高考分类汇编文科数学真题 12 专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形【微信客服：brcola】

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三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)

2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。

专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形十年高考数学(理科)真题题型分类汇编

专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形2019年1.(2019 全国Ⅰ理 17)△ABC 的内角 A ，B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ，设(sinBs inC)2sin 2A sinB sinC．1）求A ；2）若2ab2c ，求sinC ．2.（2019全国Ⅱ理15）△ABC的内角A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若b6,a 2c,B π，3 则△ABC 的面积为__________.3（.2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知asinACbsinA ．2（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且 c=1，求△ABC 面积的取值范围． 4.（2019江苏12）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA ，AD 与CE 交于点O.若ABAC 6AOEC ，则AB的值是.AC5.（2019 江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．（1）若a=3c ，b=2，cosB=2，求c 的值；3（2）若sinAcosB，求sin(B )的值．a 2b 2 6.（2019 浙江14）在△ABC 中，ABC 90，AB 4，BC 3，点D 在线段AC 上，若 BDC 45，则BD____，cos ABD________.（2019北京15）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB．7.12（Ⅰ）求b,c的值；（Ⅱ）求sin(B-C)的值.8.（2019天津理15）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bc2a，3csinB4asinC.（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求sin2B的值.62010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos C5，BC1，AC5，则AB25A．42B．30C．29D．252(2018全国卷Ⅲ)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积．为a2b2c2，则C4A．B．3C．D．6 243．（2017山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若ABC为锐角三角形，且知足sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，则以下等式建立的是A．a2b B．b2a C．A2B D．B2A．（2016年天津）在ABC中，若AB=13，BC=3，C120，则AC=4A．1B．2C．3D．45．（2016年全国III）在△ABC中，B=π，BC边上的高等于1BC,则cosA=43A．310B．10C．-10D．-310 101010106．(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是1，AB1，BC2，则AC=2A．5B．5C．2D．17．(2014重庆)已知ABC的内角A，B，C知足sin2Asin(A B C)=sin(C A B) 12，面积S知足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则以下不等式必定建立的是A．bc(b c)8B．ab(a b)162C．6abc12D．12abc2482014江西）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，若．（c2(a b)26，C，则ABC的面积是3A．3B．9333D．33 2C．29．（2014四川）如图，从气球A上测得正前面的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm，则河流的宽度BC等于A30°°7560mBCA．240(31)mB．180(21)m C．120(31)mD．30(31)m10．（2013新课标Ⅰ）已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，23cos2Acos2A0，a7，c 6，则bA．10B．9C．8D．511．（2013辽宁）在ABC，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c．若asinBcosCcsinBcosA1b，且a b，则B=2C．2D．5A．B．6336 12．（2013天津）在△ABC中，ABC,AB2,BC3,则sinBAC= 4A ．10B ．10C ．310D ． 510 5 105 13．（2013陕西）设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若bcosCccosBasinA,则△ABC 的形状为A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确立 14．（2012广东）在ABC 中，若A 60, B 45,BC 32，则ACA ．4 3B ．23C ．D ．15．（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAcosBbcos 2A 2a ，则baA ．2 3B ．22C ．3D ．2．（天津）如图，在△ ABC 中， D 是边AC 上的点，且ABAD,2AB 3BD ， 162011BC 2BD ，则sinC 的值为BADC3B ．366A ．6 C ．D ．33 616．（2010湖南）在 ABC 中，角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c ．若 C120，c2a ，则A ．abB ．abC ．abD ．a 与b 的大小关系不可以确立二、填空题 18．(2018江苏)在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，ABC 120， ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD 1，则4a c 的最小值为． 19(2018 ) 在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a， b ，c ．若 a7 ， b2，．浙江 A 60，则sinB=___________，c=___________．20．（2017浙江）已知ABC,AB AC 4 ,BC 2 ．点D 为AB 延伸线上一点,BD 2, 连接CD,则BDC 的面积是___________，cos BDC=__________． 21．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创办的 “割圆术”能够估量圆周率，理论上能把的值计算到随意精度。

2012年高考真题文科数学汇编4：三角函数.pdf

一、主要内容：东胜神州傲来国有一花果山，山顶一石，产下一猴。

石猴求师学艺，得名孙悟空，学会七十二般变化，一个筋斗去可行十万八千里，自称"美猴王"。

他盗得定海神针，化作如意金箍棒，可大可小，重一万三千五百斤。

又去阴曹地府，把猴属名字从生死簿上勾销。

玉帝欲遣兵捉拿，太白金星建议，把孙悟空召入上界，做弼马温。

当猴王得知弼马温只是个管马的小官后，便打出天门，返回花果山，自称"齐天大圣"。

玉帝派天兵天将捉拿孙悟空，美猴王连败巨灵神、哪咤二将。

孙悟空又被请上天管理蟠桃园。

他偷吃了蟠桃，搅闹了王母娘娘的蟠桃宴、盗食了太上老君的金丹，逃离天宫。

玉帝又派天兵捉拿。

孙悟空与二郎神赌法斗战，不分胜负。

太上老君用暗器击中孙悟空，猴王被擒。

经刀砍斧剁，火烧雷击，丹炉锻炼，孙悟空毫发无伤。

玉帝请来佛祖如来，才把孙悟空压在五行山下。

如来派观音菩萨去东土寻一取经人，来西天取经，劝化众生。

观音点化陈玄奘去西天求取真经。

唐太宗认玄奘做御弟，赐号三藏。

唐三藏西行，在五行山，救出孙悟空。

孙悟空被带上观世音的紧箍，唐僧一念紧箍咒，悟空就头疼难忍。

师徒二人西行，在鹰愁涧收伏白龙，白龙化作唐僧的坐骑。

在高老庄，收伏猪悟能八戒，猪八戒做了唐僧的第二个徒弟；在流沙河，又收伏了沙悟净，沙和尚成了唐僧的第三个徒弟。

师徒四人跋山涉水，西去求经。

观音菩萨欲试唐僧师徒道心，和黎山老母、普贤，文殊化成美女，招四人为婿，唐僧等三人不为所动，只有八戒迷恋女色，被菩萨吊在树上。

在万寿山五庄观，孙悟空等偷吃人参果，推倒仙树。

为了赔偿，孙悟空请来观音，用甘露救活了仙树。

白骨精三次变化，欲取唐僧，都被悟空识破。

唐僧不辨真伪，又听信八戒谗言，逐走悟空，自己却被黄袍怪拿住。

八戒、沙僧斗不过黄袍怪，沙僧被擒，唐僧被变成老虎。

八戒在白龙马的苦劝下，到花果山请转孙悟空，降伏妖魔，师徒四人继续西行。

乌鸡国国王被狮精推人井内淹死，狮精变作国王。

9年全国高考文科数学试题分类汇编之专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形及答案

9年全国高考文科数学试题分类汇编之专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形及答案专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中,cos25=C ,1=BC ,5=AC ,则=ABA ．B D ．2．(2018全国卷Ⅲ)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-,则C = A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π3．（2017新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )B A C C +- 0=,2a =,c =则C =A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π4．（2016全国I ）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =2c =,2cos 3A =,则b =A ．．2 D ．3 5．（2016全国III ）在ΔABC 中,4B π=,BC 边上的高等于13BC,则sin A =A ．310B ．10C ．5D ．106．（2016山东）ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则A = A ．3π4 B ．π3 C ．π4 D ．π67．(2015广东)设ΑΒC ∆的内角,,A B C 的对边分别为a ,b ,c ．若2a =,c =,cos A =,且b c <,则b =A ．3 B．．2 D8．(2014新课标2)钝角三角形ABC 的面积是12,1AB =,BC ,则AC = A ．5 B．．2 D ．19．（2014重庆）已知ABC ∆的内角A ,B ,C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+,面积S 满足12S ≤≤,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是A ．8)(>+c b bc B．()ab a b +>．126≤≤abc D ．1224abc ≤≤10．（2014江西）在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,若2c =2()6a b -+,3C π=,则ABC ∆的面积是A ．3B ．239C ．233 D ．3311．（2014四川）如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75,30,此时气球的高是60cm ,则河流的宽度BC 等于A ．1)mB ．1)mC ．1)mD ．1)m12．（2013新课标1）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos A +cos 20A =,7a =,6c =,则b =A ．10B ．9C ．8D ．513．（2013辽宁）在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b=,且a b >,则B ∠=A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π14．（2013天津）在△ABC 中,,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠=A ．B ．C ．D ．15．(2013陕西)设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定16．(2012广东)在ABC ∆中,若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==则AC =A ．．．17．（2011辽宁）ABC ∆的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2sin sin cos a A B b A +=,则=a bA ．B ． D18．（2011天津）如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且,2AB AD AB =,2BC BD =,则sin C 的值为CA ．B ．C ．D ．19．（2010湖南）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=,c =,则 A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．a 与b 的大小关系不能确定二、填空题20．(2018全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,已知 sin sin 4sin sin b C c B a B C+=,2228b c a +-=,则△ABC 的面积为__．21．(2018浙江)在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ．若a =2b =,60A =,则sin B =___________,c =___________．22．(2018北京)若ABC △的面积为222)a cb +-,且C ∠为钝角,则B ∠= ；c a 的取值范围是．23．(2018江苏)在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为．24．（2017新课标Ⅱ）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B =25．（2017新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．已知60C =,b =3c =,则A =_______．26．（2017浙江）已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =．点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是_______,cos BDC ∠=_______．27．（2016全国Ⅱ）△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若4cos 5A =,5cos 13C =,1a =,则b =_____．28．（2015北京）在△ABC 中,23,3a b A π==∠=,则B ∠= _________．29．(2015重庆)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2a =,1cos 4C =-,3sin 2sin A B =,则c =________．30．（2015安徽）在ABC ∆中,6=AB , 75=∠A ,45=∠B ,则=AC ．31．(2015福建)若锐角ABC ∆的面积为且5AB =,8AC =,则BC 等于．32．(2015新课标1)在平面四边形ABCD 中,75A B C ∠=∠=∠=,2BC =,则AB 的取值范围是_______．33．（2015天津）在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知ABC ∆的面积为2b c -=,1cos 4A =-,则a 的值为．34．（2015湖北）如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD = m ．35．（2014新课标1）如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒,C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =,则山高MN =________m ．36．（2014广东）在ABC ∆中,角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,已知cos b C +cos 2c B b =,则=b a．37．（2013安徽）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ．若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____．38．（2013福建）如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC ∠=,AB =3AD =,则BD 的长为_______________．C39．（2012安徽）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是．①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>40．（2012北京）在ABC ∆中,若12,7,cos 4a b c B =+==-,则b = ．41．（2011新课标）ABC ∆中,60,B AC =︒,则AB +2BC 的最大值为____． 42．（2011新课标）ABC ∆中,120,7,5B AC AB =︒==,则ABC ∆的面积为_ __． 43．（2010江苏）在锐角三角形ABC ,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,6cos b a C a b +=,则tan tan tan tan C C A B +=_______．44．（2010山东）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2a b ==,sin cos B B +=,则角A 的大小为．三、解答题45．（2018天津）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ．已知sin cos()6b A a B π=-．(1)求角B 的大小；(2)设2a =,3c =,求b 和sin(2)A B -的值．46．（2017天津）在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =,222)ac a b c --．（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求sin(2)B A -的值．47．（2017山东）在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3b =,6AB AC ⋅=-,3ABC S ∆=,求A 和a ．48．（2015新课标2）ABC ∆中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．(Ⅰ)求 sin sin B C ；(Ⅱ) 若AD =1,DC =,求BD 和AC 的长．49．（2015新课标1）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边,2sin 2sin sin B A C =．（Ⅰ）若a b =,求cos ;B（Ⅱ）若90B =,且a =求ABC ∆的面积．50．（2014山东）ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长．已知3a =,cos 2A B A π==+．（Ｉ）求b 的值；（II ）求ABC ∆的面积．51．（2014安徽）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ,且3b =,1c =,2A B =．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求sin()4A π+的值．52．（2013新课标1）如图,在ABC ∆中,∠ABC ＝90°,AB BC =1,P 为△ABC 内一点,∠BPC ＝90°．（Ⅰ）若PB =12,求PA ；（Ⅱ）若∠APB ＝150°,求tan ∠PBA ．53．（2013新课标2）ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =,求△ABC 面积的最大值．54．（2012安徽）设ABC ∆的内角C B A ,,所对边的长分别为,,,c b a ,且有2sin cos B A =sin cos cos sin A C A C +．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ) 若2b =,1c =,D 为BC 的中点,求AD 的长．55．（2012新课标）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边,cos a C +sin 0C b c --=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2=a ,ABC ∆的面积为3,求b 、c ．56．（2011山东）在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长．已知cos 2cos 2cos A C c aB b --=．（I ）求sin sin CA 的值；（II ）若1cos 4B =,2b =,ABC ∆的面积S ．57．（2011安徽）在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,ab =12cos()0B C ++=,求边BC 上的高．58．（2010陕西）如图,A,B是海面上位于东西方向相距(53+海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间？59．（2010江苏）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m）,如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m）,使α与β之差较大,可以提高测量精确度。

