矩估计ppt课件
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矩法的优点是简便易行，在使用矩法时，不需要 事先知道总体的分布类型.
它的缺点是：在总体的分布类型已知的情况下， 没有充分利用分布提供的信息.
一般情况下，矩估计量不具唯一性.
9
例 已知总体X 服从参数为λ的指数分布，即
ex ,
X ~ f (x) 0,
x0 x0
其中λ是未知参数，求λ的矩估计量.
p未知，(1)求 p 的矩估计量；
(2)求
p q
p 1 p
的矩估计量.
解 总体一阶原点矩 EX 1 EX mp
样本一阶原点矩
A1
1 n
n i 1
X
1
i
X
用样本一阶原点矩 估计总体一阶原点矩，令
X mpˆ , 解得 pˆ 1 X 是p 的矩估计量.
m
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例 已知总体X 服从二项分布 B(m, p)，其中m已知,
p未知，(1)求 p 的矩估计量；
(2)求 p p 的矩估计量.
q 1 p
解 pˆ 1 X 是p 的矩估计量.
m
g( p) p 1 p
g( pˆ )
pˆ 1 pˆ
1X m 1 1 X
X m X
是 p 的矩估计量.
m
q
6
例
已知总体X
有密度函数
X ~ f (x)
随机变量的矩 1.原点矩
设X是随机变量，对于自然数 k, 如果 E X k 存在，则称 EX k 为随机变量 X 的 k 阶原点矩. 当 k 1时,1阶原点矩就是 EX 当 k 2时,2阶原点矩是 EX 2
1
2.中心矩 设X是随机变量，对于自然数 k, 如果 EX k
存在，则 E X EX k 也存在.
1 i
X
样本k阶中心矩
1 n
k
Bk n i1 X i X ,
k 2,3,...
1 n
B2 n i1
Xi X
2
S02
3
矩估计的基本思想是： 用相应的样本矩 去估计总体矩； 用相应的样本矩的函数 去估计总体矩的函数.
4
例 已知总体X 服从二项分布 B(m, p)，其中m已知,
6
x(
3
x)
,
0,
0 x 其它
其中θ是未知参数，X1, X2,..., Xn 是来自X的一个 样本. 求θ的矩估计量 ˆ
解 总体一阶原点矩
EX 1 EX
x f ( x)dx
0
x
6
x(
3
x)
dx
6
3
(
0
x2
x3 )dx
EX 1 EX x f ( x)dx
2
样本一阶原点矩: A1 X
用样本一阶原点矩 估计总体一阶原点矩，令
X ˆ , 解得
2
ˆ
2X
2 n
n i 1
Xi
是θ的矩估计量.
8
矩法是K.Pearson在十九世纪提出的，其原理 可由格列汶科定理得到：当n很大时，样本各阶矩 与总体各阶矩很靠近.
解 总体一阶原点矩 EX 1 EX 1
用样本一阶原点矩 估计总体一阶原点矩，令
A1
X
1 n
n i 1
Xi
1
ˆ
解得
ˆ
1 X
1 n
1
n
i 1
Xi
是λ的矩估计量.
10
例 已知总体X 服从参数为λ的指数分布，即
ex ,
X ~ f (x) 0,
x0 x0
称 E( X EX )k 为随机变量 X 的 k 阶中心矩. 当 k 2时,2阶中心矩 E( X EX )2 DX
2
设总体X，X1, X2,..., Xn 是来自 X的一个样本.
样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
,
k 1,2,...
A1
1 n
n i 1
X
6
3
x3
3
x4 4
0
6
3
4
3
4
4
2
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例
已知总体X
有密度函数
X ~ f (x)
6
x(
3
x)
,
0,
0 x 其它
其中θ是未知参数，X1, X2,..., Xn 是来自X的一个
样本. 求θ的矩估计量 ˆ
解 总体一阶原点矩:
其中λ是未知参数，求λ的矩估计量.
解 ˆ 1 是λ的矩估计量.
X
另一方面，总体二阶中心矩为E( X
EX
)2
DX
1
2
用样本二阶中心矩 估计总体二阶中心矩，即令
1 n
B2 n i1
Xi X
2
S02
1
ˆ 2
解得 ˆ
1 B2
也是λ的矩估计量. 11
它的缺点是：在总体的分布类型已知的情况下， 没有充分利用分布提供的信息.
