高考数学平面向量的平行与垂直及平面向量的应用
2020年高考数学(理)总复习：平面向量(解析版)
2020年高考数学（理）总复习：平面向量题型一 平面向量的概念及线性运算 【题型要点】对于利用向量的线性运算、共线向量定理和平面向量基本定理解决“用已知向量(基向量)来表示一些未知向量”的问题．解决的关键是：①结合图形，合理运用平行四边形法则或三角形法则进行运算；②善于用待定系数法【例1】在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2【解析】 如图所示，建立平面直角坐标系：设A (0,1)，B (0,0)，C (2,0)，D (2,1)，P (x ，y )，根据等面积公式可得圆的半径r ＝25，即圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝45，AP →＝(x ，y －1)，AB →＝(0，－1)，AD →＝(2,0)，若满足AP →＝λAB →＋μAD →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2μy －1＝－λ，μ＝x 2，λ＝1－y ，所以λ＋μ＝x 2－y ＋1，设z ＝x 2－y ＋1，即x 2－y ＋1－z ＝0，点P (x ，y )在圆(x －2)2＋y 2＝45上，所以圆心到直线的距离d ≤r ，即|2－z |14＋1≤25，解得1≤z ≤3，所以z 的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.【答案】 A【例2】．点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，设△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2，则S 1S 2＝( )A.18B.16C.14D.12【解析】 延长OC 到D ，使OD ＝4OC ，延长CO 交AB 于E .∵O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，∴OD →＋OA →＋OB →＝0，∴O 为△DAB 重心，E 为AB 中点，∴OD ∶OE ＝2∶1，∴OC ∶OE＝1∶2，∴CE ∶OE ＝3∶2，∴S △AEC ＝S △BEC ，S △BOE ＝2S △BOC .∵△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2，∴S 1S 2＝16.故选B.【答案】 B ．题组训练一 平面向量的概念及线性运算1．在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，则BC →等于( ) A ．－13AB →＋23AD →B ．－23AB →＋43AD →C.23AB →－AD → D ．－23AB →＋AD →【解析】 在线段AB 上取点E ，使BE ＝DC ，连接DE ，则四边形BCDE 为平行四边形，则BC →＝ED →＝AD →－AE →＝AD →－23AB →；故选D.【答案】 D2．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足：OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++C O B O A O22121，则P 一定为△ABC 的( )A ．重心B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．AB 边中线的中点D ．AB 边的中点【解析】 如图所示：设AB 的中点是E ，∵O 是三角形ABC 的重心，OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++C O B O A O 22121＝13()OE →＋2OC →，∵2EO →＝OC →， ∴OP →＝13()4EO →＋OE →＝EO →，∴P 在AB 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心，故选B.【答案】 B3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34【解析】 因为CP →＝2P A →，所以|CP →||P A →|＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △P AB S △PBC ＝|P A →||CP →|＝12.【答案】 B题型二 平面向量的平行与垂直 【题型要点】(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)： ①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (3)利用向量平行或垂直的充要条件可建立方程或函数是求参数的取值．【例3】已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( )A．9 B．3C.109 D．310【解析】向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，∴2a＋b＝(1，x－8)，由(2a＋b)⊥c，可得1＋8－x＝0，解得x＝9.则|b|＝(－3)2＋92＝310.故选D.【答案】 B【例4】．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b与a＋λb平行，则λ＝________.【解析】∵a＝(3,2)，b＝(2，－1)，∴λa＋b＝(3λ＋2，2λ－1)，a＋λb＝(3＋2λ，2－λ)，∵λa＋b∥a＋λb，∴(3λ＋2)(2－λ)＝(2λ－1)(3＋2λ)，解得λ＝±1【答案】±1题组训练二平面向量的平行与垂直1．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.【解析】由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，解得m＝－2.【答案】－22．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是()A.55 B.15C．－55D．－15【解析】∵a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，∴a－c＝(3－k,3)，∵(a－c)∥b，∴(3－k)·3＝3×1，∴k＝2，∴a·c＝3×2＋1×(－2)＝4，∴|a|＝10，|c|＝22，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·c |a |·|c |＝410·22＝55，故选A. 【答案】 A题型三 平面向量的数量积 【题型要点】(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路： ①直接利用数量积的定义； ②建立坐标系，通过坐标运算求解．(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．【例5】在平行四边形ABCD 中，|AD →|＝3，|AB →|＝5，AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，cos A ＝35，则|EF →|＝( )A.14 B ．2 5 C ．4 2D ．211【解析】如图，取AE 的中点G ，连接BG ∵AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，∴AG →＝12AE →＝13AD →＝13BC →＝BF →，∴EF →＝GB →，∴|GB →|2＝|AB →－AG |2＝AB →2－2AB →·AG →＋AG →2＝52－2×5×1×35＋1＝20，∴|EF →|＝|GB →|＝25，故选B. 【答案】 B【例6】．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝53OA →－23OB →.若M是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A ．3B ．2 3C ．2D ．－3【解析】 因为点M 是线段AB 的中点，所以OM →＝12()OA →＋OB →，|OA ＝|OB |＝|AB |＝2，所以△ABC 是等边三角形，即〈OA →，OB →〉＝60°，OA →·OB →＝2×2×cos60°＝2，OC →·OM →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-B O A O B O A O21213235＝56OA →2－13OB 2＋12OA →·OB → ＝56×22－13×22＋12×2＝3，故选A. 【答案】 A题组训练三 平面向量的数量积1．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1【解析】 以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立坐标，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，所以P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y ) 所以PB →＋PC →＝(－2x ，－2y )，P A →·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y －32≥－32 当P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0时，所求的最小值为－32，故选B.【答案】 B2．已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，若OA →与OB 的夹角为60°，且OC →⊥AB →，则实数mn的值为( )A.16B.14 C ．6D ．4【解析】 OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3， ∵OC →＝mOA →＋nOB →，OC →⊥AB →，∴(mOA →＋nOB →)·AB →＝(mOA →＋nOB →)·(OB →－OA →)＝(m －n )OA →·OB →－mOA →2＋nOB →2＝0，∴3(m －n )－9m ＋4n ＝0，∴m n ＝16，故选A.【答案】 A题型四 数与形相辅相成求解向量问题【例7】 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1] 【解析】 法一：设出点D 的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求解．设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义为点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1.故选D.法二：根据向量OA →＋OB →的平行四边形法则及减法法则的几何意义，模的几何意义求解． 如图，设M (－1，3)，则OA →＋OB →＝OM →，取N (1，－3)，∴OM →＝－ON →.由|CD →|＝1，可知点D 在以C 为圆心，半径r ＝1的圆上， ∴OA →＋OB →＋OD →＝OD →－ON →＝ND →，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝|ND →|，∴|ND →|max ＝|NC →|＋1＝7＋1，|ND →|min ＝7－1. 【答案】 D题组训练四 数与形相辅相成求解向量问题已知|b |＝1，非零向量a 满足〈a ，b －a 〉＝120°，则|a |的取值范围是________． 【解析】如图，设CA →＝b ，CB →＝a ，则b －a ＝BA →，在△ABC 中，AC ＝1，∠ABC ＝60°. 根据圆的性质：同弧所对的圆周角相等．作△ABC 的外接圆，当BC 为圆的直径时，|a |最大，此时|a |＝BC ＝1sin 60°＝233； 当B ，C 无限接近时，|a |＝BC →0.故|a |的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛332,0 【答案】 ⎥⎦⎤⎝⎛332,0 【专题训练】 一、选择题1．已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( ) A ．9 B ．3 C.109D ．310【解析】 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，∴2a ＋b ＝(1，x －8)， 由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9.则|b |＝(－3)2＋92＝310.故选D. 【答案】 D2．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ∵向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)， ∴a ＋b ＝(3，k ＋2)，又a ＋b 与a 共线． ∴(k ＋2)－3k ＝0，解得k ＝1，∴a ·b ＝(1,1)·(2,2)＝1×2＋1×2＝4，故选D. 【答案】 D3．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则向量a 在向量a ＋2b 方向上的投影为( )A ．－1313B.1313C ．