近似值计算
有理数的整数次方根近似值的计算方法
因此可取a3或a4为结果，保留至6位小数可得≈ 1.414214，误差不超过10− 6。
【例1.2】计算的近似值，精确到10− 6。
解：这里a= 3，ε0= 10− 6，根据迭代公式（1.7）可得
an=(2an− 1+)（n∈N+），
因为4.913 = 1.73< 5 < 1.83= 5.832，取初值a0= 1.7，代入迭代公式，为精确到10− 6，计算结果均保留至7位小数：
这就是（1.6）式，同理（1.7）式也可以用微分法导出。
【例2.1】计算的近似值，精确到10− 3。
解：根据（2.9）式，≈ 1 +（x→ 0），如果取x= 1，则有
=≈ 1 + 1/2 = 1.5，
这显然是不准确的，因为x取的过大，近似公式不再适用了。
正确的做法是，可取x0= 1.42= 1.96，则Δx= 2 −x0= 0.04，可得
【例2.4】计算e1.02的近似值，精确到0.001。
解：根据（2.13）式，设f(x) =ex，则f'(x) =ex，可得
ex+h≈ex+ ex∙h= ex∙(1 +h)（h→ 0）；
令x= 1，h= 0.02，取e≈2.7183，则有
e1.02= e1 + 0.02≈e1∙(1 + 0.02) = 1.02e≈1.02×2.7183≈2.7727≈2.773。
为了应用方便，有时也把（2.3）式或（2.4）式写成另一种简单形式，把x0简写为x，把自变量的增量记为Δx=h，于是上述公式可以简写为
f(x+h) ≈f(x) +f'(x)∙h（h→ 0）（2.13）
常用的七个近似计算公式
常用的七个近似计算公式在日常生活和工作中，我们经常需要进行一些近似计算。
这些计算可以帮助我们快速估算一些数据，提高工作效率。
下面介绍七个常用的近似计算公式，希望对大家有所帮助。
一、圆周率的近似值。
圆周率是数学中一个重要的常数，通常用希腊字母π表示。
它的精确值是一个无限不循环小数，但在实际计算中，我们通常使用3.14作为圆周率的近似值。
这个近似值已经足够精确，可以满足大部分计算的需求。
二、平方根的近似值。
平方根是一个常见的数学运算，它表示一个数的平方根。
在实际计算中，我们通常使用以下近似值来计算平方根：√2≈1.41。
√3≈1.73。
√5≈2.24。
这些近似值可以帮助我们快速计算一些复杂的平方根，提高计算效率。
三、对数的近似值。
对数是另一个常见的数学运算，它表示一个数对于另一个数的幂次运算。
在实际计算中，我们通常使用以下近似值来计算对数：log2≈0.30。
log3≈0.48。
log5≈0.70。
这些近似值可以帮助我们快速计算一些复杂的对数，提高计算效率。
四、三角函数的近似值。
三角函数是数学中常见的函数，它包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在实际计算中，我们通常使用以下近似值来计算三角函数：sin30°≈0.50。
cos45°≈0.71。
tan60°≈1.73。
这些近似值可以帮助我们快速计算一些复杂的三角函数，提高计算效率。
五、指数函数的近似值。
指数函数是数学中常见的函数，它表示一个数的幂次运算。
在实际计算中，我们通常使用以下近似值来计算指数函数：e≈2.72。
e^2≈7.39。
e^3≈20.08。
这些近似值可以帮助我们快速计算一些复杂的指数函数，提高计算效率。
六、二次方程的近似解。
二次方程是数学中常见的方程，它表示一个未知数的二次多项式方程。
在实际计算中，我们通常使用以下近似解来计算二次方程：对于二次方程ax^2+bx+c=0，其根的近似解可以使用以下公式计算：x≈(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
圆周率π的近似计算方法
圆周率π的近似计算方法圆周率π是一个无理数，精确值是无法完全计算的，然而可以使用不同的方法来近似计算π。
下面将介绍一些常见的计算π的方法。
1.随机投掷法（蒙特卡洛法）：该方法通过随机投掷点在一个正方形区域内，然后计算落在正方形内且在一个给定圆形内的点的比例。
根据几何原理，圆的面积与正方形的面积之比等于π/4、通过对大量的随机点进行投掷和计数，可以估计π的值。
2.利用级数公式：许多级数公式都可以用来计算π的近似值。
其中最知名的是勾股定理的泰勒级数展开式：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-...通过计算级数中的前n项和，可以获得π的近似值。
然而，这种方法需要计算大量的级数项才能获得较高的精确度。
3.利用几何图形：利用几何图形的特性，可以近似计算π的值。
例如，可以使用正多边形逼近圆，然后通过对正多边形的边数进行增加，计算出逼近圆的周长。
随着边数的增加，逼近圆周长的值将越来越接近π的值。
4.首位公式：首位公式是由印度数学家 Srinivasa Ramanujan 提出的方法，通过将π 表示为一个无穷级数来计算。
该方法利用一种连分数的性质，可以将π 的近似值计算到高精度。
5.利用计算机算法：随着计算机性能的提升，可以使用各种数值计算算法来计算π 的近似值。
