三角形的证明详细

三角形的证明
1．你能证明它们吗
一、主要知识点
1、证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有
HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。

2、等腰三角形的有关知识点。

等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）
3、等边三角形的有关知识点。

判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
三条边都相等的三角形是等边三角形；
三个角都是60°的三角形是等边三角形；
有两个叫是60°的三角形是等边三角形。

性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。

4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条
件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法
二、重点例题分析
例1:如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA.
例2 如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，
求证：AE=CD.
例3：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,
求证: ① AC＝AD；②CF＝DF。

1
例4 如图，在△ABC 中，AB=AC 、D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且CE=BD ，连结DE 交BC 于F 。

（1）猜想DF 与EF 的大小关系；（2）请证明你的猜想。

2．直角三角形
一、主要知识点
1、直角三角形的有关知识。

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 二、典型例题分析
例1 ：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果ab=0,那么a=0,b=0；
（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 例2：如图，ABC ∆中，3590,12,,22
C C
D BD ∠=︒∠=∠=
=， 求AC 的长。

3
例4：如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
例5：如图2-5所示．在等边三角形ABC 中，
AE=CD ，AD ，BE 交于P 点，BQ ⊥AD 于Q ．
求证：BP=2PQ ．
3.线段的垂直平分线
4.角平分线 一、主要知识点
1、 线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

2、 角平分线。

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

3、 逆命题、互逆命题的概念，及反证法
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

二、重点例题分析
例2：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。

C
A 1
B 1
A B
例4：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200
，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，
DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、
G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度。

A
例5:：如图所示，Rt △ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。

求证：BE 垂直平分CD 。

C
E
A D B
F
例7、如图所示，AB>AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE AB ⊥于E ，DF AC F ⊥于，求证：BE=CF 。

A
E
B M
C F
D
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相应练习
1、 如图，在△ABC 中，AB=AC=BC ，
于Q 。

