等差数列与等比数列学案

专题三 数 列 第1讲 等差数列与等比数列

等差、等比数列的基本运算(基础型) 通项公式

等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n －

1.

求和公式

等差数列：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na

1＋n （n －1）

2d ；

等比数列：S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q

1－q (q ≠1)．

性质

1．(2018·贵阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11

S 5＝( )

A.11

5 B.522 C.1110

D.225

解析：选D.S 11S 5＝11

2（a 1＋a 11）

52（a 1＋a 5

）＝11a 65a 3＝22

5

.故选D.

2．(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )

A ．－12

B ．－10

C ．10

D ．12

解析：选B.设等差数列{a n }的公差为d ，因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3(3a 1＋3×22d )＝2a 1＋d

＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－3

2a 1，因为a 1＝2，所以d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)

＝－10.故选B.

3．(2018·郑州模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为 ( )

A ．－3

B ．1

C ．－3或1

D ．1或3

解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由S n ＋2

＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n ，3a 1n ＝2a 1－3恒成立，则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1，

所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，S n ＋2＝a 1（1－q n ＋

2）1－q

，

代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成

立，则有⎩⎪⎨⎪⎧4－q 2

＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，q ＝－2，故a 1＝1或－3，故选C. 4．(2018·南宁模拟)在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则a 20

a 10

＝________．

解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a 6＝16得a 21q 6＝16，所以a 1q 3

＝±

4.由a 4＋a 8＝8，得a 1q 3(1＋q 4)＝8，即1＋q 4＝±2，所以q 2＝1.于是a 20

a 10

＝q 10＝1.

法二：由等比数列的性质，得a 24＝a 2a 6＝16，所以a 4＝±4，又a 4＋a 8＝8，

所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 8＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－4，a 8＝12.因为a 2

6＝a 4a 8>0，所以⎩

⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 8＝4，则公比q 满足q 4＝1，q 2＝1，

所以a 20

a 10

＝q 10＝1.

答案：1

5．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；

(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －

1.

由已知得q 4＝4q 2，

解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n

－1

或a n ＝2n －

1.

(2)若a n ＝(－2)

n －1

，则S n ＝1－（－2）n

3

.

由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －

1，则S n ＝2n －1.

由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.

等差、等比数列的判定与证明(综合型)

证明数列{a n }是等差数列或等比数列的方法 (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数； ②利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1

a n (n ∈N *)为一常数；

②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)．

[典型例题]

设S n 为数列{a n }的前n 项和，对任意的n ∈N *，都有S n ＝2－a n ，数列{b n }满足

b 1＝2a 1，b n ＝b n －1

1＋b n －1

(n ≥2，n ∈N *)．

(1)求证：数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；

(2)判断数列{1

b n }是等差数列还是等比数列，并求数列{b n }的通项公式．

【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，解得a 1＝1；