－113D.113【解析】∵a ⊥(a ＋b )，∴a ·(a ＋b )＝1＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1，∴|a ＋2b |2＝1＋4a ·b ＋16＝13，则|a ＋2b |＝13，又a ·(a ＋2b )＝a ·(a ＋b )＋a ·b ＝－1，故向量a 在向量a ＋2b 方向上的投影为－113＝－1313.选A.【答案】 A4．已知A ，B ，C 是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)【解析】 由题意可得OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0＜k ＜1)，又A ，D ，B 三点共线可得kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.【答案】 B5．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD →＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，则mn＝( ) A ．－3 B ．－13C.13D ．3【解析】 过点A 作AE ∥CD ，交BC 于点E ，则BE ＝2，CE ＝4，所以mBA →＋nBC →＝CD →＝EA →＝EB →＋BA →＝－26BC →＋BA →＝－13BC →＋BA →，所以m n ＝1－13＝－3.【答案】 A6．如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝( )A ．2 B.83 C.65D.85【解析】 法一 如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1，BN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21，AC →＝(1,1)．∵AC →＝λAM →＋μBN →＝λ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1＋μ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21＝⎪⎭⎫⎝⎛+-μλμλ2,2，∴⎩⎨⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二 以AB →，AD →作为基底，∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12AD →，BN →＝BC →＋CN →＝AD →－12AB →，因此AC →＝λAM →＋μBN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-2μλAB →＋⎪⎭⎫ ⎝⎛+μλ2AD →，又AC →＝AB →＋AD →，因此⎩⎨⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65且μ＝25.所以λ＋μ＝85【答案】 D7．如图所示，直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点．记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a ，b ∈R )，则ab 的值为( )A.14 B ．1 C.12D.18【解析】由题意易知E 1(2,1),E 2(2，－1)，∴e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，故OP →＝a e 1＋b e 2＝(2a ＋2b ，a －b )，又点P 在双曲线上，∴(2a ＋2b )24－(a －b )2＝1，整理可得4ab ＝1，∴ab＝14. 【答案】 A8．在平面直角坐标系中，向量n ＝(2,0)，将向量n 绕点O 按逆时针方向旋转π3后得向量m ，若向量a 满足|a －m －n |＝1，则|a |的最大值是( )A ．23－1B ．23＋1C ．3D.6＋2＋1【解析】 由题意得m ＝(1，3)．设a ＝(x ，y )，则a －m －n ＝(x －3，y －3)，∴|a －m －n |2＝(x －3)2＋(y －3)2＝1，而(x ，y )表示圆心为(3，3)的圆上的点，求|a |的最大值，即求该圆上点到原点的距离的最大值，最大值为23＋1.【答案】 B9．已知锐角△ABC 的外接圆的半径为1，∠B ＝π6，则BA →·BC →的取值范围为__________．【解析】 如图，设|BA →|＝c ，|BC →|＝a ，△ABC 的外接圆的半径为1，∠B ＝π6.由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝2，∴a ＝2sin A ，c ＝2sin C ，C ＝5π6－A ，由⎩⎨⎧0<A <π20<5π6－A <π2，得π3<A <π2，∴BA →·BC →＝ca cos π6＝4×32sin A sin C ＝23sin A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 65π ＝23sin A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A sin 23cos 21＝3sin A cos A ＋3sin 2A ＝32sin2A ＋3(1－cos2A )2＝32sin2A ＋32cos2A ＋32＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32. ∵π3<A <π2，∴π3<2A －π3<2π3，∴32<sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ≤1，∴3<3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32≤3＋32.∴BA →·BC →的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛+233,3. 【答案】 ⎥⎦⎤ ⎝⎛+233,310．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心【解析】 因为|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以点O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得NA →＋NB →＝－NC →＝CN →，由中线的性质可知点N 在三角形AB 边的中线上，同理可得点N 在其他边的中线上，所以点N 为△ABC 的重心；由P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，得P A →·PB →－PB →·PC →＝PB →·CA →＝0，则点P 在AC 边的垂线上，同理可得点P 在其他边的垂线上，所以点P 为△ABC 的垂心．【答案】 C11．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21，n ＝⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ上的最大值是( )A ．4B ．2C ．2 2D ．2 3【解析】 因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21⊗(x 0，cos x 0)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6π⇒(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+00cos 4,621x x π⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00cos 462xy x x π⇒y ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ， 即f (x )＝4cos ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx ，当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ时， 由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤1⇒2≤4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ的最大值是4，故选A. 【答案】 A 二、填空题12．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且DC →＝3 DE →，BC →＝3 BF →，若AC →＝mAE →＋nAF →，其中m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________.【解析】 由题设可得AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋13AD →＝AB→＋13AD →，又AC →＝mAE →＋nAF →，故AC →＝mAD →＋13mAB →＋nAB →＋13nAD →＝(13m ＋n )AB →＋(m ＋13n )AD →，而AC →＝12(AB →＋AD →)，故⎩⎨⎧13m ＋n ＝12m ＋13n ＝12⇒m ＋n ＝32.故应填答案32.【答案】 3213．若函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+48ππx (－2＜x ＜14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l与函数f (x )的图象交于B 、C 两点，O 为坐标原点，则(OB →＋OC →)·OA →＝________.【解析】 ∵－2＜x ＜14，∴f (x )＝0的解为x ＝6，即A (6,0)，而A (6,0)恰为函数f (x )图象的一个对称中心，∴B 、C 关于A 对称，∴(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA |2＝2×36＝72. 【答案】 7214．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点， 则|P A →|2＋|PB →|2|PC →|2＝________.【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系， 设|CA →|＝a ，|CB →|＝b ，则A (a,0)，B (0，b ) ∵点D 是斜边AB 的中点，∴D ⎪⎭⎫⎝⎛2,2b a ， ∵点P 为线段CD 的中点，∴P ⎪⎭⎫⎝⎛4,4b a ∴|PC →|2＝24⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＋24⎪⎭⎫ ⎝⎛b ＝a 216＋b 216|PB →|2＝24⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＋24⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b ＝a 216＋9b 216|P A →|2＝24⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ＋24⎪⎭⎫ ⎝⎛b ＝9a 216＋b 216∴|P A →|2＋|PB →|2＝9a 216＋b 216＋a 216＋9b 216＝10⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+161622b a ＝10|PC →|2，∴|P A →|2＋|PB →|2|PC →|2＝10.【答案】 1015.在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t ，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则△PBC 面积的最小值为________．【解析】 由题意建立如图所示的坐标系，可得A (0,0)，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,1t ，C (0，t )，∵AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝(4,0)＋(0,1)＝(4,1)，∴P (4,1)；又|BC |＝221⎪⎭⎫⎝⎛+t t ，BC 的方程为tx ＋y t ＝1，∴点P 到直线BC 的距离为d ＝221114⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+t t t t ，∴△PBC 的面积为S ＝12·|BC |·d＝12·221⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t ·221114⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+t t t t＝12|4t ＋1t －1|≥12·|24t ·1t －1|＝32， 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，∴△PBC 面积的最小值为32.【答案】 32。
平面向量与向量的平行与垂直性
平面向量与向量的平行与垂直性平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一，而向量的平行与垂直性是平面向量运算中的基本概念。
