中值定理及导数的应用(一)

y
0 a 1 2 b x
它是拉格朗日定理的特殊情形， 也是证明拉格朗日定理和柯西定理 的依据。应明确定理的条件和结论
中值定理及应用
二、拉格朗日定理
若函数y f (x)满足条件： 1、在 [a,b] 上连续； 2、在 (a,b) 内可导；
则在区间(a,b)内至少存在一点 使得
f (b) f (a) f ( )(b a)
判断xi 是否为极值点，此时仍应
改用极值的第一充分条件来判断
例5
求：函数f (x) 2x3 3x2 12 x 13 的极大值和极小值
中值定理及应用
解法一：
f (x) 2x3 3x2 12x 13
f (x) 6x2 6x 12 6(x2 x 2)
令 f (x) 6(x2 x 2) 0,
2、使导数为零的点(即方程 f (x) 0 的实根)，叫做函数 f (x)的驻点。
定理2： （极值的第一充分条件）
若f (x) 在点 x0处取得极值且在点 x0
的某个邻域(x0 , x0 )( 0) 内连续且
中值定理及应用
可导(允许 f (x0)不存在) 1、若当 x (x0 , x0)时，f (x) 0,
ln(x 1 x2 ) x x 1 x2 1 x2
ln(x 1 x2 ) 0 (x 0)
f (0) 0
中值定理及应用
三、函数的极值 定义
设函数y f (x) 在点 x0的某个邻域
内有定义
1、若对于该邻域内任意的x(x x0 )
总有f (x) f (x0). 则称 f (x0)为函数
x
f (x) f (x)
x 行 区间 f (x) 行
f (x) 行 “+”号或“-” 号
中值定理及应用
例3 函数y x arctanx 在(,)内是( )
A、单调增加 B、单调减少
C、不单调
D、不连续
解：
y
(x
arctanx)
1
1 1 x2
1
x
2
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
0
y单调增加 ，应选A
中值定理及应用
例4
在点 x0处不取得极值
定理3：（极值的第二充分条件）
设函数f (x) 在点 x0处有二阶导数，
且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 存在
函数的极值
1、若f (x0 ) 0, 则函数f (x) 在点 x0
处取得极大值
2、若f (x0 ) 0, 则函数f (x) 在点 x0
处取得极小值 3、若f (x0 ) 0, 不能判断f (x0) 是否
(一)
【基本定理】
一、罗尔定理
若函数y f (x)满足条件： 1、在 [a,b] 上连续； 2、在 (a,b) 内可导；
3、 f (a) f (b) 则在区间(a,b)内至少
存在一点 使得 f ( ) 0
罗尔定理的几何意义是：
函数曲线 y f (x)上至少存在一点使得
中值定理及应用
过该点的切线平行 x轴
中值定理及应用
3、根据已知条件及 F(x) 的增减 性得到 F(x) 0
4、写出结论
例3
证明当
x
0
时，arctanx
x
1
x3
3
证明：令 f (x) arctanx (x 1 x3)
3
则 f (x) 1 (1 x2 )
1 x2
中值定理及应用
1
x
4
x
2
0
f (x) arctan x (x 1 x3) 3
性，除了简单的函数外，一般情况下
中值定理及应用
不易求得 ，也无此必要
例1
下列函数中，在区间[1,1]满足罗尔
中值定理条件的是
A、y 1 x
C、y 1 x2
B、y x D、y x 1
解： 应选C
中值定理及应用
例2 已知函数 f (x) x, 在区间[1,4]上写出
拉格朗日公式，求出 的值
二阶导数 f (x0) 0, 则 f (x0)是 f (x)的极 大 值
中值定理及应用
例7 以下结论正确的是
C
A、函数f (x)的导数不存在的点，一
定不是f (x) 的极值点
B、若 x0 为函数 f (x)的驻点，则 x0必
f (x) 的极值点
C、若函数 f (x)在点 x0 处有极值，且
f (x0)存在，则必有 f (x0) 0
拉格朗日定理的几何意义是：
