等差数列与等比数列学案

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等差数列与等比数列的应用教学案

等差数列与等比数列的应用教学案一、引言数列是数学中的一个重要概念，是由一系列数字按照一定规律排列而成的。

在数学的应用中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列形式。

本教学案将重点介绍等差数列和等比数列的应用，并提供一些教学方法和案例分析。

二、等差数列的应用（1）计算机算法设计等差数列在计算机算法设计中有广泛的应用。

例如，在排序算法中，可以利用等差数列的性质来优化算法的执行效率。

（2）数学建模等差数列在数学建模中也占据重要地位。

通过观察和分析等差数列的性质，可以使用数学模型解决实际问题，例如人口增长、货币回收等。

（3）金融投资等差数列在金融投资领域也有广泛应用。

通过等差数列的运算与推理，可以实现对利息、本金等金融指标的计算和预测，帮助投资者做出更合理的决策。

三、等差数列的教学方法（1）引导学生观察规律教师可以给学生一些数字，让学生观察并发现其中的规律，引导他们从中总结等差数列的特点。

（2）拓展应用场景通过实际生活中的例子，将等差数列的概念与实际问题结合起来，让学生更好地理解和应用。

（3）练习与实践教师可以设计一些练习题，引导学生进行计算和解答，培养他们的计算能力和问题解决能力。

四、等比数列的应用（1）成长模型等比数列在描述生物生长、物质变化等方面有广泛应用。

例如，数学家费波那契通过等比数列描述了兔子的繁殖规律。

（2）几何问题等比数列在几何问题中也有重要作用。

例如，等比数列可用于绘制等比坐标轴，在图形的放大缩小中起到关键作用。

（3）概率与统计等比数列也在概率和统计学中得到应用。

例如，在计算概率和求解统计问题时，等比数列的性质能够帮助我们更好地理解和解决问题。

五、等比数列的教学方法（1）探索性学习引导学生通过观察和实践，自己发现等比数列的性质和应用，提高他们主动学习和解决问题的能力。

（2）举例说明通过具体的实例，让学生更加直观地理解等比数列的概念和应用。

（3）编制教学素材教师可以编制一些练习题和案例，让学生进行练习和思考，加深对等比数列的理解和应用。

等差与等比数列教学设计1

《等差数列与等比数列》教学设计课题等差数列与等比数列教学探讨知识点数列的基本概念：生动的讲解可以减少学生抽象思维，从而更加形象具体；重要性质：通项公式特点；等差、等比中项；求和公式；具体应用等课程说明教材分析新课程要求教师在教学过程中，尊重学生的人格，关注个性差异，满足不同学生的学习需要，创设能引导学生主动参与的教育环境，激发学生的学习积极性，培养学生掌握和运用知识的态度和能力，使每个学生都得到充分的发展。

本章节正是这一价值体系的充分表现，重点突出了其实用性，在生活中的用途非常之广，比如：存款利息、购房贷款、货物买卖等。

学生分析学生作为教育工作中的主要对象，一次成功的教学不可能脱离学生而存在，其重要性不言而喻。

所以对学生有全面综合的了解是非常重要的。

特别是作为一一辅导型的家教其重要性尤为突出，现我就对学生的分析作如下叙述：归类：高中理科生性格：在生人面前不是很活跃、且有一些自卑心理、没有恒心等；但是比较有上进心，有想把学习搞好的心理。

情感：感情生活比较复杂，处在人生中最易冲动的时期，对爱情有过高的憧憬，而且会不自觉的想起这些事学习情况：基础知识掌握的不够牢靠，知识的运用能力很差，分析能力较弱、解题思路不清晰、家庭情况：家长对孩子的期望过高，以至于给了孩子太多的压力。

教学目标熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和实际应用能力，强化学生基础知识提高分析能力，在一定程度上理清学生的解题思路。

教学难点等差（比）数列的性质的应用．通项公式的推导和运用.等差数列与等比数列个性质的异同点数列与其它知识点的结合，例如：与函数不等式的结合教学重点1、定义的归纳及公式的推导2、等差数列与等比数列知识点异同的比较，方便学生的记忆3、教学生如何才能灵活的应用公式定理教学方法1、启发引导法：在讲解知识点的时候不能应用填鸭式的教学方法，平铺直叙，一堂课下来所有的都是重点和难点，而应该引导学生知道对重点难点进行不同程度的区分，以及解题方法的探索等。

等差数列学案和等比数列教案

对等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+=可化成式子： n )2da (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）利用n a :当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n（2）利用n S ：由n )2da (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值练习：1．差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值。

2.如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，{},n a 为等差数列吗？各种等差数列通项公式求法类型一：1()n na a f n +=+（()f n 可以求和）−−−−→解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。

解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： 211n a a n -=- 2n a n ∴=评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。

类型一专项练习题：1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。

(12n n n a +=）2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。

(31)2n n n a +=3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

高中数学教案等差数列与等比数列

等差数列与等比数列一、高考考点1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列.2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求；求；解决关于或的问题.3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求；求；解决有关或的问题.4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程.6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目：以高中档试题出现，重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。

二、知识要点（一）、等差数列1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.认知：｛｝为等差数列－ =d(n∈N※且d为常数) － =d (n 2, n∈N※且d为常数) 此为判断或证明数列｛｝为等差数列的主要依据.2.公式（1）通项公式： = +（n－1）d：引申： = +（n－m）d （注意：n=m+(n－m) ）认知：｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数 =kn+b (n )（2）前n项和公式： = 或 =n +认知：｛｝为等差数列为n的二次函数且常数项为0或 =n = +bn(n )3.重要性质(1)｛｝为递增数列 d＞0; ｛｝为递减数列 d＜0; ｛｝为常数列 d=0(2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q + = + ;(3)2m=p+q 2 = +.即等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等差数列.(4)设 , , 分别表示等差数列｛｝的前n项和,次n项和,再次n项和,…则, , …依次成等差数列.（二）等比数列1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.认知：（1）｛｝为等比数列 =q (n∈N※且q为非零常数) =q(n≥2，n∈N※且q为非零常数)(2）｛｝为等比数列(n≥2，且≠0 ) (n ※，且≠0)2.公式（1）通项公式： = ；引申： = （注意：n=m+(n－m) ）认知：｛｝为等比数列 =c (c,q均是不为0的常数，且n )（2）前n项和公式认知：｛｝为等比数列 =A +B （其中n ，且A+B=0）.3．主要性质：（1）设m,n,p,q ,则有m+n=p+q ; （2）2m=p+q即在等比数列中，如果某三项（或更多的项）的项数成等差数列，则相应的各项依次成等比数列.（3）设 , , ，……分别表示等比数列的前n项和，次n项和，再次n项和，……，则 , , ，……依次成等比数列。

