初高中数学衔接精讲精练(全集共4课时)
韦达定理及其应用课件-2022年初高衔接数学
方法总结
当 = −1时，
方程为 2 − 16 + 5 = 0，∆> 0满足题意；
当 = 17时，
方程为 2 + 30 + 293 = 0，
∆= 302 −4 × 1 × 293 < 0 ，不满足题意，
所以舍去；
综上所述： 的值为−1.
点拨精讲
变式探究2：
已知1 和2 一元二次方程4 2 − 4 + + 1 = 0的
则有
−± 2 −4
，
2
−+ 2 −4
−− 2 −4
−2
1 + 2 =
+
=
=− ；
2
2
2
−+ 2 −4 −− 2 −4
2 −( 2 −4)
1 ∙ 2 =
∙
=
2
2
42
4
= 2= ；
4
知识梳理
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
因此这两个数是−2和6.
总结提炼
本节课重点研究了一元二次方程韦达定理的
综合应用，能够利用韦达定理求一些与实数根有
关代数式的值，并能够利用根的情况逆向构造所
需要的一元二次方程，这种思想的渗透与领悟希
望大家细细品味，学会用数学的眼光思考世界！
项系数为1）是 2 −(1 + 2 ) + 1 ∙ 2 = 0.
点拨精讲
探究一：已知方程求代数式的值
例1、 若1 和2 分别是一元二次方程2 2
＋5－3＝0的两根，试求下列各式的值：
（1）(1 − 5)(2 − 5)
（2）|1 − 2 |
人教版高一数学A必修1全册例题讲解及练习题(65页)
（i）若 a = 0 时，得 N = Æ ，此时， N Í M ；
（ii）若 a ¹ 0 时，得 N
1 ={ }.
若N
ÍM
,满足 1
= 2或 1
= -3 ，解得 a =
1 或a = - 1 .
a
a
a
2
3
故所求实数 a 的值为 0 或 1 或 - 1 . 23
点评：在考察“ A Í B ”这一关系时，不要忘记“ Æ ” ，因为 A = Æ 时存在 A Í B . 从而需要分情况讨
第 1～27 练 答案 …………………………（55～65）
《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲
第一章 集合与函数概念
第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示
¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用 数集及其记法、集合元素的三个特征.
A ¹Ì B（或 B ¹É A）.
4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作 Æ ，并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质： A Í A ；若 A Í B ， B Í C ，则 A Í C ；
若 A I B = A ，则 A Í B ；若 A U B = A ，则 B Í A .
={x |
x
=
2n +1,n 2
Î Z} ，易知
B ¹Ì
A，故答案选
A．
{ } 【例 3】若集合 M = x | x2 + x - 6 = 0 , N = {x | ax - 1 = 0} ，且 N Í M ，求实数 a 的值.
2021-2022学年新高一数学暑期衔接讲义-第3讲 不等式的进阶——一元二次不等式(解析版)
进门测试建议5min①关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且一个大于1，一个小于1，求m 的范围； ②关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且在内，求m 的范围；③关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且在[1，3]之外，求m 的范围；④关于x 的二次方程mx 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且一个大于4，一个小于4，求m 的范围． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 课堂导入建议10min柯西柯西1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职．由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒．他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方．精讲精练214m <-2755m -<≤-214m <-19013m -<<[0,1]2=++x px【解析】由px q x+≥对于一切实数q≥①, q=-2p-26.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离． 在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N *)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜814＜s 2＜17.（1）求n 的值；（2）要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？【答案】（1）n=6，（2）60 km/h【解析】(1)依题意得⎩⎨⎧6＜40n 100＋1 600400＜814＜70n 100＋4 900400＜17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜1052＜n ＜9514，又n ∈N *，所以n ＝6.(2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5 040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.7. 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． （1）若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； （2）若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．【解析】（1）当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，解集为{x |－1＜x ＜2}． （2）由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .温故知新建议15min课后巩固1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
