奥数第二讲数的整除.doc

奥数第二讲数的整除

如果整数a除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a能被b整除，或叫b能整除如果a能被b整除，那么，b叫做a的因数，a叫做b的倍数。

数的整除的特征：

（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0, 那么这个整数一定能被2整除。

（2）能被3 （或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3 （或9）整除，那么这个整数一定能被3 （或9）整除。

（3）能被 4 （或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被 4 （或25）整除，那么这个数就一定能被4 （或25）整除。

（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除。

（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除, 那么这个数就一定能被6整除。

（6）能被7 （或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是。或是7 （或11或13）的倍数，这个数就能被7 （或11或13）整除。

（7）能被8 （或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8 （或125）整除，那么这个数就一定能被8 （或125）整除。

（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。

一、例题与方法指导

例1、下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？（数的整除特征）

88205, 167128, 250894, 396500,

675696, 796842, 805532, 75778885。

例2、一个六位数23Q56口是88的倍数，这个数除以88所得的商是或

思路导航:

一个数如果是88的倍数，这个数必然既是8的倍数，又是11的倍数.根据8 的倍数，它的末三位数肯定也是8的倍数，从而可知这个六位数个位上的数是0 或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是。或11的倍数，从已知的四个数看, 这个六位数奇偶位上数字的和是相等的，要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的，因此这个六位数有两种可.能

23回56回或23贸56国

又230560-88=2620

238568-88=2711

所以,本题的答案是2620或2711.

例3、123456789口口，这个十一位数能被36整除，那么这个数的个位上的数最小是・

思路导航:

因另36=9x4,所以这个-^一位数既能被9整除乂能被4整除因为1+2+… +9=45,

由能被9整除的数的特征，(可知口+□之和是0 (0+0)、9 (1+8, 8+1, 2+7, 7+2, 3+6,

6+3, 4+5, 5+4)和18 (9+9) .再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4

的倍数，可知□□是00,04,…，36,…，72, -96.这样, 这个^一位数个位上有0, 2, 6

三种可能性.

所以,这个数的个位上的数最小是0.

例4、下面一个1983位数33・・・3口44・・・4中间漏写了一个数字(方框),已

就个^1^个

知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是・

思路导航:

991个991个

二妲二px 10993+3Q4X 10"°+44—4

990个990个

因为111111能被7整除，所以芝二3和44^4都能被7整除，所以只要

990个990个

3口4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方椎内的数字是6.

例5、有三个连续的两位数，它们的和也是两位数，并旦是11的倍数.这三个数是.

思路导航:

三个连续的两位数其和必是3的倍数，已知其和是11的倍数，而3与11互质, 所以和是33的倍数，能被33整除的两位数只有3个，它们是33、66、99.所以有

当和为33时,三个数是10, 11, 12；

当和为66时，三个数是21, 22, 23；

当和为99肘,三个数是32, 33, 34.

所以，答案为10, 11, 12 或21, 22, 23 或32, 33, 34。

［注］“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：

设三个连续自然数为n, /Hl, *2,则

77+(77+1) + (774-2)

二3/H3

=3(/Hl)

所以，〃 + (〃 + 1) + (〃 + 2)能被3整除

二、巩固训练

1.有这样的两位数，它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1 的数，它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是—.

2.一个小于200的自然数，它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积，那么这个自然数是・

3.任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和，用B表示A的各位数字之和，。表示3的各位数字之和，那么C是・

4.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果

把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是.

1.118

符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除，而且比这个两位数大1的数, 如果十位数不变，则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:39、79.

所以，所求的和是39+79=118.

2.195

因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且15xl5=225>200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数，但11不可能符合条件，因为对于小于200的自然数凡11的倍数，具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数，十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13x13=169不合要求,13x15=195适合要求.所以，答案应是195.

3.9

根据题意，两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.

因为3456=384x9,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除，根据能

被9整除的数的特征，可知其积的各位数字之和A也能被9整除所以4有以下八

种可能取值：9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72.从而，的各位数字之和B总是9, &的各位

数字之和。也总是9.