2020年高考数学·高考真题-分类汇编-第12讲-解三角形精选全文完整版

精选全文完整版专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形2020年1.（2020•北京卷）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S =选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =.2.（2020•全国2卷）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+3.（2020•全国3卷）在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（） A.19B.13C. 12 D. 23【答案】A4.（2020•江苏卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =（2）2tan 11DAC ∠=.5.（2020•新全国1山东）在①3ac =sin 3c A =，③3=c b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析6.（2020•天津卷）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c === （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）4Cπ；（Ⅱ）13sin 13A =；（Ⅲ）172sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.7.（2020•浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin b A =．（I ）求角B ；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II ）13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦2016-2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．2.（2019全国Ⅱ理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 .5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b 2，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2 ，1cos 2B =- ．（Ⅰ）求b ,c 的值；（Ⅱ）求sin(B -C ) 的值.8.（2019天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.9．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos2=C 1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．10．(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C = A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 11．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A = 12.（2016年天津）在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠= ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．413．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos AA B C ．1010 D ．3101014．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．15．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =，则sin B =___________，c =___________．16．（2017浙江）已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =．点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．17．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。

高考《三角函数与解三角形》(解析版)

专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形答案部分 2019年1.解：（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-，()sin 1202sin A C C ︒+-=，1sin 2sin 2C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 60C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=． 2.解析：由余弦定理有2222cos b a c ac B =+-，因为6b =，2a c =，π3B =，所以222π36(2)4cos 3c c c =+-，所以212c =，21sin sin 2ABC S ac B c B ===△3.解析（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=．由180A B C ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=．因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此60B =︒．（2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△．由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===．由于ABC △为锐角三角形，故090A ︒<<︒，090C ︒<<︒，由（1）知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122a <<ABC S <<△．因此，ABC △面积的取值范围是,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．4.解析设()2AD AB A AO C λλ==+u u u u r u u u u u r u u u rr ，1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB ACμμμμμμ-=+=+=+-=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11()24AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，13EC AC AE AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r221322AB AB AC AC -+⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r ，因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以221322AB AC =u u ur u u u r ，所以223AB AC=u u u r u u u r，所以AB AC =. 5.解析（1）由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =. 因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 6.解析：在直角三角形ABC 中，4AB =，3BC =，5AC =，4sin 5C =，在BCD △中，sin sin BD BC C BDC=∠，可得122BD =；135CBD C ∠=-o ，224372sin sin(135)(cos sin )225510CBD C C C ⎛⎫∠=-=+=⨯+=⎪⎝⎭o ，所以()72cos cos 90sin ABD CBD CBD ∠=-∠=∠=o.7.解析：（I ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭. 因为2b c =+，所以()222123232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.解得5c =，所以7b =.（II ）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin c C B b ==在ABC △中，B ∠是钝角，所以C ∠为锐角.所以11cos 14C ==. 所以()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=. 8.解析（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =.由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B a a +-+-===-⋅⋅.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故πππ71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B ⎛⎫+=+=-⨯= ⎪⎝⎭.2010-2018年1．A 【解析】因为213cos 2cos121255=-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理，得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ，所以=AB A ．2．C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知2221sin 24a b c ab C +-=，所以222sin cos 2a b c C C ab +-==，所以在ABC ∆中，4C π=．故选C ． 3．A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+，即2sin cos sin cos B C A C =，所以2sin sin B A =，即2b a =，选A ． 4．A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.5．C 【解析】设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得1sin 34a c π==，则a =．在△ABC 中，由余弦定理可得222222295322b ac c c c c =+-=+-=，则b =．由余弦定理，可得22222259cos 2c c c b c a A bc +-+-===C ． 6．B 【解析】11sin 22AB BC B ⋅⋅=，∴sin 2B =，所以45B =o 或135B =o．当45B =o时，1AC ==，此时1,AB AC BC ===90A =o 与“钝角三角形”矛盾；当135B =o时，AC ==．7．A 【解析】因为A B C π++=，由1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+得1sin 2sin 2sin 22A B C ++=，即1sin[()()]sin[()()]sin 22A B A B A B A B C ++-++--+=，整理得1sin sin sin 8A B C =，又111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===，因此322222211sin sin sin 864S a b c A B C a b c ==，由12S ≤≤ 得222311264a b c ≤≤，即8abc ≤≤C 、D 不一定成立．又0b c a +>>，因此()8bc b c bc a +>⋅≥，即()8bc b c +>，选项A 一定成立．又0a b c +>>，因此()8ab a b +>，显然不能得出()ab a b +>B 不一定成立．综上所述，选A ．8．C 【解析】由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-①，由余弦定理及3C π=可得222a b c ab +-=②．所以由①②得6ab =，所以1sin 23ABC S ab π∆==9．C 【解析】∵tan15tan(6045)2=-=o o o∴60tan 6060tan151)BC =-=o o．10．D 【解析】225cos 10A -=，1cos 5A =，由余弦定理解得5b =． 11．A 【解析】边换角后约去sin B ，得1sin()2A C +=，所以1sin 2B =，但B 非最大角，所以6B π=．12．C 【解析】由余弦定理可得AC =sin 10A =． 13．B 【解析】∵cos cos sin bC c B a A +=，∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，∴2sin()sin B C A +=，∴2sin sin A A =，∴sin 1A =，∴△ABC 是直角三角形．14．B 【解析】由正弦定理得：sin sin sin 60sin 45BC AC ACAC A B ︒︒=⇔=⇔=15．D 【解析】由正弦定理，得22sin sin sin cos A B B A A +=，即22sin (sin cos )B A A A ⋅+=，sin B A =，∴sin sin b B a A== 16．D 【解析】设AB c =，则AD c =，BD =，BC =ΔABD 中，由余弦定理得2222413cos 23c c c A c +-==，则sin 3A =，在ΔABC 中，由正弦定理得sin sin 3c BC C A ==，解得sin C =．17．A 【解析】因为120C ∠=o，c =，所以2222cos c a b ab C =+-，222122()2a ab ab =+--所以22,0,aba b ab a b a b a b-=-=>>+ 因为0,0a b >>，所以0aba b a b-=>+，所以a b >．故选A ．18．9【解析】因为120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，所以60ABD CBD ∠=∠=o，由三角形的面积公式可得111sin120sin 60sin 60222ac a c =+o o o ，化简得ac a c =+，又0a >，0c >，所以111a c+=，则1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=+++=≥，当且仅当2c a =时取等号，故4a c +的最小值为9． 19．7；3【解析】因为a =2b =，60A =o，所以由正弦定理得2sin sin 7b AB a⨯===．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得2230c c --=，所以3c =．202222224241cos 22424AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⨯⨯⨯⨯，由22sin cos 1ABC ABC ∠+∠=所以sin4ABC∠===，1sin2BDCS BD BC DBC∆=⨯⨯∠11sin()sin22BD BC ABC BD BC ABCπ=⨯⨯-∠=⨯⨯∠1222=⨯⨯=．C因为BD BC=，所以D BCD∠=∠，所以2ABC D BCD D∠=∠+∠=∠，cos cos24ABCBDC∠∠====．21．2【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成，所以61611sin602S=⨯⨯⨯⨯=o．22．2113【解析】∵4cos5A=，5cos13C=，所以3sin5A=，12sin13C=，所以()63sin sin sin cos cos sin65B AC A C A C=+=+=，由正弦定理得：sin sinb aB A=解得2113b=．23．1 【解析】由1sin2B=得6Bπ=或56π，因为6Cπ=，所以56Bπ≠，所以6Bπ=，于是23Aπ=．有正弦定理，得21sin32bπ=，所以1b=．24．7【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==所以sin A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =． 25．【解析】如图作PBC ∆，使75∠=∠=oB C ，2BC =，作出直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点（不与端点重合），且使75∠=oBAD ，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形，过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在PBC ∆中，可求得BP =QBC ∆中，可求得BQ =，所以AB 的取值范围为．26．1【解析】∵2223cos 24b c a A bc +-==，而sin 22sin cos 243cos 21sin sin 64A A A a A C C c ⨯==⨯=⨯⨯=． 27．8 【解析】因为0A π<<，所以sin A ==又1sin 28ABC S bc A ∆===24bc ∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩，得6b =，4c =，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =．28．ο30=∠BAC ，ο105=∠ABC ，在ABC ∆中，由ο180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以ο45=∠ACB ，因为600=AB ，由正弦定理可得οο30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m ，在BCD Rt ∆中，因为ο30=∠CBD ，2300=BC ，所以230030tan CDBC CD ==ο，所以6100=CD m ．29．150【解析】在三角形ABC 中，AC =，在三角形MAC 中，sin 60sin 45MA AC=o o，解得MA =在三角形MNA sin 60==o ，故150MN =． 30．2【解析】由b B c C b 2cos cos =+得：sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，sin 2sin A B =，∴2a b =，故2ab=． 31．π32【解析】3sin 5sin A B =， π32212cos 2,53222=⇒-=-+=⇒=+=⇒C ab c b a C a c b b a ，所以π32．32sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=•，2223BD ∴==33．①②③【解析】①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒< ②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒< ③当2C π≥时，22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得：3C π<．34．4【解析】根据余弦定理可得2214(7)22(7)()4b b b =+--⨯⨯-⨯-，解得b =4． 35．在ABC ∆中，根据sin sin sin AB AC BCC B A==，得sin sin 2sin sin ACAB C C C B=⋅==，同理2sin BC A =，因此22sin 4sin AB BC C A +=+22sin 4sin()3C C π=+-4sin )C C C ϕ=+=+．36【解析】根据sin sin AB ACC B=得5sin sin 7AB C B AC ===11cos 14C ==，所以sin sin[()]sin cos cos sin A B C B C B C π=-+=+111142-= 37．4【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性．当A =B 或a =b 时满足题意，此时有：1cos 3C =，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+，tan22C =，1tan tan tan 2A B C===，tan tan tan tan C CA B+= 4．（方法二）226cos 6cos b aC ab C a b a b+=⇒=+， 2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=tan tan sin cos sin sin cos sin sin()tan tan cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B A B C A B C A B +++=⋅=⋅21sin cos sin sin C C A B =⋅．由正弦定理，得：上式22222214113cos ()662c c c c C ab a b =⋅===+⋅．38．6π【解析】由sin cos 2B B +=得12sin cos 2B B +=，即sin 21B =，因02B π<<，所以2,24B B ππ==.又因为2,2,a b ==由正弦定理得22sin sin 4A π=，解得1sin 2A =，而,a b <则04A B π<<=,故6a π=． 39．【解析】(1)在ABC ∆中，∵1cos 7B =-，∴(,)2B ππ∈，∴243sin 1cos B B =-=．由正弦定理得sin sin a b A B=⇒7sin 43A =，∴3sin A =． ∵(,)2B ππ∈，∴(0,)2A π∈，∴π3A ∠=．(2)在ABC ∆中，∵sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=31143()2727⨯-+⨯=3314．如图所示，在ABC ∆中，∵sin hC BC=，∴sin h BC C =⋅=33337⨯=， ∴AC 边上的高为33．40．【解析】(1)在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以2sin ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==．(2)由题设及(1)知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=．在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=．所以5BC =．41．【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =又因为(0π)B ∈，，可得3B π=．(2)在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =a c <，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214-⨯= 42．【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =．故2sin sin 3B C =．（2）由题设及（1）得121cos()cos cos sin sin 632B C B C B C +=-=-=-所以2π3B C +=，故π3A =．由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =．由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=．故ABC △的周长为343．【解析】（1）由已知得tan A =，所以23A π=．在ABC ∆中，由余弦定理得222844cos 3c c π=+-，即2+224=0c c -．解得6c =-（舍去），4c = （2）有题设可得2CAD π∠=，所以6BAD BAC CAD π∠=∠-∠=．故ABD ∆面积与ACD ∆面积的比值为1sin26112AB AD AC AD π⋅⋅=⋅．又ABC ∆的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=ABD ∆44．【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =，故sin 4(1cos )B B =-．上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =．（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==．又2ABCS ∆=，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=．所以2b =．45．【解析】（Ⅰ）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =．由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =.由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin a B A b ==.所以，bsin A的值为13. （Ⅱ）由（Ⅰ）及a c <，得cos 13A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==， 25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 44426A A A +=+=． 46．【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ==．（Ⅱ）因为37c a a =<，所以60C A ∠<∠=o，由7a =，所以3737c =⨯=．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）．所以△ABC的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=47．【解析】(Ⅰ)由tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+，所以C B C sin sin sin +=2，由正弦定理，得c b a 2=+．（Ⅱ）由abc ab b a ab c b a C 22222222--+=-+=)(cos22233311112222()2c c a b ab =--=-=+…．所以C cos 的最小值为12．48．【解析】（I ）证明：由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可知原式可以化解为cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C+==∵A 和B 为三角形内角 , ∴sin sin 0A B ≠则，两边同时乘以sin sin A B ，可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B += 由和角公式可知，()()sin cos sin cos sin sin sin B A A B A B C C π+=+=-= 原式得证。

2021-2021 高考全国卷三角函数解三角形真题汇编(文科)

