等差数列学案专题
2.2.1 等差数列-王后雄学案
张喜林制2.2.1 等差数列教材知识检索考点知识清单1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于____ ，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数d 叫做等差数列的 .2．等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列；等差数列的公差 时，数列为递减数列； 等差数列的公差 时，数列为常数列．等差数列不会是 ．3．等差数列的通项公式=n a4．要证明数列}{n a 为等差数列，只要证明：当2≥n 时，要点核心解读1．等差数列的定义在等差数列的定义中，要强调“从第二项起”和“同一常数”，这体现了等差数列的基本特征，还要注意公差是“每一项与它前一项的差”，防止将被减数和减数颠倒，如果用数学符号来描述，可叙述为：若d n d a a n n ,2(]≥=-- 为常数），则}{n a 是等差数列．还可以写成：若d N n d a a u n ,1++∈<=- 为常数），则}{n a 是等差数列．[注意] 以上定义中的常数是相对于变量n （项数）而言的．2．等差中项如果a 、b 、c 成等差数列，则称b 是a 与c 的等差中项，由以上定义知：b 是a 与c 的等差中项甘a 、b 、c 成等差数列22c a b b c a +=⇔=+⇔ 3．等差数列的判定(1)用定义判定：即判定d a a n n =-+1（常数）)(+∈N n 或122++=+n n n a a a （即)112n n n n a a a a -=-+++ 是否成立．(2)用通项公式判定：即用}{n a 为等差数列q pn a n +=⇔q p 、(为常数）判定．4．等差数列的通项公式及其变式通项公式：d n a a n )1(1-+=（其中1a 为首项，d 为公差）．变式1：).()(⋅=/-+=m n d m n a a m n变式2：).2(11+∈≥--=N n n n a a d n 且 变式3：).(m n m n a a d m n =/--= [注意] (1)等差数列的通项公式是关于变量n （项数）的一次函数或常数函数（d=0时），因此在解决有关问题时，可用函数方法处理．(2)等差数列的通项公式实质是d a n a n ,,,1四者之间的关系式，只要知道其中三个的值，由它们便可求出另一个的值，特别地，要求等差数列的通项公式，只需先求出首项1a 和公差d5．等差数列的性质(1)等差数列}{n a 中，⋅∈-=-+),()(N m n d m n a a m n(2)若a ，b ，c 成等差数列，则k mc k mb k ma +++,.,也成等差数列（m ，k 为常数）．(3)等差数列}{n a 中，若,q p n m +=+则q p m n a a a a +=+).,,,(+∈N q p m n[特别注意] “数列}{n a 中，若,q p m +=则=m a ,,q P a a +是不成立的．(4)等差数列}{n a 中，若公差d>0，则数列}{n a 为递增数列；等差数列}{n a 中，若公差d<0，则数列}{n a 为递减数列．(5)等差数列}{n a 中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原来的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列，证明：假设从第p 项起，每隔q 项抽出等差数列的项，则组成的新数列是,,,,32q p q q p p a a a a +++ρ ,,)1(q n p a -+ 则有--+q n p a )1(=-+q n p a )2(---+]1)1({q n r p qd d q n p =--+]}1)2([为常数所以等差数列}{n a 中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，显然，剩下的项按原来的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列．(6)若数列}{n b 也是公差为d 的等差数列，则数列+n a 1{λ212}(λλλh n b 是常数）是公差为d )(21λλ+ 的等差数列.证明：因为,)1(,)1(11d n b b d n a a n n -+=-+=所以+n a ]λ])1([112d n a b n -+=λλ-++n b ([12λ,))(1()(]12]1211d n b a d λλλλ+-++=）所以=+--1211n n b a λλ+11[a λ+-])2(d n ])2([12d n b -+λ =)2()(1211-++n b a λλ+](λ,)2d λ所以=+-+--)()(121121n n n n b a b a λλλλ.)(21d λλ+所以数列2121,}{λλλλ<+n n b a 是常数）是公差为d )(21λλ+的等差数列．利用等差数列的性质可使有些问题的解题过程十分简捷．6．等差数列与一次函数的关系通项公式,)1(11d a dn d n a a n -+=-+=即n a 是n 的一次函数式，故表示等差数列各项的点都在一条直线上．如：首项为l ，公差为2的等差数列的通项公式为,12-=n a n 相应的图象是直线12)(-=x x f 上均匀排列开的无穷多个孤立的点，如图2 -2 -1 -1所示，由函数的图象可得等差数列的单调性：当d>0时，数列}{n a 为递增数列（图2 -2 -1-2甲）；当d<0时，数列}{n a 为递减数列（图2 -2 -1-2乙）；当d=0时，数列}{n a 为常数列（图2 -2 -1-2丙）．请注意图象，公差d 恰好为所在直线的斜率，因此有=d ,(n m n m a a n m =/--斜率公式）． 典例分类剖析考点1 等差数列的概念命题规律(1)判断所给出的数列是否为等差数列．(2)判断某一项或某些项是否为等差数列中的项．(3)证明某一数列为等差数列．[例1] (1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(2) -401是不是等差数列-5，-9，-13，…中的项？如果是，是第几项？(3)若数列}{n a 的通项⎩⎨⎧≥+==),2(12),1(1n n n a n 试问数列}{n a 是等差数列吗？ [解析] 第(1)小题是求等差数列的指定项，我们可以先求出首项1a 和公差d ，然后将它们代入等差数列的通项公式，即可求出相应的项，第(2)小题是判断一个数是否为一个等差数列的项，只需令此数等于通项公式，并求解此方程，如果它有正整数解，则此数为该数列的项，否则不是．[答案] (1) 由,20,385,81=-=-==n d a 得.49)3()120(820-=-⨯-+=a(2)由,4)5(9,51-=---=-=d a得到这个数列的通项公式为).1(45---=n a n设-401=-5 -4(n -1)成立．解这个关于n 的方程，得n=100.∴ -401是这个数列的第100项．(3)数列}{n a 不是等差数列，根据等差数列定义，一个数列是等差数列的充要条件是从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，而此数列中虽然有,23423==-=- a a a a 但是,2412=/=-a a 因此此数列不满足等差数列的条件，所以它不是一个等差数列，但可以这样说：此数列从第2项起组成一个等差数列．[启示]d a ,]和n 是等差数列的三个基本量，有关等差数列的问题都可以利用这三个基本量来求解这种方法称为基本量法．[例2]在等差数列}{n a 中，已知,5,1185==a a 求⋅10a[解析] 由题目可获取以下主要信息：已知等差数列中的某两项，求另外一项，解答本题可利用通项公式进行．[答案] 设数列}{n a 的公差为d ．由题意知：⎩⎨⎧=+=+,57,11411d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2,191d a 故.212)2()1(19+-=-⨯-+=n n a n.12110210=+⨯-=∴a[规律方法] 在等差数列}{n a 中，首项1a 与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关d a 、1的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．母体迁移 1．若,2b c a =+则是否有++c b c a (),5(22)(),2b ac a +能构成等差数列．考点2 等差数列的性质及应用命题规律(1)考查对性质的灵活运用．(2)利用等差数列的性质解决一些计算繁琐的问题，达到减小计算量，优化解题过程的目的．[例3] (1)在等差数列}{n a 中，==++642741,15a a a a a a ,45求数列的通项公式；(2)设}{n a 为等差数列，若,45076543=++++a a a a a 求,82a a +(3)若数列}{n a 为等差数列，),(,q p p a q a q p =/==求⋅+q p a[答案] ,2)1(62471a a a a a +==+.1354741==++∴a a a a10,5624=+∴=∴a a a 且.962=a a62,a a ∴是方程09102=+-x x 的两根，⎩⎨⎧==∴9,162a a 或⎩⎨⎧==1,962a a 若12=a 且,96=a 则.32,2-=∴=n a d n同理可得.213n a n -=故32-=n a n 或.213n a n -=(2)解法一：,28256473a a a a a a a +==+=+.0455576543==++++∴a a a a a a.1802,905825==+∴=∴a a a a解法二：因为}{n a 为等差数列，设首项为,1a 公差为d ，+=++++++=+++∴11117435632a d a d a d a a a a ,20d 即d a d a 4,45020511+∴=+ ，90=.180********=+=+++=+∴d a d a d a a a(3)解法一：可用通项公式求解，,)1(,)1(11d q a a d p a a q p -+=-+=①⎩⎨⎧=-+=-+∴.)1(,)1(11p d q a q d p a 两式相减，得⋅-=-p q d q p )(.1,-=∴=/d q p 代入①，有.1,)1)(1(11-+=∴=--+q p a q p a故.0)1()1(1)1(1=-⋅-++-+=-++=+q p q p d q p a a q p解法二：利用关系式d m n a a m n )(-+=求解，,)(,)(d q p p q d q p a a q p -+=∴-+=即.1,.)(-=∴=/-=-d q p d q p p q故.0)1()][(=-+=-++=+q q d p q p a a p q ρ解法三：利用一次函数图象求解．