《等差数列与等比数列》教学设计

《等差数列与等比数列》教学设计一、教学设计1.教学内容解析本节课内容是在系统地学习完等差数列、等比数列后的一节单元小结课，小节分两课时,本节课为第一课时，主要对等差数列和等比数列的定义和公式进行小结和应用.这一单元的知识点有：等差数列、等差数列的前n项和、等比数列、等比数列前n项和.本节课的重点是引导学生复习所学的知识，通过例题的分析让学生深刻理解等差数列和等比数列的定义及公式的形式，通过例题探究找出知识间的内在联系，建立完整的知识结构体系.本单元课本内容通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立了等差数列和等比数列这两种重要的数列模型，探索了它们之间的一些基本数量关系，利用它们解决了一些实际问题.本单元在内容的设计上也突出了一些重要的数学思想方法：如类比思想、归纳思想、函数思想方法等等.因此，数学思想方法的教学也是本节课的重要内容.根据以上分析，本节课的教学重点确定为：教学重点：等差数列、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式的应用.2.学生学情诊断从整个中学教材体系分析，前面已经学习了函数的知识，又通过对本单元新课的学习，学生已对本单元的知识点有了大致的理解，但知识间的内在联系还比较模糊，头脑欠缺一个完整的知识结构体系.对等差数列、等比数列公式的认识缺乏函数的思想，运用也不够灵活，对定义的理解仅仅停留在表面层次上.学生对数学思想和数学方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算，而轻视对问题的抽象分析.因此，本节课的教学过程也要加强对学生分析能力和归纳能力的培养.根据以上分析，本节课的教学难点确定为：教学难点：灵活运用等差数列、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式去解决相关问题.3.教学目标（1）通过实例探究，学生能系统掌握等差数列、等比数列的定义和公式，能灵活应用等差数列、等比数列的定义和公式去解决相关问题.（2）通过情景设置,有效的激发学生的学习兴趣, 让学生感受数学的实用性.通过问题的探究，进一步渗透类比思想、归纳思想、函数思想 .（3）培养学生归纳知识、应用知识的能力,培养学生勇于探索、勤于思考的精神.4.教学重难点教学重点：等差数列、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式的应用.教学难点：灵活运用等差数列、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式去解决相关问题.5.教学课时一课时6.教学策略分析本节课是单元小结课，教学容量较大，学生参与度高，采用多媒体课件辅助教学，进一步提高课堂效率，调动学生的学习积极性.在教法上面采用着重于学生探究的启发式教学方法,结合探究进行结论的归纳.教学流程图7.教学过程设计（1）创设情景在一个月的月头，巴依老爷到买买提家去收地的租钱，说：“从这个月开始你的租钱这样交：第一个月交我1000元，第二个月交我2000元，第三个月交我3000元，以后每个月交的钱数比前一个月增加1000元，30个月以后就不收你租钱了。

等差等比数列导学案.doc

数列知识要点1.⑴等差、等比数列：等差数列等比数列定义«n+i ~a n=d n+[ = q(q / 0) a n递推公式a… =«…_! +d；a… =a,n_… +md n—m。

〃=。

〃-10；a n =a mQ通项公式a n = +(〃— l)d Q .= a 、q(Q],q^O)中项公式 a + b s、A- 2 推厂:％a/j+af G2 =ab.推广：a n2 =a n_m xa n+m前&项和S n =刁(。

1 +。

〃) Sqa3 四= S n =f〃2+(%na x(q = 1) S" = <_财(q 丰]) 1-q 1-q性质1若m+n=p+q 贝(J a m +a n = a p+ a q若m+n=p+q,则a,“a“ = a p a q »2若伙“｝成等差数列（其中k n eN）WJ ｛a k｝也为等差数列。

若值“｝成等差数列（其中k n^N）, 则｛四｝成等比数列。

3S”，$2" —S" , S3n -S2n成等差数列。

S”，$2” —S”，$3" — $2"成等比数列。

4 a —a. a — ad = --- ----- = ---- ----- - (m A n)n-l m-n q"T =% , q n~m =% (m?〃)«1 a m⑵看数列是不是等差数列有以下四种方法：a n - a n_x = <7（n > 1,d为常数）®2a… F+i +"i（"Z2）®a n =kn+b （n,k 为常数）④s n=An2 + Bn（缺常数项的二次函数型）⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：®a n =a n_1q（n>2,q为常数且NO）a n =a n+l-a n_l（n>2, a n a n+｛a n_｛ *0）（等比中项）注意：任意两数s c不一定有等比中项，除非有ac>0,则等比中项一定有两个. a“=cq"（c,q为非零常数）.* = —A/+A(其中人=勺)l-q2.等差数列的一些其他的性质等差数列依次每"项的和仍成等差数列，其公差为原公差的尸倍S k,S2k-S k,S3k-S2k...；/ \ ; S 奇 _ a n若等差数列的项数为2n[n G/ ,则S偶一S奇=汨，厂一-—;3偶a n+l若等差数列的项数为2〃-1"N+),贝I」；,,—1=(2〃-巾“，且S奇偶F，室=工S 偶0-13.求通项公式的几种方法：4.几种常见的数列的思想方法：S1 = Q] (〃 = 1)⑴数列｛a n)的前n项和S n与通项a n的关系=< /、⑵在等差数列｛。

等差数列等比数列优质课学案

专题四数列
第一讲等差数列、等比数列
【考纲要求】
从近几年高考来看，高考对等差数列和等比数列的考查主、客观题型均有所体现，一般以等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式为基础考点，常结合数列递推公式进行命题，主要考查学生综合应用数学知识的能力以及计算能力等，中低档题占多数。
【学习重难点】
重点：等差（比）数列的通项公式，前n项和公式及一些简单性质。
难点：考查等差等比数列的综合应用。
【基础感知】
问题1.请分别写出等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式。
问题2.等差数列、等比数列的简单性质有哪些？
问题3.证明数列为等差数列或等比数列的基本方法有哪些？
问题4.
问题5.

等差数列与等比数列教学设计

高三第一轮专题复习一、课程说明(一)教学目标：1.知识与能力：①掌握等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式及其他性质公式；②进一步渗透方程思想、分类讨论思想、等价转化思想以及体会类比与归纳的数学方法。

2.过程与方法：通过典例剖析进一步提高学生研究问题、分析问题与解决问题能力。

3.情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯；激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。

（二）教材分析教材上基础知识详细，基本方法归纳基本到位，但对等差数列与等比数列的性质运用及通项公式，求和公式例题讲解不足。

而数列作为一种特殊的，函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备，所以在本次复习中要弥补教材上的不足。

（三）学习者特征分析高三学生，随着高二一年的学习，对于等差数列与等比数列的一些基础知识有点模糊，对性质运用，基本方法不够深入，但是基础知识还是比较好，而且思维敏捷，所以本次复习也有了针对性。

（四）教学重点1.等差数列、等比数列概念，性质，和公式的理解。

2.求等差数列、等比数列的通项公式,前n项和公式的基本方法。

（五）教学难点1. 等差数列、等比数列性质的灵活运用。

2.求等差数列、等比数列通项公式,前n项和公式方法的相互渗透。

二、课前准备（一）教学方法启发引导回顾旧知，通过常见重难题的讲练结合，让学生在自我探究合作、交流中掌握等差数列和等比数列的知识，并能在高考中得分；（二）教学器材（根据辅导地点所定）若是教室则为多媒体设备，投影仪，扩音器；若在家中则借助小白板即可。

（三）时间分配虽内容较多，但重难点突出，且有针对性，所以用三分之一的时间复习基础知识，用三分之二的时间重点讲解和练习性质及方法的运用，课后会有适量的作业巩固课堂所学。