本文将通过对平面向量的定义、性质以及平行与垂直性的讨论，详细解释平面向量与向量的平行与垂直性的相关概念和运算。
一、平面向量的定义与性质平面向量又称二维向量，是由两个有序数对表示的有方向大小的量，常用记作AB→，其中A、B分别表示向量的起点与终点。
平面向量的性质包括：1. 平面向量的大小：一个平面向量AB→的大小，记作∣AB→∣，等于向量的模：∣AB→∣ = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)其中，(x1, y1)和(x2, y2)分别表示向量AB→的起点和终点的坐标。
2. 平面向量的方向：平面向量AB→的方向由向量的起点和终点确定。
通常使用方向角或单位向量来表示方向。
3. 平面向量的共线性：如果两个平面向量的方向相同或相反，即它们是平行的；如果两个平面向量的方向不同，则它们是非平行的。
二、平面向量的平行性平面向量的平行性是指两个向量的方向相同或相反。
要判断两个向量是否平行，可以使用以下方法：1. 向量的比例判断法：若向量AB→和向量CD→平行，则存在实数k，使得AB→ = k·CD→。
通过比较两个向量的坐标形式来判断是否满足该条件。
2. 向量的点乘法：向量的点乘可以判断两个向量之间的夹角，若夹角为0°或180°，则两个向量平行。
点乘公式为：AB→ · CD→ = ∣AB→∣∣CD→∣ cosθ其中，θ为向量AB→和CD→之间的夹角。
三、平面向量的垂直性平面向量的垂直性是指两个向量之间的夹角为90°。
要判断两个向量是否垂直，可以使用以下方法：1. 向量的垂直判断法：向量AB→与向量CD→垂直，当且仅当它们的数量积为0，即AB→ · CD→ = 0。
通过比较两个向量的坐标形式来判断是否满足该条件。
高中数学向量的平行与垂直关系判定及运用
高中数学向量的平行与垂直关系判定及运用在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在代数中有着重要的作用。
本文将重点讨论向量的平行与垂直关系的判定及其在解题中的运用。
一、向量的平行关系判定两个向量平行的判定方法有多种，我们可以通过向量的数学性质来判断。
1. 方向相同且长度成比例：若向量a和向量b的方向相同，且长度成比例，即a=k*b（k为非零实数），则向量a与向量b平行。
例如，已知向量a=2i+3j，向量b=4i+6j，我们可以发现向量a和向量b的方向相同，且长度成比例，即a=2*(2i+3j)，因此向量a与向量b平行。
2. 内积为零：若向量a与向量b的内积等于零，即a·b=0，则向量a与向量b垂直。
例如，已知向量a=3i-2j，向量b=2i+3j，我们可以计算出向量a与向量b的内积为a·b=(3i-2j)·(2i+3j)=6-6=0，因此向量a与向量b垂直。
二、向量的垂直关系判定两个向量垂直的判定方法同样有多种，我们也可以通过向量的数学性质来判断。
1. 方向互为相反且长度成比例：若向量a和向量b的方向互为相反，且长度成比例，即a=-k*b（k为非零实数），则向量a与向量b垂直。
例如，已知向量a=-2i-3j，向量b=4i+6j，我们可以发现向量a和向量b的方向互为相反，且长度成比例，即a=-2*(2i+3j)，因此向量a与向量b垂直。
2. 外积为零：若向量a与向量b的外积等于零，即a×b=0，则向量a与向量b 平行或共线。
例如，已知向量a=3i-2j，向量b=2i+3j，我们可以计算出向量a与向量b的外积为a×b=(3i-2j)×(2i+3j)=13k，由于外积不等于零，因此向量a与向量b不平行也不垂直。
三、运用示例向量的平行与垂直关系在解题中有着广泛的应用。
下面通过几个具体的题目来说明。
题目一：已知向量a=3i-4j，向量b=-2i-6j，判断向量a与向量b的关系。
平面向量的垂直与平行
平面向量的垂直与平行教案主题：平面向量的垂直与平行导语：平面向量是数学中的重要概念，其性质与运算有着广泛的应用。
垂直与平行是平面向量的两个重要关系，对于解决几何问题和计算向量的性质都有着重要的帮助。
本节课将着重介绍平面向量的垂直与平行的概念、特性及其应用。
一、定义与性质1. 平面向量的垂直关系：- 定义：两个向量u和v垂直，记作u⊥v，当且仅当它们的数量积u·v=0。
- 性质1：零向量与任何向量都垂直，即0⊥v。
- 性质2：若u⊥v，则-v⊥u。
- 性质3：若u⊥v且v⊥w，则u与w平行。
2. 平面向量的平行关系：- 定义：两个向量u和v平行，记作u∥v，当且仅当存在实数k，使得u=kv。
- 性质1：任何向量与其自身平行，即v∥v。
- 性质2：若u∥v，则kv∥u，其中k为任意实数。
- 性质3：若u∥v且v∥w，则u∥w。
二、判断垂直与平行1. 判断两个向量是否垂直的方法：- 方法1：计算向量的数量积，若u·v=0，则u⊥v。
- 方法2：利用向量的坐标表示，若坐标满足x1x2+y1y2=0，则向量垂直。
2. 判断两个向量是否平行的方法：- 方法1：利用向量的坐标表示，若坐标满足x1/x2=y1/y2=z1/z2，则向量平行。
- 方法2：利用向量的数乘关系，若两个向量的比值相等，则向量平行。
三、垂直与平行的应用1. 向量的垂直与平行在几何问题中的应用：- 判断线段是否垂直或平行。
- 判断线段是否为某个图形的对角线。
2. 求解平面向量的垂直与平行关系：- 已知向量u和v，求垂直于u的向量v的分解。
- 求解平面上满足垂直或平行关系的向量。
3. 平面向量的垂直与平行在物理问题中的应用：- 向量拆分与合成，分解力为平行与垂直方向上的分力。
- 力的合成与分解，求解力的平行与垂直分量。
四、例题讲解与拓展1. 例题1：已知向量u=(2,-4)和v=(-1,2)，求它们是否垂直或平行。
- 解：计算u·v=2*(-1)+(-4)*2=-10，不等于0，故u和v不垂直。
平面向量的平行投影和垂直投影的应用
平面向量的平行投影和垂直投影的应用平面向量在数学和物理学中有广泛的应用。
其中，平行投影和垂直投影是两个重要的概念和运算。
本文将介绍平面向量的平行投影和垂直投影的概念、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、平行投影的定义和计算平行投影是指一个向量在另一个向量上的投影。
它的计算方法如下：设有两个向量a和b，向量a在向量b上的平行投影记作proj_b(a)，则有：proj_b(a) = (a·b / |b|²) * b其中，a·b表示向量a和向量b的点积，|b|表示向量b的模长。
二、垂直投影的定义和计算垂直投影是指一个向量在另一个向量的垂直方向上的投影。
它的计算方法如下：设有两个向量a和b，向量a在向量b的垂直方向上的投影记作perp_b(a)，则有：perp_b(a) = a - proj_b(a)其中，proj_b(a)表示向量a在向量b上的平行投影。
三、平面向量的平行投影和垂直投影的应用平面向量的平行投影和垂直投影在许多实际问题中有着广泛的应用。
我们将通过几个具体例子来说明。
例子1：力的分解在物理学中，一个力可以被分解为平行于某个方向的力和垂直于该方向的力。
这个分解过程可以利用平行投影和垂直投影来完成。
假设有一个力F和一个方向向量d，我们可以使用平行投影将力F在方向向量d上的分量计算出来，利用垂直投影计算出力F在方向向量d的垂直分量。
例子2：位移的分解在几何学中，一个位移向量可以被分解为平行于某个平面的位移和垂直于该平面的位移。
同样地，我们可以使用平行投影和垂直投影来实现这种分解过程。
假设有一个位移向量S和一个平面向量n，我们可以通过平行投影计算出位移向量S在平面向量n上的分量，利用垂直投影计算出位移向量S在平面向量n的垂直分量。
例子3：轨迹分析在运动学中，平面向量的平行投影和垂直投影可以用于分析物体在平面上的轨迹。
通过计算一个物体在每个时刻的速度向量在轨迹法向量上的投影，可以获得物体在轨迹上的加速度分量。
向量的平行与垂直及其应用
向量的平行与垂直及其应用一、引言向量是数学中重要的概念之一，它在物理、几何等多个领域中都有广泛的应用。
其中，平行和垂直是向量之间关系的两种基本形式。
本文将介绍向量的平行与垂直的概念、性质以及其在几何和物理中的应用。
二、向量的平行向量的平行是指两个向量的方向相同或相反。
具体来说，如果两个向量的点表示相同或相反，那么这两个向量就是平行的。
向量的平行具有以下性质：1. 平行向量的数量乘积：如果向量a平行于向量b，则对于任意实数k，ka也与b平行。
2. 平行向量的加法性质：如果向量a平行于向量b，向量c平行于向量d，则a+c与b+d也平行。
3. 平行向量的减法性质：如果向量a平行于向量b，向量c平行于向量d，则a-c与b-d也平行。
在几何中，向量的平行可以用于判断线段的平行性、角的平行性等。
例如，在判断一个四边形的对角线是否平行时，可以通过向量方法将对角线表示为向量，并比较其平行性。
三、向量的垂直向量的垂直是指两个向量相互垂直，即它们的内积为零。
对于向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，如果a * b = 0，则a与b垂直。
向量的垂直具有以下性质：1. 垂直向量的数量乘积：如果向量a垂直于向量b，则对于任意实数k，ka也与b垂直。
2. 垂直向量的加法性质：如果向量a垂直于向量b，向量c垂直于向量d，则a+c与b+d也垂直。
3. 垂直向量的减法性质：如果向量a垂直于向量b，向量c垂直于向量d，则a-c与b-d也垂直。
在几何中，向量的垂直可用于判断直线的垂直性、直角三角形等。
例如，在证明两条直线垂直时，可以通过向量方法将斜率为k1和k2的两直线转化为向量形式，然后判断它们的垂直性。
四、向量的应用向量的平行与垂直在几何和物理中有广泛的应用。
以下是一些具体应用实例：1. 二维平面上的向量运算在二维平面上，向量的平行与垂直可用于解决平面几何问题。
例如，通过判断两线段的向量是否平行或垂直，可以判断它们是否相交、是否平行四边形等。
专题三 平面向量的平行与垂直(解析版)
专题三 平面向量的平行与垂直1．平面向量平行(共线)的充要条件的两种形式(1)平面向量平行(共线)充要条件的非坐标形式：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ．(2)平面向量平行充要条件的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0； 至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的用(2)．这是代数运算，用它解决平面向量平行(共线)问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．乘积形式可总结为：“相异坐标的乘积的差为0”．2．三点共线的充要条件的三种形式(1)A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)(2)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )(3)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．3．非零向量垂直的充要条件的两种形式(1)平面向量垂直的非坐标形式：a ⊥b ⇔ a ·b ＝0．(2)平面向量垂直的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b ．一般情况涉及坐标的用(2)．坐标形式可总结为：“相应坐标的乘积的和为0”．考点一 平面向量的平行【方法总结】两平面向量平行的充要条件既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当然也可解决三点共线的问题．高考试题中一般是考查已知两向量平行或三点共线求参数，并且以给出向量的坐标为主．解决此类问题的方法是借助两平面向量平行的充要条件列出方程(组)，求出参数的值．注意方程思想和待定系数法的运用．【例题选讲】[例1] (1)设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2BF →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直答案 A 解析 由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．(2)已知向量m ＝(1，7)与向量n ＝(k ，k ＋18)平行，则k 的值为( )A ．－6B ．3C ．4D ．6答案 B 解析 因为m ∥n ，所以7k ＝k ＋18，解得k ＝3．故选B ．(3)(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．答案 12 解析 2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2＝4λ，即λ＝12． (4)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B 解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →，AB →共线，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B ．(5)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案 －54解析 AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54． (6)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB →∥a ，则点B 的坐标为________．答案 (－3，－6) 解析 设B (x ，2x )，则AB →＝(x －3，2x )．∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6)．【对点训练】1．