求证：
BP=2PQ
2、 如图，△ABC 中，AB= AC ，P 、Q 、R 分别在
AB 、BC 、AC 上，且BP=CQ ，BQ=CR 。

求证：点Q 在PR 的垂直平分线上。

3、 如图，△ABC 中，AD 为∠BAC F ，连
接AF 。

求证：∠B=∠CAF
4、 已知：如图，A B ∥CD ，∠BAC 的角平分线与∠DCA 的角平分线交于点M ，经过M 的直
线EF 与AB 垂直，垂足为F ，且EF 与CD 交于E 求证：点M 为EF 的中点
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单元训练题
一、精心选一选，慧眼识金（每小题3分，共30分）
1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（ ）去配.
A . ①
B . ②
C . ③
D . ①和② 2．下列说法中，正确的是（ ）.
A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等
D ．面积相等的两个三角形全等
3．如图2，AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8cm ，BE =3cm ，那么AC 长为（ ）.
A ．4cm
B ．5cm
C ．8cm
D ．34cm
4．如图3，在等边ABC ∆中，,D E 分别是,BC AC 上的点，且BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，则12∠+∠的度数是（ ）.
A ．0
45 B ．0
55 C ．0
60 D ．0
75
5．如图4，在ABC ∆中，AB=AC ，0
36A ∠=，BD 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（ ）. A ．9个 B ．8个 C ．7个 D ．6个
6．如图5，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）.
A ．1处
B ．2处
C ．3处
D ．4处 7．如图6，A 、C 、
E 三点在同一条直线上，△DAC 和△EBC 都是 等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结 论：① △ACE ≌△DCB ；② CM ＝CN ；③ AC ＝DN. 其中，正确结论的个数是（ ）.
A ．3个
B ．2个
C ． 1个
D ．0个
8．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在同一条直线上（如图7），可以证明ABC ∆≌EDC ∆，得ED=AB. 因此，测得DE 的长就是AB 的长，在这里判定ABC ∆≌EDC ∆的条件是( ).A ．ASA B ．SAS C ．SSS D ．HL
9．如图8，将长方形ABCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点E 的 位置，BE 交AD 于点F. 求证：重叠部分（即BDF ∆）是等腰三角形. 证明：∵四边形ABCD 是长方形，∴AD ∥BC
又∵BDE ∆与BDC ∆关于BD 对称，
∴ 23∠=∠. ∴BDF ∆是等腰三角形. 请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（ ）. ①12∠=∠；②13∠=∠；③34∠=∠；④BDC BDE ∠=∠ A ．①③ B ．②③ C ．②① D ．③④ 10.如图9，已知线段a ，h 作等腰△ABC ，使AB ＝AC ，且 BC ＝a ，BC 边上的高AD ＝h . 张红的作法是：（1）作线段 BC ＝a ；（2）作线段BC 的垂直平分线MN ，MN 与BC 相 交于点D ；（3）在直线MN 上截取线段h ；（4）连结AB ， AC ，则△ABC 为所求的等腰三角形.
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）.
A . （1）
B . （2）
C . （3）
D . （4）
图8
9
二、细心填一填，一锤定音（每小题3分，共30分）
1．如图10，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC=DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使 △ABC ≌△DCB ，则还需增加一个条件是____________. 2．如图11，在Rt ABC ∆中，0
90,BAC AB AC ∠==，分别过点,B C 作经过点A 的直线的垂线段BD ，CE ，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE 的长为_______.
3．如图12，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠ABC 等于_________度.
4．如图13，在等腰ABC ∆中，AB=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BCE ∆ 的周长为50，则底边BC 的长为_________. 5．在ABC ∆中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为0
50，则 底角B 的大小为________.
6．在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段 垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的 距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号)
7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=10cm ，将△ABC 折叠，点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为________. 8．如图15，在ABC ∆中，AB=AC ，0
120A ∠=，D 是BC 上任意一点，分别做DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，如果BC=20cm ，那么DE+DF= _______cm.
9．如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°,∠B =15°，DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC 于点E ，若4BE =，则AC =_______ .
10．如图17，有一块边长为24m 的长方形绿地，在绿地旁边B 处有健身
器材， 由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小颖想在A 处立一个标 牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在“_____”处应填什么
数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步为1米）？
三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）
1．（7分）如图18，在∆ABC 中，0
90ACB ∠=，CD 是AB 边上的高，
030A ∠=. 求证：AB= 4BD.
2．（7分）如图19，在∆ABC 中，0
90C ∠=，AC=BC ，AD 平分CAB ∠ 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，若AB=6cm. 你能否求出BDE ∆的周长？ 若能，请求出；若不能，请说明理由.
3．（10分）如图20，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点， BE 与CD 相交于O 点. 现有四个条件：①AB ＝AC ；②OB ＝OC ；
③∠ABE ＝∠ACD ；④BE ＝CD .
(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确．．
的命题：
11 图21 命题的条件是 和 ，命题的结论是 和 (均填序号).
(2)证明你写出的命题.
已知：
求证：
证明：
4．（8分）如图21，在ABC ∆中，090A ∠=，AB=AC ，ABC ∠的
平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于点E.
求证：12CE BD =
.
5．（8分）如图22，在∆ABC 中，090C ∠=.
（1）用圆规和直尺在AC 上作点P ，使点P 到A 、B 的距离相等.
（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）当满足（1）的点P 到AB 、BC 的距离相等时，求∠A 的度数.
6．（8分）如图23，090AOB ∠=，OM 平分AOB ∠，将直角三角板的顶 点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问 PC 与PD 相等吗？试说明理由.
图23
四、拓广探索（本大题12分）
如图24，在∆ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，
交BC 的延长线于点M ，若040A ∠=.
（1）求NMB ∠的度数；
（2）如果将（1）中A ∠的度数改为070，其余条件不变，再求NMB ∠的度数；
（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的A ∠改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？
图24。