其中最有名的算法是Bailey-Borwein-Plouffe算法（BBP算法），它可以通过级数计算出π 的各个十六进制位数。
虽然上面提到了一些常见的方法，但是计算π的精确值仍然是一个开放的问题。
现代数学家不断提出新的计算方法和算法，以改进π的计算精度。
总之，圆周率π的近似计算方法有很多种，每种方法都有不同的优缺点和适用场景。
无论哪种方法，都需要通过对数学公式和几何特性的推导，以及大量的计算和迭代，来获得更精确的π近似值。
求近似数的几种方法
求近似数的⼏种⽅法在实际解题时，往往根据需要取⼀个数的近似值。
取近似值的常⽤⽅法有以下⼏种。
1.四舍五⼊法这是最常⽤的求近似数的⽅法。
当省略的尾数的最⾼位上的数是4或⽐4⼩的时候，就把尾数舍去；当省略的尾数最⾼位上的数是5或⽐5⼤时，把尾数去掉后，要向前⼀位进1。
⽤四舍五⼊法取近似值，要保留到哪⼀位，只要看它的下⼀位上的数是⼏就⾏了。
例如，计算0.731×2.3（得数保留两位⼩数）时，先求出准确值1.6813，再根据保留两位⼩数的要求看⼩数点后第三位。
因为⼩数点后第三位是1，⼩于4，所以0.731×2.3≈1.68.⼜如，计算35.6÷7（得数保留两位⼩数），除到⼩数点后第三位时商是5.085，因为⼩数点后第三位是5，所以，35.6÷7≈5.09.2.进⼀法在实际⽣活中，有时把⼀个数的尾数省略后，不管尾数最⾼位上的数是⼏，都要向它的前⼀位进⼀。
⽤进⼀法得到的近似数总⽐准确值⼤。
例如，有525千克粮⾷，每条⿇袋可装100千克，⼀共需要⼏条⿇袋？通过分析这道题，我们不难发现，525千克粮⾷装了5⿇袋后还余25千克，所以还要增加⼀条⿇袋，即省略尾数后要向前⼀位“进1”。
列式为： 525÷100＝5.25≈6（条）3.去尾法在实际⽣活中，有时把⼀个数的尾数省略后，不管尾数最⾼位上的数字是⼏，都不要向它的前⼀位进⼀。
⽤去尾法得到的近似数总⽐准确值⼩。
例如：把350张纸订成每本40张的本⼦，最多可订多少本？通过计算，350除以40商为8.75，也就是说订成8本后，剩下的不⾜40张，不够订⼀本，因此要把尾数舍去。
列式为： 350÷40＝8.75≈8（本）综上所述，取⼀个数的近似值，对于计算题通常⽤“四舍五⼊法”；对于应⽤题，通常根据题⽬的实际意义和具体要求决定取近似值的⽅法。
求积的近似值
求积的近似值简介在数学中，我们经常需要求解各种复杂函数的积分问题。
然而，很多函数的积分并不能直接求得解析解，而需要借助数值计算方法来获得近似值。
本文将介绍几种常用的数值计算方法，以及它们在求积的近似值问题上的应用。
数值积分方法矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一。
它将函数曲线划分成若干个等宽的矩形，计算每个矩形的面积，并将这些面积相加以获得近似的积分值。
常见的矩形法有矩形左端点法、矩形右端点法和矩形中点法。
以矩形左端点法为例，算法如下：1.将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
2.对于每个小区间，计算函数在左端点的函数值，并用矩形面积公式 S = h *f(a) 进行近似计算。
3.将所有小区间的矩形面积相加，得到最终的近似积分值。
矩形法的优点是简单易懂，容易实现，但精度较低，对于曲线弯曲较大的函数不够准确。
梯形法梯形法是一种改进的数值积分方法，它在矩形法的基础上增加了两个端点的高度值，从而得到更精确的近似积分值。
算法如下：1.将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
2.对于每个小区间，计算左右两个端点的函数值，并用梯形面积公式 S = h *(f(a) + f(b)) / 2 进行近似计算。
3.将所有小区间的梯形面积相加，得到最终的近似积分值。
梯形法相较于矩形法具有更高的精度，适用于各种类型的函数。
然而，对于复杂函数的积分，仍然需要更高级的方法来获得准确的近似值。
辛普森法则辛普森法则是一种使用二次多项式来逼近被积函数曲线的方法，它提供了更高级的数值积分精度。
算法如下：1.将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
2.对于奇数编号的小区间，使用辛普森公式 S = h * (f(a) + 4f(a + h) + f(a + 2h)) / 3 进行近似计算；对于偶数编号的小区间，使用梯形法进行近似计算。
计算级数和的近似值
计算级数和的近似值要计算级数和的近似值，我们首先需要了解级数的概念和不同的计算方法。
级数是指无穷个数的和。
通常用符号∑来表示。
级数的一般形式为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1、a2、a3等是序列的项，n是级数的任意正整数。
要计算级数和的近似值，我们可以使用不同的方法，如累加和、部分和以及级数收敛性的测试。
1.累加和方法：这是最直接的方法，即通过不断将级数的各项进行累加直到无穷大。
然而，级数是无穷项的和，因此我们无法计算它的确切值。