已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________．1．答案 6 解析 ∵a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．122．答案 A 解析 ∵a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4，2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4 ＝0，解得λ＝－2，故选A ．3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________．3．答案 5 解析 因为a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，所以a －c ＝(3－k ，－6)．因为(a －c )∥b ，所 以1×(－6)＝3×(3－k )，解得k ＝5．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________．4．答案 1 解析 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1．5．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( )A ．4B ．－5C ．6D ．－65．答案 D 解析 a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6．故选D ．6．已知向量a ＝(λ＋1，1)，b ＝(λ＋2，2)，若(a ＋b )∥(a －b )，则λ＝________．6．答案 0 解析 因为a ＋b ＝(2λ＋3，3)，a －b ＝(－1，－1)，且(a ＋b )∥(a －b )，所以2λ＋3－1＝3－1，所 以λ＝0．7．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2，3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A ．25B ．－25C ．35D ．－357．答案 B 解析 解法一：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，因为a ＋λb 与c 共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a ＋λb ＝μc ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，4＋λ＝3μ，解得⎩⎨⎧μ＝65，λ＝－25.解法二：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，由a ＋λb 与c 共线可知3(2－λ)＝2(4＋λ)，得λ＝－25． 8．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则m n＝________． 8．答案 －13 解析 由2－1≠32，所以a 与b 不共线，又a －3b ＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0．那么 当m a ＋n b 与a －3b 共线时，有m 1＝n －3，即得m n ＝－13． 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (0，1)，B (1，－2)，C (m ，0)．若OB →∥AC →，则实数m的值为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2 9．答案 C 解析 因为OB →＝(1，－2)，AC →＝(m ，－1)．又因为OB →∥AC →，所以m 1＝－1－2，m ＝12．故选C ． 10．已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b )，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的关系式为________．10．答案 a ＋b ＝2 解析 由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →．∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2．11．已知点A (0，1)，B (3，2)，C (2，k )，且A ，B ，C 三点共线，则向量AC →＝( )A ．⎝⎛⎭⎫2，23B ．⎝⎛⎭⎫2，53C ．⎝⎛⎭⎫23，2D ．⎝⎛⎭⎫53，2 11．答案 A 解析 AB →＝(3，1)，AC →＝(2，k －1)，因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB →＝λAC →，即(3，1)＝λ(2，k －1)，所以2λ＝3，即λ＝32，所以AC →＝1λAB →＝⎝⎛⎭⎫2，23． 12．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0．若a ∥b ，则m n＝________． 12．答案 －2 解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n＝－2． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．13．答案 12 解析 ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得 ⎩⎨⎧ λ＝12，t ＝12.14．已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．14．答案 (3，3) 解析 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3)． 法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y ．又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3)．15．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1，1)，且a ∥b ，则向量a 的坐标是__________．15．答案 ⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22 解析 a ＝(x ，y )，因为平面向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(1，1)，且 a ∥b ，所以x 2＋y 2＝1，且x －y ＝0，解得x ＝y ＝±22．所以a ＝⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22． 16．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是__________．16．答案 ⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45 17．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D17．答案 B 解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．18．已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B ．43C ．12D ．1318．答案 A 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23． 19．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．219．答案 B 解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ．又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1．20．设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( )A ．－3B ．－2C ．2D ．320．答案 A 解析 由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2n －1，2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋1＋2n ＝1．2m ＋1＋2n ≥22m＋n ＋1，所以2m ＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3．考点二 两个非零向量的垂直【方法总结】两平面向量垂直的充要条件既可以判定两向量垂直，也可以由垂直求参数．高考试题中一般是考查已知两向量垂直求参数，如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件(2)，列出相应的关系式，进而求解参数．如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件(1)，列出相应的关系式，进而求解参数．如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标从而把问题转化为已知向量的坐标求参数的问题．注意方程思想和等价转化思想的运用．【例题选讲】[例1](1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC答案 D 解析 在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b|cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D ．(2)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．答案 7 解析 因为a ＋b ＝(m －1，3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7．(3)(2018·北京)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________．答案 －1 解析 由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1．(4)(2020·全国Ⅲ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．答案 22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0．因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22． (5)(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos<m ，n >＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94答案 B 解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t|m ||n |cos<m ，n >＋|n |2＝0．又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4．故选B ． (6)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，则当AE →·DF →＝0时，λ的值所在的区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫18，14B ．⎝⎛⎭⎫14，38C ．⎝⎛⎭⎫38，12D ．⎝⎛⎭⎫12，58 答案 B 解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，可得<AD →，BC →>＝60°，所以<AB →，AD →>＝60°，<AB →，BC →>＝120°，所以AB →·AD →＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2，又BE BC ＝AF AB＝λ，所以BE →＝λBC →，AF →＝λAB →，则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →，所以AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →)＝λAB →2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334∈⎝⎛⎭⎫14，38． 【对点训练】1．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )A ．－23B ．23C ．43D ．631．答案 B 解析 因为a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，所以a －b ＝(－2，m )－(1，3)＝(－3，m －3)．由 (a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，m －3)·(1，3)＝－3＋3m －3＝3m －6＝0，解得m ＝23，故选B ．2．