11.2第1课时 正弦定理(1)-(新教材)苏教版(2019)高中数学必修第二册课件
苏教版高中数学必修五1.1正弦定理(一).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第1章解三角形 §1.1 正弦定理(一)课时目标 1.熟记正弦定理的内容；2.能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝______，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝________，bc＝_______________________________.3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即______，这个比值是________________．一、填空题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于________．2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为____________．3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 的形状为________________． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为________． 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于______________． 6．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝___________________________.7．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.8．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.9．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于________．二、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况．A为锐角a<b sin A a＝b sin A b sin A<a<b a≥b无解一解(直角) 两解(一锐角，一钝角) 一解(锐角)A为直角或钝角a≤b a≤b无解一解(锐角)§1.1正弦定理(一)答案知识梳理1．π 2.sin A sin B 4.asin A＝bsin B＝csin C三角形外接圆的直径2R作业设计1．1∶3∶2 2．2 6解析由正弦定理asin A＝bsin B，得4sin 45°＝bsin 60°，∴b＝2 6.3．直角三角形解析sin2A＝sin2B＋sin2C⇔(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．4．A>B解析由sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.5．45°解析由asin A＝bsin B得sin B＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22.∵a>b，∴A>B，B<60°∴B＝45°.6．75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°. 7.102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.8．1解析 由正弦定理，得3sin 2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.9．30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin (A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 10．120°解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin (180°－30°－C)＝3sin (30°＋C)＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C.∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．解 a ＝23，b ＝6，a<b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a>b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 13.π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin (π4＋B)＝ 2.∴sin (π4＋B)＝1.又0<B<π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12. 又a<b ，∴A<B ，∴A ＝π6.14．解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C<90°， 即⎩⎪⎨⎪⎧B<90°，2B<90°，180°－3B<90°，∴30°<B<45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2Bsin B＝2cos B ∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．。
高一数学苏教版课件：余弦定理、正弦定理的应用
A，B两点之间的距离（精确到1m）.
重点探究
解：在△ADC中，∠ADC=85°，∠ACD=47°，则∠DAC=48°.
又DC=100m，由正弦定理，得 =
∙∠
∠
=
°
°
≈ . （m）
30 2
sin ACB
sin 45
3
10 6
3
，在 Rt
PCB
中， PCB 90 。 PBC 30 ，则
（m）所以建筑物的高度为10 6 m.故答案为：10
6
随堂练习
6．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即 A，B 两点间的距离），现取与 A，B 两
点在同一平面内的两点 C，D，测得 C，D 间的距离为 1500 米，ADB 135 ，BDC DCA 15 ，ACB 120 ，
PB 2
30( 6 2)
6 2
4
，由正弦定理得： sin 30 sin15 ，
树的高度为 PB sin 45 30 (
6 2)
2
(30 30 3)
2
(m).故选：A．
，
随堂练习
2．已知轮船 A 和轮船 B 同时从 C 岛出发， A 船沿北偏东 30 的方向航行， B 船沿正北方向航行
. ( )所以AB≈57(m)
答：A，B两点之间的距离约为57m.
探究新知
核心知识点：二
高度问题
类型一：底部可达
如图，测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝
a·
tan C.