2021-2021 高考全国卷三角函数、解三角形真题汇编(文科)2021-2021 高考全国卷三角函数、解三角形真题汇编（文科）学校：姓名：班级：考号：评卷人得分一、选择题1. [2021・全国新课标卷I(文)]函数y=的部分图象大致为 ( ) -A. B. C.D.2. [2021・全国新课标卷I(文)]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= ,则C= ( )A. B. C. D.3. [2021・全国新课标卷II(文)]函数f(x)=sin 的最小正周期为( ) A. 4πB. 2πC. πD.4. [2021・全国新课标卷III (文)]已知sin α-cos α=,则sin 2α= ( ) A. -B. -C.D.5. [2021・全国新课标卷III (文)]函数f(x)=sin +cos - 的最大值为 ( )A. B. 1 C. D. 6. [2021・全国新课标卷III (文)]函数y=1+x+的部分图象大致为( )第1页共4页A. B.C.D.7. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),4]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a= ,c=2,cos A=,则b= ( )A. B. C. 2 D. 38. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),6]将函数y=2sin 的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为 ( )A. y=2sinB. y=2sinC. y=2sin -D.y=2sin -9. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),12]若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是 ( )A. [-1,1]B. -C. -D. - -10. [2021・高考全国新课标卷Ⅱ(文),3]函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 ( )A. y=2sin -B. y=2sin -C. y=2sinD. y=2sin11. [2021・高考全国新课标卷Ⅱ(文),11]函数f(x)=cos2x+6cos - 的最大值为( )A. 4B. 5C. 6D. 712. [2021・高考全国新课标卷Ⅲ(文),6]若tan θ=-,则cos 2θ= ( )第2页共4页A. -B. -C.D.13. [2021・高考全国新课标卷Ⅲ(文),9]在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A= ( ) A. B. C. D.14. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),8]函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A. - ,k∈ZB. - ,k∈ZC. - ,k∈ZD. - ,k∈Z15. [2021�q高考全国新课标卷Ⅰ(文)，7]在函数①y＝cos|2x|,②y＝|cos x|,③y＝cos(2x＋),④y＝tan(2x－)中,最小正周期为π的所有函数为( )A. ②④B. ①③④C. ①②③D. ①③16. [2021・高考全国新课标卷I(文),9]函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为( )A. B.C. D.17. [2021・高考全国新课标卷I(文),10]已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为2a,b,c,23cosA+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A. 10 B. 9 C.8 D. 5第3页共4页18. [2021・高考全国新课标卷II(文),4]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为( )A. 2 +2B. +1C. 2 -2D. -119. [2021・高考全国新课标卷II(文),6]已知sin2α=,则cos(α+)=( ) A.B. C. D. 评卷人得分二、填空题220. [2021・全国新课标卷I(文)]已知α∈ ,tan α=2,则cos - = . 21. [2021・全国新课标卷II(文)]函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 . 22. [2021・全国新课标卷II(文)]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= .23. [2021・全国新课标卷III (文)]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= ,c=3,则A= .24. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),14]已知θ是第四象限角,且sin ,则tan - = .25. [2021・高考全国新课标卷Ⅱ(文),15]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .26. [2021・高考全国新课标卷Ⅲ(文),14]函数y=sin x- cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.27. [2021�q高考全国新课标卷Ⅰ(文)，16]如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°,C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m,则山高MN＝________m.28. [2021�q高考全国新课标Ⅱ(文)，14]函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________. 29. [2021・高考全国新课标卷I(文),16]设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ= .30. [2021・高考全国新课标卷II(文),16]函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ函数y=sin(2x+)的图象重合,则φ= .第4页共4页感谢您的阅读，祝您生活愉快。

专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形答案

专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形答案部分1．A 【解析】因为213cos 2cos121255=-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理，得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ，所以=AB A ．2．C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知2221sin 24a b c ab C +-=，所以222sin cos 2a b c C C ab +-==，所以在ABC ∆中，4C π=．故选C ． 3．B 【解析】由sin sin (sin cos )B A C C +-0=，得sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=，即sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，所以sin (sin cos )0C A A +=，因为C 为三角形的内角，所以sin 0C ≠，故sin cos 0A A +=，即tan 1A =-，所以34A π=．由正弦定理sin sin a c A C =得，1sin 2C =，由C 为锐角，所以6C π=，选B ． 4．D 【解析】由余弦定理，得2422cos 5b b A +-⨯=，整理得23830b b --=，解得3b =或13b =- （舍去），故选D ．5．D 【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，2DC AD =，所以AC ==．由正弦定理，知sin sin AC BCB A=，3sin 2ADA =，解得sin A =，故选D ． 6．C 【解析】由余弦定理得222222cos 22cos a b c bc A b b A =+-=-，所以222(1sin )2(1cos )b A b A -=-，所以sin cos A A =，即tan 1A =，又0A π<<，所以4A π=．7．C 【解析】由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，所以(222222b b =+-⨯⨯，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．8．B 【解析】11sin 22AB BC B ⋅⋅=，∴sin 2B =，所以45B =或135B =．当45B =时，1AC ==，此时1,AB AC BC ===90A =与“钝角三角形”矛盾；当135B =时，AC ==．9．A 【解析】因为A B C π++=，由1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+得1sin 2sin 2sin 22A B C ++=，即1sin[()()]sin[()()]sin 22A B A B A B A B C ++-++--+=，整理得1sin sin sin 8A B C =，又111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===，因此322222211sin sin sin 864S a b c A B C a b c ==，由12S ≤≤得222311264a b c ≤≤，即8abc ≤≤C 、D 不一定成立．又0b c a +>>，因此()8bc b c bc a +>⋅≥，即()8bc b c +>，选项A 一定成立．又0a b c +>>，因此()8ab a b +>，显然不能得出()ab a b +>B 不一定成立．综上所述，选A ．10．C 【解析】由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-①，由余弦定理及3C π=可得222a b c ab +-=②．所以由①②得6ab =，所以1sin 23ABC S ab π∆==11．C 【解析】∵tan15tan(6045)23=-=-，∴60tan 6060tan15120(31)BC =-=12．D 【解析】225cos 10A -=，1cos 5A =，由余弦定理解得5b = 13．A 【解析】边换角后约去sin B ，得1sin()2A C +=，所以1sin 2B =，但B 非最大角，所以6B π=．14．C 【解析】由余弦定理可得AC =sin A =． 15．B 【解析】∵cos cos sin b C c B a A +=，∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，∴2sin()sin B C A +=，∴2sin sin A A =,∴sin 1A =，∴△ABC 是直角三角形．16．B【解析】由正弦定理得：sin sin sin 60sin 45BC AC ACAC A B ︒︒=⇔=⇔=17．D 【解析】由正弦定理，得22sin sin sin cos A B B A A+=，即22sin (sin cos )B A A A⋅+=，sin B A=，∴sin sin b B a A==． 18．D 【解析】设AB c =，则AD c =，BD =，BC =ΔABD 中，由余弦定理得2222413cos 23c c c A c +-==，则sin A =，在ΔABC 中，由正弦定理得sin sin c BC CA ==，解得sin C =．19．A 【解析】因为120C ∠=，c =，所以2222cos c a b ab C =+-，222122()2a ab ab =+--所以22,0,aba b ab a b a b a b-=-=>>+ 因为0,0a b >>，所以0aba b a b-=>+，所以a b >．故选A ．20【解析】由sin sin 4sin sin b C c B a B C +=得， sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，因为sin sin 0B C ≠，所以1sin 2A =，因为2228b c a +-=，222cos 02b c a A bc +-=>，所以cos A =所以bc =，所以111sin 22323ABC S bc A ∆==⨯=． 21．7；3【解析】因为a =2b =，60A =，所以由正弦定理得2sin sin b AB a===2222cos a b c bc A =+-可得2230c c --=，所以3c =．22．60(2,)︒+∞【解析】ABC △的面积2221sin )2cos 2S ac B a c b ac B ==+-=，所以tan B =0180A <∠<，所以60B ∠=．因为C ∠为钝角，所以030A <∠<，所以0tan A <<，所以222sin()sin cos cos sin sin 13332sin sin sin 2A A Ac C a AA A πππ--====+>，故ca的取值范围为(2,)+∞． 23．9【解析】因为120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，所以60ABD CBD ∠=∠=，由三角形的面积公式可得111sin120sin 60sin 60222ac a c =+，化简得ac a c =+，又0a >，0c >，所以111a c+=，则1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=+++=≥，当且仅当2c a =时取等号，故4a c +的最小值为9． 24．3π【解析】由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+ 即2sin cos sin()B B A C =+，所以1cos 2B =，又B 为三角形内角，所以π3B =． 25．75°【解析】由正弦定理sin sin b cB C=，即sin 2sin 3b C B c === ，结合b c < 可得45B = ，则18075A B C =--=．262222224241cos 22424AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⨯⨯⨯⨯，由22sin cos 1ABC ABC ∠+∠=所以sin ABC ∠===， 1sin 2BDC S BD BC DBC ∆=⨯⨯∠ 11sin()sin 22BD BC ABC BD BC ABC π=⨯⨯-∠=⨯⨯∠1222=⨯⨯=．CD因为BD BC =，所以D BCD ∠=∠，所以2ABC D BCD D ∠=∠+∠=∠，cos cos2ABC BDC ∠∠==== 27．2113【解析】∵4cos 5A =，5cos 13C =，所以3sin 5A =，12sin 13C =，所以()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =． 28．4π【解析】由正弦定理，得sin sin a b A B =sin 2B=，所以sin B = 所以4B π∠=．29．4【解析】由3sin 2sin A B =及正弦定理知：32a b =，又因为2a =，所以3b =；由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =． 30．2【解析】由正弦定理可知：45sin )]4575(180sin[ACAB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC ． 31．7【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==sin A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得 2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =．32．【解析】如图作PBC ∆，使75B C ∠=∠=，2BC =，作出直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点（不与端点重合），且使75BAD ∠=，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形，过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在PBC ∆中，可求得BP =，在QBC ∆中，可求得BQ =，所以AB 的取值范围为．33．8 【解析】因为0Aπ<<，所以sin A ==，又1sin 2ABC S bc A ∆===24bc ∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩，得6b =，4c =，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =．34． 30=∠BAC ，105=∠ABC ，在ABC ∆中，由180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以45=∠ACB ，因为600=AB ，由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m ，在BCD Rt ∆中，因为30=∠CBD ，2300=BC ，所以230030tan CDBC CD ==，所以6100=CD m ． 35．150【解析】在三角形ABC中，AC =，在三角形MAC 中，sin 60sin 45MA AC=，解得MA =，在三角形MNA3sin 60==，故150MN =． 36．2【解析】由b B c C b 2cos cos =+得：sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，sin 2sin A B =，∴2a b =，故2ab=． 37．π32【解析】3sin 5sin A B =， π32212cos 2,53222=⇒-=-+=⇒=+=⇒C ab c b a C a c b b a ，所以π32．38sin sin()cos 23BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=∙2223BD ∴==39．①②③【解析】 ①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒< ②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒< ③当2C π≥时，22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得：3C π<40．4【解析】根据余弦定理可得2214(7)22(7)()4b b b =+--⨯⨯-⨯-，解得b =4 41．ABC ∆中，根据sin sin sin AB AC BCC B A==，得sin sin 2sin sin ACAB C C C B=⋅==，同理2sin BC A =，因此22sin 4sin AB BC C A +=+22sin 4sin()3C C π=+-4sin )C C C ϕ=+=+42．4【解析】根据sin sin AB ACC B=得5sin sin 7214AB C B AC ==⨯=，11cos 14C ==，所以sin sin[()]sin cos cos sin A B C B C B C π=-+=+111142-= 43．4【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性．当A =B 或a =b 时满足题意，此时有：1cos 3C =，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+，tan22C =，1tan tan tan 2A B C===，tan tan tan tan C CA B+= 4．（方法二）226cos 6cos b aC ab C a b a b+=⇒=+， 2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=tan tan sin cos sin sin cos sin sin()tan tan cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B A B C A B C A B +++=⋅=⋅21sin cos sin sin C C A B =⋅．由正弦定理，得：上式=22222214113cos ()662c c c c C ab a b =⋅===+⋅44．6π【解析】由sin cos B B +=12sin cos 2B B +=，即sin 21B =，因02B π<<，所以2,24B B ππ==.又因为2,a b ==由正弦定理得2sin sin 4A π=，解得1sin 2A =，而,a b <则04A B π<<=,故6a π=． 45．【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =又因为(0π)B ∈，，可得3B π=．(2)在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =a c <，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin AB A B A B -=-=11727214-⨯= 46．【解析】（Ⅰ）由sin 4sin a A b B =，及sin sin a bA B=，得2a b =．由222)ac a b c =--，及余弦定理，得2225cos 2b c aA bcac +-===（Ⅱ）由（Ⅰ），可得sin A =sin 4sin a A b B =，得sin sin 45a A Bb ==．由（Ⅰ）知，A为钝角，所以cos 5B ==．于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55555B A B A B A -=-=⨯--⨯=-．47．【解析】因为6AB AC ⋅=-，所以cos 6bc A =-，又 3ABC S ∆=，所以sin 6bc A =，因此tan 1A =-，又0A π<<，所以34A π=，又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(292a =+-⋅⋅-=，所以a =48．【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠ 1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠ 因为2ABD ADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．49．【解析】（Ⅰ）由题设及正弦定理可得22b ac =．又a b =，可得2b c =，2a c =，由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知22b ac =．因为90B =，由勾股定理得222a cb +=．故222a c ac +=，得c a ==．所以ABC ∆的面积为1．50．【解析】（I ）在ABC ∆中，由题意知sin A ==又因为2B A π=+，所有sin sin()cos 2B A A π=+==，由正弦定理可得3sin sin a Bb A=== （II ）由2B A π=+得，cos cos()sin 2B A A π=+=-=，由A B C π++=，得()C A B π=-+．所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(=+13=．因此，ABC ∆的面积111sin 3223S ab C ==⨯⨯=． 51．【解析】：（Ⅰ）∵2A B =，∴sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理得22222a c b a b ac+-=⋅∵3,1b c ==，∴212,a a ==（Ⅱ）由余弦定理得22291121cos 263b c a A bc +-+-===-，由于0A π<<，∴sin 3A ===，故14sin()sin coscos sin()44432326A A A πππ-+=+=+-⨯=．52．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC =o60，∴∠PBA =30o ，在△PBA 中，由余弦定理得2PA =o 1132cos3042+-=74，∴P A （Ⅱ）设∠PBA =α，由已知得，PB =sin α，在△PBA 中，由正弦定理得，o o sin sin150sin(30)αα=-4sin αα=，∴tan α=4，∴tan PBA ∠=4． 53．【解析】（Ⅰ）因为cos sin a b C c B =+，所以由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B =+，所以sin()sin cos sin sin B C B C C B +=+，即cos sin sin sin B C C B =，因为sin C ≠0，所以tan 1B =，解得B =4π；（Ⅱ）由余弦定理得：2222cos4b ac ac π=+-，即224a c =+，由不等式得：222a c ac +≥，当且仅当a c =时，取等号，所以4(2ac ≥，解得4ac ≤+ABC 的面积为1sin 24ac π(44≤+1，所以△ABC 1．54．【解析】（Ⅰ）,,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈⇒+=>2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+=1cos 23A A π⇔=⇔=（II ）2222222cos 2a b c bc A a b a c B π=+-⇔==+⇒=在Rt ABD ∆中，2AD ===55．【解析】（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C C A A A A A ︒︒︒︒⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）1sin 42S bc A bc ==⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=，解得：2b c ==．56．【解析】（I ）由正弦定理，设,sin sin sin a b ck A B C=== 则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C A b k B B ---==所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C A B B--=即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-，化简可得sin()2sin().A B B C +=+又A B C π++=，所以sin 2sin C A =，因此sin 2.sin CA= （II ）由sin 2sin CA=得2.c a = 由余弦定理222222112cos cos ,2,44.44b ac ac B B b a a a =+-==+-⨯及得4= 解得1a =．因此2c =．又因为1cos ,0.4B B π=<<且所以sin B =因此11sin 122244S ac B ==⨯⨯⨯= 57．【解析】由A C B C B -=+=++π和0)cos(21，得.23sin ,21cos ,0cos 21===-A A A 再由正弦定理，得.22sin sin ==a Ab B .22sin 1cos ,2,,=-=<<<B B B B A B a b 从而不是最大角所以知由π由上述结果知).2123(22)sin(sin +=+=B A C 设边BC 上的高为h ，则有.213sin +==C b h 58．【解析】由题意知(53AB =海里，906030,45,DBA DAB ∠=︒-︒=︒∠=︒105ADB ∴∠=︒在DAB ∆中，由正弦定理得sin sin DB ABDAB ADB=∠∠sin sin AB DAB DB ADB ∙∠∴===∠2=，又30(9060)60,DBC DBA ABC BC ∠=∠+∠=︒+︒-︒=︒= 在DBC ∆中，由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-∙∙∠= 1300120029002+-⨯= CD ∴=30（海里），则需要的时间30130t ==（小时）．答：救援船到达D 点需要1小时． 59．【解析】（1）tan tan H H AD AD ββ=⇒=，同理：tan HAB α=，tan h BD β=． AD —AB =DB ，故得tan tan tan H H hβαβ-=，解得tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--．因此，算出的电视塔的高度H 是124m ．（2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H hd AD DB dαβ-====，2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d dαβαβαβ----====--+⋅+-+⋅+()H H h d d-+≥（当且仅当d =取等号）故当d =时，tan()αβ-最大．因为02πβα<<<，则02παβ<-<，所以当d =时，α-β最大．故所求的d是．。