三、课程设计（教学过程）（一）基础知识巩固有关等差、等比数列的结论1．等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列．2．等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+ 3．等比数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅ 4．等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等比数列．5．两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． 6．两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列．（二）等差数列、等比数列性质的灵活运用典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=412-x (x <－2)(1)求f (x )的反函数f -－1(x );(2)设a 1=1,11+n a =－f －-1(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由命题意图本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力知识依托本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题错解分析本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{21na }为桥梁求a n ,不易突破技巧与方法 (2)问由式子41121+=+nn a a 得22111nn a a -+=4,构造等差数列{21na },从而求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想解设y =412-x ,∵x <－2,∴x =－214y +,即y =f －-1(x )=－214y +(x >0)(2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1,21na =211a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n , 设g (n )= 1425+n ,∵g (n )= 1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m 成立例2（由学生和老师共同完成）设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n }的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)命题意图本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力知识依托本题须利用等比数列通项公式、前n 项和公式合理转化条件，求出a n ;进而利用对数的运算性质明确数列{lg a n }为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解错解分析题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方技巧与方法突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n 是n 的二次函数，也可由函数解析式求最值解法一设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m 化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 ),1(9114121a q q q a q q 解得设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则S n =lg a 1+lg a 1q 2+…+lg a 1q n －1=lg a 1n ·q 1+2+…+(n －1)=n lg a 1+21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21n (n －1)lg3=(－23lg )·n 2+(2lg2+27lg3)·n可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大而4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+=5,故{lg a n }的前5项和最大解法二接前，⎪⎩⎪⎨⎧==311081q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n－1)lg 31,∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 31为公差的等差数列，令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0, ∴n ≤4.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=5 5由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大例3（由学生和老师共同完成）等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________解法一将S m =30,S 2m =100代入S n =na 1+2)1(-n n d ,得11(1)3022(21)21002m m ma d m m ma d -⎧+= ⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩　① ②2102)13(33,2010,4013212=-+=∴+==d m m ma S m m a md m 解得解法二由]2)13([32)13(33113d m a m d m m ma S m -+=-+=知，要求S 3m 只需求m ［a 1+2)13(d m -］,将②－①得ma 1+ 2)13(-m m d =70,∴S 3m =210解法三由等差数列{a n }的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n =An 2+Bn (A 、B 是常数）将S m =30,S 2m =100代入，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+m B m A m B m A Bm Am 1020 1002)2(30222,∴S 3m =A ·(3m )2+B ·3m =210解法四S 3m =S 2m +a 2m +1+a 2m +2+…+a 3m=S 2m +(a 1+2md )+…+(a m +2md ) =S 2m +(a 1+…+a m )+m ·2md =S 2m +S m +2m 2d由解法一知d =240m,代入得S 3m =210 解法五根据等差数列性质知S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 也成等差数列，从而有S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m )∴S 3m =3(S 2m －S m )=210 解法六∵S n =na 1+2)1(-n n d ,∴nS n =a 1+2)1(-n n d∴点(n , nS n )是直线y =2)1(d x -+a 1上的一串点，由三点(m ,mS m ),(2m , mS m 22),(3m , mS m 33)共线，易得S 3m =3(S 2m－S m )=210解法七令m =1得S 1=30，S 2=100，得a 1=30,a 1+a 2=100,∴a 1=30,a 2=70∴a 3=70+(70－30)=110 ∴S 3=a 1+a 2+a 3=210 答案 210（三）十种求数列通项公式的方法（归纳总结，不用于课堂讲解，只是根据学生的掌握情况，个别指导，弥补学生没有掌握的那种方法）3((2221](1)1a a n ++-++⨯+++++-+3(a a ++-2222(33213()331)13a a ++-+++++++22(33a a ++-的通项公式。

小学数学等差数列教案【优秀8篇】

小学数学等差数列教案【优秀8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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(精品)等差数列与等比数列的性质教案

等差数列与等比数列的性质教案教学目标：1、复习等差、等比数列的定义与性质。

2、灵活应用等差、等比数列的定义与性质解决各种常见题型。

教学重点：灵活应用等差、等比数列的定义与性质教学难点：等差、等比数列的定义与性质的应用一、知识回顾二、知识应用Ⅰ 、等差、等比数列的设法及应用 1.三个数成等差数列可设为或者根据具体问题的不同特点而选择不同设法。

2. 三个数成等比数列，则这三个数可设为也可以设为三、典型例题例1. 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.,,2; ,,a a d a d a d a a d ++-+,,2x y x y +,,a a aq q 2,,.a aqaq例2. 已知互不等比数列{ n a }的前三项之积为-8，且132,,a a a 成等差，求123,,a a a例3（1）已知等差数列{ n a }满足，则 ( )（2）已知等差数列{ n a }前m 项和为30，前2m 项和为 100，则前3m 项和为( )（3）已知在等差数列{n a }的前n 项中，前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项之和为286，试求数列的项数n.121010a a a ++⋅⋅⋅+=1101A. 0a a +>2100B. 0a a +<399C. 0a a +=51D. 51a=例4. 数列{ n b }中，，，若{ n a }是等差数列，且，求{n a }的通项公式四、基础练习1.在等比数列中,463a a += ,则5357(2)a a a a ++= _____2. 在等差数列{n a }中,若4681012120a a a a a ++++=, 则10122a a -= （）A.20B.22C.24D.28 123218b b b ++=12318b b b =1()2na nb =3.已知数列{n a }中, 1a =1,并且1331n n a a +-= ,则301a = （）A.100B.101C.102D.1034. 若｛n a }是等比数列，且n a >0,243546225a a a a a a ++=, 那么35a a +的值等于（）A.5B.1C.15D.105.等差数列{an}中,已知前4项和是1,前8项和是4,则 17181920a a a a +++的值等于 ( )A.7B.8C.9D.10五、知识回顾六、课后作业综合测评P91-P931、等差数列、等比数列的通项公式以及通项公式的推广2、等差数列与等比数列的性质n S n 3、a 与的关系。