一般情况下，矩估计量不具唯一性.
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例 已知总体X 服从参数为λ的指数分布，即
ex ,
X ~ f (x) 0,
x0 x0
其中λ是未知参数，求λ的矩估计量.
p未知，(1)求 p 的矩估计量；
(2)求
p q
p 1 p
的矩估计量.
解 总体一阶原点矩 EX 1 EX mp
样本一阶原点矩
A1
1 n
n i 1
X
1
i
X
用样本一阶原点矩 估计总体一阶原点矩，令
X mpˆ , 解得 pˆ 1 X 是p 的矩估计量.
m
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例 已知总体X 服从二项分布 B(m, p)，其中m已知,
p未知，(1)求 p 的矩估计量；
(2)求 p p 的矩估计量.
q 1 p
解 pˆ 1 X 是p 的矩估计量.
m
g( p) p 1 p
g( pˆ )
pˆ 1 pˆ
1X m 1 1 X
X m X
是 p 的矩估计量.
m
q
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例
已知总体X
有密度函数
X ~ f (x)
随机变量的矩 1.原点矩
设X是随机变量，对于自然数 k, 如果 E X k 存在，则称 EX k 为随机变量 X 的 k 阶原点矩. 当 k 1时,1阶原点矩就是 EX 当 k 2时,2阶原点矩是 EX 2
1
2.中心矩 设X是随机变量，对于自然数 k, 如果 EX k
存在，则 E X EX k 也存在.
1 i
X
样本k阶中心矩
1 n
k
Bk n i1 X i X ,
k 2,3,...
1 n
B2 n i1
Xi X
2
S02
3
矩估计的基本思想是： 用相应的样本矩 去估计总体矩； 用相应的样本矩的函数 去估计总体矩的函数.
4
例 已知总体X 服从二项分布 B(m, p)，其中m已知,
6
x(
3
x)
,
0,
0 x 其它
其中θ是未知参数，X1, X2,..., Xn 是来自X的一个 样本. 求θ的矩估计量 ˆ
解 总体一阶原点矩
EX 1 EX
x f ( x)dx
0
x
6
x(
3
x)
dx
6
3
(
0
x2
x3 )dx
EX 1 EX x f ( x)dx
2
样本一阶原点矩: A1 X
用样本一阶原点矩 估计总体一阶原点矩，令
X ˆ , 解得
2
ˆ
2X
2 n
n i 1
Xi
是θ的矩估计量.
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矩法是K.Pearson在十九世纪提出的，其原理 可由格列汶科定理得到：当n很大时，样本各阶矩 与总体各阶矩很靠近.
解 总体一阶原点矩 EX 1 EX 1
用样本一阶原点矩 估计总体一阶原点矩，令
A1
X
1 n
n i 1
Xi
1
ˆ
解得
ˆ
1 X
1 n
1
n
i 1
Xi
是λ的矩估计量.
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例 已知总体X 服从参数为λ的指数分布，即
ex ,
X ~ f (x) 0,
x0 x0
称 E( X EX )k 为随机变量 X 的 k 阶中心矩. 当 k 2时,2阶中心矩 E( X EX )2 DX
2
设总体X，X1, X2,..., Xn 是来自 X的一个样本.
样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
,
k 1,2,...
A1
1 n
n i 1
X
6
3
x3
3
x4 4
0
6
3
4
3
4
4
2
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例
已知总体X
有密度函数
X ~ f (x)
6
x(
3
x)
,
0,
0 x 其它
其中θ是未知参数，X1, X2,..., Xn 是来自X的一个
样本. 求θ的矩估计量 ˆ
解 总体一阶原点矩:
其中λ是未知参数，求λ的矩估计量.
解 ˆ 1 是λ的矩估计量.
X
另一方面，总体二阶中心矩为E( X
EX
)2
DX
1
2
用样本二阶中心矩 估计总体二阶中心矩，即令
1 n
B2 n i1
Xi X
2
S02
1
ˆ 2
解得 ˆ
1 B2
也是λ的矩估计量. 11