初高中衔接课程(10)
目录课程说明 (2)使用说明 (3)第一讲基本运算问题 (4)第二讲方程与方程组 (14)第三讲一次函数与反比例函数 (24)第四讲二次函数 (35)第五讲不等式 (46)第六讲函数的综合应用 (58)第七讲三角形与四边形 (70)第八讲锐角三角函数 (79)第九讲圆 (79)第十讲高中数学常见的思想方法 (79)课程说明课程名称初高中数学衔接课程课程定位关注初高中数学教材编排特点；关注初高中学生的思维发展水平；总体课程目标通过本课程的学习，能够起到以下效果：一、弥补基础知识的不足，夯实学习高中数学的良好基础．二、训练运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力．三、初步掌握高中数学思想方法，形成良好的学习习惯．课程适用区域（省或直辖市）适用使用新课标教学的地区课程研发理念和思路高中数学难，难就难在初高中数学无论是在知识的广度和难度上，还是在思维模式和学习方法上，都存在较大的差异，形成了一个“高台阶”．特别在新一轮课程改革后，初中数学的教学要求有所降低，有些学习高中数学所必须具备的基础知识、常用方法和基本能力，在初中的教材中都进行了淡化处理，有的甚至不做要求．《初高中数学衔接课程》旨在帮助即将进入高中的学生弥补知识储备的漏洞，掌握基本的数学思想方法，形成良好学习习惯，提振学习信心，闯过高中数学的第一道坎．主要内容编号课题课程容量第一讲基本运算问题120分钟第二讲方程与方程组120分钟第三讲一次函数与反比例函120分钟第四讲二次函数120分钟第五讲不等式120分钟第六讲函数的综合应用120分钟第七讲三角形与四边形120分钟第八讲锐角三角函数120分钟第九讲圆120分钟第十讲高中数学常见的思想方法120分钟使用说明本课程适合在即将学习高中数学课程的初中毕业生中使用．共分十讲，每讲安排有教学目标、重难点提示、基础知识梳理、主要方法归纳、典型例题精讲和课后巩固练习等栏目．无论在小组课还是一对一授课过程中，老师都可以进行二次开发，更需要根据学生的具体情况进行个性化处理，让我们共同成为精品课程的开发者．第10讲高中数学常见的思想方法教学内容方法一配方法我们知道，在数学运算中，a a =+0，a a =⨯1，即给任何一个数学式加上0或乘以1仍然等于这个数学式．这就告诉我们，对一个数学式进行加上0，或者乘以1的转换是等价转换．我们还知道，0=-b b ，)0(1≠=c cc，即0可以表示为任意一个数自身相减，1可以表示为任意一个不为零的数自身相除．于是有，b b a a -+=，)0(≠=c caca ．从形式上看，我们将数学式a 化为b b a -+或)0(≠c cac使数学式化繁了，但是，如果当这种“化繁”后能使问题更加明朗，并最终能化简问题，解决问题，那这种化繁是必要的．同时，正是因为我们习惯于化简，而是这种化繁的方法更具有技巧性．例如，设31=--c a c b ，则=--c b ba ． 将cb b a --化为cb c b c a ----)()(，代数式化繁了，但问题却已明朗了． 在处理数学问题的过程中，根据解题需要通过“配”与“凑”这种重要的等价转换手段，使问题趋于明朗，并顺利获解的解题方法，称为配凑法．运用配凑法的目的是使问题获解，因而合理的配凑应该能使我们更好地利用题设条件和已有的知识储备，更加接近我们所需要的结论．课时数量 2课时（120分钟）适用的学生水平☐优秀 ☐中等 ☐基础较差教学目标帮助学生初步把握常见的数学解题的通法，抓住配方法、换元法、待定系数法、图像法的本质，为科学有效地学习高中数学做准备．通过典型例题的分析，常规方法的总结，有限习题的训练，形成相对固定的解题思维链，获取解答无限同类问题的智慧．教学重点、难点 重点：理解数学方法的本质，有效运用所学方法解决问题 难点：方法的选择与灵活运用 建议教学方法讲练结合√很多情况下，我们需要将一个数学式配出一个完全平方式来，再利用完全平方式的性质找到已知和未知的联系，使问题得到解决．例如，我们研究函数xx x f 1)(+=在0>x 时的最小值． 当0>x 时，22)1(1)(22+-+=+=xx x x x f ＝2)1(2+-xx ≥2．∴当1=x 时，21=)(=)(min f x f ． 这里就是配凑出完全平方式后利用2)1(xx -≥0的性质得出结论的．这种将数学式配凑出完全平方式的方法，称为配方法．配方法是特殊的配凑法．配方法的基本依据是完全平方公式．常见的配方可以分成为下面两类： （1）形如ab a 22+的二次式的配方．很明显，在这种情形下，可以通过加上并且减去平方项2b ，把它配成一个完全平方与另一项的和（或差），即222222)(22b b a b b ab a ab a -+=-++=+．其实，一般一元二次三项式c bx ax ++2的配方就是这种类型的配方．.442]442[]2222[222222222a b ac a b x a a b ac a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++这种形式的配方应用比较广泛．在初中我们曾用此法导出一元二次方程c bx ax ++2＝0的求根公式．作二次函数=y c bx ax ++2的图象和求它的极值时，也都是这样进行配方的．（2）形如22b a +的二次式的配方．这个二次式是两个单项式的平方和，所以只要加上并且减去这两个单项式乘积的两倍，就可以把它配成一个完全平方与另一项的和（或差），即ab b a ab b ab a b a 2)(2222222-+=-++=+；或ab b a ab b ab a b a 2)(2222222+-=++-=+． 这种形式的配方，在解某些问题中也常要用到．方法二 图像法利用图像这种特殊且形象的数学语言工具，来表达各种现象的过程和规律，这种方法称为图像法．数形结合思想：是应用客观事物中数与形的对应关系，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，①寻求解题的切入点②简化解题过程③转换命题④验证结论的正确与完整；数形结合的思想就是利用图形进行思维简缩，对选择、填空题的求解住住能大大简化思维过程，争取解题时间；数形结合往往借助：①函数与图像的对应关系②方程与曲线的对应关系③以几何元素，几何条件建立的概念。
