新课标人教B必修三1-3中国古代数学中的算法案例(一) 新课标人教B版 .ppt

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2.写出图示流程图所表达算法的伪代码，并求出最后输 出的n的值。 10 20 30 40 50 60 70 80 m←147 n←84 r←mod(m,n) If r=0 Then Goto 70 m←n,n←r Goto 30 Print n End
n的值为21
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3.用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
S6，S12，S24，S48，…，S2m.
第三，S2m近似等于圆面积。
下面的关键是找出正n边形的面积与正2n 边形的面积之间的关系，以便递推。 设圆的半径为1，正n边形 的边长AB为xn，弦心距 OG为hn；面积为Sn，根据
勾股定理，得：h
n
xn 1 , 2
2
2
2 xn x2 n 1 hn 2
举例说明. m=90，n=36， m=2n+18，r=18. 令m=36， n=18. 又有36=18×2， 即m=2n， 此时r=0. 令m=18，n=0. 故最大公约数为18.
开始
算理： 记为a；
a=b×t＋c； 若c≠0,记a=b, b=c,返 回第2步进行循环； 若c=0，输出b.
输入a,b
结束
程序： a=input(“a=”)； b=input(“b=”)； while a<>b if a>=b a=a－b; else b=b－a； end end print(%io(2), b, “两数的最大公约数
例1 ：用等值算法（更相减损术）求下列 两数的最大公约数。 （1）225，135； 答案: (1) 45; （2）98，280. (2) 14.
先找到a,b中较大的， c = a Mod b
c=a mod b b=c a=b c≠0 N 输出b 结束 Y
a=input(“a=”); b=input(“b=”); c=modulo(a,b); while c<>0 a=b; b=c; c=modulo(a,b); end b
更相减损术 例如，求78和36的最大公约数： 以两数中较大的数减去较小的数，即78 －36＝42；以差数42和较小的数36构成新 的一对数； 对这一对数再用大数减去小数，即42 －36＝6，再以差数6和较小的数36构成新 的一对数；
对这一对数再用大数减去小数，即36－ 6＝30，再构成新的一对数；
继续这一过程,直到产生一对相等的数， 这个数就是最大公约数. 操作如下： (78，36) → (42，36) → (6，36) → (6，30) → (6，24) → (6，18) → (6，12) → (6，6). 理论依据： 由a－b=r → a=b+r，得(a, b)与(b, r)有相 同的公约数.
1.3中国古代数学中的算法案例（一）
1. 求两个正整数最大公约数的算法 辗转相除法
求两个数的最大公约数，其基本步骤 是带余除法m=nq+r（0≤r＜n）， 反复执行，直到余数r=0为止.
求任意两个数的最大公约数的算法是
第一步：输入两个 正整数a，b（a＞b）; 第二步：求出a÷b 的余数r； 第三步：令a=b， b=r，若r≠0，重复第二 步； 第四步：输出最大 公约数a.
数学运用
例1、两个正整数的最小公倍数，实际上就是这两数 乘积除以它们的最大公约数，试写出求正整数a,b最小 公倍数的程序。 a=input(“a=”);
b=input(“b=”); c=modulo(a, b); d=a*b; While c<>0 a=b; b=c; c=modulo(a,b); End print(%io(2), d/b)
算法如下：
S1 输入两个正数a, b (a>b)；
S2 如果a≠b，则执行S3，否则转到S5； S3 将a－b的值赋予r； S4 若b>r，则把b赋予a，把r赋予b，否则 把r赋予a，重新执行S2； S5 输出最大公约数
开始 输入a,b
a=a－bBaidu NhomakorabeaY a≠b N 输出b Y a> b
b=b－a N
例2：用辗转相除法验证上例中两数的最 大公约数是否正确。
2．割圆术
魏晋时期数学家刘徽，“割之弥细，所 失弥少，割之又割，以至于不可割，则与 圆合体而无所失矣”. 即从圆内接正六边形开始，让边数逐次 加倍，逐个算出这些内接正多边形的面积， 从而得到一系列逐次递增的数值。
第一，从半径为1的圆内接正六边形开始， 计算它的面积S6； 第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分 别计算圆内接正十二边形，正二十四边形， 正四十八边形，…的面积，到一定的边数 （设为2m）为止，得到一列递增的数，
Read a,b If a/b＝Int (a/b) Then goto 70 ca－Int(a/b)×b a b b c Goto 20 Print b B.求a,b的最大公约数 D.求b除以a的余数
A.求a,b的最小公倍数 C.求a被b整除的商
分析：解题关键就是：a－int(a/b)×b＝mod(a,b)
数学运用
例2、用更相减损术求98与63的最大公约数。
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减
98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7
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1.下面一段伪代码的目的是( B )
10 20 30 40 50 60 70
S24≈3.105828；……
程序：
n=6; x=1; s=6*sqrt(3)/4; for i=1 : 1 : 5 h=sqrt(1－(x/2)^2);
s=s+n*x*(1－h)/2; n=2*n; x=sqrt((x/2)^2+(1－ h)^2); end print(%io(2), n, s)
(n 6)
容易知道x6=1,
正2n边形的面积等于正n 边形的面积加上n个等腰三 角形的面积，即 1 S 2 n S n n xn (1 hn ) (n 6) 2
xn 2 2 正2n边形的边长为 x2n ( ) (1 hn ) 2
3 于是由 S6 6 4
求得S12=3；