探究新知
类型二：底部不可达
第一种情况：点B与C，D共线
江苏省高中数学必修五 正弦定理1
四队中学教案纸 （备课人： 吴利霞 学科： 高二数学 ）备课时间教学课题教时计划1教学课时 1教学 目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程；2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；重点 难点 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
教学过程 一、问题情境在直角三角形中的边角关系是怎样的？这种关系在任意三角形中也成立吗？ 二、互动探究 1．正弦定理的推导（1）在直角三角形中：c a A =sin ,1sin ,sin ==C CBB ， 即 =c A a sin ，=c B b sin ，=cC c sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin能否推广到斜三角形？ （2）斜三角形中证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111sin sin sin 222ABCS ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b cA B C==． 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D∴R CD D aA a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，Cc sin R 2=证明三：（向量法）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abcOB CAD。
新教材苏教版必修第二册第11章解三角形112第1课时正弦定理1课件1
∴sin(B－C)＝0． 又－90°<B－C<90°， ∴B－C＝0，∴B＝C， ∴△ABC 是等腰直角三角形．
(变条件)将本例题条件“sin A＝2sin Bcos C，且 sin2A＝sin2B＋ sin2C”改为“b＝acos C”，其它条件不变，试判断△ABC 的形状．
[解] ∵b＝acos C， 由正弦定理，得 sin B＝sin Acos C．(*) ∵B＝π－(A＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则 sin
A∶sin B∶sin C 等于( )
A．6∶5∶4
B．7∶5∶3
C．3∶5∶7
D．4∶5∶6
1234 5
B [∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴b＋4 c＝c＋5 a＝a＋6 b． 令b＋4 c＝c＋5 a＝a＋6 b＝k(k>0)，
类型 2 用正弦定理解三角形
【例 2】 已知△ABC 中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角 B，
边 b，c． [解] ∵A＝30°，C＝45°， ∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 又由正弦定理得：c＝assiinnAC＝10 2． b＝assiinnAB＝10s·isnin3100°5°＝20sin(60°＋45°)＝5( 6＋ 2)． ∴B＝105°，b＝5( 6＋ 2)，c＝10 2．
第11章 解三角形
11.2 正弦定理 第1课时 正弦定理(1)
学习任务
核心素养
1．通过对任意三角形边长和角度 1．通过对正弦定理的推导及应
关系的探索，掌握正弦定理的内容 用正弦定理判断三角形的形状，
及其证明．(难点)
培养逻辑推理的核心素养．
2．能运用正弦定理与三角形内角 2．借助利用正弦定理求解三角
苏教版高中数学11.2正弦定理课件(28张)
【答案】
3 2
.
【详解】如图，
分别取 AB ， AC 的中点 D ， E ，连接OD ，OE ，则 AB OA AB 1 AB 1 c2 ； AC OA AC 1 AC 1 b2 ，因为
2
2
2
2
，设 cos B AB cosC AC 2OA
sin C
sin B
ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得 a b c 2R ，所以两边同 sin A sin B sin C
2
2
c cos B b cosC 2R
c
a2
c2 b2 2ac
b
a2
b2 c2 2ab
2 R
a 2R
.故答案为： . a sin A sin 3
3
2R
32
2
随堂练习
9．在
ABC
中，
A
0
π 2
，b
m．分别根据下列条件，求边长
a
的取值范围．
(1) ABC 有一解；
又 ，所以 ， ，则 mn sin 2C
sin 2C 2sin Ccos C sin C
0Cπ
sin C 0
所以cosC 1 ．又0 C π ，所以C π ；
2
3
（2）由已知sin Asin B 2sin C 及正弦定理得2c a b ．
因为CA AB AC CACB 18 ，所以 abcosC 18 ，所以 ab 36 ．
(2) ABC 有两解；
(3) ABC 无解．
随堂练习
【详解】（1）由正弦定理
a sin A
b sin B
可得，sin
B
b sin a
高中数学：正弦定理、余弦定理及应用教案苏教版必修
教案：高中数学——正弦定理、余弦定理及应用教案编写者：教学目标：1. 理解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 掌握正弦定理、余弦定理的应用方法；3. 能够运用正弦定理、余弦定理解决实际问题。
教学重点：1. 正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 正弦定理、余弦定理的应用方法。
教学难点：1. 正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备PPT、教案、例题及练习题；2. 学生准备笔记本、文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生回顾正弦、余弦函数的定义及图像；2. 提问：如何利用三角函数解决几何问题？引出正弦定理、余弦定理的学习。