等差等比数列学案

等差、等比数列的运用课前热身激活思维1. 若数列{a n}是公比为4的等比数列，且a1=2，则数列{log2a n}的前n项和为___________.2. 已知等差数列{a n}满足:a1=-8,a2=-6,若将a1,a4,a5都加上同一个数，所得三个数依次成等比数列，则所加的这个数为___________.3. 已知函数f（x）=2x,等差数列{a n}的公差为2.若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log2［f（a1）·f(a2)·f（a3）·…·f （a10）］=___________.4. 设{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1,a3,a6成等比数列，则{a n}的前n项和S n=___________.5. 已知集合A={x|x=3n,n∈N*}，B={x|x=4n+1,n∈N*}将A∩B的元素按照从小到大的顺序排列成一个数列{a n}，则数列{a n}的通项公式为___________.课堂导学知识点1 等差、等比数列的概念【例1】设S n为数列{a n}的前n项和，S n=kn2+n,n∈N*,其中k是常数.（1）求a1及a n；（2）若对于任意的m∈N*，a m,a2m,a4m成等比数列，求k的值.［精要点评］由a n=S n-S n-1（n∈N*,n≥2）求通项公式时，要注意检验n=1是否也符合此关系式.mk（k-1）=0对任意的m∈N*成立，可转化为关于m的方程有无数解来解.【变式拓展】设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知13S3与14S4的等比中项是15S5，1 3S3与14S4的等差中项为1，求{a n}的通项公式.【例2】在等差数列{a n}中，公差d≠0,a2是a1和a4的等比中项.已知数列a1,a3,a k1,a k2,…,a kn,…成等比数列，求数列{k n}的通项公式.【变式拓展】设{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3.分别求{a n}及{b n}的前10项和S10及T10.知识点2 等差、等比数列的综合运用【例3】已知等差数列{a n}的公差d不为0，设S n=a1+a2q+…+a n q n-1，T n=a1-a2q+…+（-1）n-1·a n q n-1,q≠0,n∈N*. （1）若q=1,a1=1,S3=15,求数列{a n}的通项公式；（2）若a1=d,且S1,S2,S3成等比数列，求q的值；（3）若q≠±1,证明：（1-q）S2n-（1+q）T2n=222(1)1ndq qq--n∈N*.［精要点评］本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本知识，考查运算能力、推理论证能力和综合分析解决问题的能力.【变式拓展】设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足：3tS n -（2t +3）S n -1=3t （t >0,n ≥2,n ∈N *）.（1）求证：数列{a n }是等比数列；（2）设数列{a n }公比为f （t ），作数列{b n }，使b 1=1,11n n b f b -⎛⎫=⎪⎝⎭（n ≥2,n ∈N *），求数列{b n }通项公式；（3）求和：T n =b 1b 2-b 2b 3+b 3b 4-b 4b 5+…+b 2n -1b 2n -b 2n b 2n +1.规范答题赏析已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列.（1）若a n =3n +1，是否存在m 、k ∈N *，有a m +a m +1=a k ？请说明理由;（2）若b n =aq n （a 、q 为常数，且aq ≠0）,对任意m ,存在k ，有b m ·b m +1=b k ，试求a 、q 满足的充要条件;（3）若a n =2n +1,b n =3n ，试确定所有的p ,使数列{b n }中存在某个连续p 项的和是数列{a n }中的一项，请证明.［要点反思］对存在性命题的解答，应先假设存在满足条件的值，再通过已知条件建立方程，若有符合条件的方程的解，则假设成立，否则不存在满足条件的值.总结规律等差、等比数列的综合题是高考的热点，旨在考查将数列的知识实现跨越章节的相互沟通.数列知识的横向应用会使问题化繁为简，化难为易，有时也可以促使数学的两个不同分支相互转化，所以解题时应注意充分发挥它的转化功能.这种类型的试题常在解答题中出现，解答这种综合性问题时应注意下面几个方面：（1）数列是一种特殊的函数，解数列题时应注意运用方程与函数的思想方法.（2）等价转化思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列求和问题经常转化为等差、等比或常见的特殊数列的求和问题.（3）由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想.已知数列的若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此方法实现的.（4）分类讨论的问题在数列解答题中常会遇到.如等比数列中，经常要对公比q 是否为1进行讨论；已知S n 求a n 时，要对n =1,n ≥2进行分类讨论.这些在复习中要予以高度重视.等差、等比数列的运用基础达标1．设等差数列｛a n ｝的公差d 不为0，a 1=9d ，若a k 是a 1和a 2k 的等比中项，则有k=_____．2．若互不相等的实数a,b,c 成等差数列，c,a,b 成等比数列，且a+3b+c=10，则a=_______．3．等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则｛a n ｝的公比为_____．4．等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是__________．5．设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，|q|＞1，令b n =a n +1(n=1,2,…)，若数列｛b n ｝有连续四项在集合｛-53,-23,19,37,82｝中，则6q=__________．6．设等比数列｛a n ｝的前n 项和S n =2n +a ，等差数列｛b n ｝的前n 项和T n =n 2-2n+b ，则a ＋b ＝__________．7．数列｛a n ｝的通项222cos sin 33n n n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为S n ，则S 30=____________． 8．对于集合N=｛1, 2, 3,…, n ｝的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后得到的数．例如集合｛1, 2, 4, 6, 9｝的交替和是9-6＋4-2＋1＝6，集合｛5｝的交替和为5．当集合N 中的n =2时，集合N=｛1, 2｝的所有非空子集为｛1｝，｛2｝，｛1, 2｝，则它的“交替和”的总和S 2=1+2+(2-1)=4；则当n=3时，S 3=_______；根据S 2、S 3、S 4猜想集合N =｛1, 2, 3,…, n ｝的每一个非空子集的“交替和”的总和S n =________．能力提升9．在数列｛a n｝中，a1=2,a n+1=4a n-3n+1,n∈N*．(1) 证明：数列｛a n-n｝是等比数列；(2) 求数列｛a n｝的前n项和S n；(3) 证明：不等式S n+1≤4S n对任意的n∈N*都成立．10．已知数列｛a n｝是首项a1＞0,公比q＞0的等比数列，b n=log2a n,b1+b3+b5=6,b1·b3·b5=0．(1) 求数列｛a n｝的通项公式；(2) 设｛b n｝的前n项和为S n，当1212n SS Sn++⋅⋅⋅+最大时，求n的值．11．设｛a n｝是公比大于1的等比数列，S n为数列｛a n｝的前n项和．已知S3=7，且a1+3,3a2,a3+4成等差数列．(1) 求数列｛a n｝的通项公式；(2) 令b n=lna3n+1,n=1,2,…,求数列｛b n｝的前n项和T n．滚动训练12．已知在数列｛a n｝中，a1=-1,且(n+1)a n,(n+2)a n+1,n成等差数列．(1) 设b n=(n+1)a n-n+2,求证：数列｛b n｝是等比数列；(2) 求数列｛a n｝的通项公式；(3) 若a n-b n≤kn对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．。

新课标高中数学等差数列和等比数列教学设计

等差数列和等比数列一、课程说明1.教学目标：1）知识与技能：理解并掌握等差与等比数列的定义和通项公式，并加以初步应用。

2）过程与方法：通过概念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，着重培养学生观察、比较、概括、归纳、演绎等方面的思维能力，并进—步培养运算能力，分析问题和解决问题的能力，增强应用意识。

3）情感态度与价值观：通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切关系，激发学生学习的兴趣。

2、学习者特征分析高中生与初中生相比，心理和心里都日趋成熟，认识能力也有提高，对事对人都有自己的看法，同时他们思维的独立性也较为成熟，喜欢独立思考问题以获取答案，还具备了一定的自学能力。

因此，将等比数列与等差数列的一些基本性质以问题的形式提出进而引导他们探究新的知识这种教学模式更能激发他们的学习兴趣。

等差与等比数列作为高考的必考内容，难度不是很大。

在教学中，要求学生掌握基本的知识体系与解题思路。

3、难点、重点分析教学重点：等差与等比数列的概念的形成与深化；等比数列通项公式的推导及应用。

教学难点：等差与等比数列性质的灵活应用：等比数列前n项和公式的推导。

二、课前准备1、教学方法：多媒体教学法；问题探究发现教学法。

2、教学器材：多媒体教学工具。

3、教材分析：本节内容先由分析日常生活中的实际问题来引出等差与等比数列的概念，再由归纳演绎法得出通项公式，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程。

4、时间分配：（一）等差与等比数列的概念（10分钟）（二）、等差数列的通项、基本性质。

（20分钟）（三）、等比数列的通项、基本性质。

（20分钟）（四）、总结（10分钟）三、课程设计（一）等差与等比数列的概念创设情境，引入概念（展示图片）引例⒈小明觉得自己英语成绩很差。

第1讲等差数列、等比数列(教案)

