微专题24椭圆中与面积有关的取值范围问题答案

微专题24

例题

答案：(1)x 22＋y 2

＝1；

(2)S ∈]2

2

,

32[. 解析：(1)由题设知e ＝22，a 2＝2c 2＝b 2＋c 2，即a 2＝2b 2，将⎝

⎛⎭⎫1，－22代入椭圆C 的方程得到12b 2＋12b 2＝1，则

b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆

C ：x 22

＋y 2

＝1.

(2)当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝

2

2

.当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1

k x.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，

所以x 1

2＝

22k 2＋1，y 12＝2k 22k 2＋1，同理x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k

2，△AOB 的面积S ＝OA·OB 2＝ （k 2＋1）2

（2k 2＋1）（k 2＋2）.

令t ＝k 2＋1∈[1，＋∞)，S ＝

t 2

（2t －1）（t ＋1）

＝

12＋1t －1t

2

，令u ＝1

t ∈(0，1)，则S ＝1

－u 2＋u ＋2

＝

1

－⎝⎛⎭⎫u －122

＋

94

∈]22,32[. 综上所述，S ∈]2

2

,

32[. 变式联想

变式1 答案： 2.

解析：①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A )22,1(，B )22,1(-，则C )2

2

,1(--. 此时S △ABC ＝1

2

×2×2＝2；

②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y ＝k(x －1)，联立⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），

x 2＋2y 2＝2. 化简得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有

Δ＝16k 4－4(2k 2＋1)(2k 2－2)＝8(1＋k 2)，x

1，2＝4k 2±Δ

2（1＋2k 2）

，

所以AB ＝（1＋k 2）·|x 1－x 2|＝1＋k 2·

Δ

（1＋2k 2）＝221＋k 21＋2k 2

.(弦长公式)

另一方面点O 到直线y ＝k(x －1)的距离d ＝

|k|

k 2＋1

， 因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d ＝

2|k|

k 2＋1

， ∴S △ABC ＝12AB·2d ＝12·)21122(21

k

k ++⋅·2|k|

k 2＋1＝22k 2（k 2＋1）

（2k 2＋1）2

＝22

14－14（2k 2＋1）2

＜ 2. 综上，△ABC 面积的最大值为 2.

说明：O 为AC 中点，所以△ABC 的面积是△OAB 面积的两倍，而△OAB 的面积可以用公式S △OAB ＝1

2OF·|y 1

－y 2|得出，所以S △ABC ＝2S △OAB ＝|y 1－y 2|＝|k|·|x 1－x 2|＝22k 2（k 2＋1）

（2k 2＋1）2

.这样计算可以简洁一些．

变式2

答案：(1)2；(2)6 3.

解析：(1)设P(x 0，y 0)，OQ OP ＝λ，由题意知Q(－λx 0，－λy 0)，因为x 02

4＋y 02

＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝

1，即λ24)204(2

0+x ＝1，所以λ＝2，即OQ

OP

＝2. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 由Δ＞0，可得

m 2＜4＋16k 2①则有

x 1＋x 2＝－8km

1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2

.所以

|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB 的面积S ＝1

2|m|·|x 1

－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m|1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）·m 21＋4k 2

＝2⎝⎛⎭⎫4－m 21＋4k 2·m 21＋4k 2.令m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m

代入椭圆C 的方程可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0＜t ≤1.

因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋2t ，故S ≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由①知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.

串讲激活

串讲1 答案：43

.

解析：设S(22，t)，则t ≠0，直线SA 1：y ＝

t

32(x ＋2)，直线SA 2：y ＝t

2(x －2)． 由⎩⎨⎧

x 22

＋y 2

＝1，y ＝

t

32（x ＋

2），

得x 2＋

t 2

9(x ＋2)2＝2，解得x 1＝－2，x 2＝－2t 2＋92t 2＋9，即x M ＝－2t 2＋92t 2＋9

.