等差数列学案专题

等差数列

【考纲要求】

1．理解等差数列概念.

2．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.

3．了解等差数列与一次函数的关系.

4．灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.

5．掌握常见的求等差数列通项的一般方法；

6．用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题 【知识网络】

【考点梳理】

考点一、等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.

要点诠释：

(1)｛n a ｝为等差数列⇔1n n a a d +-=(n ∈N ※)⇔n a －1-n a =d (n ≥2, n ∈N ※)（ d 为常数）

(2)等差中项：若三个数a ，x ，b 成等差，则x 称为数a ，b 的等差中项。 任

意实数a ，b 的等差中项存在且唯一，为.2

b

a + (3)证数列{n a }是等差数列的方法：

① 1n n a a d --=(n ≥2) （ d 为常数）； ② n a 为1-n a 和1n a +的等差中项。 考点二、通项公式

1(1)n a a n d =+-(归纳法和迭加法) 要点诠释：

①｛n a ｝为等差数列⇔n a 为n 的一次函数或n a 为常数⇔n a =kn+b (n ∈N +)

等差数列

等差中项

等差数列的通项公式及应用 等差数列定义

②式中n a 、1a 、n 、d 只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。 ③公式特征：等差数列{n a }中n a =kn+b 是关于n 的一次函数(或常数函数)，一次项系数k 为公差d 。

④几何意义：点(n ，n a )共线；n a =kn+b 中， 当k=d>0时，{n a }为递增数列； 当k=d<0时，{n a }为递减数列； 当k=d=0时，{n a }为常数列。 考点三、通项公式的性质：

（1）等差中项：a 、G 、b 成等差数列，则.2

a b

G +=； （2）通项公式的推广：+(n m n m a a =－）d

（3）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a +=+；

特别，若2m n p +=，则2m n p a a a +=

（4）等差数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等差数列. 【典型例题】

类型一：等差数列的概念、公式、项的性质

例1. （1）－20是不是等差数列0，7

2

-，－7，……的项？如果是，是第

几项？如果不是，说明理由.

（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

【思路点拨】题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.

【解析】（1）由题意可知：10a =,7

2

d =-，

∴此数列的通项公式为：77

22

n a n =-+,

令772022n -=-+,解得47

7

n N =

∉， 所以－20不是这个数列的项.

（2）根据题意可得：12a =,927d =-=.

∴此数列通项公式为：27(1)75n a n n =+-=-（1n ≥,n N +∈）. 令75100n -=,解得：15n =,

∴100是这个数列的第15项.

【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项1a 和公差d ，写出通项公式

n a .

2.要注意解题步骤的规范性与准确性.

举一反三：

【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项

【解析】由18a =，58253d =-=-=-，∴218(211)(3)52a =+-⨯-=-. 【变式2】求集合*{|7,,100}M m m n n N m ==∈<的元素的个数，并求这些元素的和

【解析】∵7100n <， ∴2

147

n <，

∵*n N ∈，∴M 中有14个元素符合条件， 又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列， 即17a =，7d =，1498a =， ∴7352

)

987(1414=+=

S . 例2、已知等差数列{}n a 中，1533a =,45153a =，试问217是否为此数列的

项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。

【思路点拨】判断某个数值是否为某数列中的项，基本的思路是先得到这个数列的通项公式，再验证这个数值是否为其中的某项。

【解析】法一：由通项公式，得

⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+==+=423

1534433141145

115d a d a a d a a ，

∴1(1)427n a a n d n =+-=-,

由217427n =-，解得61n =. ∴217是此数列的第61项。

法二：由等差数列性质得45153015333a a d -==-，即4d =, 又15(15)n a a n d =+-，

∴217334(15)n =+-, 得61n =. ∴217是此数列的第61项。

法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点， ∵点P(15,33), Q(45,153), R(n,217)在同一条直线上，