第1讲等差数列、等比数列1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现．2．数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．热点一等差数列、等比数列的运算1．通项公式等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ；等比数列：a n ＝a 1·q n －1.2．求和公式等差数列：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；等比数列：S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q(q ≠1)． 3．性质若m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ；在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q .例1 (1)(2017届江西师大附中、临川一中联考)已知数列{}a n ，{}b n 满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{}b n 是等差数列，且a 9a 2 009＝4，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 017等于( )A ．2 016B ．2 017C ．log 22 017D.2 0172答案 B解析由题设可得log 2a 9＋log 2a 2 009＝2，即b 9＋b 2 009＝2，由等差数列的通项的性质，可得b 9＋b 2 009＝b 1＋b 2 017＝2，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 017＝2 017(b 1＋b 2 017)2＝2 017，故选B. (2)(2017届四川省成都市诊断性检测)在等比数列{a n }中，已知a 3＝6, a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5等于( )A ．12B ．18C ．24D ．36答案 B解析由于a 3＋a 5＋a 7＝a 3＋a 3q 2＋a 3q 4＝6(q 4＋q 2＋1)＝78，得q 4＋q 2－12＝0，得q 2＝3或q 2＝－4(舍去)，则a 5＝a 3q 2＝6×3＝18，故选B.思维升华在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．跟踪演练1 (1)(2017·河北省曲周县第一中学模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－4，S 6＝6，则S 5等于( )A ．0B ．－2C ．4D ．1答案 A解析由题设可得⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ＝－4，6a 1＋6×52d ＝6⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝2，则S 5＝－4×5＋5×42×2＝0，故选A. (2)(2017届长沙一模)等比数列{}a n 的公比为－2，则ln ()a 2 0172－ln ()a 2 0162＝________.答案 ln 2解析 ln ()a 2 0172－ln ()a 2 0162＝ln ⎝⎛⎭⎫a 2 017a 2 0162＝ln q 2＝ln 2. 热点二等差数列、等比数列的判定与证明数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数；②利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)．(2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法①利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； ②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)．例2 (2017届东北三省三校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n －n ＋1，数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1＝b n ＋a n －n .(1)证明：{a n －n }为等比数列；(2)数列{c n }满足c n ＝a n －n (b n ＋1)(b n ＋1＋1)，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)证明 ∵a n ＋1＝2a n －n ＋1，∴a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )，又a 1－1＝2，∴{a n －n }是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)知a n －n ＝(a 1－1)·2n －1＝2n ，∵b n ＋1＝b n ＋a n －n ，∴b n ＋1－b n ＝2n ，⎩⎪⎨⎪⎧ b 2－b 1＝21，b 3－b 2＝22，…，b n －b n －1＝2n －1，累加得到b n ＝2＋2·(1－2n －1)1－2＝2n (n ≥2)．当n ＝1时，b 1＝2，∴b n ＝2n ，∴c n ＝a n －n(b n ＋1)(b n ＋1＋1)＝2n (2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1. ∴T n ＝13－12n ＋1＋1. 思维升华 (1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n 项和公式，但不能作为证明方法．a n＋1 a n ＝q和a2n＝a n－1a n＋1(n≥2)都是数列{a n}为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．(2)跟踪演练2 (2017届吉林省长白山市模拟)在数列{}a n 中，设f (n )＝a n ，且f (n )满足f (n ＋1)－2f (n )＝2n (n ∈N *)，且a 1＝1.(1)设b n ＝a n 2n －1，证明：数列{}b n 为等差数列； (2)求数列{}a n 的前n 项和S n .(1)证明由已知得a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1， ∴b n ＋1－b n ＝1，又a 1＝1，∴b 1＝1，∴{}b n 是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知，b n ＝a n 2n －1＝n ，∴a n ＝n ·2n －1. ∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，两边乘以2，得2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，两式相减得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.热点三等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2. (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12， ∴T m ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12m 1－12＝8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12m ， ∵⎝⎛⎭⎫12m 随m 增加而递减，∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8.又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n ) ＝－12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n －922－814，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ，则10<8＋λ，得λ>2.即实数λ的取值范围为(2，＋∞)．思维升华 (1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解．跟踪演练3 (2017·北京)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2b 4＝a 5，所以b 21q 4＝9，解得q 2＝3，所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.真题体验1．(2017·全国Ⅰ改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为________．答案 4解析设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.2．(2017·浙江改编)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的________条件．答案充要解析方法一 ∵数列{a n }是公差为d 的等差数列，∴S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ，∴S 4＋S 6＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d .若d ＞0，则21d ＞20d,10a 1＋21d ＞10a 1＋20d ，即S 4＋S 6＞2S 5.若S 4＋S 6＞2S 5，则10a 1＋21d ＞10a 1＋20d ，即21d ＞20d ，∴d ＞0.∴“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件．方法二 ∵S 4＋S 6＞2S 5⇔S 4＋S 4＋a 5＋a 6＞2(S 4＋a 5)⇔a 6＞a 5⇔a 5＋d ＞a 5⇔d ＞0.∴“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件．3．(2017·北京)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________. 答案 1解析设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则由a 4＝a 1＋3d ，得d ＝a 4－a 13＝8－(－1)3＝3，由b 4＝b 1q 3，得q 3＝b 4b 1＝8－1＝－8，∴q ＝－2. ∴a 2b 2＝a 1＋d b 1q ＝－1＋3－1×(－2)＝1.4．(2017·江苏)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 答案 32解析设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 3)1－q ＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.押题预测1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13押题依据等差数列的性质和前n 项和是数列最基本的知识点，也是高考的热点，可以考查学生灵活变换的能力．答案 C解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0， ∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.2．(2017·安庆模拟)等比数列{a n }中，a 3－3a 2＝2，且5a 4为12a 3和2a 5的等差中项，则{a n }的公比等于( )A ．3B ．2或3C ．2D ．6押题依据等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵活性，是高考出题的重点．答案 C解析设公比为q,5a 4为12a 3和2a 5的等差中项，可得10a 4＝12a 3＋2a 5,10a 3q ＝12a 3＋2a 3q 2，得10q ＝12＋2q 2，解得q ＝2或3.又a 3－3a 2＝2，所以有a 2q －3a 2＝2，所以有q ＝2，故选C.3．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D.43押题依据本题在数列、方程、不等式的交汇处命题，综合考查学生应用数学的能力，是高考命题的方向．答案 A解析由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(不合题意，舍去)，又由a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m ＋n －2＝16a 21，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ＋5≥16⎝⎛⎭⎫2 4m n ·n m ＋5＝32，当且仅当4m n ＝n m ，即n ＝2m ＝4时取得最小值32. 4．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④押题依据先定义一个新数列，然后要求根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来高考中逐渐兴起的一类问题，这类问题一般形式新颖，难度不大，常给人耳目一新的感觉．答案 C解析由等比数列性质得，a n a n ＋2＝a 2n ＋1.①f (a n )f (a n ＋2)＝a 2n a 2n ＋2＝(a 2n ＋1)2＝f 2(a n ＋1)；②f (a n )f (a n ＋2)＝22122222n n n n n a a a a a ++++=≠ ＝f 2(a n ＋1)；③f (a n )f (a n ＋2)＝|a n a n ＋2|＝|a n ＋1|2＝f 2(a n ＋1)；④f (a n )f (a n ＋2)＝ln|a n |ln|a n ＋2|≠(ln|a n ＋1|)2＝f 2(a n ＋1)．故选C.A 组专题通关1．(2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 3＝4，则a 4＋a 5等于( )A ．17B ．16C ．15D ．14答案 A解析设等差数列公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝－1，a 1＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a 4＋a 5＝2a 1＋7d ＝2×(－2)＋7×3＝17，故选A.2．(2017·河北省衡水中学三调)已知{a n }是等比数列，且a 2＋a 6＝3，a 6＋a 10＝12，则a 8＋a 12等于( ) A ．12 2 B ．24 C ．24 2 D ．48 答案 B解析 a 6＋a 10a 2＋a 6＝a 2q 4＋a 6q 4a 2＋a 6＝q 4＝123＝4，q 2＝2，a 8＋a 12＝a 6q 2＋a 10q 2＝q 2(a 6＋a 10)＝2×12＝24，故选B.3．(2017·全国Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( ) A ．－24 B ．－3 C ．3 D ．8 答案 A解析由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6，可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋6×5×(－2)2＝－24.故选A.4．(2017届三湘名校教育联盟联考)一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10 答案 B解析设等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，由已知得a 1a 2a 3＝2，a n a n －1a n －2＝4，可得(a 1a n )3＝2×4，a 1a n ＝2，∵T n ＝a 1a 2…a n ，∴T 2n ＝(a 1a 2…a n )2＝(a 1a n )(a 2a n －1)…(a n a 1)＝(a 1a n )n ＝2n ＝642＝212， ∴n ＝12.5．(2017届福建省福州文博中学期中) 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，如果墙足够厚， S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S 5等于( ) A ．311516B ．321516C ．331516D ．2612答案 B解析大老鼠、小老鼠每天打洞进度分别构成等比数列{a n }，{b n }，公比分别为2，12，首项都为1，所以S 5＝1×(1－25)1－2＋1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝321516.故选B.6．(2017届河南省高中毕业年级考前预测)在等差数列{a n }中，d >0, S n 是它的前n 项和，若a 1＋a 2＝a 42，且a 2与a 6的等比中项为4，则S 8＝________. 答案 46解析由题意，得⎩⎨⎧2a 1＋d ＝a 1＋3d2，(a 1＋d )(a 1＋5d )＝16，解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝32，则S 8＝8×12＋8×72×32＝46.7．(2017届三湘名校教育联盟联考)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为______．答案 16解析 S 10＝10(a 1＋a 10)2＝40⇒a 1＋a 10＝a 3＋a 8＝8，a 3·a 8≤⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋a 822＝⎝⎛⎭⎫822＝16，当且仅当a 3＝a 8＝4时“＝”成立．8．(2017届内蒙古包头十校联考)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1S n ＋1＝S n ，则S n ＝__________.答案－1n解析a n ＋1S n ＋1＝S n ⇔a n ＋1＝S n S n ＋1⇔S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，整理为1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1S n ＝－1＋(n －1)·(－1)＝－n ，即S n ＝－1n.9．(2017·北京市石景山区月考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝－2(n ＝1,2,3，…)，那么a 8＝________. 答案－2解析由数列的递推公式，可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，－2，n 为偶数，据此可得a 8＝－2.10．(2017·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．B 组能力提高11．(2017·安徽省蚌埠市教学质量检查)数列{}a n 是以a 为首项，b 为公比的等比数列，数列{}b n 满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1,2，…)，数列{}c n 满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1,2，…)，若{}c n 为等比数列，则a ＋b 等于( ) A. 2 B ．3 C. 5 D ．6 答案 B解析由题意知，当b ＝1时，{c n }不是等比数列，所以b ≠1.由a n ＝ab n －1，则b n ＝1＋a (1－b n )1－b ＝1＋a 1－b －ab n 1－b，得c n ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1－b n －a1－b ·b (1－b n )1－b ＝2－ab(1－b )2＋1－b ＋a 1－b n ＋ab n ＋1(1－b )2，要使{}c n为等比数列，必有⎩⎪⎨⎪⎧2－ab(1－b )2＝0，1－b ＋a 1－b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3，故选B.12．(2017届吉林省吉林市普通中学调研)艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )的零点时给出一个数列{}x n 满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{}x n 为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{}a n 的通项公式a n ＝________. 答案 2n解析 ∵ 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ，b ＝－3a .∴f (x )＝ax 2－3ax ＋2a ，则f ′(x )＝2ax －3a .则x n ＋1＝x n －ax 2n －3ax n ＋2a 2ax n －3a＝x n －x 2n －3x n ＋22x n －3＝x 2n －22x n －3，∴x n ＋1－2x n ＋1－1＝x 2n －22x n －3－2x 2n －22x n －3－1 ＝x 2n －2－2(2x n －3)x 2n －2－(2x n －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x n －2x n －12，则数列a n 是以2为公比的等比数列，又∵a 1＝2 ， ∴ 数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，则a n ＝2·2n －1＝2n .13．(2017届石家庄模拟)已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝3·2n －1，n ∈N *.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式S n >ka n －2对一切n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围为______．答案 (－∞，2]解析设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则由a n ＋1＋a n ＝3·2n －1，得a 2＋a 1＝3，a 3＋a 2＝6，所以q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝2，所以2a 1＋a 1＝3，即a 1＝1，所以a n ＝2n －1, S n ＝1－2n1－2＝2n －1.因为不等式S n >ka n －2对一切n ∈N *恒成立，即2n －1>k ·2n －1－2，解得k ≤2.14．(2017届江西鹰潭一中月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1,1)，b ＝(1，a 10)，若a·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足12n a －＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式及数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和M n ；(2)是否存在非零实数λ，使得数列{b n }为等比数列？并说明理由．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由a ＝(a 1,1)，b ＝(1，a 10)，a·b ＝24，得a 1＋a 10＝24，又S 11＝143，解得a 1＝3，d ＝2，因此数列的通项公式是a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，所以1a n a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，所以M n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝n 6n ＋9. (2)因为12n a －＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)，且a 1＝3，可得T n ＝4n λ＋2λ，当n ＝1时，b 1＝6λ；当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝3·4n －1λ，此时有b n b n －1＝4，若{b n }是等比数列，则有b 2b 1＝4，而b 1＝6λ，b 2＝12λ，彼此相矛盾，故不存在非零实数λ使数列{b n }为等比数列．。