2012年全国高考数学试题分类汇编——三角函数及解三角形

A 的值．
6、（辽宁理 17)(本小题满分 12 分)在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c。角 A，B，C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值； (Ⅱ)边 a，b，c 成等比数列，求 sin A sin C 的值。
7、（北京理 15）（本小题共 13 分）已知函数
ABC 内的概
△ABC 内的概率为 4 。
（安徽理 15）设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ；则下列命题正确的是___①②③ ①若 ab c ；则
2 3 3 3
C

3 C
② 若 a b 2c ；则

2 C
C

3 C
③若 a b c ；则
12
分 )
函数
x 62 c o s 2
在一个周期内的图象如图所示， A 为
图象的最高点， B 、 C 为图象与 x 轴的交点，且 ABC 为正三角形。（Ⅰ）求的值及函数 f ( x) 的值域；（Ⅱ）若
f ( x0 )
10 2 8 3 x0 ( , ) 3 3 ，求 f ( x0 1) 的值。 5 ，且
(1,f (1) ) a f ( x) 1 2
ABC
重庆（ 13 ）设
的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且
3 5 cos A , cos B , b 3, 5 13 则c
三、解答题 1、（湖北理 17）（满分 12 分）已知向量 a= b= 直线 x=π 对称，其中，设函数 f（x） =a²b+ 为常数，且，的图像关于
7 A 25

三角函数与解三角形第十二讲解三角形

专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形2019 年1. （全国Ⅱ文 15）△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .已知 b sin A +a cos B =0，则 B =___________.2（. 2019 全国Ⅰ文 11）△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－ 1 4 ，则 b c= A ．6B ．5C ．4D ．313.（2019北京文15）在△ABC 中，a=3，b – c 2 ，cosB= ．2（Ⅰ）求 b ，c 的值；（Ⅱ）求 sin （B +C ）的值．4.（ 2019 全国三文 18） △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知ACa sinb sin A．2（1）求 B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且 c =1，求△ABC 面积的取值范围．5 .（2019 天津文 16）在V ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ,b ,c .已知 b c 2a ，3c sin B 4a sin C .（Ⅰ）求 cosB 的值；（Ⅱ）求sin 2B6的值.6.（2019 江苏 15）在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．（1）若 a =3c ，b = 2 ，cos B =2 3，求 c 的值；（2）若 sin A cos B，求sin( B ) 的值．a 2b 27.（2019 浙江 14）在△ABC 中，ABC 90， AB 4 ， BC 3，点 D 在线段 AC 上，若 BDC 45，则 BD ____，cos ABD ________.12010-2018 年一、选择题1．(2018 全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cosC 5 25， BC 1， AC 5，则 AB A ． 4 2 B ． 30 C ． 29D ． 2 52．(2018 全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ．若 ABC 的面积为a b c2224，则 CA ．2B ．3C ．4D ．63．（2017 新课标Ⅰ） ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c ．已知sin B sin A (sin C cos C) 0 ， a 2 ， c 2 ，则C =A ．12B ．6C ．4D ．34．（2016 全国 I ）△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ．已知 a 5 ， c 2 ，cos2A ，则b =3A ． 2B ． 3C ．2D ．35．（2016 全国 III ）在 ΔABC 中， B， BC 边上的高等于 41 3BC ，则sin A 3A ． 10B ． 10 10C ． 5 5D ． 3 10 106．（2016 山东）△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，已知b = c ,a 2= 2b 2(1- sin A ) ，则 A =A ．3π4B ．π 3C ．π 4D ．π 67．(2015 广东)设 ΑΒC 的内角 A , B ,C 的对边分别为 a ， b ， c ．若 a 2 ， c 2 3 ，cos3A ，且 b c ，则 b22A．3 B．2 2 C．2 D． 38．(2014 新课标2)钝角三角形ABC 的面积是1，AB 1，BC 2 ，则AC =2A．5 B． 5 C．2 D．19．（2014 重庆）已知ABC的内角A ，B ，C 满足sin 2A sin(A B C)=sin(C A B) 1，面积S 满足1≤S ≤2 ，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不2等式一定成立的是A．bc(b c) 8 B．ab(a b) 16 2 C．6 abc 12 D．12 abc 2410．（2014 江西）在ABC中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若c2(a b)2 6，C，则ABC的面积是39 3 3 3A．3 B．C．D．3 32 211．（2014 四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75o，30o，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于A30°75°60mB CA．240( 3 1)m B．180( 2 1)mC．120( 3 1)m D．30( 3 1)m12．（2013 新课标1）已知锐角ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a,b,c ，23cos2 A cos 2A 0，a 7 ，c 6 ，则bA．10 B．9 C．8 D．513．（2013 辽宁）在ABC ，内角A, B,C 所对的边长分别为a,b,c ．若a sin B cos C31c sin B cos A b ，且 a b ，则 B =22 5A ．B ．C ．D ．6 3 3614．（2013 天津）在△ABC 中， ABC , AB 2,BC 3, 则 sin BAC =4A ． 10 10B ． 10 5C ． 3 10 10D ．5515．(2013 陕西)设△ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a ,b ,c ,若 b cos C c cos B a sin A ,则△ABC 的形状为 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定16．(2012 广东)在 ABC 中，若 A 60, B 45, BC 3 2 ，则 ACA ． 4 3B ． 2 3C ．D ．17．（2011 辽宁）ABC 的三个内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，a sin A sin B b cos 2 Ab2a ，则aA ． 2 3B ． 2 2C ． 3D ． 218．（2011 天津）如图，在△ ABC 中， D 是边 AC 上的点，且 AB AD ,2AB 3BD ，BC 2BD ，则sin C 的值为BADCA ．33B ．3 6C ．63D ．6619．（2010 湖南）在 ABC 中，角 A , B ,C 所对的边长分别为 a ,b ,c ．若C 120o ，c 2a ，则 A ． a b B ． a b C ． a b D ． a 与b 的大小关系不能确定二、填空题20．(2018 全国卷Ⅰ)△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知4b sin Cc sin B 4a sin B sin C ，b2 c2 a2 8 ，则△ABC 的面积为__．21．(2018 浙江)在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a 7 ，b 2 ，A 60o，则sinB =___________，c =___________．的22．(2018 北京)若△ABC 的面积为 3 (a2 c2 b2 ) ，且 C 为钝角，则 B = ；c4 a取值范围是．23．(2018 江苏)在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，ABC 120，ABC 的平分线交AC 于点D，且BD 1，则4a c 的最小值为．24．（2017 新课标Ⅱ）ABC 的内角A , B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B a cos C c cos A ，则B25．（2017 新课标Ⅲ）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C 60o，b 6 ，c 3，则A =_______．26．（2017 浙江）已知ABC ，AB AC 4 ，BC 2．点D 为AB 延长线上一点，BD 2，连结CD ，则BDC 的面积是_______，cos BDC =_______．4cos A ，27．（2016 全国Ⅱ）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若55cosC ，a 1，则b _____．13228．（2015 北京）在△ABC 中，a 3,b 6, A ，则 B = _________．329．(2015 重庆)设ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a,b,c ，且a 2 ，cos 1C ，4 3sin A 2 s in B ，则c =________．30．（2015 安徽）在ABC 中，AB 6 ， A 75， B 45，则AC ．31．(2015 福建)若锐角ABC 的面积为10 3 ，且AB 5 ，AC 8，则BC 等于．32．(2015 新课标1)在平面四边形ABCD 中， A B C 75o，BC 2，则AB 的取值范围是_______．33．（2015 天津）在ABC 中，内角A, B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知ABC 的面积为3 15 ，b c 2，cos 1A ，则a 的值为．4534．（2015 湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30o的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75o的方向上，仰角为30o，则此山的高度CD m．35．（2014 新课标1）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角MAN 60，C 点的仰角CAB 45以及MAC 75；从C 点测得MCA 60．已知山高BC 100m ，则山高MN ________ m ．MCNBA36．（2014 广东）在ABC 中，角A, B,C 所对应的边分别为a,b,c ，已知b cos Ca．c cos B 2b ，则b37．（2013 安徽）设ABC 的内角A, B,C 所对边的长分别为a,b,c ．若b c 2a ，则3sin A 5sin B, 则角C _____．38．（2013 福建）如图ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD AC，sin 2 2BAC ，3 AB 3 2 ，AD 3，则BD 的长为_______________．6AB CD39．（2012 安徽）设 ABC 的内角 A , B ,C 所对的边为 a ,b ,c ；则下列命题正确的是．①若 ab c 2 ；则 C②若 a b 2c ；则 C 33③若 a 3b3c 3；则④若( a b ) c 2ab ；则CC2⑤若 (a2b 2 )c22a 2b 2；则C32140．（2012 北京）在 ABC 中，若 a 2, b c 7,cosB ，则b =．441．（2011 新课标） ABC 中， B 60,AC 3, ，则 AB +2BC 的最大值为____． 42．（2011 新课标） ABC 中， B 120, AC 7, AB 5 ，则 ABC 的面积为_ __． 43．（2010 江苏）在锐角三角形 ABC ， a ，b ， c 分别为内角 A ， B ，C 所对的边长，ba ，则 tan tan CC 6 cosC=_______．a btan A tan B44．（2010 山东）在 ABC 中，角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ，若 a 2, b 2，sin B cosB 2 ，则角 A 的大小为．三、解答题45．（2018 天津）在△ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知b sin A a cos(B ) ．6(1)求角 B 的大小；(2)设 a 2， c 3，求b 和sin(2A B ) 的值．46．（2017 天津）在△ABC 中，内角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ．已知a sin A 4b sin B ，ac 5(a 2 b 2 c 2 )．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin(2B A) 的值．747．（2017 山东）在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知b 3 ，AB AC 6，3S，求 A 和 a ．ABC48．（2015 新课标 2） ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的 2 倍．(Ⅰ)求s in B sin C；(Ⅱ) 若 AD =1，DC = 2 2，求 BD 和 AC 的长．49．（2015 新课标 1）已知 a ,b ,c 分别是 ABC 内角 A , B ,C 的对边，sin 2 B 2 s in A sin C ．（Ⅰ）若 a b ，求 cos B ;（Ⅱ）若 B 90o ，且 a 2 ，求 ABC 的面积．50．（2014 山东） ABC 中， a ，b ， c 分别为内角 A ， B ，C 所对的边长．已知 a 3，6cos A , B A ．3 2（Ｉ）求b 的值；（II ）求 ABC 的面积．51．（2014 安徽）设 ABC 的内角 A ,B ,C 所对边的长分别是 a ,b ,c ，且b 3 ， c 1，A 2B ．（Ⅰ）求 a 的值；（Ⅱ）求sin(A ) 的值．452．（2013新课标1）如图，在 ABC 中，∠ABC ＝90°，AB = 3 ，BC =1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°．（Ⅰ）若 PB =1 2，求 PA ；（Ⅱ）若∠APB ＝150°，求 tan ∠PBA ．853．（2013 新课标2）ABC 在内角A, B,C 的对边分别为a,b,c ，已知a b cos C c sin B ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b 2 ，求△ABC 面积的最大值．54．（2012 安徽）设ABC 的内角A, B,C 所对边的长分别为a,b,c, ，且有2 s in B cos A sin A cos C cos A sin C ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ) 若b 2 ，c 1，D 为BC 的中点，求AD 的长．55．（2012 新课标）已知a 、b 、c 分别为ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，a cos C 3a sin C b c 0．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a 2，ABC 的面积为 3 ，求b 、c ．56．（2011 山东）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知cos A 2cos C 2c a．cos B bsin C（I）求的值；sin A1（II）若cos B ，b 2 ，ABC 的面积S ．457．（2011 安徽）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a = 3 ，b = 2 ，12 cos(B C) 0 ，求边BC 上的高．58．（2010 陕西）如图，A，B 是海面上位于东西方向相距533海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？959．（2010 江苏）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h =4m，仰角∠ABE=，∠ADE= ．EHChβαD B dA（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan =1.20，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。

