实二次型及其标准形

y1 = x1 + x2 + x3 x2 + 2x3 令 y2 = y = x3 3
则 f (x1, x2 , x3) = y12 + y22 – 2y32
y1 = x1 + x2 + x3 x1 = y1 − y2 + y3 x2 + 2x3 (1) 即 x2 = y2 − 2y3 (2) 令 y2 = y = x = x3 y3 3 3
可逆线性替换
定义8-2：设x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; y 1 , y 2 , ⋯ , y n 是两组变量， 我们将下列关系式称为从变量组 x1 , x2 ,⋯ , xn 到 y1 , y2 ,⋯ , yn 的一个线性替换（变换）。
x1 = c11 y1 + c21 y2 + ⋯ + cn1 yn x = c y + c y +⋯+ c y 2 12 1 22 2 n2 n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ xn = c1n y1 + c2 n y2 + ⋯ + cnn yn
可逆， 设P , Q可逆，则 r ( PA) = r ( A) = r ( AQ ).
两个 n 阶对称方阵 A、B , 若存在可逆 矩阵的合同： 矩阵的合同： 矩阵 C , 使得 B = C AC , 则称 A 合同 ~ 于 B . 记作A − B。 所以，通过非退化线性变换， 所以，通过非退化线性变换， 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.
2 −1 0 若令 −1 − 3 0, 则有 f (x1, x2 , x3) = XTBX 0 3 4 不是f 但 BT≠ B, 故 B 不是 (x1, x2 , x3) 的矩阵
二次型f ( x1, x2 ,..., xn ) = ∑∑aij xi xj
i−1 j =1
n
n
也记为 f (X) = X TAX.
(AT = A)
的秩： 的秩. 二次型 f (X)的秩：A 的秩 的秩 在例1 中， f (x1, x2 , x3) 的矩阵 在例 2 −1 0 3 R(A) = 3 , A = −1 − 3 2 3 0 4 2 故 f (x1, x2 , x3) 的秩为 3 .
( 3) f ( x1 ,⋯, xn ) = x1 x2 + x2 x3 + ⋯ + xn−1 xn
A 解： = 0 1 2 0 ⋮ 0 0 1 2 0 1 2 ⋮ 0 0 0 1 2 0 ⋮ 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋮ 0 1 2 0 0 0 ⋮ 1 2 0
6.1 实二次型及其标准形 一、二次型及其矩阵 二、合同变换 三、用配方法化二次型为标准形 四、用正交变换化二次型为标准形
一、二次型及其矩阵
f ( x1, x2 ,..., xn ) = ∑∑aij xi xj
i−1 j =1 n n
2 = a11x1 + a12 x1 x2 +⋯+ a1n x1 xn 2 + a21x2 x1 + a22 x2 +⋯+ a2n x2 xn ⋯ +⋯ 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 +⋯+ ann xn
元二次型. 称为 n 元二次型
f ( x1, x2 ,..., xn ) = ∑∑aij xi xj
i−1 j =1
n
n
为实数，则称为实二次型. 若aij 为实数，则称为实二次型 为复数，则称为复二次型. 若aij 为复数，则称为复二次型 x1 a11 a12 ⋯ a1n x2 , A = a21 a22 ⋯ a2n , a = a 设X = ji , ⋮ ⋮ ij ⋮ ⋮ xn an1 an2 ⋯ ann 则 f (x1, …, xn) = X TAX. A: 二次型 f (x1, …, xn) 的矩阵 的矩阵.
(1): 从x1, x2, x3到 y1, y2 , y3的线性变换 的线性变换. (2): 从y1, y2 , y3到 x1, x2, x3 的线性变换 的线性变换. (1)与(2)所表达的 1, x2, x3与 y1, y2 , y3 的关系是相同的 与 所表达的 所表达的x 的关系是相同的. 利用配方法与归纳法可以证明： 利用配方法与归纳法可以证明： 定理1 任一实二次型f 定理 任一实二次型 (X) = X TAX 都可用配方法化 为标准形. 为标准形
y1 = x1 + x2 + x3 x2 + 2x3 令 y2 = y = x3 3
则 f (x1, x2 , x3) = y12 + y22 – 2y32
（法2） ） f (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2 x1x2 + 6x2 x3 +2 x1x3 =(x12+2x1x2+2x1 x3)+ 2x22 + 3x32 + 6x2 x3 =(x1+x2+ x3 )2+ (x22 + 4x2 x3) + 2x32 =(x1+x2+ x3 )2+ (x2 + 2 x3)2 - 2x32
( x1
1 − 2 0 x 1 y z ) − 2 0 2 y 0 1 − 3 z 2 2 1 1 0 x1 1 2 2 0 0 2 x 2 x 2 x 3 x 4 ) 1 0 1 0 x 3 0 2 0 5 x 4
5 A = −1 例2：求对称矩阵 A 3
5 4 −1 3 5 − 3 = −1 4 A 所对应的二次型。 = 3 0 −3 c
6 3 解： f ( x1 , x 2 , x0 ) 6 6 6 = −= x12 1 x 2 −−x 3 = 4 3 3 x1 = 20+ x1 x 3 2 − + 42 32 + 2 c x 3 0 c 例3：已知二次型 f 的秩为2，求参数c。 3 2 c