等差数列等比数列学案

等差数列学案（一）一：考纲要求1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．二、必记知识1．等差数列的定义：或 ,2．等差数列的通项公式: a n= = ， =3．等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列. 则有。

4．等差数列的前n 项和 S n = = = 。

5 等差数列的性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．此性质常与S n ＝n （a 1＋a n ）2联系(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)．(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12(6)在等差数列{a n }中，若项数为偶数2n ， S 偶－S 奇＝nd ；(7)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.三，讲授疑点四．方法，规律1利用等差数列的性质巧妙设项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．2 等差数列的通项公式，前n 项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a 1和d .五，学会应用第一环节：我能行A1 (2014·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若 a 2，a 4，a 8 成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n （n ＋1）2 D.n （n －1）2A2 (2014·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8 B ．10 C ．12 D ．14A1 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 A2．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝26，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176A3．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40A4. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 013等于( ) A ．2 013 B ．－2 013 C ．－4 026 D ．4 026第二环节:小组讨论（合作，互助）第三环节：展示问题，答案六课堂小结（学生写下来）1．我学会了： 2.我的难点是：七：更上一层楼B1 (2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6B2 若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10等差数列学案（二）一：学习目标1掌握等差数列的判定与证明2会求等差数列前n 项和的最值二、必记知识，方法1等差数列的判定方法(1)定义法：对于任意自然数n ≥2，验证a n －a n －1为同一常数． (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立． (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q . (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断． 2．求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值．即找到a n 的正负分界点即可。

