导数的意义及应用

3
x
-2
（4)：求曲线y=f(x)在点A（2，2）处的切线 方程（。若改为过A(2,2)作曲线切线呢？）
若改为过点B（0,16）呢？
例2. f (x) ax3 ax2 (a 2)x, a 0
(1)f(x) 在R上存在两个极值点,求a的取值 范围;
1
(2)f(x)在R不存在极值点,求a的取值范围.
导数的意义及应用
一．导数的几何意义 问题 : 直线y kx 1与曲线y x3 ax b相切于点A(1,3), 求b的值.
函数在某点处的导数几何意义是： 函数在该点处的切线的斜率．
y
x1 0
x2
x
y
x2
x1 0
x
二．导数的应用。 例题：已知函数 f (x) x3 3x
（1）求函数 f (x) 的单调区间； (2）求函数 f (x) 的极值；
分析:(f′(x)=3x2-3，令f′(x)=0，得x=±1 f(x)随x变化如下表：
X (-∞,-1)
f′(x)
+
f(x)
-1 0
极大值： 2
(-1,1) _
1 0
极小值：-2
(Biblioteka Baidu,+∞) +
（3）求 f (x)在区间０ ，２上的最值；
f(x)min=-2,f(x)max=2
变题一： f (x) k (0≤x≤ 2)恒成立，
-
-
思考题.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)。 若a>b>c，且f(x)有两个极值点x1、x2 （x1<x2)，求证：c<x1<b<x2<a;
若f(x)在R上单调递增，求证：f(x)关于 某点成中心对称图形。
已知函数 f (x) x3 ax ，
在 x 1,上单调递增，求 a 的取值范围。
求实数k的取值范围；
变题二：若关于 x 的方程 f (x) k
恒有3个不等实根，求实数 K 的取 值范围。
y
y=x3-3x
2
3 -1 0 1
3
x
-2
y
f(x)=x3-3x
2
2
3 -1 0 1
3
x
-2
变题三：区间为0,a(a 0)上的最小值呢？
最大值呢？
y
f(x)=x3-3x
2
2
3 -1 0 1
f/(x)
+
+
- x1 o x0
x2
x
例2. f (x) ax3 ax2 2(a 1)x, a 0
变题一：f(x)在（0,1）上有两个极值点， 求a的取值范围。
变题二：f(x)在（－1,0）上有一个极值 点，在（0,1）上也有一个极值点,求a的 取值范围。
f/(x)
＋
x0
x1 o
x2
x
求可导函数 f(x) 极值的步骤：
i）求导数f′(x)； ii）求方程f′(x)=0的全部实根； iii）检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的值
的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个 根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x） 在这个根处取得极小值。