不妨设p<q ，由于等差数列中，n a 关于n 的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点 ,(),,q a p p （),(),q p q a q p a ++共线．设,m a q p =+由已知得三点),(),,(),,(m q p p q q p +共线（如图2 -2 -1-3）．由 △ABE ∽ △BCF 得,CFBF BE AE = pm p q q p m p p q p q -=∴-+-=--∴1)( 得,0=m 即.0=+q p a[启示] (1)等差数列性质q p n m +=+“且,,,p n m ”q p n m a a a a N q +=+⇒∈+是否可推广为“若,,+∈N n m 则+m a ”？n m n a a +=不行．例如，当n a n 213-=时，则,854=+a a 而.59-=a 显然 ,n m n m a a a +=/+但该性质可推广为三项情形，即s q p t n m ++=++且+⇒∈+m a N s q p t n m ,,,,,”s q p t n a a a a a ++=+以及四项乃至一般情形，只要两边项数一样，且下标和相等即可，请你完成它的证明．(2)上述各种解法无不体现了等差数列性质的灵活运用．母体迁移 2．等差数列}{n a 中：(1)若,,147n a m a ==则=21a(2)若,1531-=++a a a 则=++++54321a a a a a(3)若,52.,34525432==+++a a a a a a 且,24a a >则=5a(4)若,53=a 则=+412a a考点3 等差数列的通项公式命题规律(1)利用解方程组的方法求1a 和d ，从而求出通项公式．(2)利用通项公式及其变形形式解决一些简单的问题[例4] （2010年辽宁省部分重点中学联考题）在等差数列{n a }中，已知,5,1185==a a 求⋅10a[答案] 方法一：设数列}{n a 的公差为d ，由题意知：⎩⎨⎧=+=+,57,11411d a d a 解得 ⎩⎨⎧-==.2,191d a 故 .212)2()1(19+-=-⨯-+=n n a n.12110210=+⨯-=∴a 方法二：,,)(m n a a d d m n a a m n m n --=∴-+=,231155858-=-=--=∴a a d .1)2(252810=-⨯+=+=d a a[方法技巧] 在等差数列}{n a 中，首项1a 与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关d a 、1的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．母体迁移 3．已知两个等差数列 ,11,8,5:}{n a 与,,11,7,3:}{ n b 它们的项数均为100项，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？考点4 等差数列与一次函数命题规律(1)深刻理解等差数列，进一步理解数列是一特殊的函数，特例是等差数列是一次函数，其中公差d 为斜率．(2)可用函数的性质来处理等差数列问题．[例5] 已知(1，1)，(3，5)是等差数列}{n a 图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)画出这个数列的图象；(3)判断这个数列的单调性．[答案] (1)由于(1，1)，(3，5)是等差数列}{n a 图象上的两点，所以,5,131==a a 由1213=+=d a a,52=+d 解得,2=d 于是.12-=n a n(2)图象是直线12-=x y 上一些等间隔的点（图略）．(3)因为一次函数12-=x y 是增函数，所以数列}{n a 是递增数列．[启示] 本题综合考查数列的通项公式、图象和性质．母体迁移 4．已知数列}{n a 的通项公式为+=2pn a n qn （常数).,R q p ∈(1)当p ，q 满足什么条件时，数列}{n a 是等差数列？(2)求证：对于任意的实数p 和q ，数列}{1n n a a -+是等差数列．考点5 等差数列模型的实际应用命题规律(1)利用等差数列的知识从实际问题中抽象出等差数列的模型．(2)通过构造等差数列的模型去解决实际问题．[例6] 某人有七位朋友，第一位朋友每天晚上都去他家看他，第二位朋友每隔一个晚上到他家去，第三位朋友每隔两个晚上去他家串门，第四位朋友每隔三个晚上去他家做客．依此类推，直至第七位朋友每隔六个晚上在他家出现．这七位朋友昨晚在主人家中碰面，他们还会同一个晚上在主人家中碰面吗？[答案] 第一位朋友每天晚上在主人家；第二位朋友以后在主人家中的天数为：2，4，6，8，…，这些数构成以2为首项，公差为2的等差数列，通项公式为：,2⋅=n a n第三位朋友以后在主人家中的天数为：3，6，9，…，这些数构成以3为首项，公差为3的等差数列，通项公式为：,3⋅=n a n第四、五、六、七位朋友晚上在主人家的天数分别构成以4，5，6，7为首项，公差为4，5，6，7的等差数列；通项公式分别为：;7,6,5,4n a n a n a n a n n n n ====他们要在同一晚上出现，这个数应为这七个数列的公共项，这一项是2，3，4，5，6，7的倍数，而2，3，4，5，6，7的最小公倍数为420，因此第420，840，1260，…天晚上他们会同时在主人家出现．母体迁移 5．为了测试某种金属热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从C 100开始第1次测量细棒长度，以后每升高C50测量一次，把依次量得的数据所成的数列}{n l 表示成图象如图2 -2 -1-4，根据图象解答下列问题：(1)第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？(2)求}{n l 的通项公式和金属长度L （单位：m ）关于温度t 单位：℃）的函数关系式（设长度是关于温度的一次函数）；(3)在C 30的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到,500C o 问铺设时两块金属板之间至少要留多宽的空隙？优化分层测讯学业水平测试1.2006是等差数列4，6，8，…的( )．A ．第1002项B ．第1001项C ．第1003项D ．第1006项 2．在数列}{n a 中，),(122,211++∈+==N n a a a n n 则101a 的值为( )．49.A 50.B 51.C 52.D3．在等差数列中，),(,n m m a n a n m =/==则n m a +为( )．n m A -. 0.B 2.m C 2.n D4．设数列}{},{n n b a 都是等差数列，且=+==2211,75,25b a b a ,100则3737b a +等于( )． 0.A 37.B 100.C 37.-D5．在等差数列}{n a 中，若,45076543=++++a a a a a 则82a a +的值等于 6．若,b a =/两个等差数列b x x a ,,,21与b y y y a ,,,,321的公差分别为,,21d d 则=21d d 7．已知数列}{n a 中，,66,2171==a a 通项n a 是项数n 的一次函数，则通项公式=n a 8．体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有15个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位．你能用n a 表示第n 排的座位数吗？第10排能坐多少个人？高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1．（2011年重庆高考题）在等差数列}{n a 中，,4,232==a a 则=10a ( )．12.A 14-B 16.C 18.D)23lg(2-⋅与)23lg(+的等差中项为( )．0.A 2323lg+-⋅B )625lg(-⋅C 1.D3．等差数列}{n a 中，),(,l m m a l a i m =/==则通项公式为( )．n l m a A n ++=. n m a B n -+=1. l m n a C n --=. 2.nl m a D n ++=4．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=-||n m ( )． 1.A 43.B 21.C 83.D5．-个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是( )．2.-A3.-B4.-C 6.-D 6．（2010年湖北黄冈调考题）已知数列}{n a 的前n 项和为=n s ,2n 则++++322111a a a a200620051a a ++的值是( )．214010.-A 214011.-B 214012.-C 214013.-D 7．（高考题改编）下表给出一个等差数阵，其中每行每列都是等差数列，⋅ij a 表示第i 行第J 列的数，则66a 的值是( )．50.A 43.B 24.C 58.D8．（2010年北京海淀区练习题）已知数列}{},{n n b a 都是公差为l 的等差数列，其首项分别为,11b a 、且∈=+1111,,5b a b a ⋅+N 设),(+∈=N n a c n b n 则数列}{n c 的前10项和等于( )．55.A 70.B 58.C 010.D二、填空题（本题包括4小题，每小题5分．共20分）9．（2009年上海高考题）已知函数．,tan sin )(x x x f +=项数为27的等差数列}{n a 满足),2,2(ππ-∈n a 且公差.0=/d 若+)(1a f ,0)()(272=++a f a f 则当=k 时，.0)(=k a f10.（2010年南京市调考题）将等差数列2，7，12，17，22，…中的数按顺序抄写在本子上，如下表所示，若每行写12个数，每页共15行，则数2007应抄在第 页第 行第 个位置上．11.（2010年苏州市模拟题）在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数为 12.若)23lg(),23lg(,lg +-x x x 成等差数列，则=22log x三、解答题（本题包括3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（13分）已知数列}{n a 为等差数列，,1c a =公差为l ，若=n b ),(122++∈-N n a a n n 试判断数列}{n b 是否为等差数列？并证明你的结论．14.（13分）（2010年东北八校联考题）已知数列}{n a 为等差数列，关于x 的方程2122++++i i i a x a x a),,,2,1(0n i ==且d d a i (0=/为公差）． (1)这些方程是否有公共根？若有，求出它；若没有，请说明理由； (2)在方程有一个公共根的条件下，设另一个根为,i x 则⋅+++11,,11,1121n x x x 是否成等差数列？证明你的结论．15.（14分）（2010年北京模拟题）已知数列}{n a 和}{n b 满足关系式：⋅∈+++=+)(21N n na a ab nn (1)若,2n b n =求数列}{n a 的通项公式；(2)若}{n b 是等差数列，求证：}{n a 也是等差数列．。