当级数的各项趋于0时，我们可以通过累加截断级数来逼近其和。
2.部分和方法：部分和是指取级数的前n项的和作为其近似值。
通过逐步增加n的值，我们可以得到一系列逼近级数和的近似值。
这种方法的好处是我们可以通过控制n的大小来控制逼近的精度。
3.收敛性测试：级数的收敛性测试可以帮助我们判断一个级数是否会收敛到一个特定的值。
其中一些常见的测试方法包括比值测试、根式测试和积分测试。
这些测试方法可以帮助我们估计级数的收敛域并确定其和的近似值。
接下来，我们将讨论一些常见的级数和的计算方法。
1.等差数列和：等差数列和是指以等差数列的形式给出的级数。
例如，1+2+3+...+n。
等差数列和的计算公式为:Sn = n * (a1 + an) / 2其中，Sn是前n项的和，a1是首项，an是末项。
2.等比数列和：等比数列和是指以等比数列的形式给出的级数。
例如，1+2+4+8+...+2^n。
等比数列和的计算公式为:Sn=a*(r^n-1)/(r-1)其中，Sn是前n项的和，a是首项，r是公比。
3.幂级数和：幂级数是指以幂函数的形式给出的级数。
例如，1+x+x^2+x^3+...+x^n。
幂级数和的计算方法通常使用泰勒级数展开公式。
这个公式可以将幂函数展开为一系列项的和，然后通过控制展开的项数来逼近级数的和。
这些是常见的级数和的计算方法。
当然，还有许多其他类型的级数和可以通过特定的计算方法来逼近。
近似数及其计算方法
近似数及其计算方法江苏省泗阳县李口中学沈正中一、求近似数的三种方法1. 四舍五入法这是一种最常用的求近似数的方法，就是看确定保留数位的下一位数字,比5小的（即0、1、2、3、4）,就把这个数字以及后面的所有数字舍去；如果这个数字比4大（即5、6、7、8、9），就把这个数字以及后面的所有数字舍去后，向前一位进一。
如64.96283，保留到万分位写为64。
9628，即64。
96283≈64.9628（以下类推），保留到千分位写作64。
963，保留到百分位写作68.96,保留到十分位写作64.0,保留到整数写作64.由此可以看出：“四舍”时,近似数比准确值小，“五入”时，近似数比准确值大。
2. 进一法在实际生活中,有时把一个数的保留数位确定后，只要下一位数字或后面的数字有不为0的（即1、2、3、……、9），都要向前一位进一。
如：同学们同时去划船，每只船上最多能载7个同学,17个同学至少需几只船？17÷7≈2.4，就是说17个同学需要2只船还余3人,这3人还需一只船，所以一共需要3只船.即17÷7＝≈3 (只)。
由此可知：用进一法得到的近似数总比准确值大.3。
去尾法在实际生活中,有时把一个数的保留数位确定后,不管下一位数字或后面的数字是几（即0、1、2、3、……、9），都不要向前一位进一.如:用一根5m米长水管做成一批27cm长相同规格的水管,可以做成多少根？500÷27＝≈18(根）由此可知：用去尾法得到的近似数总比准确数小。
二、近似数的四则混合运算1. 近似数的加减法在一般情况下，近似数相加减的和或差精确到哪一位,与已知数中精确度最低的一个相同，计算法则:(1）确定结果精确到哪一个数位(与已知数中精确度最低那个数精确数位相同）；(2）把已知数中的其它数，四舍五入到已知数中精确度最低那个数数位的下一位；（3）进行计算，并且把算得的数的末位数字四舍五入.【例1】求近似数25。
分数和小数的近似计算
分数和小数的近似计算在数学运算中，分数和小数的近似计算是一种常见的方法。
通过近似计算，我们可以获得一个接近准确结果的数值，以便在实际应用中方便计算和使用。
本文将介绍分数和小数的近似计算方法，并探讨其实际应用。
一、分数的近似计算方法1.四舍五入法：四舍五入法是一种常用的分数近似计算方法。
当我们要将一个小数近似为一个分数时，可以利用四舍五入法。
例如，我们要将小数0.75近似为一个分数，可以将其四舍五入为0.8，然后将0.8表示成分数8/10或4/5，即可得到近似结果。
2.扩大分母法：扩大分母法也是一种常用的分数近似计算方法。
当我们需要将一个小数近似为一个分数时，可以通过扩大分母，使得分子和分母之间的比值接近于给定的小数。
例如，我们要将小数0.333近似为一个分数，可以将其扩大分母为1000，得到分数333/1000，即可得到近似结果。
二、小数的近似计算方法1.截断法：截断法是一种常用的小数近似计算方法。
当我们要将一个小数近似为一位或多位有效数字时，可以利用截断法。
例如，我们要将小数0.7854近似为两位有效数字，可以将其截断为0.78，即可得到近似结果。
2.四舍五入法：四舍五入法也是一种常用的小数近似计算方法。
当我们要将一个小数近似为一位或多位有效数字时，可以利用四舍五入法。
例如，我们要将小数0.7854近似为两位有效数字，可以将其四舍五入为0.79，即可得到近似结果。
三、分数和小数的近似计算应用1.财务计算：在财务计算中，经常需要对金额进行近似计算。
例如，计算利息、税金或折扣等。
通过利用分数和小数的近似计算方法，可以方便地进行这些计算，并获得满足实际需求的结果。
2.科学实验：在科学实验中，常常需要将实验结果以分数或小数的形式进行表达。