第九讲 充分必要条件(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第九讲充分必要条件（精讲）（解析版）【知识点透析】一：充分条件与必要条件的概念命题真假若“p ，则q ”为真命题“若p ，则q ”为假命题推出关系p ⇒qp ⇏q条件关系p 是q 的充分条件q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件q 不是p 的必要条件【注意】（1）前提p ⇒q ，有方向，条件在前，结论在后；（2）p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；（3）改变说法：“p 是q 的充分条件”还可以换成q 的一个充分条件是p ；“q 是p 的必要条件”还可以换成“p 的一个必要条件是q 二、充分条件、必要条件与集合的关系A ⊆B p 是q 的充分条件q 是p 的必要条件A B p 是q 的不充分条件q 是p 的不必要条件B ⊆A q 是p 的充分条件p 是q 的必要条件B A q 是p 的不充分条件p 是q 的不必要条件充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；三、充要条件的概念一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q .此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件.【知识点精讲】题型一充分条件与必要条件的判断【例题1】（2023·山东威海高一期末）2x =是260x x +-=的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先2026x x x +-⇒==，其次2260x x x +-==⇔或3x =-，则2260x x x +-==⇒，所以：2x =是260x x +-=的充分不必要条件，故选A.【例题2】（2022·广东·化州市第三中学高一期末）已知命题p ：x 为自然数，命题q ：x 为整数，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两个命题中的x 取值范围，分析是否能得到p ⇒q 和q ⇒p ．【详解】若x 为自然数，则它必为整数，即p ⇒q ．【例题3】（2022春•山西太原高一期中）已知非零复数a ，b ，那么“2a ab =”是“a b =”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】①若0a =，1b =时，满足2a ab =，但a b =不成立，∴充分性不成立，②若a b =时，则2a ab =，∴必要性成立，2a ab ∴=是a b =的必要不充分条件，故选B．【例题4】．（2022·河南安阳高一课时检测）设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件的一个电路图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义，逐项分析判断作答.【详解】对于A，若开关A 闭合，则灯泡B 亮，而开关A 不闭合C 闭合，灯泡B 也亮，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件；对于B，灯泡B 亮当且仅当开关A 闭合，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充要条件；对于C，开关A 闭合，灯泡B 不一定亮，而开关A 不闭合，灯泡B 一定不亮，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件；对于D，开关A 闭合与否，只要开关C 闭合，灯泡B 就亮，“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件．故选：C【例题5】（2023·江苏高一专题检测）若命题:2p x >；命题2:320q x x -+>，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】．A【解析】命题:2p x >．由命题2:320q x x -+>，解得：命题:{|1q x x <或2}x >．p q ∴⇒．即p 是q 的充分不必要条件．故选：A【例题6】．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））已知x ∈R ，则“31x -<”是“260x x --+<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例题7】（2022·甘肃景泰二中高一课时检测）使不等式成立的一个充分不必要条件是）A ．0x <B ．0x ≥C ．{3,5}D ．35x ≤【答案】A 【解析】由－5x ＋3≥0，得{x |x ≤35}，只有选项A 中x 的范围为其真子集.故选：A.【例题8】（2022·湖北武汉高一课时检测）伟人毛泽东的《清平乐•六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁.不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】．B【解析】解：设p ⌝为不到长城，推出q ⌝非好汉，即p q ⌝⇒⌝，则q p ⇒，即好汉⇒到长城，故“到长城”是“好汉”的必要条件，故选：B ．【例题9】（2022·江苏高一专题检测）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】．A【解析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A ，B ，C ，D ，由甲是乙的充分不必要条件得，B A ⇒由乙是丙的充要条件得，C B ⇒，由丁是丙的必要不充分条件得，DC ⇒所以DA ⇒，故甲是丁的充分不必要条件.