二、正弦定理（15分钟）1. 讲解正弦定理的定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；2. 解释正弦定理的几何意义：三角形任意一边的长度等于这一边所对角的正弦值乘以对边的长度；3. 举例说明正弦定理的应用方法，如已知三角形两边和一边的对角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握正弦定理的应用。
三、余弦定理（15分钟）1. 讲解余弦定理的定义：在一个三角形中，各边的平方和等于两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍；2. 解释余弦定理的几何意义：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍；3. 举例说明余弦定理的应用方法，如已知三角形两边和它们的夹角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握余弦定理的应用。
四、应用练习（15分钟）1. 给学生发放练习题，要求学生在纸上完成；2. 学生在纸上完成练习题，教师巡回指导；3. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
1. 回顾本节课学习的正弦定理、余弦定理的定义及应用；2. 强调正弦定理、余弦定理在解决几何问题中的重要性；3. 提醒学生课后复习巩固，做好预习准备。
教学反思：本节课通过讲解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义，让学生掌握了这两个重要定理的应用方法。
苏教版数学必修五1《正弦定理》ppt课件
步，下结论．
栏
(1)若所得值不在(0，1]内，则此三角形不存在．
目 链
接
(2)若所得值在(0，1]内，①若是特殊角的三角函数值，
求出所对应的角，注意用∠A＋∠B<180°判断解的
个数；②若所求角的三角函数值不是特殊值，则利用
单位圆中的三角ห้องสมุดไป่ตู้数线判断解的个数．
典例解析
栏 目 链
接
题型1 利用正弦定理解三角形
苏教版数学必修五
1．1 正弦定理
情景导入
栏 目 链
接
在雷达兵的训练中，有一个项目叫“捉鬼”(战士语)，即准确
地发现敌台的位置．在该项目训练中，追寻方的安排都是两
个小组作为一个基本单位去执行任务，用战士的话说就是两
条线(即两台探测器分别探出了敌台的方向)一交叉就把敌人给 栏
叉出来了，想藏想跑，门都没有．其实这里面不仅仅是两线
栏
目
当 C＝π3 时，B＝51π2 ，b＝assiinnAB＝ 3＋1；
链 接
当 C＝2π3 时，B＝π12，b＝assiinnAB＝ 3－1.
题型2 利用正弦定理进行边角转换题
例 3 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a
＝2bsin A，求角 B.
解析：由正弦定理sina
c＝sina A·sin C＝sin 425°·sin 15°＝
6－ 2
2 .
＝25( 6＋ 2)．
名师点评：已知三角形两边和其中一边的对角解三角 形时的方法．
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边 对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为
苏教版高中数学必修五正弦定理、余弦定理.docx
正弦定理、余弦定理一、知识回顾1.三角形内角和：2.正弦定理： ；变形① ； 变形② ；变形③ .3.余弦定理： ； 变形 .4.三角形面积公式：二、基础练习1.在△ABC 中,AB=4,BC=3,AC=37,则△ABC 中最大角的大小为2.在△ABC 中,BC=3,AC=2,A=3π,则B= 3.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则cosC=4.在△ABC 中,若b=1,c=3,C=32π,则S △ABC = 5.一艘船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°,行驶4h 后,船到达C 处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为 km.6.在△ABC 中, 内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.(1)若c=2,C=3π,且△ABC 的面积S=3,求a,b 的值. (2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC 的形状.7.设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且()C a A c b cos 3cos 32=-. (1)求角A 的大小;(2)若角B=6π,边BC 上的中线AM 的长为7,求△ABC 的面积.三、巩固练习1.在△ABC 中,若A=60°,B=75°,c=6，则a=2.在△ABC 中,B=6π,AC=1,AB=3,则边BC 的长度为 3.在△ABC 中, A=60°,b=1,3=∆ABC S ,则=++C B c b sin sin 4.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若sinA=3sinC,B=30°,b=2,则边c=5.在△ABC 中,若其面积S=()22241a c b -+,则A= 6.在△ABC 中,A=45°,cosB=54. (1)求cosC 的值;(2)若BC=10,D为AB的中点,求CD的长.。
11.2正弦定理(第1课时)(课件)高一数学(苏教版2019必修第二册)
c
b c sin B
B
a
b
c
sin A sin B
sin C 1
a
b
c
sin A sin B sin C
结论:对于直角三角形，结论也成立
a
b
C
数学证明
在钝角三角形中
证明：作AD垂直BC于点D，则
A
sin =
, sin ∠ = sin ∠
∴ = sin
=
=
数学建构
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
即
a
b
c
sin A sin B sin C
正弦定理是揭示三角形边、角之间数量关系的重要公式。
数学应用
例1. 在△ABC中，已知A=600，C=450，c=1，解三角形.