等差、等比数列导学案(重点班)

专题六第一课:等差数列(C)、等比数列(C)一．知识点整理：1、a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝ .2、等差数列和等比数列二．回归课本1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且13S 3与14S 4的等差中项为1，而13S 3与14S 4的等比中项是15S 5，则a n ＝．2.已知在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，则a n ＝．3.设在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求n ＝；q ＝．4.若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项之和分别是S n、T n，已知S nT n＝7nn＋3，则a5b5＝．5.已知{a n}是等差数列，若a1＝20，公差d＝－2，求数列前n项和S n的最大值．6.已知{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是．①d＜0 ；②a7＝0；③S9＞S5；④S6和S7均为S n的最大值.7.已知数列{a n}满足a1＝4，a n＝4－4a n－1(n∈N*且n≥2)，令b n＝1a n－2，求证：数列{b n}是等差数列．8.数列{a n}前n项和为S n，若a n＋S n＝n，令b n＝a n－1，求证：数列{b n}是等比数列.专题六第一课:等差数列(C)、等比数列(C)四．典型例题：题型一、等差、等比数列基本量的计算例1 （1）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 2＋a 4＝14，S 7＝70.则数列{a n }的通项公式是 .（2）已知等比数列{a n }为递增数列，且2510a a =，212()5n n n a a a +++=，则数列的通项公式是 .变式：(1)(2014·东北三校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是________．(2)(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝____________.(3)(2014·东阳中学阶段考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1<a 3<1,0<a 6<3，则S 9的取值范围是________．(4)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝________.题型二、等差、等比数列的证明与判定例2 （1）数列{a n }满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，n N *∈.求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.（2）已知数列{a n }中，11a =，12()n n n a a n N *++=∈.求证：数列123n n a ⎧⎫-⨯⎨⎬⎩⎭是等比数列.变式已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)2(021≥=+-n S S a n n n ，又211=a ，（1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列；(2）求数列{}n a 的通项公式；判断数列{}n a 是否为等差数列？题型三、等差、等比数列的综合应用例3 已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若1＜i ＜21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 值；(3)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列，若存在，求出常数k ；若不存在，说明理由。

第1讲等差数列与等比数列---导学案

第1讲等差数列与等比数列---导学案1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.真题感悟1.(20XX年全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A.a n ＝2n －5B.a n ＝3n －10C.S n ＝2n 2－8nD.S n ＝12n 2－2n 2.(20XX年北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载肿钤缬檬学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( ) A.32f B.322f C.1225f D.1227f3.(20XX年全国Ⅰ卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________. 4.(20XX年全国Ⅱ卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4. (1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列；(2)求{a n }和{b n }的通项公式.考点整合1.等差数列：(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；(2)求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ；(3)性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；②a n ＝a m ＋(n －m )d ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列.2.等比数列：(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(q ≠0)；(2)求和公式：q ＝1，S n ＝na 1；q ≠1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q；(3)性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；②a n ＝a m q n －m ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列. 温馨提醒应用公式a n ＝S n －S n －1时一定注意条件n ≥2，n ∈N *.热点一等差、等比数列的基本运算(1)(20XX年全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且 a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A.16B.8C.4D.2(2)(20XX年北京卷)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列. ①求{a n }的通项公式；②记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值.【训练1】(1)(20XX年全国Ⅲ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2＝3a 1,则S 10S 5＝______.(2)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.①求{a n }的通项公式；②记S n 为{a n }的前n 项和.若S m ＝63，求m .热点二等差(比)数列的性质(1)在等比数列{a n }中，a 6，a 10是方程x 2＋6x ＋2＝0的两个实数根，则a 8的值为( )A.2B.－2或2C. 2D.－2(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n nS n ＋1(n ∈N *).若a 8a 7－1，则( ) A.S n 的最大值是S 8 B.S n 的最小值是S 8 C.S n 的最大值是S 7 D.S n 的最小值是S 7【训练2】(1)(20XX年山东省实验中学调研)已知公差d ≠0的等差数列{a n }满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( )A.30B.20C.10D.5或40(2)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和S 8为( )A.4B.2C.3D.5热点三等差(比)数列的判断与证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n 0，S 2n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1，其中λ为常数. (1)证明：S n ＋1＝2S n ＋λ；(2)是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.【训练3】(1)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M －数列”.(2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n ＝2b n －2b n ＋1，其中S n 为数列{b n }的前n 项和，判断数列{b n }是等差数列还是等比数列，并求数列{b n }的通项公式.。

等差等比数列学案(学生用)

