初中总复习专题一

初中总复习专题一、实数与代数式

一、知识回顾

（一）有理数

1.概念

2.数轴

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.

比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.两个负数，绝对值大的的反而小3.相反数

只有符号不同的两个数称互为相反数

在数轴上表示互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等.

0的相反数是0.

4.绝对值

我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值

①一个正数的绝对值是它本身；

② 0的绝对值是0；

③一个负数的绝对值是它的相反数.

5. 有理数的加法法则

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

③互为相反数的两个数相加得0；=

④一个数同0相加，仍得这个数.

有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数

6.准确数：与实际完全符合的数。近似数：与实际接近的数

7.有理数乘法法则

①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘

②任何数同0相乘，都得0

有理数乘法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数

8.有理数的乘方

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0

9. 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种方法叫做科学记数法。

注意：在科学记数法中，10的指数比原数的整数位数少1，如原数有8位整数，指数就是7。

10.近似数的精确度的两种表示方式：

（1）一个近似数四舍五入到哪一位即精确到哪一位。

（2）用有效数字来表示一个近似数，从左边第一个不是零的数字起到末尾数字为止的所有数字。

（二）实数

1、无理数：

定义：无限不循环小数叫无理数。

分类;无理数可以分为正无理数和负无理数。如3-32。

说明：（1）我们已知π=3.1415926…它是圆周率。

（2）不要说“开方开不尽的数”是无理数.开方开不尽的数有两种理解方法：2开方开不尽，但2是有理数，所以应该说:开不尽的方根是无理数。

（3）用根号形式表示的数（方根）不都是无理数，如3

，都是有理数。

427

2、实数：

定义：有理数和无理数统称实数.

分类：按定义分类：

3、实数性质简述：

Ⅰ．实数序性质：

<1>三歧性：两个任意实数a、b，它们之间的关系必然是下列三种情况这一：a=b，a>b，a

<2>传递性：三个任意实数a，b，c，若a

<3>

332

这一点和有理数是有区别的：虽然任意两个有理数之间也有无数个有理数存在但它们不连续即在这两个有理数之间还有无数个无理数存在. 即有理数在数轴上只具有稠密性，而不具备连续性.

Ⅱ．实数集合对有理数集合来说在有关概念及运算性质，运算律方面具有继承性及连续性.

如：实数的绝对值、相反数的意义与有理数的绝对值、相反数意义一致；运算性质方面有理数具有的，实数也都具有：象幂的运算性质，加、减、乘、除、乘方的运算顺序，运算符号方面的性质，等.运算律也完全一致：

Ⅲ．实数集合在运算及性质方面有新的扩展：

在实数集合内，不仅可进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且可以进行除了负数开偶次方之外的开方运算.即运算结果总是实数.相应地因式分解，解方程等也随之加深，另外分数指数幂被定义等等.

4、实数的运算

实数运算中，当遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算.

<1>既然都化为有理数，那就依有理数运算法则去运算.

<2>有的情况，结果并没有要求精确度而要求准确值，那将新的法则作为依据

<3> 由近似计算理论，最后一步参与运算的数要比结果的精确度多取一位或多取一个有效数字（用四舍五入法取得）

5、实数大小的比较

法则：正实数都大于0，负实数都小于0；正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.

在数轴上，右边的数要比左边的大.

具体方法：<1>算术平方根法：都化为算术平方根后比较被开方数.

<2>平方法：两个正数，比较平方后的结果.

<3>倒数法：当两个数的大小不可比较时，可以比较这两个数的倒数.

还有其它方法如：比差法，比商法等.

（三）代数式

1.代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。

2.整式：没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整

②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。

3.合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

4.整式的运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。

整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式两条：平方差公式/完全平方公式

整式的除法：①单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 幂的运算：M N M N A A A +=g , ()M N MN A A =,

()M

M M

A A

B B

=, M N M N A A A -÷=.

（四）因式分解

1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因

式.

分解因式与整式乘法是互逆过程. 分解因式要注意以下几点:

（1）分解的对象必须是多项式.

（2）分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. （3）要分解到不能分解为止. 3、因式分解的方法

提取公因式法：公式法：平方差公式 ,完全平方公式;十字相乘法.分组分解法。

(五)分式

1．分式：有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

2.异分母分式的加减，关键是要找到公分母，然后进行通分．通常将各分母分解因式，以寻求公分母．分式运算的结果一般要化到最简；分式的乘除运算的实质为约分，约分的关键是找出分式中分子、分母的公因式．通常需对每个分式的分子、分母分解因式．

（六）二次根式

1.像()2b a -这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便，我们把一个数的算术平方根（如3）也叫做二次根式。 注意：二次根式被开方数不小于0

2.含二次根式的代数式有意义

（1）二次根式被开方数不小于0 （2）分母含有字母的，分母不等于0

3.两个基本性质： )0()(2≥=a a a (0)(0)

a a a a

a ≥⎧==⎨

-<⎩