通过进行近似计算，可以确保实验结果的准确性，并方便进行数据分析和比较。
3.工程设计：在工程设计中，常常需要对尺寸、重量或容量进行近似计算。
通过近似计算，可以在设计过程中方便地进行尺寸匹配、重量估算或容量调整，从而提高设计的准确性和可行性。
求近似数的方法
求近似数的方法在数学中，我们经常会遇到需要求近似数的情况，比如在测量、计算和估算中。
那么，如何快速准确地求得近似数呢？接下来，我们将介绍一些常用的方法，希望能够帮助大家更好地掌握近似数的求解技巧。
一、四舍五入法。
四舍五入法是我们在日常生活中经常使用的一种近似数的方法。
当我们需要将一个较长的小数按照一定的精度进行近似时，可以按照小数点后第一位的数值进行判断。
如果小数点后第一位数值小于5，则舍去后面的数字；如果小数点后第一位数值大于等于5，则进位。
这样就可以得到一个近似数。
例如，将3.56789近似到小数点后两位，我们可以按照四舍五入法得到3.57。
二、截断法。
截断法是指将一个较长的小数直接截取到所需的位数，忽略掉后面的数字。
这种方法在实际应用中也比较方便，但需要注意的是，截断后的近似数可能会产生误差。
比如，将2.34567截断到小数点后两位，我们可以得到2.34。
三、相似三角形法。
在几何学中，相似三角形法也是一种常用的近似数方法。
当我们需要测量无法直接获得的长度时，可以利用相似三角形的性质来求得近似值。
通过观察两个相似三角形的对应边长比例，我们可以得到所需长度的近似值。
例如，测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形法，通过测量影子的长度和角度来求得高楼的高度的近似值。
四、线性插值法。
线性插值法是一种通过已知数据点来估计中间数值的方法。
在实际应用中，我们经常会遇到需要估算某一点的数值，但是该点并不在已知数据点上。
这时，我们可以利用线性插值法来求得该点的近似值。
比如，已知一条直线上两个点的坐标和函数关系，我们可以通过线性插值法来求得直线上任意一点的近似值。
五、泰勒展开法。
泰勒展开法是一种数学分析中常用的近似数方法。
通过泰勒展开，我们可以将一个复杂的函数在某一点附近用一个多项式来近似表示。
这种方法在求解一些复杂函数的近似值时非常有效。
六、统计法。
在实际数据分析中，统计法也是一种常用的近似数方法。
通过对一组数据进行统计分析，我们可以得到这组数据的平均值、中位数、众数等近似值。
求近似数的四种方法
求近似数的四种方法一、引言在数学计算中，有时需要对某个数进行近似处理，以便更方便地进行运算或表示。
本文将介绍四种求近似数的方法，包括四舍五入法、截断法、上取整法和下取整法。
二、四舍五入法四舍五入法是一种常见的求近似数的方法。
它的原理是将待近似数加上0.5后再向下取整。
具体步骤如下：1. 将待近似数加上0.5。
2. 对所得结果向下取整。
例如，将3.1415926近似为小数点后两位的数，可以使用四舍五入法。
首先将3.1415926加上0.005得到3.1465926，然后向下取整得到3.14，即为所求的近似值。
三、截断法截断法是另一种常见的求近似数的方法。
它的原理是保留待近似数小数点后指定位数的数字，并将其余数字直接舍去。
具体步骤如下：1. 确定要保留的小数位数。
2. 将待近似数保留指定位数，并将其余数字直接舍去。
例如，将3.1415926近似为小数点后两位的数，可以使用截断法。
将3.1415926保留小数点后两位得到3.14，即为所求的近似值。
四、上取整法上取整法是一种向上舍入的方法。
它的原理是将待近似数加上一个比它大的正数，然后向下取整。
具体步骤如下：1. 确定要保留的小数位数。
2. 将待近似数加上一个比它大的正数。
3. 对所得结果向下取整。
例如，将3.1415926近似为小数点后两位的数，可以使用上取整法。
首先将3.1415926加上0.00999999得到3.15159259，然后向下取整得到3.15，即为所求的近似值。
五、下取整法下取整法是一种向下舍入的方法。
它的原理是直接舍去待近似数小数点后指定位数以后的数字。
具体步骤如下：1. 确定要保留的小数位数。
2. 直接舍去待近似数小数点后指定位数以后的数字。
例如，将3.1415926近似为小数点后两位的数，可以使用下取整法。
直接舍去3.1415926小数点后第三位以及以后数字得到3.14，即为所求的近似值。
六、总结本文介绍了四种求近似数的方法，包括四舍五入法、截断法、上取整法和下取整法。
探究近似值计算
探究近似值计算近似值计算在实际生活中有着广泛的应用，它可以帮助我们快速而准确地估算事物的数值。
从日常生活到科学研究，几乎所有领域都离不开近似值计算。
本文将探究近似值计算的原理和方法，并讨论其在不同领域中的应用。
一、近似值计算的原理1. 相对误差近似值计算的核心概念是相对误差。
相对误差是指近似值与精确值之间的差异在相对大小上的表示。
通常用百分数或小数形式表示，公式为：相对误差 = (近似值 - 精确值) / 精确值。
2. 舍入规则舍入规则是近似值计算中常用的舍入方法。
常见的舍入规则有四舍五入、向下取整和向上取整。
这些规则根据近似值与精确值的大小关系来决定最终的近似值。