十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解4三角函数解三角形部分

⼗年⾼考分类北京⾼考数学试卷精校版含详解4三⾓函数解三⾓形部分⼗年⾼考分类北京⾼考数学试卷精校版含详解4三⾓函数解三⾓形部分⼀、选择题（共23⼩题；共115分）1. 已知cosθtanθ<0，那么⾓θ是A. 第⼀或第⼆象限⾓B. 第⼆或第三象限⾓C. 第三或第四象限⾓D. 第⼀或第四象限⾓2. 在函数y=sin2x，y=sin x，y=cos x，y=cot x2中，最⼩正周期为π的函数是A. y=sin2xB. y=sin xC. y=cos xD. y=cot x23. 某班设计了⼀个⼋边形的班徽（如图），它由腰长为1、顶⾓为α的四个等腰三⾓形，及其底边构成的正⽅形所组成，该⼋边形的⾯积为A. 2sinα?2cosα+2B. sinα?3cosα+3C. 3sinα?3cosα+1D. 2sinα?cosα+14. 在△ABC中，a=3，b=5，sin A=13，则sin B=A. 15B. 59C. 535. " α=π6 "是" cos2α=12"的A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若A，B，C是△ABC的三个内⾓，且A 2，则下列结论中正确的是A. tan AB. cot AC. sin AD. cos A7. 设M和m分别表⽰函数y=13cos x?1的最⼤值和最⼩值，则M+m等于A. 23B. ?23C. ?43D. ?28. 已知cosθ?tanθ<0，那么⾓θ是A. 第⼀或第⼆象限⾓B. 第⼆或第三象限⾓C. 第三或第四象限⾓D. 第⼀或第四象限⾓9. “ cos2α=?32”是“ α=kπ+5π12,k∈Z”的A. 必要⾮充分条件B. 充分⾮必要条件C. 充分必要条件D. 既⾮充分⼜⾮必要条件10. " φ=π "是"曲线y=sin2x+φ过坐标原点"的A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11. 已知△ABC中，a=2，b=3，B=60°，那么⾓A等于A. 135°B. 90°C. 45°D. 30°12. 函数f x=1?cos2xcos xA. 在0,π2,π2,π上递增，在π,3π2,3π2,2π上递减B. 在0,π2, π,3π2上递增，在π2,π ,3π2,2π上递减C. 在π2,π ,3π2,2π上递增，在0,π2, π,3π2上递减D. 在0,3π2,3π2,2π上递增，在0,π2,π2,2π上递减13. 函数f x=sin2x?cos2x的最⼩正周期是A. π2B. πC. 2πD. 4π14. 函数y=1+cos x的图象A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线x=π2对称15. " α=π6+2kπk∈Z "是" cos2α=12"的A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16. 将函数y=sin2x?π3图象上的点Pπ4,t 向左平移s s>0个单位长度得到点P?．若P?位于函数y=sin2x的图象上，则A. t=12，s的最⼩值为π6B. t=32，s的最⼩值为π6C. t=12，s的最⼩值为π3D. t=32，s的最⼩值为π317. 若A、B是锐⾓△ABC的两个内⾓，则点P cos B?sin A,sin B?cos A在A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限18. 函数y=12+sin x+cos x的最⼤值是A. 22?1 B. 22+1 C. 1?22D. ?1?2219. 已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为∣a∣，∣b∣，∣c∣的三⾓形A. 是锐⾓三⾓形B. 是直⾓三⾓形C. 是钝⾓三⾓形D. 不存在20. " cos2α=?32 "是" α=2kπ+5πA. 必要⾮充分条件B. 充分⾮必要条件C. 充分必要条件D. 既⾮充分⼜⾮必要条件21. 从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝⾓三⾓形的个数为m，则mn等于A. 110B. 15C. 310D. 2522. 设α，β是⼀个钝⾓三⾓形的两个锐⾓，下列四个不等式中不正确的是A. tanα tanβ<1B. sinα+sinβ<2C. cosα+cosβ>1D. 12tanα+β223. 已知sinθ+π<0，cosθ?π>0，则下列不等关系中必定成⽴的是A. tanθ22B. tanθ2>cotθ2C. sinθ22D. sinθ2⼆、填空题（共30⼩题；共150分）24. 函数f x=sin x cos x的最⼩正周期是．25. 在△ABC中，若tan A=13，C=150°，BC=1，则AB=．26. 函数y=cos2π3x+π4的最⼩正周期是．27. 函数y=sin2x+1的最⼩正周期为．28. 若sinθ=?45，tanθ>0，则cosθ=．29. 2002年在北京召开的国际数学家⼤会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直⾓三⾓形与⼀个⼩正⽅形拼成的⼀个⼤正⽅形（如图）．如果⼩正⽅形的⾯积为1，⼤正⽅形的⾯积为25，直⾓三⾓形中较⼩的锐⾓为θ，那么cos2θ的值等于．30. 若⾓α的终边经过点P1,?2，则tan2α的值为．31. 在平⾯直⾓坐标系xOy中，⾓α与⾓β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=13，则sinβ=．32. 在△ABC中，若b=1，c=3，∠C=2π3，则a=．33. 在△ABC中，若a=2，b+c=7，cos B=?14，则b=．34. 在△ABC中．若b=5，∠B=π4，sin A=13，则a=．35. 在△ABC中，若b=5，B=π，tan A=2，则sin A=；a=．36. 函数f(x)=cos2x?2x cos x的最⼩正周期是．37. 2002年在北京召开的国际数学家⼤会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直⾓三⾓形与⼀个⼩正⽅形拼成的⼀个⼤正⽅形（如图）．如果⼩正⽅形的⾯积为1，⼤正⽅形的⾯积为25，直⾓三⾓形中较⼩的锐⾓为θ，那么cos2θ的值等于．38. sin(α+30°)?sin(α?30°)cosα的值为．39. 已知tanα2=2，则tanα的值为，tan α+π4的值为．40. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c．若sin A:sin B:sin C=5:7:8，则a:b:c=，∠B的⼤⼩是．41. 在△ABC中，若sin A:sin B:sin C=5:7:8，则∠B的⼤⼩是．42. 在△ABC中，∠A=2π3，a=c，则bc=．43. 在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则sin2Asin C=．44. 已知函数f x=x2?cos x，对于 ?π2,π2上的任意x1、x2，有如下条件：①x1>x2；②x12>x22；③∣x1∣>x2．其中能使f x1>f x2恒成⽴的条件序号是．45. 设函数f x=A sinωx+φ（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）．若f x在区间π6,π2上具有单调性，且fπ2=f2π3=?fπ，则f x的最⼩正周期为．46. 在平⾯直⾓坐标系xOy中，⾓α与⾓β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=13，则cosα?β=．47. 在△ABC中，∠A=2π3，a=3c，bc=．48. 在△ABC中，a=1，b=2，cos C=14，则c=；sin A=．49. 椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若∣PF1∣=4，则∣PF2∣=；∠F1PF2的⼤⼩为．50. 已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐⾓），那么cosαcosβcosγ的最⼤值等于．51. 在△ABC中，若b=5，∠B=π4，tan A=2，则sin A=；a=．52. 在函数f x=lg1+x2，g x=x+2,x0,∣x∣≤1,x+2,x>1,x=tan2x中，为偶函数的是．53. 曲线C是平⾯内与两个定点F1?1,0和F21,0的距离的积等于常数a2a>1的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的⾯积不⼤于12a2．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（共23⼩题；共299分）54. 已知函数f x=2sin x2cos x22sin2x2．（1）求f x的最⼩正周期；（2）求f x在区间?π,0上的最⼩值．55. 已知函数f x=sin x?23sin2x2．（1）求f x的最⼩正周期；（2）求f x在区间0,2π3上的最⼩值．56. 函数f x=3sin2x+π6的部分图象如图所⽰．（1）写出f x的最⼩正周期及图中x0，y0的值；（2）求f x在区间 ?π2,?π12上的最⼤值和最⼩值．57. 已知函数f x=2cos2x+sin2x．（1）求fπ3的值；（2）求f x的最⼤值和最⼩值．58. 已知函数f x=2sinωx cosωx+cos2ωxω>0的最⼩正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f x的单调递增区间．59. 在△ABC中，∠A=60°，c=37a．（1）求sin C的值；（2）若a=7，求△ABC的⾯积．60. 已知函数f x=3cos2x?π32sin x cos x．（1）求f x的最⼩正周期；（2）求证：当x∈ ?π4,π4时，f x≥?12．61. 已知函数f x=4cos x sin x+π61．（1）求f x的最⼩正周期；（2）求f x在区间 ?π6,π4上的最⼤值和最⼩值．62. 在△ABC中，a=3，b=26，∠B=2∠A．（1）求cos A的值；（2）求c的值．63. 已知函数f x=sin x?cos x sin2xsin x．（1）求f x的定义域及最⼩正周期；（2）求f x的单调递增区间．64. 已知函数f x=cos4x?2sin x cos x?sin4x．（1）求f x的最⼩正周期；（2）若x∈0,π2，求f x的最⼤值、最⼩值．65. 已知函数f x=1?2sin2x?π4cos x．（2）设α是第四象限的⾓，且tanα=?43，求fα的值．66. 已知函数f x=2cos2x?1sin2x+12cos4x．（1）求f x的最⼩正周期及最⼤值；（2）若α∈π2,π，且fα=22，求α的值．67. 已知函数f x=2sinπ?x cos x．（1）求f x的最⼩正周期；（2）求f x在区间 ?π6,π2上的最⼤值和最⼩值．68. 在△ABC中，sin A+cos A=22，AC=2，AB=3，求tan A的值和△ABC的⾯积．69. 如图，在△ABC中，∠B=π3，AB=8，点D在BC上，且CD=2，cos∠ADC=17．（1）求sin∠BAD；（2）求BD,AC的长．70. 在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π3，cos A=45，b=3．（1）求sin C的值；（2）求△ABC的⾯积．71. 已知函数f x=6cos4x?5cos2x+1cos2x，求f x的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．72. 已知函数f x=sin2ωx+3sinωx sin ωx+πω>0的最⼩正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f x在区间0,2π3上的取值范围．73. 已知函数f x=6cos4x+5sin2x?4cos2x，求f x的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．74. 已知函数f x=1?sin2xcos x．（1）求f x的定义域；（2）设α是第四象限的⾓，且tanα=?43，求fα的值．75. 在△ABC中，⾓A，B，C对边分别为a，b，c，证明：a2?b2c =sin A?Bsin C．76. 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知a，b，c成等⽐数列，且a2?c2=ac?bc，求∠A的⼤⼩及b sin Bc的值．答案第⼀部分1. C2. A3. A 【解析】四个等腰三⾓形的⾯积之和为412×1×1×sinα =2sinα．由余弦定理可得正⽅形的边长为12+12?2×1×1×cosα=2?2cosα，故正⽅形的⾯积为2? 2cosα．故所求⼋边形的⾯积为2sinα?2cosα+2．4. B 【解析】由正弦定理：asin A =bsin B及已知得31=5sin B所以sin B=59．5. A6. C7. D8. C9. A 10. A11. C 12. A 【解析】f x=1?cos2x cos x =1?1?2sin2xcos x=2∣sin x∣cos x．当x∈0,π2或x∈π2,π时，sin x≥0，f x=2tan x在0,π2,π2,π上为递增；当x∈π,3π2或x∈3π2,2π时，sin x≤0，f x=?2tan x在π,3π2,3π2,2π上为递减．13. B 14. B 15. A【解析】cos2α=12，所以2α=2kπ±π3k∈Z，故α=kπ±πk∈Z．16. A 【解析】因为点P在y=sin2x?π3的图象上，所以t=sin2×π4?π3=12．点Pπ4,12向左平移s s>0个单位长度得到P?π4s,12．因为P?π4?s,12在y=sin2x的图象上，所以12=sin2π4s =cos2s．所以2s=±π3+2kπk∈Z，所以s=±π6+kπk∈Z．⼜s>0，所以s min=π617. B 【解析】因为A、B是锐⾓三⾓形的两个内⾓，所以A+B>90°，所以90°>B>90°?A> 0°，所以cos Bcos A，故点P cos B? sin A,sin B?cos A在第⼆象限．18. B 【解析】y=12+sin x+cos x =2+2sin x+π4≤2?2=1+22．19. B 20. A21. B 【解析】提⽰：当取出的线段长为2、3、4或2、4、5时，可组成钝⾓三⾓形．22. D 【解析】因为对于钝⾓三⾓形，必定有α+β<90°，所以A．tanαtanβB．sinα+sinβcosα+cos90°?α=cosα+sinα=2sinα+45°>1，故C对．。

