笔算开平方的方法

笔算开立方（转贴）：

今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。

在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。它是这么写的：

在这里，我“定义”a^b=a的b次方。

(10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b)

a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b(20a+b)。然后需要做的就是找到最大的整数b'使

b'(20a+b')<=b(20a+b)。

因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。

(10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a+b)]

如果每次计算后都能减掉1000a^3的话，那么剩下的任务就是找到最大的整数b'，使

b'[300a^2+b'(30a+b')]<=b[300a^2+b(30a+b)]。

于是，我就设计了一个版式。下面就开始使用这个版式来检验开立方笔算法。

例如：147^3=3176523

一开始，如下图所示，将3176523从个位开始3位3位分开。（3'176'523）

第一步，我们知道，1^3 < 3 < 2^3，所以，第一位应该填1。

1^3 = 1，3 - 1 = 2，余2，再拖三位，一共是2176。

接下来这一步就比较复杂了。因为我水平有限，我现在还不能把它改造得比较好。

依照“b[300a^2+b(30a+b)]”，所以：

1^2*300=300，1*30=30，如图上所写。

第二位就填4，所以上图3个空位都填4。

然后(34*4+300)*4=1744，2176-1744=432，再拖三位得432523。

然后就照上面一样，

14^2*300=58800，14*30=420，如上图所写。

第三位就填7，所以上图下边3个空位都填7。

然后(427*7+58800)*7=432523,432523-432523=0，到此开立方结束。

在我以后的一些实践中，发现越往后开，300*a^2与b(30a+b)的差距就越大，寻找b的工作就越容易，因为结果中有一项是300*a^2*b。

徒手开n次方根的方法:

原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,

则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值

用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:

我们求2301781.9823406 的5次方根:

第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;

23'01781.98234'06000'00000'00000'..........

从高位段向低位段逐段做如下工作:

初值a=0,差c=23(最高段)

第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1

差c=23-b^5=22,与下一段合成,

c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781

第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,

条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,

b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,

c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234

第4步:a=18,找下一个b,

条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,

b取最大值7

说明:这里可使用近似公式估算b的值:

当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:

b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7

以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值

差c=1508808527;与下一段合成,

c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000

第5步:a=187,找下一个b,

条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:

(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,

b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,

c=c*10^5+下一段=2833590858436800000

第6步:a=1872,找下一个b,

条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:

(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,

b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,

c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000 .............................

最后结果为:18.724......

以上是转贴一网站的内容,我自己前半部分有些明白,后半部分还不明白,但我可以确定以上

的解答过程才是正确的,而绝不是一个数的3倍.

述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：

1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11'56)，分成几段，表示所求平方根是几位数；

2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；

3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；

4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(3×20除256，所得的最大整数是4，即试商是4)；

5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3＋4)×4＝256，说明试商4就是平方根的第二位数)；

6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．