二、近似值计算的方法1. 数值近似数值近似是最常见的近似值计算方法之一。
它通过对待估计数值进行舍入来得到近似值。
在数值近似中，舍入规则的选择对最终的近似值有着重要的影响。
2. 估算法估算法是一种基于经验和直觉的近似值计算方法。
它常用于在缺乏准确数据或复杂计算条件下进行近似估算。
估算法的精确度通常较低，但它在实际应用中具有一定的可行性。
三、近似值计算的应用领域1. 科学研究在科学研究中，近似值计算有着广泛的应用。
例如，在物理实验中，实验数据常常需要通过近似值计算进行处理和分析。
近似值计算还在数学建模和统计分析等领域中扮演着重要角色。
2. 工程设计在工程设计中，近似值计算可以帮助工程师快速评估设计方案的可行性和效果。
通过合理地使用近似值计算，可以在设计阶段减少时间和成本，提高工程质量。
3. 金融领域近似值计算在金融领域中也有重要的应用。
例如，在金融风险管理中，风险模型的建立需要大量的计算和估算。
近似值计算可以帮助金融专业人员更好地预估风险，并做出相应的决策。
4. 经济预测经济预测也经常使用近似值计算来估算经济指标的变化趋势和节奏。
通过近似值计算，经济学家可以更准确地预测通货膨胀率、GDP增长率等重要的经济指标。
结论近似值计算是一种重要的数学方法，它在各个领域中发挥着重要作用。
近似数的认识与运算
近似数的认识与运算近似数是指对于一个实数或者一个数列中的某一项，用一个与之相近的数来作为其近似值。
在日常生活和数学运算中，我们经常使用近似数来简化计算和表示结果。
了解近似数的认识与运算对于我们正确理解和应用数学知识具有重要意义。
一、近似数的定义近似数是指在数值上与原数非常接近的数。
这是通过保留数值的某个精确位数或进行四舍五入等方式得到的。
近似数通常以一定的精确度来表示，比如精确到个位、十分位、百分位等。
例如，将3.1416近似到小数点后两位可以得到3.14，将2.71828近似到小数点后三位可以得到2.718，这些都是原数的近似值。
二、近似数的运算在日常生活和数学运算中，我们常常需要对数据进行近似数的运算。
以下是几种常见的近似数运算方法：1. 加法和减法运算：近似数的加法和减法运算可以直接对近似数进行计算。
将相加或相减的近似数按照相应的位数对齐，然后逐位进行计算，并保持相同的位数精度。
例如，计算3.14+2.718可以得到5.858。
2. 乘法和除法运算：近似数的乘法和除法运算同样可以直接进行。
将相乘或相除的近似数按照相应的位数对齐，然后逐位进行计算，并保持相同的位数精度。
例如，计算3.14*2.718可以得到8.5392。
3. 近似数的乘方和开方：近似数的乘方和开方也是常见的运算。
这些运算可以直接对近似数进行计算，并保持相同的位数精度。
例如，计算3.14的平方可以得到9.8596，计算2.718的开方可以得到1.648。
三、近似数的应用近似数在日常生活和数学应用中具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用示例：1. 科学测量：在科学实验和工程测量中，常常需要对测量结果进行近似数的处理。
通过保留合适的位数精度，可以更好地表示测量数据，并减小误差的传递。
2. 金融计算：在金融领域，近似数常常用于计算利息、汇率等复杂的金融问题。
通过近似数的运算，可以快速得出近似的结果，并进行相应的决策。
3. 统计分析：在统计学中，近似数被广泛应用于概率分布、显著性检验等统计分析中。
立方根的近似值计算公式
立方根的近似值计算公式一、立方根近似值的一种计算方法：牛顿迭代法。
1. 牛顿迭代法原理。
- 设要求x = sqrt[3]{a}（a为被开立方数），我们可以构造函数f(x)=x^3-a。
- 对f(x)求导，f^′(x) = 3x^2。
- 牛顿迭代公式为x_n + 1=x_n-frac{f(x_n)}{f^′(x_n)}。
- 对于求立方根的情况，将f(x)和f^′(x)代入迭代公式得到x_n+1=x_n-frac{x_n^3-a}{3x_n^2}=(1)/(3)(2x_n+(a)/(x_n)^2)。
2. 计算步骤示例。
- 例如，求sqrt[3]{2}的近似值。
- 先取一个初始值x_0，不妨取x_0 = 1。
- 第一次迭代：- 根据迭代公式x_1=(1)/(3)(2x_0+(2)/(x_0)^2)。
- 把x_0 = 1代入得x_1=(1)/(3)(2×1+(2)/(1^2))=(4)/(3)≈1.333。
- 第二次迭代：- x_2=(1)/(3)(2x_1+(2)/(x_1)^2)。
- 把x_1=(4)/(3)代入得x_2=(1)/(3)(2×(4)/(3)+(2)/((frac{4){3})^2})=(1)/(3)((8)/(3)+(2)/(frac{16){9}})=(1)/(3)((8)/( 3)+(9)/(8))=(1)/(3)×(64 + 27)/(24)=(91)/(72)≈1.264。
- 继续迭代可以得到更精确的值。
二、二分法求立方根近似值。
1. 二分法原理。
- 设y = x^3，要求sqrt[3]{a}，即求y = a时x的值。