2012年高考真题汇编——文科数学(解析版)4：三角函数

2 012高考试题分类汇编：4：三角函数一、选择题1.【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（A ）向左平移1个单位（B ）向右平移1个单位（C ）向左平移 12个单位（D ）向右平移12个单位【答案】C【解析】 cos 2cos(21)y x y x =→=+左+1，平移12。

2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4 【答案】A 【解析】因为4π=x 和45π=x 是函数图象中相邻的对称轴，所以2445T=-ππ，即ππ2,2==T T .又πωπ22==T ，所以1=ω，所以)sin()(ϕ+=x x f ，因为4π=x 是函数的对称轴所以ππϕπk +=+24，所以ππϕk +=4，因为πϕ<<0，所以4πϕ=，检验知此时45π=x 也为对称轴，所以选A. 3.【2012高考山东文8】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2 (B)0 (C)－1 (D)1-【答案】A【解析】因为90≤≤x ，所以6960ππ≤≤x ，369363πππππ-≤-≤-x ，即67363ππππ≤-≤-x ，所以当336πππ-=-x 时，最小值为3)3s in (2-=-π，当236πππ=-x 时，最大值为22sin2=π，所以最大值与最小值之和为32-，选A.4.【2012高考全国文3】若函数()sin ([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ （A ）2π（B ）32π （C ）23π （D ）35π【答案】C【解析】函数)33sin(3sin )(ϕϕ+=+=x x x f ，因为函数)33sin()(ϕ+=x x f 为偶函数，所以ππϕk +=23，所以Z k k ∈+=,323ππϕ,又]2,0[πϕ∈，所以当0=k 时，23πϕ=，选C. 5.【2012高考全国文4】已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）2524【答案】B【解析】因为α为第二象限，所以0cos <α，即54sin 1cos 2-=--=αα，所以25125354cos sin 22sin -=⨯-==ααα，选B.6.【2012高考重庆文5】sin 47sin17cos30cos17-（A ）B ）12-（C ）12（D 【答案】C【解析】sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====，选C.7.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos （x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos （x-1)，利用特殊点,02π⎛⎫⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选A. 8.【2012高考上海文17】在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定【答案】A【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sin sin sin <+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abc b a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，选A.9.【2012高考四川文5】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（）（1）10B 、10C 、10D 、15【答案】B【解析】 2EB EA AB =+=，EC ===3424EDC EDA ADC πππ∠=∠+∠=+=，由正弦定理得sin sin 5CED DC EDC CE ∠===∠，所以3sin sin sin 4CED EDC π∠=∠==10.【2012高考辽宁文6】已知sin cos αα-=α∈(0，π)，则sin 2α=(A)-1 (B)2- (C) 2(D) 1 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。

文科数学高考真题分类训练专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形

高中复习系列资料专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形1. （全国Ⅱ文15）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.2.（2019全国Ⅰ文11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B +C ）的值．4.（2019全国三文18）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC △为锐角三角形，且c =1，求ABC △面积的取值范围．5.（2019天津文16）在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cosB 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 6.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 7.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos25=C ，1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．2．(2018全国卷Ⅲ)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 3．（2017新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )B A C C +- 0=，2a =，c =C =A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π4．（2016全国I ）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =A B C ．2 D ．3 5．（2016全国III ）在ΔABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin A =A ．310B ．10C ．5D ．106．（2016山东）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-，则A = A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π67．(2015广东)设ΑΒC ∆的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos 2A =，且b c <，则b = A ．3 B． C ．2 D8．(2014新课标2)钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =A ．5 BC ．2D ．19．（2014重庆）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+，面积S 满足12S ≤≤，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是A ．8)(>+c b bc B．()ab a b +> C ．126≤≤abc D ．1224abc ≤≤ 10．（2014江西）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若2c =2()6a b -+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239 C ．233 D ．33 11．（2014四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75o，30o，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于A ．1)mB ．1)mC ．1)mD ．1)m12．（2013新课标1）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos A +cos20A =，7a =，6c =，则b =A ．10B ．9C ．8D ．513．（2013辽宁）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠=A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π14．（2013天津）在△ABC 中，,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠=A B C D 15．(2013陕西)设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定16．(2012广东)在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==，则AC =A ．B ．CD ．217．（2011辽宁）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin cos a A B b A +=，则=abA ．B ．C D18．（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为CA B C D19．（2010湖南）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=o，c =，则A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定二、填空题20．(2018全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知 sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为__．21．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =o ，则sin B =___________，c =___________．22．(2018北京)若ABC △222)a c b +-，且C ∠为钝角，则B ∠= ；c a的取值范围是．23．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．24．（2017新课标Ⅱ）ABC ∆的内角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B =25．（2017新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知60C =o，b =3c =，则A =_______．26．（2017浙江）已知ABC ∆，4AB AC ==，2BC =．点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结CD ，则BDC ∆的面积是_______，cos BDC ∠=_______．27．（2016全国Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =， 5cos 13C =，1a =，则b =_____．28．（2015北京）在△ABC 中，23,3a b A π==∠=，则B ∠= _________． 29．(2015重庆)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =，1cos 4C =-，3sin 2sin A B =，则c =________．30．（2015安徽）在ABC ∆中，6=AB ，ο75=∠A ，ο45=∠B ，则=AC ．31．(2015福建)若锐角ABC ∆的面积为5AB =，8AC =，则BC 等于． 32．(2015新课标1)在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=o，2BC =，则AB 的取值范围是_______．33．（2015天津）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为．34．（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30o的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75o的方向上，仰角为30o，则此山的高度CD = m ．35．（2014新课标1）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN =________m ．CNABM36．（2014广东）在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知cos b C +cos 2c B b =，则=ba． 37．（2013安徽）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ．若2b c a +=，则3sin 5sin ,A B =则角C =_____．38．（2013福建）如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，22sin BAC ∠=32AB =3AD =，则BD 的长为_______________．C39．（2012安徽）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是．①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>40．（2012北京）在ABC ∆中，若12,7,cos 4a b c B =+==-，则b = ．41．（2011新课标）ABC ∆中，60,B AC =︒=，则AB +2BC 的最大值为____．42．（2011新课标）ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_ __． 43．（2010江苏）在锐角三角形ABC ，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C CA B+=_______．44．（2010山东）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a b ==，sin cos B B +=A 的大小为．三、解答题45．（2018天津）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-．(1)求角B 的大小；(2)设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．46．（2017天津）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--．（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求sin(2)B A -的值．47．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，6AB AC ⋅=-u u u r u u u r，3ABC S ∆=，求A 和a ．48．（2015新课标2）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍． (Ⅰ)求sin sin BC； (Ⅱ) 若AD =1，DC =22，求BD 和AC 的长． 49．（2015新课标1）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（Ⅰ）若a b =，求cos ;B （Ⅱ）若90B =o ，且2a =，求ABC ∆的面积．50．（2014山东）ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知3a =，6cos ,2A B A π==+．（Ｉ）求b 的值；（II ）求ABC ∆的面积．51．（2014安徽）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3b =，1c =，2A B =．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求sin()4A π+的值．52．（2013新课标1）如图，在ABC ∆中，∠ABC ＝90°，AB =3，BC =1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°．（Ⅰ）若PB =12，求P A ；（Ⅱ）若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．53．（2013新课标2）ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =，求△ABC 面积的最大值．54．（2012安徽）设ABC ∆的内角C B A ,,所对边的长分别为,,,c b a ，且有2sin cos B A =sin cos cos sin A C A C +．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ) 若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长．55．（2012新课标）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，cos a C +3sin 0a C b c --=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2=a ，ABC ∆的面积为3，求b 、c ．56．（2011山东）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知cos 2cos 2cos A C c aB b --=．（I ）求sin sin CA的值；（II ）若1cos 4B =，2b =，ABC ∆的面积S ．57．（2011安徽）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a =3，b =2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高．58．（2010陕西）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？59．（2010江苏）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。

2012年高考文科数学解析分类汇编：三角函数(逐题详解)

