第八章 概率论初步

0.95
(2)设B {任取一个,其宽度合格},那么这个长度也合格的零件 是事件B已经发生的前提下才取得的.由于长度和宽度都合格的零 件有90个,而宽度合格的零件有92个,故在事件B已经发生的条件下 事件A发生的概率为9902 .
对于任意事件A, B如果P(B)
0,称P( A |
B)
P( AB) P(B)
P( A)
3 5
,
P(B)
3 5
那么两次都取得红球的概率为
P( AB)
P( A) P( B)
3 5
3 5
9 25
从上例中可知, 第一次是否取得红球对第二次是否取得红球的
概率并无影响,即
P(B | A) P(B)
一般地,事件A, B满足条件 P( AB) P( A)P(B)
那么称事件A与事件B是相互独立的.事件A与事件B相互独立,则有 P( A | B) P( A), P(B | A) P(B)
A
A
B
图8-5 对立事件
例12 10件产品中有3件产品,从中任取2件产品,设A {两件 全是正品}, B {两件中至少有一件是次品}. 因任取两件为正品的对立情况是两件中至少有一件次品,故A B.
第二节 事件的概率
一、概率的统计定义
如果对某一试验重复进行n次,而事件A发生k次,
那么
k n
为事
件A发生的频率.
当试验次数n很大时,如果事件A的频率 k 稳定地在某一常数 n
P附近摆动,并且随试验次数的增多而摆动幅度越来越小,那么常数
P为事件A发生的概率,记作P( A) P.
例如, 在掷一枚硬币的试验中, 抛掷10次,出现正面向上的次数并 不一定是5次,但在多次重复试验中"正面向上"的次数越来越来接 近于试验总次数的一半,即"正面向上"的概率为0.5.
因为事件B发生即是抽到2个或3个次品,当然包含抽到3个次品 的情况,故A B.
因为"3个次品"与"3个都不是正品"是一回事,故A C.
2.事件的和
在一次试验中,事件" A或B"发生称为事件A与B的和事件,记作
A B或A B.事件" A B",即是说事件A或B中至少有一个发生,如
图8 2所示.
A
B
图8-4 互斥事件
例11 某射手在一次射击中,设A {击中6环}, B {击中8环}. 因"击中6环"与"击中8环"不可能同时发生,所以A与B互斥事件.
5.对立事件 在一次试验中, 如果事件A与B不能同时发生, 且A与B必有一个发 那么称A与B为对立事件.A的对立事件记作A,即B A.如果A与B为对 立事件,那么AB ,且A B (见图8 5).
即两事件同时发生的概率等于其中一个事件发生的概率与该 事件发生的条件下,另一事件发生的条件概率的乘积.
第四节 事件的相互独立性独立重复试验
1.事件的相互独立 性例1 袋中有3个红球,2个白球,从中有放回地抽取两次,每次
取一个,问两次都取得红球的概率.
解 设A表示第一次取得红球, B表示第二次取得红球,显然
在一次试验中,事件" A且B"称为事件A与B的积事件,记作AB 或A B.
事件" AB"发生,即是说事件A与B同时发生,如图8-3所示.
A
B
例10 同例9
图8-3 事件的积
因"长度"与"宽度"都合格,产品才算合格,格F CD.
4.互斥事件（互不相容事件） 在一次试验中,如果事件A与B不能同时发生,那么称A与B互斥 事件,或称为互不相容事件. 如果事件A与B互斥意味着A发生B就不会发生,如果B发生则 A就不会发生.A与B的积事件必定是不可能事件,即AB (见图 8 4).
0.3,故
P(A |
B)
P( AB) P(B)
0.3 0.8
0.375
例3 假设我国人口中能活75岁的概率为0.8,活到100岁以上的 概率为0.2.有一个已经活到75岁的老人,问能活100岁以上的概率.
解 设A {活到100岁}, B {活到75岁},则P(B) 0.8 由于活到100岁的人必活到75岁,所以AB A,因而有P( AB) P
在随机试验中, 一切可能发生的基本事件所组成的试验的样本 空间,记作.样本空中的每个元素就是试验的基本事件,称为样本 点.