5.2等差数列学案
5.2等差数列（第一课时）恩平市第一中学 郑 凯一、考纲要求1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。
4.了解等差数列与一次函数的关系 二、基础知识梳理 1、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列 ，通常用字母 表示。
数学符号表示为： 2、等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是： 等差数列的通项公式可以变形为： ，从而()n ma a d m n n m-=≠-。
注：数列{}n a 为等差数列，则通项公式1(1)n a a n d =+-可以写成关于n 的一次函数形式：(,)n a pn q p q =+是常数，反之亦然。
3、等差中项：如果,,a A b 成等差数列，那么 叫做a 与b 的等差中项且 4、等差数列的前n 项和公式12...n n s a a a =+++；n s = = 注：等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n s na d -=+可以写成关于n 的无常数项的二次函数21()22n d ds n a n =+-=2n s An Bn =+ 5、等差数列的性质数列{}n a 是等差数列，若*(,,,)m n p q m n p q N +=+∈，则 ，特别地，若*2(,,)m n p m n p N +=∈，则二、基础自测1、在数列{}n a 中，若11a =，1=+2(n 1)n n a a +≥，则该数列的通项公式n a =（ ） A ．21n - B. 21n + C. 23n -+ D. 32n -2、设命题甲：ABC ∆的一个内角为60 ，命题乙：ABC ∆的三个内角的度数成等差数列。
那么（ ）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 三、考点巧突破考点一、等差数列的基本运算例1、 (1) (2013年安徽)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A ． －6B ．－4C ．－2D ．2（2）已知在等差数列{}n a 中, 79416,1a a a +==，则12a =（ ） A.15 B.30 C.31 D.64（3）已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a +=互动探究：1、（2014年重庆）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =（ ）A ．5 B.8 C.10. D.14 2、已知等差数列{}n a 的前13项之和为134π，则678tan()a a a ++=（ ） A ．33B ．3C ．1-D ．1 【规律方法】1、基本量法：运用方程的思想“知三求二”2、运用等差数列的性质，“巧用性质，简化运算”考点二、等差数列的前n 项和例2：（1）、在等差数列{}n a 中，3577,26,a a a =+={}n a 的前n 项和n s ,求n a 及n s 。
《等差数列的前 n 项和》 导学案
《等差数列的前 n 项和》导学案一、学习目标1、掌握等差数列前 n 项和公式及其推导方法。
2、能够熟练运用等差数列前 n 项和公式解决相关问题。
3、体会等差数列前 n 项和公式的应用价值，提高数学思维能力。
二、学习重难点1、重点（1）等差数列前 n 项和公式的推导和应用。
（2）利用等差数列前 n 项和公式解决实际问题。
2、难点（1）等差数列前 n 项和公式的推导过程中数学思想方法的理解。
（2）灵活运用等差数列前 n 项和公式进行变形和求解。
三、知识回顾1、等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
2、等差数列的通项公式：＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）（＼（a_1\）为首项，＼（n\）为项数，＼（d\）为公差）四、引入新课在日常生活中，我们经常会遇到这样的问题：一个等差数列的各项之和是多少？例如，一堆按等差数列排列的钢管，如何快速计算它们的总数？这就涉及到等差数列的前 n 项和。
五、等差数列前 n 项和公式的推导方法一：倒序相加法设等差数列\（＼｛a_n\｝＼）的首项为\（a_1\），公差为\（d\），前\（n\）项和为\（S_n\），则\（S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＼cdots ＋a_n\）①我们将上式倒过来写可得：＼（S_n ＝ a_n ＋ a_{n 1} ＋ a_{n 2}＋＼cdots ＋ a_1\）②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n 1}）＋（a_3 ＋ a_{n 2}）＋＼cdots ＋（a_n ＋ a_1)＼＼＆＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_1 ＋ a_n) ＋（a_1 ＋ a_n) ＋＼cdots ＋（a_1 ＋ a_n)＼＼＆＝n(a_1 ＋ a_n)＼end{align}＼所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼）又因为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋a_1 ＋（n 1)d)｝｛2} ＝＼frac{n2a_1 ＋（n 1)d}｛2}＼）方法二：通项公式法由等差数列的通项公式\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）可得：＼＼begin{align}S_n&＝a_1 ＋（a_1 ＋ d) ＋（a_1 ＋ 2d) ＋＼cdots ＋ a_1 ＋（n 1)d\＼＆＝na_1 ＋ d(1 ＋ 2 ＋＼cdots ＋（n 1)）＼＼＆＝na_1 ＋＼frac{n(n 1)｝｛2}d＼end{align}＼六、等差数列前 n 项和公式的应用1、已知\（a_1\），＼（d\），＼（n\），求\（S_n\）例 1：在等差数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＝ 2\），＼（d ＝3\），＼（n ＝ 10\），求\（S_{10}＼）。
《等差数列》教案优秀3篇
《等差数列》教案优秀3篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高三数学必修五教案《等差数列》优秀4篇
高三数学必修五教案《等差数列》优秀4篇1. 引言本教案是针对高三数学必修五教材中的《等差数列》内容进行设计的。
《等差数列》是高中数学中的重要概念，对学生理解数列的规律和应用具有重要意义。
本教案旨在通过多种不同的教学方法和活动，帮助学生深入理解等差数列的定义、性质和应用。
2. 教案一：等差数列的定义和性质2.1 教学目标•了解等差数列的定义；•掌握等差数列的通项公式；•理解等差数列的性质。
2.2 教学内容1.等差数列的定义；2.等差数列的通项公式；3.等差数列的性质。
2.3 教学活动•分组讨论：学生分成小组，讨论等差数列的定义和通项公式，并总结出等差数列的性质；•演示教学：教师通过示例，引导学生理解等差数列的定义和通项公式，并帮助学生掌握等差数列的性质；•练习巩固：学生进行一些练习题，巩固对等差数列的理解。
2.4 教学评价教师通过观察学生在讨论和练习中的表现，评价学生对等差数列的理解程度。
3. 教案二：等差数列的求和公式3.1 教学目标•掌握等差数列的求和公式；•理解求和公式的推导过程；•运用求和公式解决实际问题。
3.2 教学内容1.等差数列的求和公式；2.求和公式的推导过程；3.运用求和公式解决实际问题。
3.3 教学活动•演示推导过程：教师通过详细的步骤，演示等差数列求和公式的推导过程，并帮助学生理解每一步的意义；•练习应用：学生进行一些实例练习，运用求和公式解决实际问题；•小组合作：学生分组讨论，互相解答问题，提高合作能力和解决问题的能力。
3.4 教学评价教师通过观察学生在练习和讨论中的表现，评价学生对求和公式的掌握情况。
4. 教案三：等差数列的应用4.1 教学目标•熟练运用等差数列解决实际问题；•发现等差数列在生活和科学中的应用。
4.2 教学内容1.通过例题引入等差数列的应用；2.探究等差数列在生活和科学中的应用。
4.3 教学活动•案例分析：教师通过具体的案例，引导学生发现等差数列在生活和科学中的应用，并分析其规律；•分组讨论：学生分组讨论，提出更多的应用案例，并探究其规律和特点；•学生报告：每个小组选取一个应用案例进行报告，分享给全班同学。
等差数列的教案
等差数列的教案教案标题：等差数列的教案教学目标：1. 理解等差数列的概念和性质。
2. 掌握等差数列的通项公式和求和公式。
3. 能够运用等差数列的性质解决实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、教材、教具、电脑和投影仪等。
2. 学生准备：教材、作业本、笔和计算器等。
教学步骤：引入（约5分钟）：1. 利用引人入胜的事例或问题，激发学生对等差数列的兴趣。
2. 引导学生思考等差数列的定义，并通过简单的数字序列示例向学生介绍等差数列的特点。
探究（约15分钟）：1. 让学生合作解决一系列等差数列问题，引导他们发现数列中的规律。
2. 向学生提问，帮助他们从已知数列中寻找通项公式的套路。
讲解与示范（约20分钟）：1. 解释等差数列的通项公式和求和公式的推导过程和意义。
2. 通过具体的例子帮助学生理解和应用这些公式。
3. 解释如何利用通项公式和求和公式解决实际问题。
练习与巩固（约15分钟）：1. 给学生分发练习题，让他们独立或合作解答。
2. 布置一道综合题，要求学生利用所学知识解决问题。
3. 及时检查学生答题情况，并给予指导和批评。
拓展（约10分钟）：1. 引导学生思考等差数列在实际生活中的应用。
2. 鼓励学生做更多的练习，巩固所学知识。
3. 提供一些挑战性问题，激发学生的思考和求知欲。
总结（约5分钟）：1. 回顾本节课的重点内容和学习收获。
2. 强调等差数列的重要性和实用性。
3. 激励学生保持学习动力，并鼓励他们在课后进一步探索等差数列的其他应用。