等差等比数列【基础过关】1．等差数列的定义：－＝d (d 为常数)；等比数列的定义：( )( )＝q (q 为不等于零的常数)． 2．等差数列的通项公式：（1）a n ＝a 1＋ ×d ；（2）a n ＝a m ＋ ×d等比数列的通项公式：（1） a n ＝a 1q n －1；（2）a n ＝a m q n －m3．等差数列的前n 项和公式：S n ＝＝．等比数列的前n 项和公式：S n ＝ 1 1q q ≠⎧⎨=⎩4．等差中项：如果a 、b 、c 成等差数列，则b 叫做a 与c 的等差中项，即b ＝．等比中项：如果a 、b 、c 成等比数列，那么b 叫做a 与c 的等比中项，即b 2＝（或b ＝）．5．等差数列{a n }的两个重要性质：（1）m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则．（2）数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成数列．等比数列{a n }的几个重要性质：（1）m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则．（2）S n 是等比数列{a n }的前n 项和且S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成数列．（3）若等比数列{a n }的前n 项和S n 满足{S n }是等差数列，则{a n }的公比q ＝．6．判断和证明数列{a n }是等差（等比）数列常有三种方法：（1）定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n ―a n ―1（1n n a a -）为同一常数．（2）通项公式法：①若a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a k ＋(n －k )d ，则{a n }为等差数列；②若a n ＝a 1q n ―1＝a k q n ―k ，则{a n }为等比数列．（3）中项公式法：验证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(21n a +＝a n ＋a n ＋2)n ∈N 都成立．【基础自测】1．等差数列{a n }共有2n ＋1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________．2．已知等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项为5，a 3与a 7的等差中项为7，则a n ＝．3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 6＝36，S n ＝324，S n －6＝144(n ＞6)，则n 等于．4．已知等比数列{a n }公比为13q =，则135246a a a a a a ++++＝． 5．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是．6．“b 2＝ac ”是“a 、b 、c 成等比数列”的条件．7．在等比数列{a n }中，a n ＞0，(n ∈N *)且a 3a 6a 9＝8，则log 2a 2＋log 2a 4＋log 2a 6＋log 2a 8＋log 2a 10＝．8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝20－a 6，则S 10＝．9．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是．①{}2n a ；②{a 2n }；③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；④{}lg n a 10．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝0，对任意正整数n ，m (n ＞m )满足a n 2－a m 2＝a n －m a n ＋m ，则a 119＝．11．在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点(52，32)有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a 1，最长的弦长为a n ，若公差d ∈(16，13]，那么 n 的取值集合为． 12．数列{a n }中a 1＝1，a 5＝13，a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1；数列{b n }中，b 2＝6，b 3＝3，b n ＋2b n ＝b 2n ＋1，在直角坐标平面内，已知点列P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)，P 3(a 3，b 3)，…，P n (a n ，b n )，…，则向量12P P ＋34P P ＋56P P ＋…＋20052006P P 的坐标为．13．已知各项均正的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15的值为．14．在数列{a n }中，如果对任意n ∈N ＋都有211n n n na a a a +++--＝k (k 为常数)，则称{a n }为等差比数列， k 称为公差比．现给出下列命题：（1）等差比数列的公差比一定不为0；（2）等差数列一定是等差比数列；（3）若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列；（4）若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．其中正确的命题的序号为．【题例分析】例1．设数列{a n }为等比数列，数列{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若{c n }是1，1，2…，求{c n }的前10项和．例2．已知数列{a n }中，a 1＝1且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若函数f (n )＝1231111nn a n a n a n a ++++++++(n ∈N *，且n ≥2)，求函数f (n )的最小值．例3．有固定项的数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，现从中抽取某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均值是79．（1）求数列{a n }的通项a n ；（2）求这个数列的项数，抽取的是第几项．例4．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 2是a 1与a 4的等比中项，已知1213n k k k a a a a a ，，，，，，成等比数列，求数列{k n }的通项公式．【巩固训练】1．已知{a n }为等差数列，前10项的和为S 10＝100，前100项的和S 100＝10，求前110项的和S 110．2．已知数列{a n}的通项公式a n＝(n＋1)1011n⎛⎫⎪⎝⎭(n∈N＋)，试问数列{a n}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若无，说明理由．练习：已知a n(n∈N＋)，则在数列{a n}中的前30项中，最大项和最小项分别为什么？3．数列{a n}的前n项为S n，S n＝2a n－3n(n∈N*)．（1）证明：数列{a n＋3}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）数列{a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．4．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a 2＝a 1＋a 3，数列是公差为d 的等差数列．①求数列{a n }的通项公式（用n ，d 表示）；②设c 为实数，对满足m ＋n ＝3k 且m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m ＋S n ＞cS k 都成立．求证：c 的最大值为92．5．已知数列{a n }、{b n }中，对任何正整数n 都有：11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--．（1）若数列{a n }是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{b n }是等比数列；（2）若数列{b n }是等比数列，数列{a n }是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由．。

第36课等差数列与等比数列学案-福建省厦门市高三数学（理）一轮复习

第36课等差数列与等比数列
一、目标导引
在数列{}n a 中，5112a a -=，428a a +=。

（1）若{}n a 是等差数列，求通项公式n a ；（2）若{}n a 是等比数列，求通项公式n a 。

二、知识梳理
等差数列
等比数列
判定方法
通项公式
前n 项和
三、问题研讨
问题1：等差数列的判定
例题1：（2017年全国1文17）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知232,6S S ==-。

（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求n S ，并判断12,,n n n S S S ++是否成等差数列。

问题2：等比数列的判定
例题2：（2018全国1文17）已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，设n
n a b n
=。

（1）求123,,b b b ；
（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式。

问题3：基本量法
例题3：（2018年全国3理17文17）等比数列{}n a 中，1311,4a a a ==。

（1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为{}n a 的前n 项和，若63m S =，求m 。

例题4：（2016年全国3理17）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠。

（1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；。

微专题11等差数列与等比数列(教学案)

微专题11 等差数列与等比数列1．掌握并活用等差、等比数列的基本量和性质，进行基本运算．2．运用定义域分析通项公式，判断或证明一个数列是等差(比)数列．3．从分析数列特征入手，综合运用通项公式、求和公式、不等式、函数等方法求解最值或参数范围问题．考题导航1．记S n n }的前n 项和，若3S 324152．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．1．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________．2．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________．1．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝a n 4a n ＋1，则a n ＝________．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2．(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．1．记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________．2．设数列{a n }中，S 1＝1，S 2＝2，S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ≥2)，则命题“{a n }是等比数列”是______命题．(填“真”或“假”)1．设等比数列{a n }满足a 13241a 2…a n2．已知数列{a n }为等差数列，若a 7a 6<－1，且{a n }的前n 项和S n 有最大值，则使S n ＞0的n 的最大值为__________．3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．1．已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }最大项的值与最小项的值．冲刺强化训练(11)1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5＝5，S 9＝27，则S 7＝________．3．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________． 4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1) S n <nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7<－1，则当n ＝_____时，S n 最小． 5．已知数列{a n }的首项为3，数列{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝____________．6．已知数列{a n }为等差数列，其前12项和为354，前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27，则这个数列的公差为________．7．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．8．已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n )(n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________，a n ＝______________．。

四川省古蔺县中学高三数学 5.1等差数列与等比数列复习学案

四川省古蔺县中学高三数学复习学案：5.1等差数列与等比数列【知识特点】（1）数列是高中数学的主要内容之一是高考的常考内容；（2）数列具有函数特征，又能构成独特的递推关系，故使得数列与函数、方程、不等式等知识有较密切的联系，因此高考命题时常将数列与函数、不等式、向量等交汇，考查学生的逻辑思维能力、运算推理能力，呈现出综合性强、立意新的特点；（3）数列、等差与等比数列的概念和性质、通项公式、前n项和公式等知识，突出了“小、巧、活”的特点，也提供了知三求二的理论依据；（4）数列的规律性较强，学习时一定要从其规律入手来计算、分析、解决有关问题。

【重点关注】（1）要正确理解数列、等差、等比数列的基本概念，掌握各公式之间的联系和内在规律，掌握公式的灵活运用，甚至要灵活地回归定义，巧用性质，使运算更简捷；（2）要善于运用函数与方程、化归与转化、分类讨论等思想方法去分析问题、解决问题；（3）本章另一重点是由递推公式得出数列，以及数列的前n项和Sn与通项之间的关系。

体现了由特殊到一般的思维规律；（4）与数列有关的应用题也是高考考查的重点，特别是数列建模问题；（5）数列证明问题与数学归纳法的联系。

【地位和作用】数列是函数大家庭中的一员，其特殊性在于其定义域是正整数，它是按一定次序排列的一列数，数列在中学数学中既具有相对的独立性，又具有较强的综合性，它是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，因此历年的高考中占有较大的比重，在选择、填空题中，突出“小、巧、活”的特点。

递推思想可以极大地激活人们探索与发现真理的能力，由给出的前若干项及an与an+1的关系式得到的数列叫递推数列，该关系式叫递推公式。

高考命题中数列善于占有重要一席，而运用递推式是解题的起点。

对于本章而言，从新课改近几年各省份的高考信息可以看出，高考命题呈现出以下几个特点：1、考查题型较为全面。

选择、填空、解答均有所考查，一般一小一大，分值占10%，其中解答题难度较大；2、重点考查等差数列、等比数列的定义，通项公式和前n项和公式，注重在知识的交汇处命题，如数列与函数、方程、不等式等知识的综合应用。