解：
A 60 , C 45, c 1
=
∴
sin
=
sin
c
= sin ∠
∴ b sin = sin
即同理可证
D
sin
=
sin
结论:对于钝角三角形，结论也成立
b
B
a
C
2、正弦定理的用法
活动体验
(多选)下列哪些条件可以直接使用正弦定理来解三角形？答案： (1)(2)
(1)
��
=
=
(2)
=
=
(3)
高中数学苏教版必修第二册第十一章《正弦定理(1)》示范公开课教学课件
C
在中, ，，，若有两解， 则的取值范围为( )． A. B. C. 2 D.
解：因为有两解，所以，即，得2故选C．
B
解：由正弦定理，可得，即，故或．由，得，所以，故，由勾股定理得．故选B．
对于钝角三角形（2），锐角三角形（3），上述结论还成立吗？
在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比等于其外接圆的直径．
A
在中，已知，，，则 ( )．A. B. C. D.
解，因为，所以 .故选A．
相关公式
正弦定理的应用
正弦定理
已知两角与任一边，解三角形．（解是唯一确定的）
已知两边与其中一边的对角，解三角形．（需判断三角形解的个数）
变式
实现边与角的正弦互换．
教材92页练习第1-4题．
判断正误并说明理由？
正弦定理的公式正弦定理的应用．
判断依据
பைடு நூலகம்
正弦定理适用于任意三角形．
根据正弦定理可知， ，而不是 ；
因为，故此三角形有两个解．
根据正弦定理可知，当三角形确定时，则各边与其所对的角的正弦的比值是定值．
如图，在中，，，，求，（精确到）．
解：∵，，∴∵，∴．．因此，，的长分别为和．
向量方法
如图在中，、、的长分别为、、．则：，两边同时平方，得，即，．
这节课我们继续探索三角形的边角关系．
在中，不妨设为最大角，过点作于点，与的夹角为．∴即，，①
∵，
当为锐角时，，当为直角时，，当为钝角时，．
当为锐角或直角时，，当为钝角时，．即，无论为锐角、直角或钝角，都有．
（2）当为直角或钝角时，同理可得当时，无解；当时，一个解．
a
综上可得：若为锐角时， ；若为直角或钝角时，．
1正弦定理(1)-【新】苏教版高中数学必修第二册PPT全文课件
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1第1课时正弦定理(1)-【新】苏教版 高中数 学必修 第二册P PT全文 课件【 完美课 件】
18
·
情
课
景
[解] ∵A＝30°，C＝45°，
堂
导
小
学 探
∴B＝180°－(A＋C)＝105°，
·
结 提
新
素
知
又由正弦定理得：c＝assiinnAC＝10 2.
养
合
作
课
探 究
b＝assiinnAB＝10s·isnin3100°5°＝20sin(60°＋45°)＝5( 6＋ 2)．
C，
堂 小 结
·
探 新
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
提 素
知
养
∴A 是直角，B＋C＝90°，
合
作
∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，
探
课 时
究
释 疑
∴sin
B＝
2 2.