课堂延伸活动：1. 组织学生进行数列游戏，加深对等差数列的理解。
2. 请学生以小组形式设计并演示一些实际应用等差数列的场景。
教学评估：1. 教师根据学生的课堂表现、练习题、作业以及参与度等进行综合评估。
2. 对于出现理解困难的学生，教师可给予额外辅导和指导。
教学反思：通过本节课的设计和实施，学生能够深入理解等差数列的概念和性质，掌握其相关公式，并能运用所学知识解决实际问题。
等差数列教案(多篇)
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解等差数列的概念及其特点；（2）掌握等差数列的通项公式、求和公式；（3）能够运用等差数列解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳等差数列的性质；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（2）引导学生运用数学知识解决实际问题，感受数学的应用价值。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）等差数列的概念及其特点；（2）等差数列的通项公式、求和公式。
2. 教学难点：（1）等差数列的通项公式的推导；（2）等差数列求和公式的应用。
三、教学过程1. 导入新课：（1）回顾等差数列的定义；（2）引导学生思考等差数列的特点。
2. 知识讲解：（1）讲解等差数列的通项公式；（2）讲解等差数列的求和公式。
3. 例题解析：（1）分析等差数列的例题，引导学生运用通项公式和求和公式；（2）讲解解题思路和方法。
4. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生巩固所学知识；（2）引导学生互相讨论，共同解决问题。
四、课后作业1. 巩固等差数列的概念和性质；2. 练习运用通项公式和求和公式解决实际问题。
五、教学反思1. 总结本节课的收获：（1）学生掌握了等差数列的概念和性质；（2）学生能够运用通项公式和求和公式解决实际问题。
2. 反思教学过程：（1）是否充分讲解等差数列的性质和公式；（2）是否注重学生的参与和思考；（3）是否及时给予学生反馈和指导。
3. 改进措施：（1）针对学生的薄弱环节，加强讲解和练习；（2）鼓励学生积极参与，提高课堂氛围；（3）关注学生的学习进度，及时调整教学节奏。
六、教学评价1. 评价内容：（1）等差数列的概念及其特点；（2）等差数列的通项公式、求和公式；（3）运用等差数列解决实际问题的能力。
2. 评价方式：（1）课堂问答；（2）练习题；（3）课后作业；（4）小组讨论。
七、教学资源1. 教学课件：（1）展示等差数列的定义、性质；（2）呈现通项公式、求和公式的推导过程；（3）提供丰富的例题和练习题。
等差数列学案
等差数列学案【等差数列学案】学案目标：1. 理解等差数列的定义和性质；2. 掌握等差数列的通项公式和求和公式；3. 运用等差数列的性质解决实际问题。
学习内容：1. 等差数列的概念2. 等差数列的通项公式3. 等差数列的求和公式4. 等差数列的实际应用学习活动：活动一：理解等差数列的定义和性质（15分钟）1. 引导学生回顾数列的概念。
2. 引入等差数列的定义：如果一个数列中每个后一项与前一项的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。
3. 解读等差数列的性质：等差数列的相邻两项之差始终相等。
活动二：掌握等差数列的通项公式（20分钟）1. 引出等差数列的通项公式：假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项aₙ可以表示为aₙ = a₁ + (n-1)d。
2. 通过示例演示如何使用通项公式计算等差数列的任意一项。
活动三：掌握等差数列的求和公式（20分钟）1. 引出等差数列的求和公式：对于等差数列的前n项和Sₙ，可以表示为Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2。
2. 通过示例演示如何使用求和公式计算等差数列的前n项和。
活动四：运用等差数列的性质解决实际问题（25分钟）1. 提供一些实际问题，如寻找等差数列中的缺失项、求等差数列的特定区间和等，让学生运用等差数列的性质解决。
2. 指导学生根据问题建立等差数列模型，并利用已学知识解决问题。
活动五：综合巩固训练（20分钟）1. 提供一些综合性的练习题，涵盖等差数列的各个方面，以检验学生对所学知识的掌握程度。
2. 鼓励学生通过合作讨论和思考，共同解决问题。
学习反思：1. 小结等差数列的定义和性质；2. 总结等差数列的通项公式和求和公式；3. 思考等差数列在解决实际问题中的应用；4. 反思学习过程中的困难和收获，相互交流分享。
拓展延伸：1. 进一步研究等差数列的推广——等差数列的和（从1到n的等差数列），以及高阶等差数列；2. 探究等差数列的几何意义和数学实际应用。
等差数列教案(精选多篇)
等差数列教案(精选多篇)第一篇：等差数列教案4等差数列（1）教学内容与教学目标1．使学生理解等差数列的定义，掌握通项公式及其简单应用，初步领会“迭加”的方法；2．通过通项公式的探求，引导学生学习归纳、猜测、证明等合情推理与逻辑推理方法，提高学生分析^p 、综合、抽象、概括等逻辑思维能力；3．通过证明的教学过程，培养学生实事求是的科学态度和勇于探索的精神．设计思想1．根据本节内容，我们选用“探究发现式”教学法，并按如下顺序逐步展开：d即的第二通项公式anamd∴ d=amanmn如：a5a4da32da23da14d三、例题讲解例1 ⑴求等差数列8，5，2的第20项⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？解：⑴由a18,d58253n=20，得a208d例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列un中，设数列的第s项和第t项分别为us和ut，计算usut st解：通过计算发现usut的值恒等于公差st证明：设等差数列{un}的首项为u1，末项为un，公差为d，usu1d和an=p n+q (p、q是常数)的理解与应用.第五篇：高中数学等差数列教案(二)课题：3.3 等差数列的前n项和（二）6161,又∵n∈n*∴满足不等式n＜的正整数一共有30个. 22二、例题讲解例1 .求集合m={m|m=2n－1,n∈n*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和. 解：由2n－1＜60,得n＜即集合m中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1, an(a1an)30=59,n=30的等差数列.∵sn=2,∴s30(159)30=2=900.答案：集合m中一共有30个元素，其和为900.例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2分析^p ：满足条件的数属于集合，m={m|m=3n+2,m＜100,m∈n*}解：分析^p 题意可得满足条件的数属于集合，m={m|m=3n+2,m＜100,n∈n*} 由3n+2＜100,得n＜322 3,且m∈n*,∴n可取0，1，2，3， (32)即在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8， (98)它们可组成一个以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差数列.由sn(a1an)n=2,得s33(298)33=2=1650.答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650. 例3已知数列an,是等差数列，sn是其前n项和，求证：⑴s6，s12-s6，s18-s12成等差数列；⑵设sk,s2ksk,s3ks2k （kn）成等差数列证明：设an,首项是a1，公差为d则s6a1a2a3a4a5a6∵s12s6a7a8a9a10a11a12(a16d)(a26d)(a36d)(a46d)(a56d)(a66d)(a1a2a3a4a5a6) 36ds636d∵s18s12a13a14a15a16a17a18(a76d)(a86d)(a96d)(a106d)(a116d)(a126d)(a7a8a9a10a11a12)36d(s12s6)36d∴s6,s12s6,s18s12是以36d同理可得sk,s2ksk,s3ks2k是以kd为公差的等差数列.三、练习：1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.分析^p ：将已知条件转化为数学语言，然后再解.解：根据题意，得s4=24, s5－s2=27则设等差数列首项为a1,公差为d, 24(41)d4a2412则(5a5(51)d)(2a2(21)d)271122a13解之得：∴an=3+2（n－1）=2n+1. d22．两个数列1, x1, x2, ……,x7, 5和1, y1,y2, ……,y6, 5均成等差数列公差分别是d1, d2, 求xx2x7d1与1y1y2y6d2解：5＝1＋8d1, d1＝d147, 又5＝1＋7d2, d2＝, ∴1＝; d2278x1+x2+……+x7＝7x4＝7×15＝21,2y1+y2+ ……+y6＝3×(1＋5)＝18,∴x1x2x77＝. y1y2y663．在等差数列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求数列{an}的前n项和snsn解法1：∵a4＝a1＋3d, ∴ －15＝a1＋9, a1＝－24,3n(n1)3512512∴ sn＝－24n＋＝[(n－)－],36226∴ 当|n－51|最小时，sn最小， 6即当n＝8或n＝9时，s8＝s9＝－108最小.解法2：由已知解得a1＝－24, d＝3, an＝－24＋3(n－1),由an≤0得n≤9且a9＝0,∴当n＝8或n＝9时，s8＝s9＝－108最小.四、小结本节课学习了以下内容：an是等差数列，sn是其前n项和，则sk,s2ksk,s3ks2k （kn五、课后作业：1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.解：由(n－2)·180＝100n＋n(n1)×10， 2求得n2－17n＋72＝0,n＝8或n＝9,当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8.2．