三角形的证明详细

三角形的证明

1．你能证明它们吗

一、主要知识点

1、证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有

HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。

2、等腰三角形的有关知识点。

等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）

3、等边三角形的有关知识点。

判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；

三条边都相等的三角形是等边三角形；

三个角都是60°的三角形是等边三角形；

有两个叫是60°的三角形是等边三角形。

性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。

4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条

件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法

二、重点例题分析

例1:如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA.

例2 如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，

求证：AE=CD.

例3：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,

求证: ① AC＝AD；②CF＝DF。

1

例4 如图，在△ABC 中，AB=AC 、D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且CE=BD ，连结DE 交BC 于F 。（1）猜想DF 与EF 的大小关系；（2）请证明你的猜想。

2．直角三角形

一、主要知识点

1、直角三角形的有关知识。

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 二、典型例题分析

例1 ：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）四边形是多边形；

（2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果ab=0,那么a=0,b=0；

（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 例2：如图，ABC ∆中，3590,12,,22

C C

D BD ∠=︒∠=∠=

=， 求AC 的长。

3

例4：如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

例5：如图2-5所示．在等边三角形ABC 中，

AE=CD ，AD ，BE 交于P 点，BQ ⊥AD 于Q ．

求证：BP=2PQ ．

3.线段的垂直平分线

4.角平分线 一、主要知识点

1、 线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 2、 角平分线。

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 3、 逆命题、互逆命题的概念，及反证法

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

二、重点例题分析

例2：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。

C

A 1

B 1

A B

例4：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200

，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，

DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、

G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度。

A

例5:：如图所示，Rt △ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。求证：BE 垂直平分CD 。

C

E

A D B

F

例7、如图所示，AB>AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE AB ⊥于E ，DF AC F ⊥于，求证：BE=CF 。

A

E

B M

C F

D

5

相应练习

1、 如图，在△ABC 中，AB=AC=BC ，

于Q 。求证：

BP=2PQ

2、 如图，△ABC 中，AB= AC ，P 、Q 、R 分别在

AB 、BC 、AC 上，且BP=CQ ，BQ=CR 。 求证：点Q 在PR 的垂直平分线上。

3、 如图，△ABC 中，AD 为∠BAC F ，连

接AF 。 求证：∠B=∠CAF

4、 已知：如图，A B ∥CD ，∠BAC 的角平分线与∠DCA 的角平分线交于点M ，经过M 的直

线EF 与AB 垂直，垂足为F ，且EF 与CD 交于E 求证：点M 为EF 的中点