- 我们先确定一个区间[m,n]，使得m^3。
- 然后取区间的中点c=(m + n)/(2)。
- 计算c^3，如果c^3=a，那么c就是sqrt[3]{a}；如果c^3，则新的区间为[c,n]；如果c^3>a，则新的区间为[m,c]。
商的近似值
• 2.除——除到商的小数位数比需要保留的小
数位数多一位。
• 3.取——用“四舍五入”法取商的近似数。
求商的近似值，一般先除到商的小数位
数比需要保留的小数位数多一位，再按 照“四舍五入”法取商的近似值 。
17
求商的近似值，一般先除到商的小数 位数比需要保留的小数位数多一位，再
所以，妈妈应付给菜贩2.2元。
10
爸爸给王鹏买了1筒羽毛球。
1打是12个，这 是多少钱？
这筒羽毛球 19.4元，1个大 约是多少钱？
11
你从图中能获到什么信息？
19.4元
总价
12个
数量
一个大约多少钱 单价
关系式：总价÷数量=单价
列出式子： 19.4÷12=
12
19.4 ÷12≈ （元）
1.616 66667
80÷3 ≈26.7（元）
27
求“商的近似值”与求“积的近似值”有什么相 同点，又有什么不同点？
相同点：都要用到“四舍五入法”取近似值，并且 都要看保留的那一位的后一位。
不同点：求积的近似值，要先算出积的准确值， 再求近似数，求商的近似值不需求出商 的准确值，只要求出要保留的下一位就 可以了。
28
19
1、计算下面各题（商保留一位 小数）。 14.36÷2.7 8.33÷6.2 1.7÷0.03
20
2、计算下面各题（商精确到百分 位）。 32÷42 1.25÷1.2 2.41÷0.7
21
求商的近似值（保留两位小数）。
3.6÷1.7≈
19÷7 ≈
求商的近似值，一般先除到商的小数 位数比需要保留的小数位数多一位，再
52
计算平方根的近似值
计算平方根的近似值平方根是数学中常见的一个概念，表示一个数的平方根。
对于某些无理数或复杂的数字，计算其精确的平方根可能是困难的甚至不可能。
为了解决这个问题，数学家们发展了一些近似计算平方根的方法，这些方法可以提供一个接近于精确解的近似值。
本文将介绍几种常见的计算平方根的近似值的方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种可以求解方程近似解的方法，其中也可以用来计算平方根的近似值。
它的基本思想是通过不断逼近方程的根来获得方程的近似解。
对于求解一个正数x的平方根，我们可以先猜测一个近似值y，然后通过迭代公式：y = (y + x / y) / 2不断改进y的值，直到y的改进值变得足够小。
最终得到的y就是x的平方根的近似值。
二、二分法二分法是一种常见的逼近算法，用于查找一个函数的根的近似值。
它的基本思想是通过不断将搜索范围缩小一半，最终找到函数根的近似值。
对于求解一个正数x的平方根，可以先设定一个搜索范围，如[0, x]，然后反复将搜索范围一分为二，根据中间点的平方与x比较，确定下一次搜索的范围。
最终找到的根的近似值就是搜索范围的中点。
三、连分数法连分数法是一种用于近似无理数的方法，可以用来计算平方根的近似值。
它的基本思想是将一个无理数表示为一个连分数的形式，然后通过截断连分数的方法得到近似解。
对于求解一个正数x的平方根，可以将其表示为一个连分数：[a0;a1, a2, a3, ...]，其中a0是整数部分，a1, a2, a3等是连分数的系数。
通过逐步截断连分数，得到一个有限逼近值，这个逼近值就是x的平方根的近似值。
四、基于二项定理的方法二项定理是数学中常见的一条重要定理，它可以将任意实数展开成一个无穷级数。
利用二项定理，我们可以近似计算平方根。
对于求解一个正数x的平方根，可以利用二项定理展开√(1+x)的幂级数。
截取其中的有限项，就可以得到√x的近似值。
总结：通过牛顿迭代法、二分法、连分数法和基于二项定理的方法，我们可以计算平方根的近似值。
高等数学：第四讲 微分的近似计算
时，有
y dy
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
近似计算公式
03.近似计算举例
例1 计算sin 31 的近似值(保留到小数点后三位).
解
设 f (x) sin x, 则 f (x) cos x,
x0 30
多少克（铜的密度为8.9g/cm3）.
解
球的体积公式
V
4 πr3, 3
则
V 4πr2 ,
r 1cm, r 0.01cm
V dV V r 4π 12 0.01 0.13
因此每只球需要铜大约：
m 8.9g / cm3 0.13cm3 1.16g.
04.常用的近似计算公式
由近似公式 f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x , 特别地， 取 x0 0, x x ( x 很小), 得到一些工程上常用的近似 计算公式:
即：sin x x.
谢谢
微分的近似 计算
目录
01
引例
02 近似计算的原理
03
近似计算举例
04 常用的近似计算公式
01.引例
计算sin 31 的近似值(保留到小数点后三位).
sin 30 0.5 sin 31 0.5??