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．82．答案 D 解析 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以 (a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝83．设向量a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，若(a －b )⊥a ，则实数m ＝( )A ．12B ．13C ．1D ．2 3．答案 C 解析 因为a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，所以a －b ＝(1，m )－(m －1，2)＝(2－m ， m －2)，又(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0，可得(2－m )×1＋m (m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2．当m ＝2时，a ＝b ，不符合题意，舍去，故选C ．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－14．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．5．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．1525．答案 C 解析 ∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0．∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3， －6)．∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0．∴k ＝3．6．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－16．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( )A ．－311B ．－113C ．12D ．357．答案 A 解析 b ＋λa ＝(1，0)＋λ(1，2)＝(1＋λ，2λ)，又c ＝(3，4)，且(b ＋λa )⊥c ，所以(b ＋λa )·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311． 8．在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点 的直角三角形，则t ＝________．8．答案 3 解析 由已知，得BA →·BC →＝0，则(3－t ，t ＋1)·(－3－t ，0)＝0，∴(3－t )(－3－t )＝0，解得t＝3或t ＝－3，当t ＝－3时，点B 与点C 重合，舍去．故t ＝3．9．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________．9．答案 1 解析 ∵a 与b 为两个不共线的单位向量，∴|a|＝|b |＝1，又a ＋b 与k a －b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0，∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0(θ为a 与b 的夹角)，∴(k －1)(1＋cos θ)＝0．又a 与b 不共线，∴cos θ≠－1，∴k ＝1．10．(2013·全国Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．10．答案 2 解析 因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12， 由b ·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2． 11．已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A ．2215B ．103C ．6D ．12711．答案 A 解析 因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝2215．。
向量垂直、平行条件及其应用
向量垂直、平行条件及其应用在我们的日常生活中，向量是一个非常重要的概念。
向量不仅仅在物理学和几何学中有广泛的应用，还在计算机科学、金融学等领域中起着关键作用。
了解向量的性质和应用是学习这些领域的基础，而在向量之间的关系中，垂直和平行是两个非常关键的概念和条件。
向量的定义与性质在开始讨论向量垂直和平行的条件之前，我们首先需要了解向量的一些基本定义和性质。
定义1：向量是有大小和方向的量。
向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
例如，一个箭头从点A指向点B，可以表示为AB，或者用一个小写字母加一个箭头上方的横线表示，如a。
定义2：向量可以用坐标表示。
在二维空间中，向量可以由两个有序数对表示，如(a₁, a₂)，其中a₁和a₂分别表示在x轴和y轴上的坐标。
在三维空间中，向量可以由三个有序数对表示，如(a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂和a₃分别表示在x轴、y轴和z轴上的坐标。
性质1：向量的加法和减法。
向量的加法和减法是指将两个向量按照一定的规则进行相加和相减得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
向量的减法可以看作是向量加法的逆运算，即a - b = a + (-b)。
性质2：向量的数量积和向量积。
向量的数量积又称为内积或点积，表示为a·b。
两个向量a和b的数量积定义为a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，θ表示两个向量之间的夹角。
向量的向量积又称为叉积，表示为a×b。
两个向量a和b的向量积定义为一个新的向量，其大小等于|a×b| = |a| |b| sinθ，方向垂直于a和b所在的平面，并满足右手规则。
向量垂直的条件定义3：两个向量a和b垂直，表示为a⊥b。
如果两个向量的数量积等于0，即a·b = 0，则称这两个向量是垂直的。
平面向量与向量的平行与垂直关系
平面向量与向量的平行与垂直关系平面向量是数学中一种重要的概念，它能够描述平面上物体的运动和位移。
在平面向量中，向量的平行与垂直关系是一种基本的性质。
本文将介绍平面向量的定义与性质，并详细讨论向量的平行与垂直关系。
一、平面向量的定义与性质平面向量是由大小和方向组成的有向线段，可以用有序数对表示。
设有平面上两点A和B，记作向量AB或者→AB，其中箭头表示有向性。
平面向量具有以下性质：1. 平面向量的相等性：两个向量相等当且仅当它们的大小和方向都相同。
2. 平面向量的加法：设有平面向量→AB和→CD，向量→AB+→CD 的大小等于线段AC的长度，方向与线段AC的方向相同。
3. 平面向量的数乘：设有平面向量→AB和实数k，向量k→AB的大小等于|k|乘以线段AB的长度，方向与线段AB的方向相同（当k>0）或相反（当k<0）。
二、向量的平行关系当两个向量的方向相同或相反时，它们被称为平行向量。
向量平行的定义如下：定义：设有平面向量→AB和→CD，如果存在一个实数k，使得→AB=k→CD，那么向量→AB与→CD平行。
向量平行的判定方法如下：1. 向量共线判定法：若向量→AB与→CD共线，则必有k使得→AB=k→CD。
其中，k为常数。
2. 比例判定法：若向量→AB与→CD平行，那么它们的对应坐标的比例相等。
即有x2-x1/y2-y1=z2-z1，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别为向量→AB和→CD的坐标。
三、向量的垂直关系两个向量的方向相互垂直时，它们被称为垂直向量。
向量垂直的定义如下：定义：设有平面向量→AB和→CD，如果→AB·→CD=0（点乘结果为0），那么向量→AB与→CD垂直。
向量垂直的判定方法如下：1. 向量垂直的性质：若向量→AB与→CD垂直，则有→AB·→CD=0。
2. 向量垂直判定法：将向量→AB和→CD的坐标代入→AB·→CD=0的公式，若等式成立，则向量→AB与→CD垂直。
6.3 平面向量的平行与垂直及平面向量的综合应用
6.3平面向量的平行与垂直及平面向量的综合应用挖命题【考情探究】分析解读平面向量的平行与垂直是平面向量的重要内容,一般与三角函数、解三角形等知识交汇考查.破考点【考点集训】考点一平面向量的平行与垂直1.已知向量a=(1,2),b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x=.答案92.(2018江苏无锡高三期中)已知a=(-3,1),b=(1,-2),c=(1,1).(1)求a与b的夹角的大小;(2)若c∥(a+kb),求k的值.解析(1)设a与b的夹角为α,因为cosα===-,α∈[0,π],所以α=.即a与b的夹角为.(2)a+kb=(-3+k,1-2k).因为c∥(a+kb),所以1-2k+3-k=0,解得k=.考点二平面向量的综合应用1.(2017江苏南京、盐城二模,11)在△ABC中,∠BAC=120°,AB=4.若点D在边BC上,且=2,AD=,则AC 的长为.答案32.(2017江苏镇江一模,15)已知向量m=(cosα,-1),n=(2,sinα),其中α∈,且m⊥n.(1)求cos2α的值;(2)若sin(α-β)=,且β∈,求角β的值.解析(1)由m⊥n得,2cosα-sinα=0,sinα=2cosα,代入cos2α+sin2α=1,得5cos2α=1,因为α∈,所以cosα=,则cos2α=2cos2α-1=2×-1=-.(2)由(1)可得sinα=,由α∈,β∈,得α-β∈-.因为sin(α-β)=,所以cos(α-β)=.所以sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=×-×=,因为β∈,所以β=.炼技法【方法集训】方法一平面向量与三角函数综合问题的解决方法在△ABC中,角A,B的对边分别为a,b,向量m=(cos A,sin B),n=(cos B,sin A).(1)若acos A=bcos B,求证:m∥n;(2)若m⊥n,a>b,求tan-的值.解析(1)证明:因为acos A=bcos B,所以sin Acos A=sin Bcos B,所以m∥n.(2)因为m⊥n,所以cos Acos B+sin Asin B=0,即cos(A-B)=0,因为a>b,所以A>B,又A,B∈(0,π),所以A-B∈(0,π),则A-B=,所以tan-=tan=1.方法二利用共线向量定理解题的策略1.已知向量a=(1,3),b=(sinα,cosα),且a∥b,则tanα=.答案2.如图,已知点C是B关于A的对称点,点D是线段OB的一个靠近B的三等分点,DC,OA交于点E,设=a,=b.若=λ,则实数λ的值是.答案过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点平面向量的平行与垂直1.(2018课标全国Ⅲ理,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.答案2.(2017课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=.答案23.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=.答案-64.(2017课标全国Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=.答案75.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案-26.(2015课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.答案教师专用题组1.(2011江苏,10,5分)已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2.若a b=0,则实数k的值为.答案2.(2016课标Ⅰ,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=.答案-3.(2016课标全国Ⅱ理改编,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=.答案84.(2011课标,13,5分)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=.答案15.(2013课标全国Ⅰ,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b c=0,则t=.答案26.(2010江苏,15,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(-t)=0,求t的值.解析(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=2,|-|=4.故所求的两条对角线长分别为4,2.(2)由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-.【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共40分)1.(2017江苏常州高三学情调研,5)已知向量a=(1,2),b=(m,4),且a∥(2a+b),则实数m的值为. 