可逆， ），（满秩 若C可逆，则称 为非退化（可逆），（满秩）线性变换。 可逆 则称(2)为非退化（可逆），（满秩）线性变换。 正交， 若C正交，则称 为正交线性变换。 正交 则称(2)为正交线性变换。
非退化线性替换的性质： （1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换 证： 由X = CY
⇒ Y = C -1 X
2 1 2 2 2 3
3 －2 − 3 3 c 1 2
3 1 0
1 2 0 －1
f ( x1 , x2 , x3 ) = 5x + 5x + cx − 2x1 x2 + 6x1 x3 − 6x2 x3
5 −1 3 解：A = −1 5 −3 3 −3 c ∵ r ( A) = 2 ∴ A =0 ∴ c=3
x1 y1 x2 y2 X = Y = ⋮ ⋮ x y n n
⋯ c1 n 则线性变换（2 可记作： ） ⋯ c2 n 则线性变换（2）可记作： ⋮ ⋮ X = CY ⋯ cnn
经过非退化线性变换 矩阵的合同
X = CY
f = X T AX = (CY )T A(CY ) = Y T (C T AC )Y 可化为
则，二次型 f 的矩阵由 A变为 C T AC
令B = C AC B = (C AC ) = C A (C
T
T
T
T
T
T
T T
)
= C T AC = B
则
B = C T AC 仍是对称矩阵 ( 2) r ( B ) = r ( A) (1 )
例1
f (x1, x2 , x3) = 2x12 – 3x22 + 4x32 - 2 x1x2 + 3x2 x3 2 −1 0 x1 3 = ( x1, x2 , x3 ) −1 − 3 x2 = X T AX 2 3 0 x3 4 2 A: f (x1, x2 , x3) 的矩阵
T
矩阵合同的性质： 矩阵合同的性质： (1) 反身性：矩阵 与自身合同； 反身性：矩阵A与自身合同 与自身合同； (2) 对称性：若A与B合同，则B与A合同； 对称性： 合同， 合同； 与 合同 与 合同 (3) 传递性：若A与B合同，且B与C合同 则A与C合 传递性： 合同， 合同, 与 合同 与 合同 与 合 同.
A与B等价：PAQ = B, 与 等价 等价：
P, Q 可逆； 可逆；
可逆； A与B相似：P -1AP = B , P 可逆； 与 相似 相似： 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？ 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？
三、用配方法化二次型为标准形
只含平方项的二次型 d1 y12 + d2 y22 + … +dr yr2 称为标准形. 称为标准形 形如 z12 + …+ zp2 – zp+12 - … - zr2 +1 的二次型称为规范形. 的二次型称为规范形 p: 正惯性指数； 正惯性指数； r - p: 负正惯性指数； 负正惯性指数； |r - 2p|: 符号差 符号差. (di ≠0)
例
用配方法化二次型为标准形
来自百度文库
f (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2 x1x2 + 6x2 x3 +2 x1x3 （法1） ） =(x12+2x1x2+2x1 x3 + x22 + x32 + 2x2 x3 )+ x22 + 2x32 +4 x2x3 =(x1+x2+ x3 )2+ (x22 + 4x2 x3+ 4x32) - 2x32 =(x1+x2+ x3 )2+ (x2+ 2 x3 )2 - 2x32
(2)
x1 = c11 y1 + c12 y2 + ⋯ + c1 n yn x = c y + c y +⋯+ c y 2 21 1 22 2 2n n ⋮ xn = cn1 y1 + cn 2 y2 + ⋯ + cnn yn c11 系数 c21 矩阵 C = ⋮ c n1 c12 c22 ⋮ cn 2
（2）连续施行线性替换的结果还是一个线性替换 证：
由X = CY , Y = DZ
⇒ X = CDZ
（3）连续施行非退化线性替换的结果还是一个 非退化线性替换；连续施行正交替换的结果 还是正交替换。
二次型 f = X T AX 经过可逆线性变换 X = CY后， 二次型 f 的矩阵由对称矩阵 A 变为对称矩阵 B = C T AC , T 二次型 = X AX 且二次型 ff 的秩不变 .
则, f (x1, x2 , x3)=2y12 – 2y22 – 4y1y3 + 8y2 y3 （法1） ）
例
f (x1, x2 , x3) = 2 x1x2 +2 x1x3 - 6x2 x3 令
x1 = y1 + y2 x2 = y1 − y2 x = y3 3
= 2(y12 – 2y1y3 + y32) - 2 y22 - 2 y32 + 8y2 y3 = 2(y1 – y3 )2 – 2( y22 - 4 y2 y3 + 4y32 )+6y32 = 2(y1 – y3 )2 – 2( y2 - 2 y3 )2 + 6y32 = 2z12 – 2 z22 + 6z32
例 (1) ( 2)
把下列二次型写成矩阵 形式 f ( x , y , z ) = x 2 − 3 z 2 − 4 xy + yz
2 2 2 f ( x1 , x 2 , x 3 , x4 ) = 2 x1 + x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 4 x 2 x4 + x 3 + 5 x4
(x