近似值与估算

近似值与估算
在计数、度量和计算过程中，得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。

但在大多数情况下，得到的是与实际情况相近的、有一定误差的数，这类近似地表示一个量的准确值的数叫做这个量的近似数或近似值。

例如，测量身高或体重，得到的就是近似数。

又如，统计全国的人口数，由于地域广人口多，统计的时间长及统计期间人口的出生与死亡，得到的也是近似数。

用位数较少的近似值代替位数较多的数时，要有一定的取舍法则。

要保留的数位右边的所有数叫做尾数，取舍尾数的主要方法有：
（1）四舍五入法。

四舍，就是当尾数最高位上的数字是不大于4的数时，就把尾数舍去；五入，就是当尾数最高位上的数字是不小于5的数时，把尾数舍去后，在它的前一位加1。

例如：7.3964…，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.40。

（2）去尾法。

把尾数全部舍去。

例如：7.3964…，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.39。

（3）收尾法（进一法）。

把尾数舍去后，在它的前一位加上1。

例如：7.3964…，截取到千分位的近似值是7.397，截取到百分位的近似值是7.40。

表示近似值近似的程度，叫做近似数的精确度。

在上面的三种方法中，最常用的是四舍五入法。

一般地，用四舍五入法截得的近似数，截到哪一位，就说精确到哪一位。

典型题解
例1有13个自然数，它们的平均值精确到小数点后一位数是26.9。

那么，精确到小数点后两位数是多少？
分析与解：13个自然数之和必然是整数，因为此和不是13的整数倍，所以平均值是小数。

由题意知，26.85≤平均值＜26.95，所以13个数之和必然不小于26.85的13倍，而小于26.95的13倍。

26.85×13＝349.05，
26.95×13＝350.35。

因为在349.05与350.35之间只有一个整数350，所以13个数之和是350。

350÷13＝26.923…
当精确到小数点后两位数时，是26.92。

例1中所用的方法可称为“放缩法”。

对于一个数，如例1中13个数的平均数，如果不知道它的确切数值，那么可以根据题设条件，适当地将它放大或缩小，再进一步确定它的具体数值。

当然，这里的“放
大”与“缩小”都要适当，如果放得过大或缩得过小，则可能无法确定正确值，这时“放缩”就失败了。

例2 求下式的整数部分：
分析与解：对分母使用放缩法，有
所以199.1＜原式＜200，原式整数部分是199。

例3 求下式的整数部分：
1.22×8.03+1.23×8.02+1.24×8.01。

分析与解：在1.22×8.03， 1.23×8.02与1.24×8.01中，各式的两个因数之和都相等。

当两个数的和一定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大，于是得到
1.22×8.03＜1.23×8.02＜1.24×8.01。

因为1.22×8.03＞1.22×8，所以
原式＞1.22×8×3=29.28；
因为 1.24×8.01＜1.25×8，所以
原式＜1.25×8×3=30。

由29.28＜原式＜30知，原式的整数部分是29。

前面讲过，四舍五入的方法是取近似值最常用的方法。

但在实际问题中，一定要注意灵活运用，特别要注意有些问题不宜使用四舍五入的原则。

例4某人执行爆破任务时，点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑，其奔跑的速度为7米/秒。

已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。

问：导火线的长度至少多长才能确保安全？（精确到0.1米）
解：0.112×（70÷5）
＝0.112×10
＝1.12≈1.2（米）
答：导火线至少长1.2米。

此题采用收尾法。

如果你的答案是1.1米，执行任务的人还没跑到安全地带，炸药就被引爆，那可就太危险了。

例5某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4时，飞去时速度为900千米/时，飞回时速度为850千米/时。

问：该飞机最远飞出多少千米就应返回？（精确到1千米）
解：设该飞机最远能飞出x千米，依题意有
答：飞机最远飞出1748千米就应返回。

此题采用去尾法。

如果按照四舍五入的原则，那么得到x≈1749，当飞机真的飞出1749千米再返回时，恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。

课后自测：
1．有17个自然数，它们的平均值精确到十分位是21.3，那么精确到百分位是多少？
2．老师在黑板上写了14个自然数，让小明计算平均数（保留三位小数），小明计算出的答案是16.387。

老师说小数点后第二位错了，其他的数字都对。

正确答案应该是多少？
3．求下式的整数部分：
2.45×4.05+2.46×4.04+2.47×4.03+2.48×4.02+2.49×4.01。

4．求所有适合不等式的自然数之和。

5．为了修水电站，需要在极短的时间内向河道中投入300米3石料，以截断河流。

如果每辆大型运输车一次可运石料17.5米3，那么为保障一次截流成功，至少需要多少辆运输车？
6．3个相邻的偶数乘积比600000大，比670000小，求这三个相邻偶数。

7．6.有一列数,第一个数是105,第二个数是85,从第三个数开始,每个数都是它前面两个数的平均数.那么第20个数的整数部分是 .
8．设，求的整数部分。

9．一位一百多岁的老寿星，公元年时年龄为岁，则此老寿星2001年多少岁？
10．一条单线铁路全长240千米，每隔20千米有一个会车站（当两车相遇时，一车停在会车站内，另一车可通过）。

甲、乙两列火车同时从两端出发，甲车每小时行75千米，乙车每小时行45千米。

为保证快车正点运行，慢车应给快车让路。

为使等候时间尽量短，乙车应在出发后的第几个会车站等候甲车通过？。