已知非常数等差数列{an}的前n项和sn满足10snm23n2(m1)nmn解：由题设知2n2(n∈n, m∈r), 求数列{a5n3}的前n项和. sn＝lg(m32即 sn＝[(m1)n2mn(m1)n2mn)＝lgm＋nlg3＋lg2,52(m1)mlg2]n2＋(lg3＋lg2)n＋lgm2,55∵ {an}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式(m1)lg2≠0且lgm2＝0, ∴ m＝－1, 5212 ∴ sn＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,55(请您支持.aoo.) 3 则当n=1时，a1＝lg3lg2 521当n≥2时,an＝sn－sn1＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2) 5541＝nlg2lg3lg2 55∴41nlg2lg3lg2 554 d=an1an=lg2 541a5n3=(5n3)lg2lg3lg2 5511=4nlg2lg3lg2 531数列{a5n3}是以a8=lg3lg2为首项,5d=4lg2为公差的等差数列，∴数列5∴an＝{a5n3}的前n项和为n·(lg331211lg2)＋n(n－1)·(4lg2)＝2n2lg2(lg3lg2)n 2553．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.解：设这个数列的首项为a1, 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等12a166d35432, 解得d＝5. 差数列，由已知得6a230d6a130d27解法2：设偶数项和与奇数项和分别为s偶，s奇，则由已知得s偶s奇354s32,求得s偶＝192，s奇＝162，s偶－s奇＝6d, ∴ d＝5. 偶s27奇4．两个等差数列，它们的前n项和之比为5n3, 2n1解：a9a1a17b9b1b1717(a1a17)s8. 17"17s173(b1b17)2 5．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110 解：在等差数列中，s10, s20－s10, s30－s20, ……, s100－s90, s110－s100, 成等差数列，∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，10s10＋109·d＝s100＝10, 解得d＝－22 2∴ s110－s100＝s10＋10×d＝－120, ∴ s110＝－110.6．设等差数列{an}的前n项和为sn，已知a3＝12，s12>0，s13<0，(1) 求公差d的取值围；(2) 指出s1, s2, s3, ……,s121211s12ad01122a111d02解：(1) ,1312a6d01s1313a1d02 ∵ a3＝a1＋2d＝12, 代入得247d024, ∴ －<d<－3, 73d0(2) s13＝13a7<0, ∴ a7<0, 由s12＝6(a6＋a7)>0, ∴ a6＋a7>0, ∴a6>0,s6最大.六、板书设计（略）七、课后记：。
高中数学数列教案：等差数列精选4篇
高中数学数列教案：等差数列精选4篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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等差数列等比数列学案
等差数列学案（一）一：考纲要求1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 二、必记知识1．等差数列的定义： 或 ,2．等差数列的通项公式: a n= = ， =3．等差中项 若三个数a ，A ，b 成等差数列. 则有 。
4．等差数列的前n 项和 S n = = = 。
5 等差数列的性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．此性质常与S n ＝n （a 1＋a n ）2联系(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)．(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12(6)在等差数列{a n }中， 若项数为偶数2n ， S 偶－S 奇＝nd ；(7)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.三，讲授疑点 四．方法，规律1利用等差数列的性质巧妙设项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．2 等差数列的通项公式，前n 项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a 1和d .五，学会应用 第一环节：我能行A1 (2014·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若 a 2，a 4，a 8 成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n （n ＋1）2 D.n （n －1）2A2 (2014·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8 B ．10 C ．12 D ．14A1 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 A2．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝26，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176A3．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40A4. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 013等于( ) A ．2 013 B ．－2 013 C ．－4 026 D ．4 026第二环节:小组讨论 （合作，互助） 第三环节：展示问题，答案 六 课堂小结（学生写下来）1．我学会了： 2.我的难点是：七：更上一层楼B1 (2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6B2 若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10等差数列学案（二）一：学习目标1掌握等差数列的判定与证明2会求等差数列前n 项和的最值二、必记知识，方法1等差数列的判定方法(1)定义法：对于任意自然数n ≥2，验证a n －a n －1为同一常数． (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立． (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q . (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断． 2．求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值．即找到a n 的正负分界点即可。
等差数列教案(多篇)
等差数列教案(精选多篇)一、教学目标：1. 理解等差数列的定义及其性质。
2. 学会运用等差数列的通项公式和求和公式。
3. 能够解决与等差数列相关的实际问题。
二、教学内容：1. 等差数列的定义：介绍等差数列的概念，解释相邻两项的差称为公差。
2. 等差数列的性质：探讨等差数列的性质，如项数与项的关系，相邻项的关系等。
3. 等差数列的通项公式：推导等差数列的通项公式，并解释其意义。
4. 等差数列的求和公式：推导等差数列的求和公式，并解释其意义。
5. 等差数列的应用：解决与等差数列相关的实际问题，如数列的前n 项和、项的值等。
三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解等差数列的定义、性质、通项公式和求和公式。
2. 利用数列图和实例，帮助学生直观地理解等差数列的特点。
3. 运用练习题，让学生巩固所学知识，培养解题能力。
4. 鼓励学生提问和参与讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
四、教学评估：1. 课堂练习：布置相关的练习题，检查学生对等差数列的理解和运用能力。
2. 课后作业：布置综合性的习题，要求学生在课后完成，以巩固所学知识。
3. 单元测试：进行单元测试，全面评估学生对等差数列的掌握程度。
五、教学资源：1. 教案：提供详细的教案，方便教师进行教学设计和组织课堂活动。
2. PPT：制作精美的PPT，辅助教学，增加课堂的趣味性。
3. 练习题：提供丰富的练习题，满足不同学生的学习需求。
4. 教学视频：引入相关的教学视频，帮助学生更好地理解等差数列的概念和性质。
六、教学活动：1. 引入等差数列的概念：通过数列图或实际例子，引导学生认识等差数列，理解相邻两项的差称为公差。
2. 探索等差数列的性质：组织学生进行小组讨论，探讨等差数列的性质，如项数与项的关系，相邻项的关系等。
3. 推导等差数列的通项公式：引导学生运用数学归纳法或几何方法推导等差数列的通项公式。
4. 推导等差数列的求和公式：引导学生运用数列的性质和代数方法推导等差数列的求和公式。
高三数学必修五教案等差数列优秀4篇
高三数学必修五教案等差数列优秀4篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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等差数列教案(多篇)
等差数列教案(精选多篇)第一章：等差数列的概念与性质1.1 等差数列的定义引导学生回顾数列的概念，介绍等差数列的定义。
通过示例让学生理解等差数列的特点，即每一项与前一项的差是一个常数。
1.2 等差数列的性质探讨等差数列的通项公式，引导学生理解等差数列的规律。
引导学生发现等差数列的求和公式，并通过例题进行解释和应用。
第二章：等差数列的求和2.1 等差数列的前n项和公式引导学生推导等差数列的前n项和公式。
通过例题让学生掌握前n项和公式的应用，解决等差数列的求和问题。
2.2 等差数列的求和性质引导学生探索等差数列的求和性质，如求和的对称性、求和的倍数性质等。
通过练习题让学生巩固等差数列的求和技巧。
第三章：等差数列的通项公式3.1 等差数列的通项公式推导引导学生回顾等差数列的性质，推导出等差数列的通项公式。
通过示例让学生理解通项公式的含义和应用。
3.2 等差数列的通项公式应用引导学生运用通项公式解决等差数列的问题，如求特定项的值、判断数列的性质等。
通过练习题让学生熟练掌握通项公式的应用。
第四章：等差数列的图像与性质4.1 等差数列的图像引导学生绘制等差数列的图像，理解图像与数列的关系。
通过示例让学生观察图像的特性，如直线趋势、斜率等。