答案22.(2019届江苏盐城高三上学期期中)已知向量m=(1,-1),n=(cosα,sinα),其中α∈[0,π],若m∥n,则α=.答案3.(2017江苏徐州沛县中学质检,11)已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则16x+4y的最小值为. 答案84.(2017江苏南京高三期末,10)已知平面向量a=(4x,2x),b=-,x∈R,若a⊥b,则|a-b|=.答案25.(2017江苏泰州中学第一学期第二次质量检测,9)设平面向量a=(x,4),b=(y,-2),c=(2,1)(其中x>0,y>0),若(a-c)⊥(b-c),则|a+b|的最小值为.答案26.(2017江苏六校联考,12)在△ABC中,已知AB=8,AC=6,点O为三角形的外心,则=.答案147.(2019届江苏常州武进高三上学期期中)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,AD=1,∠DAB=60°,若=3,=λ,且=-1,则实数λ的值为.答案8.(2019届江苏扬州高三第一学期期中)在△ABC中,AH是边BC上的高,点G是△ABC的重心,若△ABC的面积为+1,AC=,tan C=2,则(+)(+)=.答案1二、解答题(共20分)9.(2018江苏南通高三调研,15)在平面直角坐标系xOy中,设向量a=(cosα,sinα),b=(-sinβ,cos β),c=-.(1)若|a+b|=|c|,求sin(α-β)的值;(2)设α=,0<β<π,且a∥(b+c),求β的值.解析(1)因为a=(cosα,sinα),b=(-sinβ,cosβ),c=-,所以|a|=|b|=|c|=1,且a b=-cosαsinβ+sinαcosβ=sin(α-β).因为|a+b|=|c|,所以|a+b|2=|c|2,即a2+2a b+b2=1,所以1+2sin(α-β)+1=1,即sin(α-β)=-.(2)因为α=,所以a=-.依题意得b+c=--.因为a∥(b+c),所以----=0.化简得sinβ-cosβ=,所以sin-=.因为0<β<π,所以-<β-<.所以β-=,即β=.10.(2018江苏宿迁高三期中,16)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b),n=(sin B,-cos A),且m⊥n.(1)求A的大小;(2)若|n|=,求cos C的值.解析(1)因为m⊥n,所以m n=0,即asin B-bcos A=0,所以sin Asin B-sin Bcos A=0.因为B∈(0,π),所以sin B>0,所以sin A=cos A.若cos A=0,则sin A=0,不符合题意.若cos A≠0,则tan A==.因为A∈(0,π),所以A=.(2)由(1)知A=,所以n=-.因为|n|=,所以-=,所以sin B=(负值舍去).因为sin B=<,所以0<B<或<B<π.又A=,故0<B<,所以cos B>0.因为sin2B+cos2B=1,所以cos B=.所以cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-×+×=-.。
平面向量与向量的平行与垂直性质
平面向量与向量的平行与垂直性质在数学中，向量是一个有大小和方向的量。
而平面向量则是指被放置在平面上的向量。
平面向量的性质和运算在几何学和线性代数中非常重要，其中包括平行和垂直性质。
本文将探讨平面向量的定义，平行和垂直的概念以及相关的性质和应用。
一、平面向量的定义在数学中，平面向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
平面向量可以通过两个有序实数对 (a, b)来表示，称为向量的坐标。
其中 a 称为向量的横坐标，b 称为向量的纵坐标。
二、平行和垂直性质1. 平行性质当两个向量的方向相同或相反时，它们被称为平行向量。
如果向量a 和向量b 平行，则可以表示为 a ∥ b。
为了判断两个向量是否平行，需要比较它们的方向。
具体而言，可以计算两个向量的坐标比值，如果得到的比值相等，则两个向量平行。
2. 垂直性质当两个向量的内积为零时，它们被称为垂直向量。
如果向量 a 和向量 b 垂直，则可以表示为 a ⊥ b。
为了判断两个向量是否垂直，可以计算它们的内积，如果内积为零，则两个向量垂直。
三、平行和垂直性质的性质与应用1. 平行性质的性质与应用- 平行向量的数乘若向量 a 平行于向量 b，且 r 为实数，则 r * a 也与 b 平行。
这一性质可以用来确定平行向量的倍数关系。
- 平行向量的加法若向量 a 平行于向量 b，且向量 c 与向量 a 具有相同的方向，则向量 b 与向量 c 也平行。
这一性质可以用来确定平行向量的加法规律。
- 平行向量与平行四边形平行向量的性质可以应用于平行四边形的性质研究中，例如平行四边形对角线的分割、以及平行四边形的面积计算。
2. 垂直性质的性质与应用- 垂直向量的数乘若向量 a 垂直于向量 b，则 r * a 仍与 b 垂直。
这一性质可以用来确定垂直向量的倍数关系。
- 垂直向量的加法若向量 a 垂直于向量 b，且向量 c 垂直于向量 a，则向量 c 也与向量 b 垂直。
高中数学向量平行与垂直性质应用题详解
高中数学向量平行与垂直性质应用题详解在高中数学中，向量平行与垂直性质是一个重要的概念。
它不仅在几何中有着广泛的应用，也在解决实际问题中起到了关键的作用。
本文将通过具体的题目来详细解析向量平行与垂直性质的应用，帮助高中学生更好地理解和应用这一知识点。
题目一：已知向量a=2i+3j，向量b=4i-6j，求向量a与向量b的夹角。
解析：要求两个向量的夹角，可以利用向量的点乘公式来解决。
向量a与向量b的点乘公式为：a·b=|a||b|cosθ，其中θ为夹角。
首先计算|a|和|b|，分别为√(2^2+3^2)=√13和√(4^2+(-6)^2)=2√13。
然后计算a·b=2*4+3*(-6)=-12。
代入公式得到-12=√13*2√13*cosθ，化简得cosθ=-12/(2√13*√13)=-6/13。
因此，夹角θ的cos值为-6/13，可以通过反余弦函数求得夹角θ的大小。
即θ=arccos(-6/13)≈2.56弧度。
题目二：已知向量a=3i+4j，向量b=4i-3j，求向量a与向量b的夹角。
解析：同样利用向量的点乘公式来求解。
首先计算|a|和|b|，分别为√(3^2+4^2)=5和√(4^2+(-3)^2)=5。
然后计算a·b=3*4+4*(-3)=0。
代入公式得到0=5*5*cosθ，化简得cosθ=0/25=0。
因此，夹角θ的cos值为0，即θ=arccos(0)=π/2弧度。
从以上两个例题可以看出，当两个向量的点乘为0时，它们的夹角为90度，即两个向量垂直。
题目三：已知平面上有三个点A(1,2)、B(3,4)和C(5,6)，求向量AB和向量AC的夹角。
解析：首先计算向量AB和向量AC的坐标表示。
向量AB=(3-1)i+(4-2)j=2i+2j，向量AC=(5-1)i+(6-2)j=4i+4j。
然后利用向量的点乘公式计算夹角。
AB·AC=(2i+2j)·(4i+4j)=2*4+2*4=16。
平面向量的平行与垂直
平面向量的平行与垂直平面向量是数学中的一个重要概念，它具有方向和大小，常用于描述物体的位移、速度和力等。
在平面向量的研究中，平行和垂直是两个常见的关系。
本文将详细介绍平面向量的平行与垂直的概念、定理、判定方法以及一些例题。
一、平面向量的平行与垂直概念在平面几何中，两个向量的平行与垂直是基于向量的数量特性来定义的。
具体定义如下：1. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，且模长之比为一个非零实数，则称这两个向量为平行向量。
用符号"∥"表示。
2. 垂直向量：如果两个向量的内积等于0，则称这两个向量为垂直向量。
用符号"⊥"表示。
在二维平面坐标系中，可以利用向量的坐标表示法来判断两个向量是否平行或垂直。
对于平行向量，其坐标之比（分量比）相等；对于垂直向量，其坐标的内积（叉乘）等于0。
二、平面向量的平行与垂直定理对于平面向量的平行与垂直关系，有以下重要定理：1. 平行向量的定理：若向量a和b平行，则存在非零实数k，使得a=k*b。
2. 垂直向量的定理：若向量a和b垂直，则a·b=0。
3. 平行与垂直性质的推论：若向量a、b、c满足a·b=0，b·c=0，则向量a平行于向量c。
这些定理为判断和证明平面向量的平行与垂直关系提供了依据和便利。
三、平面向量的平行判定方法判断两个向量是否平行的方法有多种，常用的包括以下几种：1. 向量坐标判定法：对于向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，如果x1/x2=y1/y2，则a∥b。
2. 线性相关性判定法：如果向量a和b线性相关，则a∥b。
3. 内积判定法：如果向量a和b的内积等于它们的模长的乘积，即a·b=|a|*|b|，则a∥b。
利用这些判定方法，可以方便地判断平面向量的平行关系。
四、平面向量的垂直判定方法判断两个向量是否垂直的方法有以下几种：1. 向量坐标判定法：对于向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，如果x1*x2+y1*y2=0，则a⊥b。
向量的平行与垂直及其应用
向量的平行与垂直及其应用在数学中，向量是一个既有大小又有方向的量。
向量可以通过空间中的两个点表示，其中起点被称为原点，终点被称为终点，并用箭头表示方向。
在向量的运算中，平行和垂直是非常重要的概念。
本文将介绍向量的平行和垂直的定义和性质，并探讨它们在几何和物理中的应用。
一、向量的平行和垂直的定义和性质1. 向量的平行如果两个向量的方向相同或相反，我们称它们为平行向量。
具体而言，设有向量a和向量b，若存在实数k使得a = kb，则向量a和向量b平行。
这里k可以是正数、负数或零。
平行向量具有以下性质：（1）平行向量的模（长度）相等。
（2）平行向量的夹角为零或180度。
（3）平行向量的加减运算：若向量a和向量b平行，则a ± b也与a和b平行。
2. 向量的垂直如果两个向量的方向互相垂直（夹角为90度），我们称它们为垂直向量。
具体而言，设有向量a和向量b，若a·b = 0（a与b的点积等于零），则向量a和向量b垂直。
垂直向量具有以下性质：（1）如果a垂直于b，那么-b也垂直于a。
（2）如果a垂直于b，那么ka与b平行，其中k为任意实数。
（3）如果a垂直于b，那么a+b与b平行。
二、向量的平行和垂直的应用向量的平行和垂直概念在几何和物理中有广泛的应用。
下面将介绍其中一些常见的应用场景。
1. 几何中的平行和垂直在几何中，平行和垂直的概念被广泛应用于平面和空间几何的相关问题。
（1）平面的垂直：两个平面互相垂直，意味着它们的法向量互相垂直。
（2）平面的平行：两个平面平行，意味着它们的法向量平行。
（3）直线的平行和垂直：两条直线平行，意味着它们的方向向量平行或共线；两条直线垂直，意味着它们的方向向量垂直。
2. 物理中的平行和垂直在物理学中，平行和垂直的概念也具有重要的物理意义。
（1）力的分解：在物体受到多个力作用时，可以将这些力分解为平行和垂直分量，以便更好地理解和计算。
（2）质量与重力：物体的质量与施加在它上面的重力互相垂直。
平面向量的平行与垂直的判定条件与应用
平面向量的平行与垂直的判定条件与应用平面向量是解决几何问题中常常使用的工具之一，它不仅能够表示位移、速度、加速度等物理量，还能够判断线段、直线、平面的位置关系。
其中，平面向量的平行与垂直关系是非常重要的判定条件。
本文将探讨平面向量的平行与垂直的判定条件以及它们在几何问题中的应用。
一、平面向量的平行与垂直的判定条件1. 平行向量的判定条件对于两个平面向量a和b，如果它们平行，则它们的方向相同或者相反。
根据向量的定义，两个向量的方向相同意味着它们有相同的方向向量，即a/b=k（k为非零实数）。
根据向量平行的定义，两个向量的方向相反意味着它们有相同或相反的反向向量，即a/b= -k（k为非零实数）。
2. 垂直向量的判定条件对于两个平面向量a和b，如果它们垂直，则它们的内积为零。
内积可以通过向量的坐标表示，即a·b=0。
根据内积的定义，如果两个向量的内积为零，则它们的夹角为90度。
二、平面向量的平行与垂直的应用1. 判断线段的平行或垂直关系设有线段AB和CD的位置关系需要判断。
可以通过将线段AB和CD表示为向量AB和向量CD，然后判断这两个向量的平行或垂直关系。
如果向量AB与向量CD平行，则线段AB与CD平行；如果向量AB与向量CD垂直，则线段AB与CD垂直。
2. 判断直线的平行或垂直关系设有直线l1与直线l2的位置关系需要判断。
可以选择取直线上的两个点，然后利用这两个点所确定的向量来判断直线的平行或垂直关系。
具体地说，如果向量l1和向量l2平行，则直线l1与l2平行；如果向量l1和向量l2垂直，则直线l1与l2垂直。
3. 判断平面的平行或垂直关系设有平面α和平面β的位置关系需要判断。
可以选择取平面上的三个非共线的点，然后利用这三个点所确定的两个向量来判断平面的平行或垂直关系。
具体地说，如果向量α和向量β平行，则平面α与β平行；如果向量α和向量β垂直，则平面α与β垂直。
4. 解决空间几何问题平面向量的平行与垂直关系在解决空间几何问题时起着重要的作用。
高考数学(理)之立体几何与空间向量 专题06 平面与平面的平行、垂直的判定与性质(解析版)