故选：A.【变式1】（2022·陕西榆林高一期末）下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是()A ．若两个角是对顶角，则两个角相等B ．若5x >，则10x >C ．若ac bc =，则a b =D ．若x y +是偶数，则x ，y 都是偶数【答案】A【解析】对于A ，对顶角相等，正确；对于B ，若5x >，则10x >，错误；对于C ，若ac bc =，则a b =条件是0c ≠，故C 错误；对于D ，x ，y 是奇数x y +是偶数，故D 不是充要条件．故选A．【变式2】（2022·广东佛山市·高二期末）已知x ∈R ，则“2x =-”是“2560x x -->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】解：不等式2560x x -->即为：1)60()(x x -+>，解得：1x <-或6x >，因为()()2,16,-∈-∞-+∞ 可知：“2x =-”是“2560x x -->”的充分不必要条件．故选：A ．【变式3】．（2022·河北张家口高二期末）已知,a b 为实数，则“22a b >”是“330a b >>”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分与必要条件的定义，结合不等式的性质判断即可【详解】当2,1a b =-=时，2222(2)411a b =-=>==，而3381a b =-<=，所以22a b >成立不是330a b >>成立的充分条件；因为330a b >>，所以0a b >>，所以22a b >，所以22a b >成立是330a b >>成立的必要而不充分条件.故选：B.题型二充分条件与必要条件的应用【例题10】（2023·山东青岛高三专题模拟）已知p :1x >或2x <-，q :x a >，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A．{}2a a <-B．{}2a a >-C．{}21a a -<≤D．{}1a a ≥【答案】D【解析】设p 表示的集合为{|1A x x =>或}2x <-，q 表示的集合为{}|B x x a =>，由q 是p 的充分不必要条件，可得B 是A 的真子集，利用数轴作图如下：所以1a ≥，故选：D.【例题11】．（2023·江苏无锡高三专题模拟）已知p 2>，q ：0m x -<，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A ．3m <B ．3m >C ．5m <D ．5m >【例题12】．（2022·长沙市南雅中学高二月考）已知集合{}2680A x x x =-+<，()(){}10B x x a x a =---<，若x A ∈是x B ∈的必要条件，则a 的取值范围是（）A ．()2,3B ．[]2,3C ．()(),23,-∞+∞D ．(][),23,-∞⋃+∞【答案】．B【解析】由{}{}268024A x x x x x =-+<=<<，1a a +> ，{}1B x a x a ∴=<<+，若x A ∈是x B ∈的必要条件，则必有B 是A 的真子集；142a a +≤⎧∴⎨≥⎩，23a ≤≤；故答案选：B【例题13】．（2022·新疆师范大学附属中学高二阶段练习（文））已知条件p ：x a >，条件q ：1>02xx -+．若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的最大值是________．【答案】2-【分析】利用不等式的解法化简q ，根据必要不充分条件即可得出范围，进而求出最值．【变式1】．（2023·湖北省孝感市第一高级中学高一开学考试）已知p ：2x a +<，q ：x a ≥，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≤-B ．1a <-C ．1a ≥D ．1a >【答案】．A由||2x a +<可得22a x a --<<-∴p ：22a x a--<<-又p 是q 的充分不必要条件，且q ：x a ≥，∴2a a --≥∴1a ≤-【变式2】．（2022·云南曲靖高一课时检测）已知命题2:320p x x -+≤，命题22:440q x x m -+-≤．若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,)+∞C ．{0}D ．(,1][1,)-∞-+∞ 【答案】．D2:320p x x -+≤，12x ≤≤，22:440q x x m -+-≤，22m x m -≤≤+，p 是q 的充分不必要条件，则2122m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，1m ≥，∴1m ≤-或m 1≥．故选：D．【变式3】．（2023·江苏省海头高级中学高一月考）设全集U =R ，集合2{|650}A x x x =-+-≥，集合{|122}B x a x a =--≤≤-.（1）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】．（1）7a ≥；（2）13a <.【解析】解不等式2650x x -+-≥可化为2650x x -+≤，解得15x ≤≤，所以{|15}A x x =≤≤（1）因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，所以A B ⊆，所以12125a a --≤⎧⎨-≥⎩，解得7a ≥，所以实数a 的取值范围是7a ≥；（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，所以B A ⊆.当B =∅时，122a a -->-，解得13a <；当B ≠∅时，所以12125212a a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥--⎩，无解.综上，实数a 的取值范围是13a <.题型三充分性与必要性的证明【例3】（2022·河北保定高一课时检测）已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-．