4.2 等差数列的性质探究引导学生探讨等差数列的性质，如单调性、周期性等。
通过练习题让学生运用性质解决等差数列的问题。
第五章：等差数列的应用5.1 等差数列在实际问题中的应用引导学生将等差数列的概念应用于实际问题，如人口增长、金融投资等。
通过案例分析让学生理解等差数列在解决实际问题中的作用。
5.2 等差数列在数学竞赛中的应用引导学生了解等差数列在数学竞赛中的常见题型和解决方法。
通过竞赛题目让学生挑战自我，提高解题能力。
第六章：等差数列的递推关系6.1 等差数列的递推关系式引导学生探究等差数列的递推关系，引导学生发现每一项与前一项的关系。
通过示例让学生理解递推关系式的应用，解决等差数列的递推问题。
等差数列教案(多篇)
一、等差数列的定义1. 导入：引导学生回顾数列的概念，进而引出等差数列的定义。
2. 讲解：等差数列是一种特殊的数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。
3. 举例：给出几个等差数列的例子，让学生观察并找出它们的公差。
4. 练习：让学生练习判断一些数列是否为等差数列，并找出它们的首项和公差。
二、等差数列的通项公式1. 导入：引导学生思考如何表示等差数列的任意一项。
2. 讲解：等差数列的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。
3. 推导：引导学生利用等差数列的定义和通项公式，推导出前$n$ 项和的公式。
4. 练习：让学生运用通项公式计算等差数列的任意一项，以及求前$n$ 项和。
三、等差数列的性质1. 导入：引导学生思考等差数列有哪些性质。
2. 讲解：等差数列的性质有：①首项和末项的平均值等于中项；②相邻两项的差等于公差；③前$n$ 项和的公式为$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$。
3. 举例：给出一些等差数列，让学生观察并运用性质进行判断。
4. 练习：让学生运用等差数列的性质解决问题，如求等差数列的中项、判断两个数列是否为等差数列等。
四、等差数列的应用1. 导入：引导学生思考等差数列在实际问题中的应用。
2. 讲解：等差数列在实际问题中的应用举例：①计算等差数列的前$n$ 项和；②求等差数列的通项公式；③解决与等差数列相关的实际问题，如工资增长、人口增长等。
3. 举例：给出一些实际问题，让学生运用等差数列的知识进行解决。
4. 练习：让学生运用等差数列的知识解决实际问题，如计算工资总额、预测人口增长等。
五、等差数列的综合练习1. 给出一些关于等差数列的练习题，让学生独立完成。
2. 针对学生的练习情况，进行讲解和解答疑惑。
3. 总结本节课所学内容，强调等差数列的定义、通项公式、性质和应用。
学案11：§2.2 等差数列(一)
§2.2 等差数列1．等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第项起，每一项与它的的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做等差数列的，公差通常用字母表示．(2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*).2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是．思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2，4；(2)－1，5；(3)a，b；(4)0，0.3．等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n＝．思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？4．从函数角度认识等差数列{a n}若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d．思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求a n，需要哪几个条件？初试身手1．已知等差数列{a n }的首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n ＝( )A.4－2nB ．2n －4 C.6－2n D ．2n －62．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d ＝ ．3．下列数列：①0，0，0，0；②0，1，2，3，4；③1，3，5，7，9；④0，1，2，3，….其中一定是等差数列的有 个．4．lg (3＋2)与lg (3－2)的等差中项是 ．合作探究类型1 等差中项例1 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．规律方法三数a ，b ，c 成等差数列的条件是b ＝a ＋c 2(或2b ＝a ＋c )，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{a n }为等差数列，可证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *). 跟踪训练1．已知数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)，且a 2＝5，a 5＝13，则a 8＝ ． 类型2 等差数列的通项公式及其应用例2 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 10＝25，求通项公式a n ；(2)已知数列{a n }是等差数列，a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d .规律方法1．应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（m －1）d ＝a ，a 1＋（n －1）d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式． 2．若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷．跟踪训练2．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？类型3 等差数列的判定与证明探究问题1．在数列{a n }中，若a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等差数列吗？为什么？2．在数列{a n }中，若有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)成立，则{a n }是等差数列吗？为什么？3．若{a n }是公差为d 的等差数列，那么{a n ＋a n ＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？例3 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由； (2)求a n .等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇔{a n}为等差数列；(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}为等差数列；(3)通项公式法：a n＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{a n}为等差数列．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．课堂小结1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列；(2)2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列；(3)a n＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．课堂检测1．判断正误(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{a n}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．() 2．在等差数列{a n}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝()A．1B．－1C．±1 D．±23．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为．4．已知数列{a n}，a1＝a2＝1，a n＝a n－1＋2(n≥3)，判断数列{a n}是否为等差数列？说明理由．参考答案新知初探1．(1)2 前一项同一个常数常数公差d2．(3)a＋b＝2A思考：[提示] 插入的数分别为3，2，a ＋b 2，0. 3．a 1＋(n －1)d思考：[提示] 还可以用累加法，过程如下：∵a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ，a 4－a 3＝d ，…a n －a n －1＝d (n ≥2)，将上述(n －1)个式子相加得a n －a 1＝(n －1)d (n ≥2)，∴a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝a 1＋(1－1)d ，符合上式，∴a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N *).4．(2) d思考：[提示] 只要求出等差数列的首项a 1和公差d ，代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 即可． 初试身手1．【答案】C【解析】a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×(－2)＝4－2n ＋2＝6－2n .2．【答案】3【解析】(－3)－(－6)＝3，故d ＝3.3．【答案】3【解析】①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．4．【答案】0【解析】lg (3＋2)与lg (3－2)的等差中项为 lg （3＋2）＋lg （3－2）2＝ lg [（3＋2）（3－2）]2＝lg 12＝0. 合作探究类型1 等差中项例1 解：∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7.跟踪训练1．【答案】21【解析】由a n －1＋a n ＋1 ＝2a n (n ≥2)知，数列{a n }是等差数列，∴a 2，a 5，a 8成等差数列． ∴a 2＋a 8＝2a 5，∴a 8＝2a 5－a 2＝2×13－5＝21.