立体几何与空间向量06 平面与平面的平行、垂直的判定与性质【考点讲解】一、具体目标：1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、知识概述：1.面面平行的判定与性质a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，α∥β，α∩γ＝a，(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；(3)推论：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.3．两个平面平行的性质定理(1)α∥β，a⊂α⇒a∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.3.平面与平面垂直的判定与性质(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质：如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．4.定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．5.定理：⎭⎪⎬⎪⎫AB βAB ⊥α⇒β⊥α⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝MNAB βAB ⊥MN⇒AB ⊥α1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【解析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件.由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ． 【答案】B2.【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则（ ） A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.如图，G 为AC 中点，连接VG ，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面的投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直于AC 于E ，连接PE ，BD ，易得PE VG ∥，过P 作PF AC ∥交VG 于F ，连接BF ，过D 作DH AC ∥，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED αβγ=∠=∠=∠，结合△PFB ，△BDH ，△PDB 均为直角三角形，可得cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBαβ===<=，即αβ>； 【真题分析】在Rt △PED 中，tan tan PD PDED BDγβ=>=，即γβ>，综上所述，答案为B.【变式1】【2018年高考浙江卷】已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则（ ）A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ1【解析】设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO ，SN ，SE ，SM ，OM ，OE ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ， 因此123,,,SEN SEO SMO ∠=∠=∠=θθθ从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SOEN OM EO OM====θθθ 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,≥≥θθθ即132≥≥θθθ，故选D. 【答案】D【变式2】【2017年高考浙江卷】如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CR QC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为αβγ,,，则（ ）A ． γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βγα<<【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而三棱锥的高相等，因此αγβ<<，所以选B ． 【答案】B3.【2018优选题】空间中，设,m n 表示不同的直线， ,,αβγ表示不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若,αγβγ⊥⊥，则//αβB. 若,m m αβ⊥⊥，则//αβC. 若,m βαβ⊥⊥，则//m αD. 若,n m n α⊥⊥，则//m α 【解析】本题考点是面面平行，线面平行的判定.A 项，若,αγβγ⊥⊥，过正方体同一顶点的三个平面分别为,,αβγ，则αβ⊥，故A 项不合题意；B 项，若,m m αβ⊥⊥，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则//αβ，故B 项符合题意；C 项，若,m βαβ⊥⊥，由同时垂直于一个平面的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线m 在平面α内或平行，故C 项不合题意；D 项，若,n m n α⊥⊥,由同时垂直于一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线m 在平面α内或平行，故D 项不合题意. 故选B. 【答案】B4.【2019优选题】在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下面四个结论中不成立的是( ) A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面P AE C ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面P AE ⊥平面ABC【解析】画出图形，如图所示，则BC ∥DF ，又DF ⊂平面PDF ，BC ⊄平面PDF ，∴BC ∥平面PDF ，故A 成立；由题意可得AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，BC ∥DF ，则DF ⊥AE ，DF ⊥PE ，∴DF ⊥平面P AE ，故B 成立； 又DF ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面P AE ，故D 成立．本题的考点是平面与平面垂直的判定.【答案】C5.【2016全国新课标2】α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）【解析】对于①，,,//m n m n αβ⊥⊥，则,αβ的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面α相交于直线c ，则//n c ，因为,,m m c m n α⊥⊥⊥所以所以，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的命题有②③④.本题考点是空间中的线面关系. 【答案】②③④6.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A−MA 1−N 的正弦值．【解析】（1）连结B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME =12B 1C ． 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ．由题设知A 1B 1=P DC ，可得B 1C =P A 1D ，故ME =P ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ．又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ．（2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA uuu r的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-u u u r ，1(12)A M =--u u u u r ，1(1,0,2)A N =--u u u u r，(0,MN =u u u u r ．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rm m ，所以2040x z z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u ur ，．n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n．于是cos ,||⋅〈〉===‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --的正弦值为5． 7.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小.【解析】（1）由已知得AD P BE ，CG P BE ，所以AD P CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）作EH ⊥BC ，垂足为H ．因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ． 由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60°，可求得BH =1，EHH 为坐标原点，HC u u u r的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H –xyz ，则A （–1，1，0），C （1，0，0），G （2，0），CG uuu r =（1，0），AC uuu r=（2，–1，0）．设平面ACGD 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n即0,20.x x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 所以可取n =（3，6，．又平面BCGE 的法向量可取为m =（0，1，0），所以cos ,||||2⋅〈〉==n m n m n m ． 因此二面角B –CG –A 的大小为30°．8.【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（3）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定.（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥．又因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥． 所以BD ⊥平面PAC ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE ．因为底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，且E 为CD 的中点，所以AE ⊥CD ．所以AB ⊥AE ．所以AE ⊥平面PAB ．所以平面PAB⊥平面PAE．（3）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE．取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．则FG∥AB，且FG=12 AB．因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE=12AB．所以FG∥CE，且FG=CE．所以四边形CEGF为平行四边形．所以CF∥EG．因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，所以CF∥平面PAE．9.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积.【解析】本题从多面体折叠开始，考查考生在折叠过程中掌握哪些量的大小与位置关系是不变与变化的，折叠后的多面体的性质解决题中的要求.（1）由已知得AD P BE，CG P BE，所以AD P CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE．又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE．（2）取CG的中点M，连结EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM．因此DM⊥CG．在Rt△DEM中，DE=1，EM DM=2．所以四边形ACGD的面积为4．10.【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （1）求证：CD ⊥平面PAD ； （2）求二面角F –AE –P 的余弦值； （3）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ．又因为AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ． （2）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AM ，PA ⊥AD ．如图建立空间直角坐标系A −xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0），D （0，2，0）， P （0，0，2）．因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）．