函数曲线 y f (x)上至少存在一点使得
过该点的切线平行于A[a, f (a)], B[b, f (b)]
中值定理及应用
两点弦
y
B[b, f (b)]
A[a, f (a)]
0 a 1
2b x
拉格朗日定理有以下两个重要推论： 推论1 如果函数 y f (x)在区间(a,b)内任一
中值定理及应用
解： f (x) x2 1
f (x) 1 x3 x 3
令 f (x) 0, 得驻点 x1 1, x2 1
f (x) 2x, f (1) 2 0,
D、若函数 f (x)在点 x0 连续，则 f (x0)
一定存在
中值定理及应用
四、函数的最大值与最小值
定义
设函数y f (x) 在闭区间[a,b]上有定
义，设 x0 [a,b], 若对于任意 x [a,b], 恒有f (x) f (x0)[或f (x) f (x0) ]，则称 f (x0)
为函数f (x)在闭区间[a,b]上的最大(小) 值。称 x0为f (x) 在闭区间[a,b]上的最
(a,b)内至少存在一点 ,使得
f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g( )
中值定理及应用
【导数应用】
一、利用洛比塔法则求未定型极限
使用洛比塔法则求极限应注意：
1、可连续使用；
2、每次使用都必须检查是否为 0
型或 .
0
3、洛比塔法则失效时并不说明极限
不存在，这时需要别的方法求极限。
中值定理及应用
二、函数的单调性 定理
设函数f (x)在区间(a,b)内可导 1、若在 (a,b)内 f (x) 0, 则函数 f (x)在
(a,b) 内是单调增加的。 2、若在 (a,b)内 f (x) 0, 则函数 f (x)在
(a,b) 内是单调减少的。
中值定理及应用
步骤：
1、确定函数 f (x) 的定义域 Df
2、求导数f (x). 令 f (x) 0, 在定义 域 Df 内求导数为零的点和导数 不存在的点。
3、列表讨论 用上面的点把定义域 Df 分成若 干个区间，判断 f (x)在每个区
中值定理及应用
间内的符号，确定 f (x) 在每个区间 内的增减性。 4、写出 f (x) 的单调区间。 列表如下：
中值定理及应用
定理1：（极值的必要条件）
若 f (x)在点 x0处取得极值且在点 x0
处可导，则 f (x0) 0 说明：
1、这个定理的两个条件缺一不可 如：y x 在 x 0 处有极小值0，
但在 x 0处 y不可导
中值定理及应用
y x3在 x 0 处可导，但在 x 0 处 有无极值
解：由于 f (1) 1, f (4) 2
f (x) 1 , 2x
所以拉格朗日公式为 1 2 1 1 2 41 3
中值定理及应用
即 3 9 , (1,4)
2
4
三、柯西定理
如果 f (x) 和 g(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b)
内可导，而且在(a,b)内g(x) 0,则在区间
3、若函数的二阶导数 f (x) 容易求， 且f (x) 存在则利用极值的第二充分
条件来判定xi 是否为极值点。 若 f (xi ) 0, 则 f (xi ) 为极小值，xi
中值定理及应用
为极小值点；若 f (xi ) 0, 则 f (xi )
为极大值，xi 为极大值点；若
f (xi ) 0, 极值第二充分条件不能
f (x) 的极大值，并称点 x0是 f (x)
的极大值点
中值定理及应用
2、若对于该邻域内任意的x(x x0 )
总有f (x) f (x0). 则称 f (x0)为函数
f (x) 的极小值，并称点 x0是 f (x)
的极小值点 函数的极大值与极小值统称为函 数的极值，极大值点与极小值点统
称为函数的极值点。
x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极大值 f (x0 );
2、若当 x (x0 , x0)时，f (x) 0, x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极小值 f (x0 );