2012年高考文科数学解析分类汇编：三角函数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））sin47sin17cos30cos17-（）A．2-B．12-C．12D．22 ．（2012年高考（浙江文））把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是3 ．（2012年高考（天津文））将函数()sin(0)f x xωω=>的图像向右平移4π个单位长度,所得图像经过点3(,0)4π,则ω的最小值是（）A．13B．1 C．53D．24 ．（2012年高考（四川文））如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使1AE=,连接EC、ED则sin CED∠=（）A B C D5 ．（2012年高考（上海文））在ABC∆中,若BA222sinsinsin<+（）A．钝角三角形. B．直角三角形. C．锐角三角形. D．不能确定.6 ．（2012年高考（陕西文））设向量a=(1.cosθ)与b=(-1, 2cosθ)垂直,则cos2θ等于A2B12C．0 D．-17 ．（2012年高考（山东文））函数2sin(09)63xy xππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为（）A．2B．0 C．-1 D．1--8 ．（2012年高考（辽宁文））已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则sin 2α= （）A ．-1B ．-C D ．19 ．（2012年高考（课标文））已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()s i n()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ=（）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π410．（2012年高考（江西文））若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan2α=（）A ．-34B ．34C ．-43D ．4311．（2012年高考（湖南文））在△ABC 中,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于（）A B 33C 36+D 12．（2012年高考（湖北文））设ABC ∆的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为（）A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶413．（2012年高考（广东文））(解三角形)在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC = （）A ．B ．CD 14．（2012年高考（福建文））函数()sin()4f x x π=-的图像的一条对称轴是（）A ．4x π=B ．2x π=C ．4x π=-D ．2x π=-15．（2012年高考（大纲文））已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin 2α= （）A ．2425-B ．1225-C ．1225 D ．242516．（2012年高考（大纲文））若函数[]()sin (0,2)3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数,则ϕ= （）A ．2π B ．23π C ．32π D ．53π17．（2012年高考（安徽文））要得到函数cos(21)y x =+的图象,只要将函数cos 2y x =的图象（）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位二、填空题18．（2012年高考（重庆文））设△ABC 的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且1cos 4a b C ==1，=2，,则sin B =____ 19．（2012年高考（陕西文））在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=6π则b=______ 20．（2012年高考（福建文））在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒,则AC =_______.21．（2012年高考（大纲文））当函数sin (02)y x x x π=≤<取最大值时,x =____.22．（2012年高考（北京文））在△ABC 中,若3a =,3b =3A π∠=,则C ∠的大小为___________.三、解答题23．（2012年高考（重庆文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)设函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,A ωπϕπ>>-<< )在6x π=处取得最大值2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为2π(I)求()f x 的解析式; (II)求函数426cos sin 1()()6x x g x f x π--=+的值域.24．（2012年高考（浙江文））在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且(1)求角B 的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c 的值.25．（2012年高考（天津文））在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的分别是,,a b c .已知2,,cos 4a c A ==-.(I)求sin C 和b 的值; (II)求cos(2)3A π+的值.26．（2012年高考（四川文））已知函数21()cossin cos 2222x x x f x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域;(Ⅱ)若()f α=求sin 2α的值.27．（2012年高考（上海文））海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为t 7.(1)当5.0=t 时,写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?28．（2012年高考（陕西文））函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π, (1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值.29．（2012年高考（山东文））(本小题满分12分)在△ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=. (Ⅰ)求证:,,a b c 成等比数列;(Ⅱ)若1,2a c ==,求△ABC 的面积S .30．（2012年高考（辽宁文））在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C成等差数列.(Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.31．（2012年高考（课标文））已知a ,b ,c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边,sin sin c C c A -. (Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若a =2,ABC ∆求b ,c .32．（2012年高考（江西文））△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求cosA;(2)若a=3,△ABC 的面积为22求b,c.33．（2012年高考（湖南文））已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.34．（2012年高考（湖北文））设函数22()sin cos cos ()f x x x x x x R ωωωωλ=+-+∈的图像关于直线x π=对称,其中,ωλ为常数,且1(,1)2ω∈ (1) 求函数()f x 的最小正周期; (2) 若()y f x =的图像经过点(,0)4π,求函数()f x 的值域.35．（2012年高考（广东文））(三角函数)已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+⎪⎝⎭,x ∈R ,且3f π⎛⎫⎪⎝⎭(Ⅰ)求A 的值;(Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.36．（2012年高考（福建文））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)2sin 13cos17sin13cos17︒+︒-︒︒ (2)2sin 15cos15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)2sin 18cos12sin18cos12︒+︒-︒︒ (4)2sin (18)cos48sin(18)cos48-︒+︒--︒︒ (5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.37．（2012年高考（大纲文））ABC ∆中,内角A.B.C 成等差数列,其对边,,a b c 满足223b ac =,求A .38．（2012年高考（北京文））已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递减区间.39．（2012年高考（安徽文））设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且有2s i n c o s s i n c o s c o s sB A AC A C =+ (Ⅰ)求角A 的大小;(II) 若2b =,1c =,D 为BC 的中点,求AD 的长.2012年高考文科数学解析分类汇编：三角函数参考答案一、选择题 1. 【答案】:C【解析】:sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用473017=+2. 【答案】A【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质,具体考查了在x 轴上的伸缩变换,在x 轴、y 轴上的平移变化,利用特殊点法判断图像的而变换. 【解析】由题意,y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即解析式为y=cosx+1,向左平移一个单位为y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos(x-1),利用特殊点,02π⎛⎫⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭,选A. 3. 【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ,因为此时函数过点)0,43(π,所以0)443(sin =-ππω,即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2,选D.4. [答案]B1010cos 1sin 10103ECED 2CD-EC ED CED cos 1CD 5CB AB EA EC 2AD AE ED 11AE ][22222222=∠-=∠=∙+=∠∴==++==+=∴=CED CED ）（，正方形的边长也为解析[点评]注意恒等式sin 2α+cos 2α=1的使用,需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.5. [解析] 由条件结合正弦定理,得222c b a <+,再由余弦定理,得0cos 2222<=-+abc b a C ,所以C 是钝角,选A.6. 解析:0a b ⋅=,212cos 0θ-+=,2cos 22cos 10θθ=-=,故选C.7. 解析:由90≤≤x 可知67363ππππ≤-≤-x ,可知]1,23[)36sin(-∈-ππx ,则2sin [63x y ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,则最大值与最小值之和为2答案应选A.8. 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=- 故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是中档题.【解析】由题设知,πω=544ππ-,∴ω=1,∴4πϕ+=2k ππ+(k Z ∈), ∴ϕ=4k ππ+(k Z ∈),∵0ϕπ<<,∴ϕ=4π,故选A.10. 【答案】B【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以cos α可得tan 3α=-,带入所求式可得结果. 11. 【答案】B【解析】设AB c =,在△ABC 中,由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅,即27422cos60c c =+-⨯⨯⨯,2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴=设BC 边上的高等于h ,由三角形面积公式11sin 22ABC S AB BC B BC h == ,知1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯ ,解得2h =. 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.12. D 【解析】因为,,a b c 为连续的三个正整数,且>>A B C ,可得a b c >>,所以2,1=+=+a c b c ①;又因为已知320cos =b a A ,所以3cos 20bA a=②.由余弦定理可得222cos 2+-=b c a A bc③,则由②③可得2223202b b c aa b c +-=④,联立①④,得2713600--=c c ,解得4=c 或157=-c (舍去),则6=a ,5=b .故由正弦定理可得,sin :sin :sin ::6:5:4==A B C a b c .故应选D.【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.13.解析:B.由正弦定理,可得sin 45sin60AC BC=︒︒,所以2AC == 14. 【答案】C【解析】把4x π=-代入后得到()1f x =-,因而对称轴为4x π=-,答案C 正确.【考点定位】此题主要考查三角函数的图像和性质,代值逆推是主要解法. 15.答案A【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用.【解析】因为α为第二象限角,故cos 0α<,而3sin 5α=,故4cos 5α==-,所以24sin 22sin cos 25ααα==-,故选答案A.16.答案C【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质,. 【解析】由[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈为偶函数可知,y 轴是函数()f x 图像的对称轴,而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得,故3(0)sin13()3322f k k k Z ϕϕπππϕπ==±⇒=+⇒=+∈,而[]0,2ϕπ∈,故0k =时,32πϕ=,故选答案C. 17. 【解析】选C cos 2cos(21)y x y x =→=+左+1,平移12二、填空题 18. 【答案】【解析】11,2,cos 4a b C ===,由余弦定理得22212cos 1421244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=,则2c =,即B C=,故sin B ==. 【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系式求出sin B 的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值.19.解析:由余弦定理得,2222cos 4b a c ac B =+-=,所以2b =. 20.【解析】由正弦定理得sin 45sin 60AC AC =⇒=︒︒【考点定位】本题考查三角形中的三角函数,正弦定理,考醒求解计算能力.21.答案:56π 【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点.【解析】由sin 2sin()3y x x x π==-由502333x x ππππ≤<⇔-≤-<可知22sin()23x π-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值,32x ππ-=时即56x π=取得最大值.22. 【答案】2π【解析】222cos 232b c a A c bc+-=⇒=而sin sin c a C A =,故sin 12C C π=⇒=. 【考点定位】本小题主要考查的是解三角形,所用方法并不唯一,对于正弦定理和余弦定理此二者会其一都可以得到最后的答案.三、解答题23. 【答案】:(Ⅰ)6πϕ=(Ⅱ)775[1,)(,]4422231cos 1(cos )22x x =+≠因2cos [0,1]x ∈,且21cos 2x ≠故()g x 的值域为775[1,)(,]44224. 【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理,考查考生对基知识、基本技能的掌握情况.【解析】(1) bsinA=acosB,由正弦定理可得sin sin cos B A A B =,即得tan B =3B π∴=.(2)sinC=2sinA,由正弦定理得2c a=,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,229422cos3a a a a π=+-⋅,解得a =2c a ∴==25.解:(1)在ABC ∆中,由cos A =,可得sin A =,又由s i n s i n a c A C =及2a =,c =可得sin 4C =由22222cos 20a b c bc A b b =+-⇒+-=,因为0b >,故解得1b =.所以sin 14C b == (2)由2cos 4A =-,sin 4A =,得23cos 22cos 14A A =-=-,7sin 2sin cos A A A ==所以321cos(2)cos 2cossin 2sin333A A A πππ-++=-=26. [解析](1)由已知,f(x)=212x cos 2x sin 2x cos2-- 21sinx 21cosx 121--+=）（）（4x cos 22π+= 所以f(x)的最小正周期为2π,值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22， (2)由(1)知,f(α)=，）（10234cos 22=+πα 所以cos(534=+πα). 所以）（）（42cos 22cos 2sin πααπα+-=+-=257251814cos 212=-=+-=）（πα, [点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想.27. [解](1)5.0=t 时,P 的横坐标x P =77=t,代入抛物线方程24912x y = 中,得P 的纵坐标y P =3 由|AP |=2949,得救援船速度的大小为949海里/时由tan∠OAP =30712327=+,得∠OAP =arctan 307,故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度(2)设救援船的时速为v 海里,经过t 小时追上失事船,此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ,整理得337)(1442122++=tt v因为2212≥+t t ,当且仅当t =1时等号成立,所以22253372144=+⨯≥v ,即25≥v .因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船28.29.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=,sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =,再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c 成等比数列.(II)若1,2a c ==,则22b ac ==,∴2223cos 24a cb B ac +-==,sin C ==,∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B ==⨯⨯=. 30. 【答案与解析】(1)由已知12=+,++=,=,cos =32B AC A B C B B ππ∴ (2)解法一:2=b ac ,由正弦定理得23sin sin =sin =4A CB 解法二:2=b ac ,222221+-+-=cos ==222a c b a c acB ac ac,由此得22+-=,a c ac ac 得=a c所以===3A B C π,3sin sin =4A C 【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.31. 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题.【解析】(Ⅰ)由sin sin c C c A =-及正弦定理得sin sin sin sin A C A C C -=由于sin 0C ≠,所以1sin()62A π-=, 又0A π<<,故3A π=.(Ⅱ) ABC ∆的面积S =1sin 2bc A 3故bc =4, 而 2222cos a b c bc A =+- 故22c b +=8,解得b c ==2. 法二:解: 已知:A c C a c cos sin 3⋅-⋅=,由正弦定理得:A C C A C cos sin sin sin 3sin ⋅-⋅=因0sin ≠C ,所以:A A cos sin 31-=,由公式:()⎪⎭⎫ ⎝⎛<=>++=+2,tan ,0sin cos sin 22πϕϕϕa b a x b a x b x a 得:216sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA , A 是∆的内角,所以66ππ=-A ,所以:3π=A(2) 1sin 42S bc A bc ==⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=解得:2b c ==32. 【解析】(1)3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=-=-+=--=-则1cos 3A =. (2) 由(1)得sin 3A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②,①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩. 33. 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上,所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即. 又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+ 从而，即=6πϕ.又点0,1（）在函数图像上,所以s i n 1,26A A π==,故函数f(x)的解析式为()2sin(2).6f x x π=+(Ⅱ)()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)2x x x =-sin 2x x =2sin(2),3x π=- 由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期1152(),1212T πππ=-=从而求得22Tπω==.再利用特殊点在图像上求出,A ϕ,从而求出f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ωϕ=+的单调性求得.34. 【解析】(1)因为22()sin cos cos cos 222sin(2)6f x x x x x x x πωωωωλωωλωλ=-++=-++=-+由直线x π=是()y f x =图像的一条对称轴,可得sin(2)16x πω-=±所以2()62x k k Z ππωπ-=+∈,即1()23k k Z ω=+∈又1(,1),2k Z ω∈∈,所以1k =时,56ω=,故()f x 的最小正周期是65π.(2)由()y f x =的图象过点(,0)4π,得()04f π=即52sin()2sin 26264πππλ=-⨯-=-=,即2λ=-故5()2sin()236f x x π=--函数()f x 的值域为[22,2.【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式2T πω=来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量x 的范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查.35.解析:(Ⅰ)1cos cos 34364f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2A =. (Ⅱ)4143042cos 42cos 2sin 3436217f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以15sin 17α=.212842cos 42cos 34365f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以4cos 5β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以8c o s n17α=,3sin 5β=,所以()8415313c o s c os c o s s i n s i n 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-. 36. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化的思想.解:(1)选择(2)式计算如下213sin 15cos15sin15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒= (2)证明:22sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-22sin (cos30cos sin30sin )sin (cos30cos sin30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=+++-22333sin cos 444αα=+= 37. 【命题意图】: 本试题主要考查了解三角形的运用.该试题从整体看保持了往年的解题格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路比较容易想,先利用等差数列得到角B ,然后利用正弦定理与三角求解运算得到答案.【解析】由A.B.C 成等差数列可得2B A C =+,而A B C π++=,故33B B ππ=⇒=且23C A π=- 而由223b ac=与正弦定理可得2222sin 3sin sin 2sin 3sin()sin 33B AC A A ππ=⇒⨯=- 所以可得232223(s 433A A Aππ⨯=-⇒+=⇒1cos 2121sin(2)262A A A π-+=⇒-=,由27023666A A ππππ<<⇒-<-<,故 266A ππ-=或5266A ππ-=,于是可得到6A π=或2A π=.38. 【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得非常容易入手.解:(1)由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈,故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈. 因为(s()sin x xxf x x-==2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos 21x x --=)14x π--,所以()f x 的最小正周期22T ππ==.(2)函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈.由3222,()242k x k x k k Z ππππππ+≤-≤+≠∈得37,()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递减区间为37[],()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 39. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈⇒+=>2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23A A π⇔=⇔=(II)2222222cos 2a b c bc A a b a c B π=+-⇔==+⇒=在Rt ABD ∆中,AD ===。

2012年高考真题汇编——文科数学(解析版)4：三角函数

2012高考试题分类汇编：4：三角函数一、选择题1.【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（A ）向左平移1个单位（B ）向右平移1个单位（C ）向左平移 12个单位（D ）向右平移12个单位【答案】C【解析】 cos 2cos(21)y x y x =→=+左+1，平移12。