02.近似计算的原理
设函数 y f (x)可微，且在x0 有 f (x0) 0 ，当改变量 | x |很小
π, 6
Hale Waihona Puke x 1 π , 180f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
sin 31 sin π cos π π 6 6 180
0.5 3 3.1416 2 180
求近似数的方法
求近似数的方法近似数是指将一个数值简化到一个较为接近的数值。
这种简化可以帮助我们更方便地进行计算和理解数值的大小。
在日常生活和数学领域，我们经常需要用到近似数。
接下来，我将介绍一些常见的求近似数的方法。
一、四舍五入法四舍五入法是最常见的就近取整方法。
当我们需要将一个数值简化为整数或小数时，可以使用四舍五入法。
具体操作如下：如果小数点后的数字小于5，则将小数部分直接舍去；如果小数点后的数字大于等于5，则将小数部分加1。
举例来说，我们需要将3.56近似到个位数。
根据四舍五入法，3.56近似为4。
二、截断法截断法是指直接去掉一个数值的小数部分，只保留整数部分。
这种方法适用于不需要考虑小数点后的精确值，而只关注整数部分的情况。
例如，将4.78近似为整数，根据截断法，我们可以得到4。
三、舍入法舍入法是一种更加精确的求近似数的方法。
它适用于需要保留指定位数的小数部分的情况。
具体操作如下：将待近似数的小数部分保留指定位数，并根据小数位数的下一位数字来进行近似。
若小数位数大于指定位数的下一位数字大于等于5，则将保留的小数部分加1；若小数位数大于指定位数的下一位数字小于5，则保留的小数部分不变。
举例来说，我们需要将3.1415926近似到小数点后两位。
根据舍入法，我们可以得到3.14。
四、估算法估算法是用于对一个复杂的数学问题或计算进行近似的方法。
它通常使用一些简化的数学方法和近似数来求解。
估算法可以在没有精确计算的情况下，快速得到一个接近真实结果的估计值。
例如，我们需要估算1.98加上2.23的结果。
根据估算法，我们可以近似将1.98近似为2，将2.23近似为2.2。
然后，我们可以以2加上2.2得到一个大致的结果4.2。
五、线性近似法线性近似法主要用于求解曲线上某一点的近似坐标。
它基于曲线的局部特征，使用直线来近似曲线。
线性近似法在微积分和工程学领域经常被使用。
例如，我们需要求解曲线y=x^2在x=2.5处的近似值。
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按全数值比较 法判定
不符合 不符合 符合 符合
符合 符合 不符合 不符合
不符合 不符合 符合 不符合
不符合 符合 不符合 不符合
修约值
13×100 14×100 14×100 14×100
0.5 0.5 0.5 0.6
9.9 9.8 10.1 10.2
1.2 1.2 1.6 1.7
按修约值比 较法判定
原始数据记录时不准任意舍弃测试数据的可读尾数，否则 造成两次或多次修约错误。
《拉力、压力、和万能试验机》（JJG139-1999）
实测值 15.4546
报出值 15.5 -
-15.4546
-15.5 -
16.5203
16.5 +
-16.5203
-16.5 +
17.5000
17.5
修约值 15 -15 17 -17 18
4、0.5单位和0.2单位修约
对数值进行修约时，如有必要，也可采用0.5单位 和0.2单位修约。
A、拟舍弃数字最左一位数字小于5，则舍去，其 余各位数字不变.
如：将12.1498修约到个位，得到12；修约到一位 小数，得到12.1。
B、拟舍弃数字最左一位数字大于5，则进一，即 保留数字的末位数字加1。
如：将1268修约到“百”位数，得到13×102， （特定的场合也可写作1 300）
C、拟舍弃数字最左一位数字是5，且其后有非0数 值时进一，即保留数字的末位数字加1。
超过A到B
A﹤X≤B A﹤●≤B
＞A～B
大于或等于A且小于B 大于A且小于B
至少A不足B
A≤X ﹤ B A≤ ● ﹤ B
A～ ﹤ B
超过A不足B
A ﹤ X ﹤ B A ﹤ ● ﹤B
3、带有极限偏差的数值
A、基本数值X带有绝对极限上偏差+b1和绝对极 限下偏差-b2，指从X- b2到X+ b1符合要求，计为 ：X+b1-b2。当b1= b2时，可以记为X±b。
C、全数值比较法：将测试所得测定值或计算值 不经过修约处理（或经过修约处理，但应标明它 是经过舍去、进或未舍未进而得），用该数值与 规定的极限数值作比较，只要超出极限数值规定 的范围，都判定为不符合要求。
D、修约值比较法：将测定值或其计算值进行修 约，修约数位应该与规定的极限数值位数相一致 。然后与标准规定的极限数值比较，只要超出极 限数值规定的范围，都判定为不符合要求。
832
4160
4200
840
-930
-4650
- 4600
-920
三、极限数值的表示与判断
1、表示极限数值的基本用语
基本用语
符号
特定情形下的基本用语
备注
大于A
﹥A
多于A
高于A
测定值或计算值恰好为A 时不符合要求
小于A
﹤A
少于A
低于A
测定值或计算值恰好为A 时不符合要求
大于或等于A
≥A
不小于A
如：16.50 +表示实际值大于16.50；
16.50 -表示实际值小于16.50；
16.50 表示实际值等于16.50；
b、如对报出数值进行修约，当拟舍去数字的最左一 位数字为5，且其后无数字或皆为零时，数值右 上角有“+”号时者进一，修约数据末位加1， 有“-”号者舍去，其它皆按以上规则实行。
如将下列数值修约到个位
如：80+2-1mm，指从79mm到82mm符合要求。
B极的、限相基下对本偏 偏数差 差值-值bA2[%(带R，有-A指绝)/A实对]从测极-值限b2或%上其到偏计+差b算+1%b值1符%R合和对要绝于求对A ，计为：X+b1-b2%。
如：510Ω（1±5%），指实测或计算值R（ Ω）
对于510 Ω的相对偏差值[(R-510)/510]从-5%到
-60.75 -121.50
- 122
61
B、0.2单位的修约方法：
将拟修约的数值X乘以5，按指定的修约间隔对5X进行依照 以上原则修约，修约后数值除以5.