分 层 作 业
难
∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，
·
情
课
景 导
第11章 解三角形
堂 小
学
结
·
探
提
新 知
11.2 正弦定理
素 养
合 作
第1课时 正弦定理(1)
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
2
·
情
学习目标
核心素养
课
景 导
1.通过对任意三角形边长和角
苏教版高中数学必修五教案正弦定理
课题：11.1 正弦定理教学目标：(1)掌握正弦定理及其证明,会初步运用正弦定理解斜三角形,培养数学应用意识; (2)在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力;(3)提供适当的问题情境,激发学生的学习热情,培养学生学习数学的兴趣;在合作学习中,学会学习,学会交流,相互评价,提高学生的合作意识与交流能力. 教学重点：正弦定理及其证明过程 教学难点：正弦定理的推导与证明 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：几何画板 教学过程： 一.问题情境引言：从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量,从大禹治水到都江堰的修建,从天文观测 到精密仪器的制造,人们都离不开对几何图形的测量,设计和计算.测量河流两岸码头之间的 距离,确定待建隧道的长度,确定卫星的角度与高度等等问题,都可以转化为求三角形的边与 角的问题,这就需要我们进一步探索三角形的边角关系. 探索1:在Rt △ABC,C=900,那么边角之间有哪些关系? sinA=c a ,sinB=c b,sinC=cc =1,…… 即c=A a sin ,c=B b sin ,c=C csin ． ∴A a sin =B b sin =Ccsin 探索2:在任意三角形里, A a sin =B b sin =Ccsin 还成立吗? (几何画板演示) 二.学生活动 数学实验:分组一:对于锐角三角形验证结论是否成立?c b a DBA C分组二:对于钝角三角形验证结论是否成立?数学猜想:A a sin =B b sin =Ccsin ; 三.建构数学:数学证明: 证法一:证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin证明三：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD Da A a 2sin sin ===同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R 证明四：（向量法）探索活动3:观察正弦定理的结构,看它有什么特点?你能用语言把它叙述出来吗?定理中的正弦改成余弦,结论还成立吗?正弦定理具有结构和谐,对称,体现了数学的和谐美与对称美; 若改成余弦,除正三角形外,其余三角形都不成立.探索活动4:这个式子包含了哪些等式?每个等式有几个量?它可以解决斜三角形中的哪些类型的问题?三个等式:A a sin =B b sin ,B b sin =C c sin ,A a sin =Ccsin ; 每个式子中有四个量,如果知道其中三个可以求出第四个? 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:(原因是三角形全等的判定定理) ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b ababab a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAAC B ACB1ABACB2CHHH⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a四.数学运用：例1 :在△ABC 中,A=300,C=1000,a=10,求b,c注:这是已知两角以及其中一角的对边,求另一角对边,方法:直接用正弦定理. 例2:在△ABC 中:(1)已知a=16,b=26,A=300,求B,C,c; (2)已知a=30,b=26,A=300,求B,C,c; (3)已知a=25,b=11,B=300,解这个三角形;注:这是已知两边以及其中一边的对角,求另一边对角,方法:直接用正弦定理,注意比较确 定几解. 五.巩固练习： 1 P9 练习2在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) A2R B R C4R D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)3△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( )A 直角三角形B 等腰直角三角形C 等边三角形D 等腰三角形p 六.回顾小结本节课通过自己的努力发现并证明了正弦定理，我们经历了数学实验→数学猜想→数学证明的科学治学历程,得到了正弦定理,其表达式具有和谐性,对称性的特点.通过本节课的学习,我们应该感受到数学的确是一个神奇的世界,不同的人可以用不同的方法去解决相同的问题,一个人也可以用不同的方法解决同一个问题,只要你肯探索并善于探索,总会有丰厚的回报.七.课后作业八.教后感:。
苏教版高中数学必修五正弦定理教案(1)(1)
让学生学会学习听课随笔第3课时正弦定理知识网络⎪⎩⎪⎨⎧解的个数的判定平面几何中某些问题判断三角形状正弦定理的应用学习要求1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形； 2．熟记正弦定理及其变形形式； 3．判断△ＡＢＣ的形状. 【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===CcB b A a sin sin sin R 2, 2R sin sin sin sin sin a b a b cA B A B C±±±==±±±R 为ABC ∆的_______________2．三角形的面积公式：（1）s=_______=_______=_______ （2）s=__________________ （3）s=____________ 【精典范例】【例1】在△ＡＢＣ中，已知A a cos ＝Bbcos ＝C ccos ，试判断△ＡＢＣ的形状． 【解】点评: 通过正弦定理，可以实现边角互化．【例2】在△ＡＢＣ中，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，用正弦定理证明AC AB ＝DCBD． 【证】【例3】根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数．（1）5a =，4b =，120A =︒，求B ； （2）5a =，4b =，90A =︒，求B ； （3）106a =，203b =，45A =︒，求B ；（4）202a =，203b =，45A =︒，求B ； （5）4a =，103b =，60A =︒，求B ． 【解】追踪训练一 1. 