2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4 【答案】A 【解析】因为4π=x 和45π=x 是函数图象中相邻的对称轴，所以2445T=-ππ，即ππ2,2==T T .又πωπ22==T ，所以1=ω，所以)sin()(ϕ+=x x f ，因为4π=x 是函数的对称轴所以ππϕπk +=+24，所以ππϕk +=4，因为πϕ<<0，所以4πϕ=，检验知此时45π=x 也为对称轴，所以选A. 3.【2012高考山东文8】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2 (B)0 (C)－1 (D)1-【答案】A【解析】因为90≤≤x ，所以6960ππ≤≤x ，369363πππππ-≤-≤-x ，即67363ππππ≤-≤-x ，所以当336πππ-=-x 时，最小值为3)3s i n(2-=-π，当236πππ=-x 时，最大值为22sin2=π，所以最大值与最小值之和为32-，选A.4.【2012高考全国文3】若函数()sin ([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ （A ）2π （B ）32π （C ）23π （D ）35π【答案】C【解析】函数)33sin(3sin )(ϕϕ+=+=x x x f ，因为函数)33sin()(ϕ+=x x f 为偶函数，所以ππϕk +=23，所以Z k k ∈+=,323ππϕ,又]2,0[πϕ∈，所以当0=k 时，23πϕ=，选C. 5.【2012高考全国文4】已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）2524【答案】B【解析】因为α为第二象限，所以0cos <α，即54sin 1cos 2-=--=αα，所以25125354cos sin 22sin -=⨯-==ααα，选B.6.【2012高考重庆文5】sin 47sin17cos30cos17-（A ）B ）12-（C ）12 （D【答案】C【解析】sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====，选C.7.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos （x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos （x-1)，利用特殊点,02π⎛⎫⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选A. 8.【2012高考上海文17】在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定【答案】A【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sin sin sin <+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abc b a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，选A.9.【2012高考四川文5】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（）（1）10B 、10C 、10D 、15【答案】B【解析】 2EB EA AB =+=，EC =3424EDC EDA ADC πππ∠=∠+∠=+=，由正弦定理得sin sin 5CED DC EDC CE ∠===∠，所以3sin sin sin 4CED EDC π∠=∠==10.【2012高考辽宁文6】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α= (A)-1 (B)(D) 1 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-∴-=∴=-故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。

文科数学2010-xxx高考真题分类训练专题四,,三角函数与解三角形第十二讲,解三角形—后附解析答案

文科数学2010-xxx高考真题分类训练专题四,,三角函数与解三角形第十二讲,解三角形—后附解析答案:xxx全国二卷文科数学真题专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形 xxx年 1. （全国Ⅱ文15）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________. 2.（xxx全国Ⅰ文11）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则= A．6 B．5 C．4 D．3 3.（xxx北京文15）在△ABC中，a=3，，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值． 4.（xxx全国三文18）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求B；（2）若为锐角三角形，且c=1，求面积的取值范围． 5.（xxx天津文16）在中，内角所对的边分别为.已知，. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值. 6.（xxx江苏15）在△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值． 7.（xxx浙江14）在中，，，，点在线段上，若，则____，________. 2010-xxx年一、选择题 1．(xxx全国卷Ⅱ)在中，，，，则A． B． C． D． 2．(xxx全国卷Ⅲ)的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则A． B． C． D． 3．（xxx新课标Ⅰ）的内角、、的对边分别为、、．已知，，，则=A． B． C． D． 4．（xxx 全国I）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，，，则= A． B． C．2 D．3 5．（xxx全国III）在中，，边上的高等于，则A． B． C． D． 6．（xxx 山东）中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则A= A． B． C． D． 7．(xxx 广东)设的内角的对边分别为，，．若，，，且，则A． B． C． D． 8．(xxx新课标2)钝角三角形的面积是，，，则= A．5 B． C．2 D．1 9．（xxx重庆）已知的内角，，满足= ，面积满足，记，，分别为，，所对的边，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 10．（xxx江西）在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是A．3 B． C． D． 11．（xxx四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于A． B． C． D． 12．（xxx新课标1）已知锐角的内角的对边分别为，，，，则A． B． C． D． 13．（xxx辽宁）在，内角所对的边长分别为．若，且，则=A． B． C． D． 14．（xxx天津）在△ABC中，则= A． B． C． D． 15．(xxx陕西)设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a,b,c,若,则△ABC的形状为 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 16．(2012广东)在中，若，则A． B． C． D． 17．（2011辽宁）的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则A． B． C． D． 18．（2011天津）如图，在△中，是边上的点，且，，则的值为A． B． C． D． 19．（2010湖南）在中，角所对的边长分别为．若，，则 A． B． C． D．与的大小关系不能确定二、填空题 20．(xxx全国卷Ⅰ)△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为__． 21．(xxx浙江)在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则=___________，=___________． 22．(xxx北京)若的面积为，且为钝角，则= ；的取值范围是． 23．(xxx江苏)在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为． 24．（xxx新课标Ⅱ）的内角,，的对边分别为，，，若，则 25．（xxx新课标Ⅲ）的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则=_______． 26．（xxx浙江）已知，，．点为延长线上一点，，连结，则的面积是_______，=_______． 27．（xxx全国Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则_____． 28．（xxx 北京）在△中，，则= _________． 29．(xxx重庆)设的内角的对边分别为，且，，，则=________． 30．（xxx安徽）在中，，，，则． 31．(xxx福建)若锐角的面积为，且，，则等于． 32．(xxx新课标1)在平面四边形中，，，则的取值范围是_______． 33．（xxx天津）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，，则的值为． 34．（xxx湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m． 35．（xxx新课标1）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高________． 36．（xxx广东）在中，角所对应的边分别为，已知，则． 37．（xxx安徽）设的内角所对边的长分别为．若，则则角_____． 38．（xxx福建）如图中，已知点D在BC边上，ADAC，，，，则的长为_______________． 39．（2012安徽）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是．①若；则②若；则③若；则④若；则⑤若；则 40．（2012北京）在中，若，则= ． 41．（2011新课标）中，，则AB+2BC的最大值为____． 42．（2011新课标）中，，则的面积为___． 43．（2010江苏）在锐角三角形，，，分别为内角，，所对的边长，，则=_______． 44．（2010山东）在中，角所对的边分别为，若，，则角的大小为．三、解答题 45．（xxx天津）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求角的大小； (2)设，，求和的值． 46．（xxx天津）在中，内角所对的边分别为．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值． 47．（xxx山东）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，求和． 48．（xxx新课标2）中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD面积是∆ADC面积的2倍．(Ⅰ)求；(Ⅱ) 若AD=1，DC=，求BD和AC的长． 49．（xxx新课标1）已知分别是内角的对边，．（Ⅰ）若，求（Ⅱ）若，且，求的面积． 50．（xxx山东）中，，，分别为内角，，所对的边长．已知，．（Ｉ）求的值；（II）求的面积． 51．（xxx安徽）设的内角所对边的长分别是，且，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值． 52．（xxx新课标1）如图，在中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．（Ⅰ）若PB=，求PA；（Ⅱ）若∠APB＝150°，求tan∠PBA． 53．（xxx新课标2）在内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求△面积的最大值． 54．（2012安徽）设的内角所对边的长分别为，且有．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ) 若，，为的中点，求的长． 55．（2012新课标）已知、、分别为三个内角、、的对边，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求、． 56．（2011山东）在中，，，分别为内角，，所对的边长．已知．（I）求的值；（II）若，，的面积． 57．（2011安徽）在中，，，分别为内角，，所对的边长，=， =，，求边BC上的高． 58．（2010陕西）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？ 59．（2010江苏）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=．（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。

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专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形一、选择题1．(2019年全国Ⅰ卷)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=A ．6B ．5C ．4D ．32．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos2=C 1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．3．(2018全国卷Ⅲ)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C = A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 4．（2017新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )B A C C +- 0=，2a =，c =C =A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π5．（2016全国I ）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3A =，则b =A B C ．2 D ．3 6．（2016全国III ）在ΔABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin A =A ．310B ．10C ．5D ．107．（2016山东）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-，则A =A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π68．(2015广东)设ΑΒC ∆的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =，且b c <，则b =A ．3 B． C ．2 D9．(2014新课标2)钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =A ．5 BC ．2D ．110．（2014重庆）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+，面积S 满足12S ≤≤，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是A ．8)(>+c b bc B．()ab a b +> C ．126≤≤abc D ．1224abc ≤≤ 11．（2014江西）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若2c =2()6a b -+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239 C ．233 D ．33 12．（2014四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75o，30o，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于A ．1)mB ．1)mC ．1)mD ．1)m13．（2013新课标1）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos A +cos20A =，7a =，6c =，则b =A ．10B ．9C ．8D ．514．（2013辽宁）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠=A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π15．（2013天津）在△ABC 中，,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠=A B C D 16．(2013陕西)设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定17．(2012广东)在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==，则AC =A ．B ．CD 18．（2011辽宁）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin cos a A B b A +=，则=abA ．B ．C D19．（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为CA B C D20．（2010湖南）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=o，c =，则A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定二、填空题21．(2019年全国Ⅱ卷)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin cos 0b A a B +=，则B =___．22．(2019年浙江卷)在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=___________．23．(2018全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为__．24．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =o ，则sin B =___________，c =___________．25．(2018北京)若ABC △222)a c b +-，且C ∠为钝角，则B ∠= ；ca的取值范围是．26．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．27．（2017新课标Ⅱ）ABC ∆的内角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B =28．（2017新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知60C =o，b =3c =，则A =_______．29．（2017浙江）已知ABC ∆，4AB AC ==，2BC =．点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结CD ，则BDC ∆的面积是_______，cos BDC ∠=_______．30．（2016全国Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =， 5cos 13C =，1a =，则b =_____．31．（2015北京）在△ABC 中，23,3a b A π==∠=，则B ∠= _________． 32．(2015重庆)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =，1cos 4C =-，3sin 2sin A B =，则c =________．33．（2015安徽）在ABC ∆中，6=AB ，ο75=∠A ，ο45=∠B ，则=AC ．34．(2015福建)若锐角ABC ∆的面积为5AB =，8AC =，则BC 等于．35．(2015新课标1)在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=o，2BC =，则AB 的取值范围是_______．36．（2015天津）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为．37．（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30o的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75o的方向上，仰角为30o，则此山的高度CD =m ．38．（2014新课标1）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN =________m ．CNABM39．（2014广东）在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知cos b C +cos 2c B b =，则=ba． 40．（2013安徽）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ．若2b c a +=，则3sin 5sin ,A B =则角C =_____．41．（2013福建）如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，2sin 3BAC ∠=， 32AB =3AD =，则BD 的长为_______________．ABC42．（2012安徽）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是．①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>43．（2012北京）在ABC ∆中，若12,7,cos 4a b c B =+==-，则b = ．44．（2011新课标）ABC ∆中，60,B AC =︒=，则AB +2BC 的最大值为____．45．（2011新课标）ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_ __． 46．（2010江苏）在锐角三角形ABC ，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C CA B+=_______．47．（2010山东）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a b ==，sin cos B B +=A 的大小为．三、解答题48．(2019年全国Ⅲ卷)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． (1)求B ；(2)若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．49．(2019年天津卷)在∆ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2+=b c a ，3sin 4sin =c B a C ．(Ⅰ)求cos B 的值； (Ⅱ)求sin(2)6π+B 的值． 50．(2019年江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．(1)若3=a c ，=b 2cos 3=B ，求c 的值； (2)若sin cos 2=A B a b ，求sin()2π+B 的值． 51．(2019年北京卷)在∆ABC 中，3=a ，–2=b c ，1cos 2=-B ． (Ⅰ)求b ，c 的值； (Ⅱ)求sin()+BC 的值．52．(2018天津)在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-． (1)求角B 的大小；(2)设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．53．（2017天津）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--．（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求sin(2)B A -的值．54．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，6AB AC ⋅=-u u u r u u u r，3ABC S ∆=，求A 和a ．55．（2015新课标2）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．(Ⅰ)求sin sin BC；(Ⅱ) 若AD =1，DC ，求BD 和AC 的长． 56．（2015新课标1）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（Ⅰ）若a b =，求cos ;B（Ⅱ）若90B =o ，且a =ABC ∆的面积．57．（2014山东）ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知3a =，cos ,32A B A π==+．（Ｉ）求b 的值；（II ）求ABC ∆的面积．58．（2014安徽）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3b =，1c =，2A B =．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求sin()4A π+的值．59．（2013新课标1）如图，在ABC ∆中，∠ABC ＝90°，AB ，BC =1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°．（Ⅰ）若PB =12，求P A ；（Ⅱ）若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．60．（2013新课标2）ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =，求△ABC 面积的最大值．61．（2012安徽）设ABC ∆的内角C B A ,,所对边的长分别为,,,c b a ，且有2sin cos B A =sin cos cos sin A C A C +．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ) 若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长．62．（2012新课标）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，cos a C +3sin 0a C b c --=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2=a ，ABC ∆的面积为3，求b 、c ．63．（2011山东）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知cos 2cos 2cos A C c aB b --=．（I ）求sin sin CA的值；（II ）若1cos 4B =，2b =，ABC ∆的面积S ．64．（2011安徽）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a 3，b 2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高．65．（2010陕西）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距(533海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距3海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？66．（2010江苏）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h =4m ，仰角∠ABE =α，∠ADE =β．Hh dβαDB C（1）该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。

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