【答案】见解析【解析】证明必要性：因为1a b +=，所以10a b +-=．所以()()()33222222a b ab a b a b a ab baab b ++--=+-+--+()()221a b a ab b =+--+0=．证明充分性：因为33220a b ab a b ++--=，即()()2210a b a ab b+--+=，又0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠．因为22223024b a ab b a b ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以10a b +-=，即1a b +=．综上可得当0ab ≠时，1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=．【变式】（2023·云南曲靖高一课时检测）求证：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1的充要条件是0a b c ++=．【答案】证明见解析【解析】充分性：0a b c ++= ，c a b ∴=--，代入方程20ax bx c ++=得20ax bx a b +--=，即()()10x ax a b -++=．∴关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1；必要性： 方程20ax bx c ++=有一个根为1，1x ∴=满足方程20ax bx c ++=，2110a b c ∴⨯+⨯+=，即0a b c ++=．故关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1的充要条件是0a b c ++=．。
4.5 函数的应用(二)(精练)-2022版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册)(教师版含解析)
4.5 函数的应用(二)【题组一 零点的求解】1.若函数()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3,则函数()21g x bx ax =--的零点是A ．1-和16 B ．1和16- C ．12和13 D ．12-【答案】B 【解析】函数()2f x x ax b=-+的两个零点是2和3, 由函数的零点与方程根的关系知方程2=x ax b -+的两根为2和3.结合根与系数的关系得2323a b +=⎧⎨⨯=⎩,即56a b =⎧⎨=⎩, ∴()2651g x x x =--,∴g (x )的零点为1和16-,故选B.2．(2020·北京高一期中)已知函数21ln ()xf x x-=，那么方程f (x )＝0的解是( ) A ．1=x eB ．x ＝1C ．x ＝eD ．x ＝1或x ＝e【答案】C【解析】依题意()21ln 0xf x x-==，所以1ln 0,ln 1,x x x e -===.故选：C 3.(2020年广东湛江)若函数()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3,则函数()21g x bx ax =--的零点是A ．1-和16 B ．1和16- C ．12和13 D ．12-【答案】B 【解析】函数()2f x x ax b=-+的两个零点是2和3, 由函数的零点与方程根的关系知方程2=x ax b -+的两根为2和3.结合根与系数的关系得2323a b +=⎧⎨⨯=⎩,即56a b =⎧⎨=⎩, ∴()2651g x x x =--,∴g (x )的零点为1和16-,故选B.【题组二 零点区间的判断】1．(2020·浙江高一课时练习)在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为( )A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩,所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 2．(2020·浙江高一课时练习)设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00,x y ，则0x 所在的区间是( )A ．0,1B ．1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】因为根据题意可知,当x=1时，则23102x x -⎛⎫< ⎪⎝⎭-,而当x=2时，则23102x x -⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故选B.3.(2020天津高一期中)在下列个区间中，存在着函数3()239f x x x =--的零点的区间是( ) A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】C 【解析】由()()1239100,2166910f f =--=-=--=.由零点存在定理知函数()3239f x x x =--在()1,2上必有零点。
专题03 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(解析版) 初升高数学无忧衔接(沪教版2020)
热身练习
一、单选题
1．（2020·河北邯郸市·高一开学考试）抛物线 y x2 bx c 图象向右平移 3 个单位再向下平移 4 个单位，
所得图象的解析式为 y x2 2x 2 ，则 b 、 c 的值为（ ）
A． b 4 ， c 9
【答案】A
B． b 4 ， c 9 C． b 4 ， c 9
又 b 1，所以 b 2a ，代入得 a 2a +c>0 ，
2a 所以 3a c 0 成立，故②正确； 当 x 1 时， y 0 ，所以 a+b+c 0 ，即 a+c b ，
又 a+c>b ，所以 a+c2 b2 0 ，故③正确；
对称轴是 x 1 ，当 x 1 时，有最小值 a+b+c ， 所以 a+b+c am2 +bm+c ，所以 a b m(am b) ，故④正确，
综上得结论正确的是②③④， 故选：C. 【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，属于基础题.