在△ABC 中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 （ ） A.无解 B.一解 C.两解 D.解的个数不能确定让学生学会学习听课随笔 2. 在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ）A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 2 3. 在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是（ ）A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形 【选修延伸】【例4】如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求2211OM ON+的最大值和最小值． 【解】追踪训练二1.在ABC ∆中，::4:1:1A B C =，则::a b c = ( )A ．4:1:1B ．2:1:1C 2D 3 2.在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且15a b c ++=，则a = ，b = ， c = ．3.已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为( )CDB阳光地面A.75°D.455．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(1-2k )∶3k (k≠0)，则k 的取值范围为 ( )A ．(2，＋∞)B ．(61，41)C ．)0,21(-D ．),21(+∞6．在△ABC 中， 证明：2222112cos 2cos ba b B a A -=-.【师生互动】学生质疑教师释疑。
新教材2020-2021学年数学苏教版(2019)必修第二册课件：11.2 正弦定理
【补偿训练】 1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b= ( )
A.4 2
B.4 3C.4 6D. Nhomakorabea23
【解析】选C.A=180°-B-C=45°,由正弦定理 a = , b
sin A sin B
得b=asinB = 8sin60. =4 6
sin A sin 45
2.在△ABC中,A=60°,sin B= ,1a=3,求三角形中其他边与角的大小.
sin A sin 60
sin A sin 60
类型二 已知两边及其中一边的对角解三角形(数学运算)
【典例】在△ABC中,已知c= 6 ,A=45°,a=2,解这个三角形.
四步
内容
理解 条件:已知三角形的两边及一边对角 题意 结论:求该三角形的其他边与角
思路 利用正弦定理求出sin C的值,再解其他元素,注意三角形解的个 探求 数.
【解题策略】已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值; (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法 则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角; (3)如果已知的角为小边所对的角,不能判断另一边所对的角为锐角时,这时由 正弦值可求出两个角,要分类讨论.
提示: (1)×.正弦定理是适用于任何三角形的.
(2)√.在△ABC中,若sin A=sin B,由正弦定理得 =a ,故ba=b,则A=B.
2R 2R
(3)√.在△ABC中,若A>B,则a>b,由正弦定理得2Rsin A>2Rsin B,所以
sin A>sin B.
2.在△ABC中,a=3,b=5,sin A= 1 ,则sin B= ( )
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探 究
都对应 CD．初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会
时 分
层
释
疑 思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
作 业
难
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·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
素
知
[跟进训练]
养
合 作
1．在△ABC 中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边 c.
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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小 结
·
探 新
[证明]
知
一点，
合
作
探
究
释 疑 难
如图，过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，D 是 BA 延长线上
提 素
养
课 时 分 层 作 业
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13
·
根据正弦函数的定义知：
情
课
景 导 学
CbD＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，CaD＝sin B．
·
堂 小 结
探
提
新
∴CD＝bsin A＝asin B．
作
课
探 究
又∵A，C∈(0，π)，
时 分
层
释 疑 难
∴cos A＝0，A＝π2，即△ABC 是直角三角形．
作 业
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31
·
情
课
景
堂
导
利用正弦定理判断三角形形状的两种途径
小
学
结
·
探 新
1．利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、
提 素
知 配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
[解] 由三角形内角和定理知 A＋B＋C＝180°，
·
情
课
景
所以 A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
堂
导
小
学
探 新
由正弦定理sina A＝sinc C，
·
结
提 素
知
养
合 作
得
c＝a·ssiinn
CA＝5×ssiinn13005°°＝5×sin
60°＋45° sin 30°
时
究 另外一个．
分 层
释
作
疑
业
难
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情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
素
知
[跟进训练]
养
合 作
2．已知 B＝30°，b＝ 2，c＝2，求 A，C，a.