类型2 等差数列的通项公式及其应用例2 解：(1)∵a 4＝7，a 10＝25，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝7，a 1＋9d ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3， ∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5，∴通项公式a n ＝3n －5(n ∈N *).(2)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1. 跟踪训练2．解：(1)由a 1＝8，d ＝5－8＝－3，n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为 a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1.由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100，即－401是这个数列的第100项．类型3 等差数列的判定与证明探究问题1．[提示] 由等差数列的定义可知满足a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2)是等差数列．2．[提示] 是，由等差中项的定义可知．3．[提示] ∵(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝d ＋d ＝2d .∴{a n ＋a n ＋2}是公差为2d 的等差数列．例3 解：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ，∴1a n ＋1－1a n ＝12， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列． (2)由上述可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n 2，∴a n ＝2n.1．【答案】 (1)× (2)√ (3)√【解析】 (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列．(3)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列．2．【答案】C【解析】由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1（a 1＋2d ）＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1. 3．【答案】3【解析】a ＋b 2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3.] 4．解：因为a n ＝a n －1＋2(n ≥3)，所以a n－a n－1＝2(常数).又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，而a2－a1＝0≠a3－a2，所以数列{a n}不是等差数列．。
高中数学《等差数列(1)》学案
2举重项目中，比较轻的四个级别组成数列：
48，53，58，63
3水库的管理员为了保证幼稚鱼的良好生活环境，用定期放水清库的办法清理水中的杂鱼，如果一个水库的水位为18m，自然放水每天下降2.5m，最低至5.5m，那么从开始放水算起，到可以进行清理工作那天，水库每天的水位组成的等差数列：
环节四：等差数列通项公式的推导
等差数列的通项公式：
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得 若一等差数列 的首项是 ，公差是d，则据其定义可得：
即：
即：
即：
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项 和公差d，便可求得其通项 。
由上述关系还可得：若已知数列 为等差数列，其第n项为
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.四、学能展示课堂闯关
例4(1)若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
环节六：课堂小结
三、讨论交流点拨提升
课堂小结
1．判断一个数列是否是等差数列的常用方法有：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
等差数列教案（5篇）
等差数列教案（5篇）第一篇：等差数列教案等差数列教案教学目的1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.（1）了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列，了解等差中项的概念；（2）正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项；（3）能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.2.通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想.3.通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.关于等差数列的教学建议（1）知识结构（2）重点、难点分析①教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用，等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外，出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.（3）教法建议①本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用．②等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义．③等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件．④由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项其图像的形状相对应．可看作项数的一次型（）函数，这与⑤有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式是数列第项与项数之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是，即其末项未必是该数列的第项，在教学中一定要强调这一点．⑥等差数列前项和的公式推导离不开等差数列的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究等差数列的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣．⑦等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境．等差数列通项公式的教学设计示例教学目标1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.教学重点，难点教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用．教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法研探式.教学过程一.复习提问前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.二.主体设计通项公式反映了项与项数之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知求，求）.找学生试举一例如：“已知等差数列中，首项，公差.”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.1.方程思想的运用（1）已知等差数列的第______项.中，首项，公差，则－397是该数列（2）已知等差数列中，首项，则公差（3）已知等差数列中，公差，则首项这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量，在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.2.基本量方法的使用（1）已知等差数列中，求的值.（2）已知等差数列中，求.若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于的，由和和的二元方程组，所以这些等差数列是确定写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个和的二元方程组，以求得和，和称作基条件（等式）化为关于本量.教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于这是一个和和的二元方程，的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.如：已知等差数列中，…由条件可得即，可知，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题（3）已知等差数列中，求；；；；….类似的还有（4）已知等差数列中，求的值.以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出 3.研究等差数列的单调性，考察随项数的变化规律.着重考虑的符号，由学生叙的情况.此时是的一次函数，其单调性取决于述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.4.研究项的符号这是为研究等差数列前项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如（1）已知数列始小于0？的通项公式为，问数列从第几项开（2）等差数列三.小结从第________项起以后每项均为负数.1.用方程思想认识等差数列通项公式；2.用函数思想解决等差数列问题.第二篇：等差数列教案（精选）等差数列教案一、教材分析从教材的编写顺序上来看，等差数列是必修五第二章的第二节的内容，一方面它是数列中最基础的一种类型、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习等比数列及数列的极限等内容作准备.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，对其在性质的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．依据课标“等差数列”这部分内容授课时间3课时，本节课为第2课时，重在研究等差数列的性质及简单应用，教学中注重性质的形成、推导过程并让学生进一步熟悉等差数列的通项公式。