知识精讲
一、二次函数图像的伸缩变换 问题 函数 y＝ax2 与 y＝x2 的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出 y＝2x2，y＝ 1 x2，y＝－2x2 的图象，通过这些函数图象与函数 y＝x2 2
，得
，故 正确，
故选：C． 例 2.下列说法错误的是( ) A．二次函数 y=－2x2 中，当 x=0 时，y 有最大值是 0 B．二次函数 y=4x2 中，当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大 C．在三条抛物线 y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2 中，y=2x2 的图象开口最大，y=－x2 的图象开口最小 D．不论 a 是正数还是负数，抛物线 y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点 【答案】C 【解析】 A、a=-2＜0，抛物线开口向下，当 x=0 时，y 有最大值是 0，故该选项正确； B、二次函数 y=4x2 中，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，故该选正确； C、因为|2|＞|-1|＞|-0.5|，所以，y=2x2 的图象开口最小，y=-0.5x2 的图象开口最大，故该选错误； D、不论 a 是正数还是负数，抛物线 y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点，故该选正确． 故选 C．
2013高中数学精讲精练(新人教A版)第09章_圆锥曲线
2012高中数学精讲精练第九章圆锥曲线【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。
而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。
研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。
它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。
高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程第1课 椭圆A【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是2.椭圆1422=+y x 的离心率为233.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是221164x y += 4. 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为544k k ==-或 【范例导析】 例1.（1）求经过点35(,)22-，且229445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
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（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
a 0 2 b 4ac 0 （2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立 a 0 2 b 4ac 0
(2)x 13 x 36
2
解 : (1)x 2 7 x 6 [ x ( 1)][ x ( 6)] ( x 1)( x 6). (2)x 2 13 x 36 ( x 4)( x 9).
2014年8月25日星期一
三、十字相乘法
2．一般二次三项式 ax 2 bx c 型的因式分解
数学学科的基本要求
一、遵守课堂纪律； 二、课前简要预习； 三、课堂积极思考； 四、必要时记笔记； 五、及时总结巩固； 六、先复习再做题； 七、认真完成作业。
2014年8月25日星期一
2014年8月25日星期一
一、一元二次方程的根的判断式
2 ax bx c 0 (a 0) ，用配方法将 一元二次方程 其变形为： b 2 b 2 4ac (x ) 2a 4a 2
2014年8月25日星期一
当a<0时, 二次项系数先化为正.
例3.解不等式 －x2 ＋2x－3 > 0 略解: －x2 ＋2x－3 > 0
x2 -2x+3 < 0
无 解
可以记为 解集为:Φ 例4.若改为:解不等式 －x2 ＋2x－3 < 0 呢?
解:x2 -2x+3 >0
xR
2014年8月25日星期一
2
x 2 ( p q ) x pq x 2 px qx pq x 2 ( p q ) x pq x( x p) q( x p) ( x p)( x q ) ( x p )( x q )
【例2】因式分解： (1) x 2 7 x 6
判别式 △=b2- 4ac
△>0
△=0
△<0
y
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
y
x2 x O x1
y
x1 O
x
O
x
ax2+bx+c=0 的根
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 x1=x2= b 2a
无实根
2014年8月25日星期一
一、一元二次方程的根的判断式
【例1】已知关于的一元二次方程 3 x 2 2 x k 0 ，根据 下列条件，分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相 等的实数根 (3) 方程有实数根； (4) 方程无实数根．
y
y>0
的图象
(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
x1 O
x2 x
y<0
O x1
x
O 没有实根
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
ax2+bx+c>0 (y>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2}
有两相等实根 b x1=x2= 2a
b {x|x≠ } 2a
R Φ
2014年8月25日星期一
2014年8月25日星期一
二、一元二次方程的根与系数的关系
2 ax bx c 0 (a 0) 的两个根为： 一元二次方程
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 2a 2a
b b 2 4ac b b 2 4ac b x1 x2 2a 2a a 2 2 b b 4ac b b 4ac ( b )2 ( b 2 4ac )2 4ac c x1 x2 2 2 2a 2a (2a ) 4a a
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c=0
y=ax2+bx+c
一元二次不等式
一元二次方程
解集的端点
方程的根
一元二次函数 函数图像与x轴 交点横坐标
一元二次不等式的解集为一元二次函数图象 在x轴下方或上方图象所对应x的范围。
2014年8月25日星期一
例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0, 先求方程的根
图象为:
-2
例2.若改为:不等式 2x2－3x－2 < 0 .