中值定理及应用
3、若当x (x0 , x0 ) 和 x (x0, x0 ) 时，f (x) 的符号相同，则函数 f (x)
f (x) 12x 6
令 f (x) 6(x2 x 2) 0, 解得：x 1, x 2
中值定理及应用
f (1) 18 0
f (x) 12x 6
f (1) 20为极大值
f (2) 18 0
f (2) 9 为极小值
例6
函数 f (x)在x0 处的一阶导数 f (x0) 0,
大(小)值点
中值定理及应用
注意：
极值是一个局部的概念。它指函数 在小范围内的最大值或最小值。
最值是一个全局的概念。它是整个 定义区间上函数值中最大者或最小者
最大值和最小值是函数在定义区 间上所有极大值和极小值与端点函数
值比较后所取的最大值和最小值。
中值定理及应用
求最值的步骤：
1、求函数的驻点和导数不存在点 2、算出驻点、导数不存在点和区间
故函数 y x 4 的单调区间是
x (2,0),(0,2)
应选D
中值定理及应用
用函数的单调性证明不等式是一种 常用的方法。
一般步骤为： 假设证明 f (x) g(x)(x D)成立。
1、设 F(x) f (x) g(x) 2、求导数F ( x)并根据已知条件
判断F ( x)的正负。 从而判断 F ( x)的增减性。
f (x)在(0,)内是单调增函数。
而 f (0) arctan0 0 0
x 0 f (x) f (0) 0
即 arctanx (x 1 x3) 0
3
arctanx x 1 x3 3
中值定理及应用
练习 证明下列不等式
1、ln(1 x) x , (x 0) 1 x
2、1 xln(x 1 x2 ) 1 x2 ,(x 0)
有极值
中值定理及应用
求函数极值步骤：
1、确定函数f (x) 的定义域，并求其 导数f (x) 令f (x) 0求出f (x) 的所有驻点和不 可导点 xi,(i 1,2, )
2、若 y f (x) 在xi 的(去心)邻域内可导
则利用极值的第一充分条件判定。
中值定理及应用
即当f (x) 在xi 的两侧异号时，f (xi )为 极值，xi 为极值点；若 f (x) 在 xi的两 侧同号时，f (xi )为极值，xi 为极值点
中值定理及应用
提示：1、令 f (x) ln(1 x) x
1 x
f (x)
x (1 x)2
0
(x 0)
f (0) 0 2、令f (x) 1 xln(x 1 x2 ) 1 x2 f (x) ln(x 1 x2 ) x (1 x )
1 x2 x 1 x2
中值定理及应用
x 1 x2
点的导数 f (x)都等于零，则f (x)在区间 (a, b)内是一个常数。
中值定理及应用
推论2 设函数 f (x) 和g(x)在(a,b)内可导，且
它们的导数处处相等，即f (x) g(x), 则 f (x) 和g(x) 相差一个常数，即
f (x) g(x) C 说明：
对于两个定理中的 ，只知道其存在
解得：x 1, x 2 列表如下：
x (,1) 1 (1,2) 2 (2,)
f (x)
0
0
极大值
极小值
f (x)
f (1) 20
f (2) 9
中值定理及应用
从表中可知： 极大值为：f (1) 20, 极小值为：f (2) 9 f (x) 2x3 3x2 12x 13
解法二： f (x) 6x2 6x 12
函数
y
x
4
单调减少区间是(
)
x
A、(,2), (2,) B、(2,2)
C、(,0), (0,) D、(2,0)(0,2)
解：y x 4 的定义域是(,0) (0,),
x
y
1
4 x2
,
令 y 0,
得 x 2
中值定理及应用
列表
x (,2) (2,0) (0,2) (2,)
f (x)
f (x)
端点的函数值 3、比较上述函数值，其中最大(最小)
者就是函数 f (x)在[a,b]上的最大 (最小)值。
中值定理及应用
例8
设函数 f
(x)
1 3
x3
x,
则x
1 是 f
(x)
在[2,2] 上的
A. 极小值点，但不是最小值点
B. 极小值点，也是最小值点
C. 极大值点，但不是最大值点 D. 极大值点，也是最大值点