提出假设: 对总体X的参数p 提出假设: p ≤ 4% 然后根据
抽取的样本观测值, 对这两个假设作出判断 抽取的样本观测值, 对这两个假设作出判断: 作出判断: 是接受此假设,还是否定此假设? 是接受此假设, 还是否定此假设?