注:开口向上,
不等式小于0的
3
解集:“小于取中间”。
小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等式 其方法步骤是:
2014年8月25日星期一
小结：
一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集.
大家知道， (a1 x c1 )(a2 x c2 ) a1a2 x 2 (a1c2 a2 c1 ) x c1c2 ． 反过来，就得到： a1a2 x2 (a1c2 a2 c1 ) x c1c2 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) 我们发现，二次项系数 a 分解成 a1a2 ，常数项 c 分解成 c1c2 ，把 a1 , a2 , c1 , c2 写成 a1 a2
5、 x －(a＋1) x＋a 答案： (x－1)(x－a)
2014年8月25日星期一
2
2014年8月25日星期一
复习一元二次方程与一元二次函数有关知识：
(一)一元二次方程的解法 ax2 bx c 0(a 0)
（1）因式分解法:（十字相乘）
b b2 4ac x ; （2）公式法： 2a b c （3）根与系数: x1 x2 , x1 x2 a a (二)一元二次函数 y ax2 bx c(a 0)
练习一：解不等式 4x2－4x＋1 > 0
解:因为△ =0,方程4x2－4x＋1 =0的解是 1 x1 x 2 2， 所以,原不等式的解集是
1 x | x 2
若改为:4x2－4x＋1 <0
无解
2014年8月25日星期一
练习二：
1.写出下列不等式的解集：
(1) (x – 1)(x – 3) < 0
2
x x x x
1
x x2
2 1
b x R x 2 a
x x x 或x x
1 x x2
R
b x x 2 a
R
2014年8月25日星期一
利用一元二次函数图象解一元二次不等式时，要 注意下面三者之间的联系：
十字相乘法
作业：将下列各式分解因式 2 答案： (7x－6)(x－1) 1、 7x －13x＋6 2、 －y －4y＋12
2 2 2 2
答案： (－y+2)(y+6)
3、 15x ＋7xy－4y 答案： (3x－y)(5x＋4y) 4、 10(x ＋2) －29(x＋2) ＋10
答案 ：(2x－1)(5x＋8)
(1) 当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根：
b b 2 4ac x 2a
2 b (2) 当 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根：
x1,2
2
b 2a
根的判别式
b2 4ac
(3) 当 b 4ac 0 时，方程没有实数根．
2014年8月25日星期一
解 : (1)12 x 5 x 2 (3 x 2)( 4 x 1).
2
(2)5x 2 6 xy 8 y 2
3 4 1 5
2 1 2 4
2014年8月25日星期一
( 2)5 x 2 6 xy 8 y 2 ( x 2 y )(5 x 4 y ).
ax2+bx+c<0 (y<0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
一元二次不等式的解的情况
△＝b2－4ac
△＞0
△＝0
△＜0
y
y=f(x)的图象 O
x1 x2
y x
1
y
x b 2a
O
x
O
x
R
f(x)＞0的解集
f(x)＜0的解集 f(x)≥0的解集 f(x)≤0的解集
x x x 或x x
2 2 2
2
2014年8月25日星期一
立方和、立方差公式
a b (a b)(a ab b )
3 3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
3 2 2
2014年8月25日星期一
一、公式法(立方和、立方差公式)
a b (a b)(a ab b )
开口方向: a>0 开口向上；a<0 开口向下.
b 对称轴: x 2a b 4ac b2 , 顶点坐标: 4a 2a
2014年8月25日星期一
函数 、方程、不等式之间的关系
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c △>0 y
y>0
△=0
y
y>0
△<0
方程的解2x2－3x－2 =0的解 是 1 x1 , x2 2. 2
所以,原不等式的解集是
然后想像图象形状
1 x | x , 或x 2. 2
注:开口向上, 不等式大于0的