如例5中的样本空间={A1,A2 ,L ,A6},样本点为A1,A2 ,L ,A6;例7中 的样本空间={A0 ,A1,A2 ,L ,A10},样本点A0 ,A1,A2 ,L ,A10.
定理1 在古典概型中,若总的基本事件数为n,而事件A包含的
基本事件数为m,则A的概率为P( A)
m n
.这个定义称为概率的古典
定义.
例1 同时抛掷3枚硬币,求出现"恰有1枚正面向上"的概率. 解 设A {恰有1枚正面向上},则试验中等可能的基本事件数共有 8个,即{正,正,正},{正,正,反},{正,反,正}{正,反,反},{反,正,正},{反,正 反},{反,反,正}{反,反,反}.
例4 盒子中有10个乒乓球,其中3个旧球,7个新球.从盒子中 任取一个球,可能是新球,也可能旧球.
其中例1,例2是必然现象,例3,例4是随机现象.
从例3中可看出,掷一枚硬币究竟是正面向上,还是反面向上,预 先无法知道,但是经过多次反复试验可知正面向上的可能性为50%它 有着一定的规律性.
为了探索随机现象发生的规律性,常常对某一现象进行大量的 试验(或观测),从中找出规律.例如,测量某山峰的高度,检验产品的合 格品等,都称为试验.
在一定的条件下, 试验中必然发生的事件称为必然事件, 记作. 如例6中的试验"从盒中任取3球,其中至少有一红球"是一个必然事 件.在一定的条件下试验中不可能发生的事件称为不可能事件.记作 .如例5中,事件"出现7点"是不可能事件.这两种事件本来不是随机 事件,但为了讨论问题的方便,把它们看作是特殊的随机事件.
三、事件的关系及运算
1.事件的包含与相等
B A
如果事件A发生必导致事件B发生, 则称事件A包含于事件B,记作A B
若A B,即是说事件A发生则事件 B必然发生,如图8 1所示.
图8-1 事件的包含
若A B,同时B A,则称事件A与 事件B相等,记作A B
例8 抽检一批商品的质量,任取3件.记事件A {抽到3个次品} 事件B {抽到至少2个次品},事件C {抽到3个都不是正品}.
在概率论中所说的试验具有以下特征 : (1)试验在相同条件下可以重复进行; (2)每次试验的可能结果不止一个, 试验前可以预先知道所有 的可能结果; (3)试验前不能预言这次试验会发生何种具体结果. 具有以上三个特征的试验称为随机试验.本章中提到的试验 都是随机试验.
二、随机事件 随机现象总是通过随机试验来研究的.随机试验的每一种结果 称为一个随机事件.通常用在写字母A, B,C,L 来表示.
,为事件已
经发生条件下事件A的条件概率.
例2 设防有100件产品,其中80件为合格品,在合格品中有30
件为一级品,50件为二级品,求任取一件:
(1)是合格品的概率;
(2)已知取到合格品的前提下,该产品是一级品的概率.
解 设A {一级品}, B {合格品} (1)P(B) 80 0.8 100 (2)因凡是一级品必是合格品,所以AB A,则P( AB) P( A)
第三节 条件概率与乘法公式
一、条件概率 例1 100个长方形零件中,有95个长度合格,有92个宽度合格, 90个长度与宽度都合格,求:
(1)任取一个,其长度合格的概率;
(2)任取一个,已知其宽度合格的前提下,其长度也合格的概率.
解 (1)设A {任取一个,其长度合格},则有
P( A)
95 100
P( ABC) 1 P( ABC) 1 P( A)P(B)P(C)
1 0.60.80.85 1 0.408 0.592
第五节 随机变量及其分布
前面已经讨论了随机现象,随机试验事件,并对某些随机事件 发生可能性的大小,即随机事件发生的概率进行了研究,但如何从 整体上对随机现象的统计规律性进行全面,深入的研究与探讨,这 就需要引入新的概念-随机变量及其概率分布.
一、随机变 量
变量通常指取值可以变化的量,那么随机试验中是否存在可变 化的量?若存在,其知何取值?看下面的例子.
例1 从含有5件次品的100件产品中,任意取出10件(无放回)进 行检验,试求出现次品的概率.