如：将以下数据修约到“百”数位的0.2单位的修约值
X
5X
5X修约值
X修约值
830
4150
4200
840
842
4210
4200
840
不符合 符合 符合 符合
符合 符合 符合 不符合
符合 不符合 符合 不符合
符合 符合 符合 不符合
谢 谢 大 家！
GB/T8170-2008
原始数据的读取、ห้องสมุดไป่ตู้录 和处理细则
一、原始数据读取规则 1. 测量前，应估计试样的被测量值。 2. 按检测实施细则规定，选择试验机或其他测量器具及其
相应的量程（指示度盘）； 3. 检测（测量）中，严格按照所选量程确定的分度（最小
6、估读位采用二分之一分度估读法： 二分之一分度估读法：先确认量程，然后将分度（最小
刻度）值一分为四，示值< 四分之一分度，读前一刻度值 ；示值≥四分之一分度，示值< 四分之三分度，读二分之 一分度值；示值≥四分之三分度，读后一分度值。
二、原始数据记录规则
1. 仪器设备的最小示值(间隔)为1.0× （kN；N；kg；g； cm；mm；……)，则末位按二分之一估读法读取并记录至 0.5 × 的整数倍。
不少于A
不低于 A
测定值或计算值恰好为A 时符合要求
小于或等于A
≤A
不大于A
不多于A
不高于 A
测定值或计算值恰好为A 时符合要求
2、表达极限数值X的组合用语及符号
组合基本用语
组合允许用语
表示方式1
符号 表示方式2
表示方式3
大于或等于A且小于等于B 从A到B
A≤X ≤ B
A≤ ● ≤ B
A～B
大于A且小于等于B
5. 个别最小分度值为2.5× 的设备，“可读能力”确定为 1/5（JJG139-1999），末位估读采用五分之一最小分度值 估读法。方法为：将最小分度值一分为五，然后估读并记 录至0.5 m× 的整数倍，m为0～5的自然数。
6. 游标卡尺类测试器具应按其精度读取并记录，（例：精 度为0.02的游标卡尺其读数和记录的尾数只可能为0.02的 整数倍）。
A、0.5单位的修约方法：
将拟修约的数值X乘以2，按指定的修约间隔对2X 进行依照以上原则修约，缩短为数值除以2.
如：将以下数据修约到”个”数位的0.5单位修约
X
2X
2X修约值
X修约值
60.25
120.50
120
60
60.38
120.76
121
60.5
60.28 120.56
121
60.5
刻度）值读数： 4. 带有数字式指示装置类型的仪器、设备，待末位数字稳
定（或变动稳定）后读数； 4.1 数字式指示装置的“可读能力” 。
4.1.1当示值的变动不大于1个增量时，则应为数字示值的 一个增量；
4.1.2当示值的变动大于1个增量时，则应为数字式示值变 动范围的1/2。
5、 指针式仪器、设备或有刻度（带有、不带有游标）的 仪表、设备和其他带有这种类型模拟指示装置的检测器具 ，“可读能力”一般可定为为分度（最小刻度）值的1/2 、1/5或1/10，为保证最大读数误差小于等于1%，我们确 定“可读能力”为1/2（参照JJG139-1999），读数时从分 度（最小刻度）值向后估读一位；
如：对于保留三位小数，或修约间隔为10-3
-0.0365 →-36 ×10-3也可写作-0.036
-0.0355 →-36 ×10-3也可写作-0.036
数值修约规则口诀 四舍六入五考虑 五后非零则进一 五后皆零视奇偶 五前为偶应舍去 五前为奇则进一
3、不允许连续修约
A、拟修约数字应在确定修约间隔或指定修约位数 后一次修约获得结果，不得多次连续修约。
2. 仪器设备的最小示值(间隔)为2× （kN；N；kg；g；cm ；mm；……)，则末位按二分之一估读法读取并记录至 1× 的整数倍。
3. 仪器设备的最小示值(间隔)为4× （kN；N；kg；g；cm ；mm；……)，则末位按二分之一估读法读取并记录至 2× 的整数倍。
4. 仪器设备的最小示值(间隔)为5.0× （kN；N；kg；g； cm；mm；……)，则末位按二分之一估读法读取并记录至 2.5× 的整数倍。
二、数值修约规则
1、确定修约间隔 A、指定修约间隔为10-n（n为正整数），或指 明将数值修约到n位小数。
B、指定修约间隔为1，或指明将数值修约到 “个”位数。
C、指定修约间隔为10n（n为正整数），或指明 将数值修约到n数位，或指明将数值修约到“十”、 “百”、“千”。。。。位。
2、进舍规则
如：对于修约间隔为1
正确的修约为：97.465 →97；
不正确的修约为： 97.465→97.5 →98。
B、在实际工作中，测试与计算部门先将获得数值 按指定的修约数位多一位或几位报出，而后由其 它部门判定，此时应该遵循以下规定：
a、报出数值的最右的非零数字为5时，应该在数字 的右上角加“+”或“-”或不加符号，分别表 示已经进行过舍、进或未舍未进。
数据修约
中铁港航局工程检测中心 周小勇
一、基本概念
1、数值修约：通过省略原数值的最后若干位 数字，调整保留的末位数字，使得最后得到的数 值最接近原始数值的过程。
2、修约间隔：修约值的最小数值单位。修约 间隔数值一经确定，修约值即为该数值的整数倍。
3、极限数值：标准（或技术规范）中规定考 核的以数量形势给出且符合该标准（或技术规范） 要求的指标数值范围的界限值。