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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21
·
情 景
[解]
由正弦定理得：sin
C＝c·sbin
B＝2sin 30°＝ 2
22，
课 堂
导 学
∵c>b,0°<C<180°，
提 素
知
养
[解] ∵b＝acos C，
合
作
课
探
由正弦定理，得
时
究
分
层
释 疑
sin B＝sin Acos C．(*)
作 业
难
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30
·
情 景
∵B＝π－(A＋C)，
课 堂
导
小
学
∴sin B＝sin(A＋C)，从而(*)式变为
·
结
探
提
新 知
sin(A＋C)＝sin Acos C．
素 养
合
∴cos Asin C＝0.
·
结 提
新
素
知 在 Rt△BCD 中，BC＝BD·sin∠BDC，所以 a＝
养
合 作 探
2Rsin A，即sina A＝2R，同理sinb B＝2R，sinc C＝
究
课 时 分
层
释 疑 难
2R，所以sina A＝sinb B＝sinc C＝2R.
作 业
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24
·
情
课
景 导
2．根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型
时 分 层
释
作
疑 难
∴B＝105°，b＝5( 6＋ 2)，c＝10 2.
业
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·
情
课
景
堂
导
Байду номын сангаас
小
学
结
探 新
正弦定理实际上是三个等式：sina A＝sinb B，sinb B＝sinc C，sina A＝
·
提 素
知
养
合 作
c sin
C，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求
课
探
·
提
新
素
知
∴sin(B－C)＝0.
养
合 作
又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，
课
探
时
究
∴△ABC 是等腰直角三角形．
分 层
释
作
疑
业
难
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29
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情
课
景
堂
导 学
(变条件)将本例题条件“sin A＝2sin Bcos C，且 sin2A＝sin2B＋
小 结
·
探 新
sin2C”改为“b＝acos C”其它条件不变，试判断△ABC 的形状．
小
学
结
·
探
提
新 知
合
课堂
小结
提素
养
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探 新 知
1．正弦定理的表示形式：sina
A＝sinb
B＝sinc
C＝2R，或
a＝ksin
A，
提 素 养
合 b＝ksin B，c＝ksin C(k＞0)．
作
课
探 究
时
2．正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．② 分
提 素
知
养
＋sin2C，试判断△ABC 的形状.
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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26
[解] 法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得sina A＝sinb B＝
情
课
景 导 学
c sin
C，
堂 小 结
·
探 新
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
提 素
知
养
∴A 是直角，B＋C＝90°，
合
作
课
探 角为边，转化为代数问题来解决．
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
11.2第1课时 正弦定理(1)-(新教材)苏教版（2019 ）高中 数学必 修第二 册课件 【精品 】
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11.2第1课时 正弦定理(1)-(新教材)苏教版（2019 ）高中 数学必 修第二 册课件 【精品 】
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情
课
景 导
1．在△ABC 中，若 sin A>sin B，则有( )
小 结
·
探 新
∴C＝45°或 135°.
提 素
知
养
当 C＝45°时，A＝105°，
合
作 探 究
a＝bssiinnBA＝ 2ssinin3100°5°＝ 3＋1，
课 时 分
层
释 疑
当 C＝135°时，A＝15°，
作 业
难
a＝bssiinnBA＝ s2isnin301°5°＝ 3－1.
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22
三角形形状的判断
合
作
∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，
探
课 时
究
释 疑
∴sin
B＝
2 2.
分 层 作 业
难
∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，
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∴△ABC 是等腰直角三角形．
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·
情
课
景 导
法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，
堂 小
学
结
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提
新
素
知
应用正弦定理可以解两类三角形：
养
合 作
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
课
探
时
究
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.
分 层
释
作
疑
业
难
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情
课
景
堂
导 学
探
1．在△ABC 中，下列式子与sina A的值相等的是( )