抛物线动点问题(学生)

§1.1因动点产生的相似三角形问题

1如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；

（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，

分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；

（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的

速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2

C2 直线113

y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．

(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；

(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；

(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存

在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

C3如图（1），已知直线的解析式为，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x 轴上从点A向点C移动，点Q在直线从点C向点B移动。点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（）。

（1）求直线的解析式。

（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式。

（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？

C5如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明

理由．

§

1.4 因动点产生的平行四边形问题

C6在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A (－4,0)、B (0,－4)、C (2,0)三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求

S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．

（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使

得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．

图1

C7平面直角坐标系中，已知抛物线经过A )0,4(-，B )4,0(-，

C )0,2(三点．

（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标

为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求

出S 的最大值．

（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线x y -=上的动

点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的

四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．

M C B

A O x y

C8 已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．

C9 如图1，已知：抛物线y＝x2＋bx－3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，并

且OA = OC．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）过点C作CE // x轴，交抛物线于点E，设抛物线的顶点为点D，试判断△CDE的形状，并说明理由；

（3）设点M在抛物线的对称轴l上，且△MCD的面积等于△CDE的面积，请写出点M 的坐标（无需写出解题步骤）．

图1

C10 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C 分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．

（1）求点E的坐标；

（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点B和点E．

①求二次函数的解析式和它的对称轴；

②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．

图1