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等差数列【考纲要求】1．理解等差数列概念.2．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.3．了解等差数列与一次函数的关系.4．灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.5．掌握常见的求等差数列通项的一般方法；6．用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题 【知识网络】【考点梳理】考点一、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.要点诠释：(1)｛n a ｝为等差数列⇔1n n a a d +-=(n ∈N ※)⇔n a －1-n a =d (n ≥2, n ∈N ※)（ d 为常数）(2)等差中项：若三个数a ，x ，b 成等差，则x 称为数a ，b 的等差中项。
任意实数a ，b 的等差中项存在且唯一，为.2ba + (3)证数列{n a }是等差数列的方法：① 1n n a a d --=(n ≥2) （ d 为常数）； ② n a 为1-n a 和1n a +的等差中项。
考点二、通项公式1(1)n a a n d =+-(归纳法和迭加法) 要点诠释：①｛n a ｝为等差数列⇔n a 为n 的一次函数或n a 为常数⇔n a =kn+b (n ∈N +)等差数列等差中项等差数列的通项公式及应用 等差数列定义②式中n a 、1a 、n 、d 只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。
③公式特征：等差数列{n a }中n a =kn+b 是关于n 的一次函数(或常数函数)，一次项系数k 为公差d 。
④几何意义：点(n ，n a )共线；n a =kn+b 中， 当k=d>0时，{n a }为递增数列； 当k=d<0时，{n a }为递减数列； 当k=d=0时，{n a }为常数列。
考点三、通项公式的性质：（1）等差中项：a 、G 、b 成等差数列，则.2a bG +=； （2）通项公式的推广：+(n m n m a a =－）d（3）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a +=+；特别，若2m n p +=，则2m n p a a a +=（4）等差数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等差数列. 【典型例题】类型一：等差数列的概念、公式、项的性质例1. （1）－20是不是等差数列0，72-，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【思路点拨】题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.【解析】（1）由题意可知：10a =,72d =-，∴此数列的通项公式为：7722n a n =-+,令772022n -=-+,解得477n N =∉， 所以－20不是这个数列的项.（2）根据题意可得：12a =,927d =-=.∴此数列通项公式为：27(1)75n a n n =+-=-（1n ≥,n N +∈）. 令75100n -=,解得：15n =,∴100是这个数列的第15项.【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项1a 和公差d ，写出通项公式n a .2.要注意解题步骤的规范性与准确性.举一反三：【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项【解析】由18a =，58253d =-=-=-，∴218(211)(3)52a =+-⨯-=-. 【变式2】求集合*{|7,,100}M m m n n N m ==∈<的元素的个数，并求这些元素的和【解析】∵7100n <， ∴2147n <，∵*n N ∈，∴M 中有14个元素符合条件， 又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列， 即17a =，7d =，1498a =， ∴7352)987(1414=+=S . 例2、已知等差数列{}n a 中，1533a =,45153a =，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。
【思路点拨】判断某个数值是否为某数列中的项，基本的思路是先得到这个数列的通项公式，再验证这个数值是否为其中的某项。
【解析】法一：由通项公式，得⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+==+=4231534433141145115d a d a a d a a ，∴1(1)427n a a n d n =+-=-,由217427n =-，解得61n =. ∴217是此数列的第61项。
法二：由等差数列性质得45153015333a a d -==-，即4d =, 又15(15)n a a n d =+-，∴217334(15)n =+-, 得61n =. ∴217是此数列的第61项。
法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点， ∵点P(15,33), Q(45,153), R(n,217)在同一条直线上，∴45153217154533153--=--n ，得61n =。
∴217是此数列的第61项。
【总结升华】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，要熟悉其基本概念，基本公式及性质。
举一反三：【变式1】等差数列{}n a 中，已知113=a ，a 2+a 5=4，a n =33，则n 是（ ）A.48B.49C.50D.51 【答案】C ；【解析】由已知得251112541335013⎧⎪+=+=⎪⎪=+-=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩（）n a a a d a a n d n a例3．若数列{}n a 为等差数列，1510a =, 4590a =, 求60a ；【解析】法一：令数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则⎩⎨⎧+=+=d a a d a a 1444115145 即 ⎩⎨⎧+=+=d a d a 1410449011解之有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=383821d a ，∴60159130a a d =+=.法二：∵, 4515(4515)a a d =+-,∴ 90=10+30d ∴ 38=d , ∴6015(6015)130a a d =+-=.法三：∵{}n a 为等差数列，1510a =, 4590a =,∴0d ≠,n a An B =+(n ∈N).∴ ⎩⎨⎧+=+=BA BA 45901510解之有 ⎪⎩⎪⎨⎧-==3038B A ，∴6060130a A B =+=. 法四：∵{}n a 为等差数列，∴15a 、30a 、45a 、60a ,…为等差数列， ∴ 50290102451530=+=+=a a a ， 又2603045a a a +=，∴6045302130a a a =-=.【总结升华】依条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。
举一反三： 【变式】若数列{}n a 为等差数列，1050100a a +=, 4515900⋅=a a ,且公差0d > 求60a ；【解析】∵{}n a 为等差数列 ∴10501545100a a a a +=+=又∵4515900⋅=a a∴45a 、15a 是方程21009000x x -+=的根∴15451090a a =⎧⎪⎨=⎪⎩或15459010a a =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）以下解法同例2（1）得60130a =类型二：等差数列的判断与证明例4．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1()2n n n a a S +=.求证：数列{}n a 为等差数列．【思路点拨】判断一个数列是否为等差数列，需要严格按照等差数列的概念或性质进行判断。
本题中已知条件是关于数列前n 项和的，所以应该从前n 项和的思路着手考虑。
证明：由1()2n n n a a S +=得111(1)()2n n n a a S ++++=，所以11111(1)()()22n n n n n n a a n a a a S S ++++++=-=-整理得11(1)n n n a na a +--=-，又得11(2)(1)(1)n n n a n a a n ----=-> 相减并整理得: 112(2)n n n a a a n +-+=≥ 所以数列{}n a 是个等差数列【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:(1)定义法:a n+1-a n =d(常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列; (2)中项公式法:2a n+1=a n +a n+2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列;(3)通项公式法:a n =kn+b(k 、b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列; (4)前n 项和公式法:S n =An 2+Bn(A 、B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. 举一反三：【变式】已知数列{a n }，a n ∈N *，S n =2)2(81+n a ，求证：{a n }是等差数列； 【答案】a n+1 = S n+1–S n 221)2(81)2(81+-+=+n n a a ,∴8a n+1 =221)2()2(+-++n n a a , ∴0)2()2(221=+--+n n a a ,。