显然,该问题属古典概型,但是所求的不是一个事件的概率,因 为在这个随机试验中出现的"次品数"不止一个,它们可能是0,1,,2,3,4 5,即"次品数"可能取的值有六个数,所以"次品数"是一个变量,以因为 "次品数"的取值随每次抽样结果的不同而不同,所以,它的取值又具有 随机性,像这样一类的变量,就是所研究的随机变量.
例5 掷一枚正方体骰子的试验,有六种可能结果,即"出现1点" ,"出现2点","出现6点".每一种结果就看作一个事件,记作
Ai {出现i点}{i 1, 2,L ,6}
例6 盒中有5个球,其中有3个红球2个白球.从中任取3球,其中 有2个红球1个白球,把这种结果看作一个事件,记作
B {从盒中任取3球,其中有2红球,1白球}
而事件A包含3个基本事件 :{正,反,反},{反,正,反},{反,反,正},故 P( A) 3.
8
例2 一次发行社会福利奖券100000张,其中2张一等奖,10张二 等奖,100张三等奖,1000张四等奖.试问购买1张奖券中奖的概率是 多少?
解 设A {中奖},因中奖机会均等, n 100000, m 2 10 100 1000 1112,故
第八章 概率论初步
第一节 随机事件
一、随机现象与随机试验
在自然界和生活中发生的种种现象,按其发生的可能性来划 分,大体上可分为两类:一类称为必然现象,即在一定条件下某种结 果必然会发生;另一类称为随机现象,即在一定条件下,某种结果可 能会生,也可能不发生.
例1 用手向上抛一块石子,必然下落. 例2 纯水在一个大气压下,100oC时必然沸腾. 例3 向桌面上抛掷一枚硬币,可能性(有国徽的一面)向上,也 可能反面向上.
可以把两个事件的相互独立怀推广到有限个事件的情形,即如果 事件A1, A2 ,L , An相互独立,则有P( A1A2 L An ) P( A1)P( A2 )L P( An ) (!反之不成立)
定理1 若事件A与B相互独立,则事件A与B, A与B, A与B相互独立.
例3 某企业招工时需要进行三项考核,这三项考核的通过率 分别为0.6,0.8,0.85,求招工时的淘汰率. 解 设A, B,C分别表示通过一,二,三项考核,它们是相互独立的,事件 ABC表示被录取,而ABC表示被淘汰,则有
P( A)
1112 100000
0.01112
三、概率的加法
1.互斥事件的概率加法公式 定理2 如果A与B是互斥事件,那么A与B的概率等于它们概率 的和,即P(A B) P(A) P(B)
推论1 若A1, A2 ,L , An两两互斥,则 P( A1 A2 L An ) P(A1) P( A2 ) L P( An )
例9 制作一矩形钢形钢板,以长与
宽是否符合标准来衡量产品是否合格.
设A {长度不合格}; B {宽度不合
A
B
格};C {长度合格}; D {宽度合格}; E
{产品不合格}; F {产品合格}
因该产品的长度与宽度只要有一
项不合格,则产品即是不合格的故E
图8-2 事件的和
AB
3.事件的积
( A) 0.2.
故
P(A |
B)
P( AB) P(B)
0.2 0.8
0.25
二、乘法公式
由公式P( A |
B)
P( AB) P(B)
或P(B
|
A)
P( AB) P(B)
立即可推出
定理1 乘法公式 P( AB) P(B)P( A | B), P(B) 0 P( AB) P( A)P(B | A), P( A) 0
推论2 事件A的概率等于1减去它的对立事件的概率,即 P( A) 1 P( A)
2.任意事件的概率加法公式
定理3 若A与B是任意事件,那么A与B的和事件的概率等于A 与B的概率之和减去A与B的积的概率,即
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
AB(r)
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(n)
A
B
(s)
(k)
图8-6 定理3示意图
由于事件A发生的次数k总不大于试验的总次数n, 所以事件A 的概率满足:(1)0 P( A) 1.(2)不可能事件的概率为0,即P() 0 (3)必然事件的概率为1,即P() 1.
这三条性质称为概率的基本性质.
二、概率的古典定义 (1)所有可能的试验结果(基本事件)只有有限个. (2)每一个基本事件的发生等可能的. 具备以上特征的试验模型称为古典概型.