所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AE PC AP ==-=u u u ru u u r u u u r．所以1222224,,,,,3333333PF PC AF AP PF ⎛⎫⎛⎫==-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .设平面AEF 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0,2240.333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令z =1，则1,1y x =-=-．于是=(1,1,1)--n ．又因为平面PAD 的法向量为p =（1，0，0），所以3cos ,||3⋅〈〉==-‖n p n p n p . 由题知，二面角F −AE −P ．（3）直线AG 在平面AEF 内．因为点G 在PB 上，且2,(2,1,2)3PG PB PB ==--u u ur ，所以2424422,,,,,3333333PG PB AG AP PG ⎛⎫⎛⎫==--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由（2）知，平面AEF 的法向量=(1,1,1)--n .所以4220333AG ⋅=-++=u u u r n .所以直线AG 在平面AEF 内.11.【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,2,3PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【解析】（1）连接BD ，易知AC BD H =I ，BH DH =.又由BG=PG ，故GH PD ∥. 又因为GH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以GH ∥平面P AD . （2）取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN ⊥PC ，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC I 平面PCD PC =，所以DN ⊥平面P AC ， 又PA ⊂平面P AC ，故DN PA ⊥.又已知PA CD ⊥，CD DN D =I ，所以PA ⊥平面PCD . （3）连接AN ，由（2）中DN ⊥平面P AC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面P AC 所成的角， 因为PCD △为等边三角形，CD =2且N 为PC的中点，所以DN =又DN AN ⊥， 在Rt AND △中，3sinDN DAN AD ∠==.所以，直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值为3.12.【2019年高考天津卷理数】如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,AD AB ⊥1,2AB AD AE BC ====．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （3）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．【解析】依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE u u u r u u u r u u u r，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E ．设(0)CF h h =>>，则()1,2,F h ．（1）依题意，(1,0,0)AB =u u u r 是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =u u u r ，可得0BF AB ⋅=u u u r u u u r ，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ． （2）依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--u u u ru u u r u u u r．设(,,)x y z =n 为平面BDE 的法向量，则0,0,BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩不妨令1z =，可得(2,2,1)=n ．因此有4cos ,9||||CE CE CE ⋅==-u u u ru u u r u u u r n n n ．所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49．（3）设(,,)x y z =m 为平面BDF 的法向量，则0,0,BD BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m 即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令1y =，可得21,1,h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭m．由题意，有||1cos ,||||3⋅〈〉===m n m n m n ，解得87h =．经检验，符合题意． 所以，线段CF的长为87．【模拟考场】1.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】本题考点是线面平行与面面平行与充要条件的综合应用.因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，m α⊂，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件，故选B. 【答案】B2.设,a b 是空间中不同的直线， ,αβ是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. //,a b b α⊂，则//a αB. ,,//a b αβαβ⊂⊂，则//a bC. ,,//,//a b b αααββ⊂⊂，则//αβD. //,a αβα⊂，则//a β【解析】本题考点是线面平行，面面平行的判定。
平面向量的垂直与平行
向量垂直的充 要条件是它们 的方向向量之 间的角度为90
度
向量垂直时， 它们的模长之 间没有关系， 即可以是任意
长度
向量垂直的几 何意义是两个 向量所在的直
线互相垂直
垂直的应用
物理中的力：力是向量，力的合成与分解可以应用垂直概念。 速度与加速度：在速度和加速度的合成中，垂直方向上的分量可以 独立考虑。 力的平衡：在力的平衡中，垂直方向上的力可以相互抵消。
空间几何中的垂直与平行：在空 间几何中，垂直向量与平行向量 可以用于描述面和体的关系，进 而用于解决空间几何问题。
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矩形中的垂直与平行：在矩形中， 垂直向量与平行向量可以用于描 述对边相等、对角相等的关系， 进而用于证明矩形的性质和判定 定理。
向量运算中的垂直与平行：在向 量运算中，垂直向量与平行向量 可以用于描述向量的加、减、数 乘等运算，进而用于解决向量问 题。
两个向量垂直时，它们的夹 角为90度。
垂直的性质
垂直的定义：两 向量垂直，它们 的数量积为0
垂直的性直的充分 必要条件是它们 的数量积为0
垂直的应用：在 几何、物理等领 域中，垂直性质 有着广泛的应用
垂直的判定
两个向量垂直 当且仅当它们 的数量积为0
向量共线定理： 若存在两个向量a 和b，使得它们的 数量积为0，即 a·b=0，则向量a 与向量b平行
平行的应用
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物理中的力与速度：在物理学中，向量 表示力和速度，平行的向量表示方向相 同或相反的力或速度，这在解释物理现 象时非常有用。
线性代数中的矩阵：在线性代数中，矩 阵表示向量之间的关系，平行的向量表 示矩阵中的行或列，这对于理解矩阵的 变换和性质非常重要。
平面向量垂直与平行的应用
[小结]
平面向量与三角的整合，是高考命题的热点 之一，它一般是根据向量的运算性质(如数量 积)将向量特征转化为三角问题，三角问题是 考查的主体，平面向量是载体．
[变式练习] 已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设 向量 m＝(a，b)，n＝(sBC 为等腰三角形； (2)若 m⊥p，边长 c＝2，角 C＝π3，求△ABC 的面积．
4. 即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2；
(2)b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β) |b＋c|2＝sin2β＋2sin βcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cos βsin β＋ 16sin2β ＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，最大值为32， 所以|b＋c|的最大值为4 2. (3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β，即 4cos α·4cos β－sin αsin β＝0， 所以a∥b.
b 且 a⊥c，则 c·(a＋2b)＝(
)
A．4
B．3
C．2
D．0
3．(2011·新课标全国卷)已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为θ，
有下列四个命题
p1：|a＋b|>1⇔θ∈[0，23π)
p2：
|a＋b|>1⇔θ∈(2π， 3
π]
p3：|a－b|>1⇔θ∈[0，π3 )
p4：
|a－b|>1⇔θ∈(π， 3
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县五中高三数学第一 轮复习
平面向量垂直与平行的应用 演讲人姓名
[热点分析]
平面向量的数量积是每年高考必考的内容，也是高考的热点之 一．试题多以选择题或填空题形式出现，主要考查数量的定义、运 算律、性质，同时也考查向量平行、垂直及夹角、距离问题．平面 向量与解析几何、函数、三角函数等相结合的题目屡见不鲜，而 2011年四川高考试题中第12题更是将平面向量数量积与概率知识 融合，命题新颖，是高考命题的一个新方向．
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角公式对函数f(x)的解析式进行化简.(1)利用三角函数的最小正周期公
式,求出f(x)的最小正周期,利用三角函数的单调性,求出f(x)的单调递增 区间;(2)由f(A)=4,可求出角A的值,再利用任意三角形的面积公式,可求 出c的值,最后利用余弦定理求a的值.
3 sin 2x+2,cos x),n=(1,2cos x),函数f(x)=m· 解析 因为m=( n,
2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2). 3.G为△ABC的重心⇔⑧
GC =0 GA + GB +
x1 x2 x3 y1 y2 y3 , ⇔G (A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)). 3 3
方法技巧
方法 平面向量与三角函数综合问题的解决方法
三、中点公式 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点M的坐标为
⑥
x1 x2 y1 y2 , 2 2
.
四、两点间的距离公式 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=⑦
(x x )
1 2 2
( y1 y2 ) 2
.
五、几个重要结论 1.若a、b为不共线向量,则a+b、a-b是以a、b为邻边的平行四边形的对 角线向量,如图.
3 sin 2x+2,cos x),n=(1,2cos x),设函数f(x)=m· 例 已知向量m=( n.
(1)求f(x)的最小正周期与单调递增区间; (2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若f(A)=4,b=1,△ABC的面积
3 ,求a的值. 为 2
解题导引 先利用平面向量的数量积,求出函数f(x)的解析式,再利用三
6 2
6
6
3
又因为S△ABC= bcsin A= 且b=1,
1 2
3 2
所以 c= ,解得c=2.
在△ABC中,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=1+4-2×1×2× =3,所以a=
3.
3 4
3 2
1 2
3
k , k 所以f(x)(2)因为f(A)=4,所以2sin 2 A +3=4,
6
1. = 即sin 2 A
5 ,即A= = . 由于0<A<π,所以2A+
所以f(x)= 3 sin 2x+2+2cos2x= 3 sin 2x+cos 2x+3=2sin 2 x +3. 6 (1)f(x)的最小正周期T= =π.由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得kπ- ≤ x≤kπ+ ,k∈Z.
6
2 2
2
6
2
求解此类问题的关键:(1)巧妙“转化”——将以向量数量积、向量共
线、向量垂直等形式出现的条件转化为对应坐标乘积之间的关系;(2)
活用“性质”——活用三角函数的性质,包括两域(定义域、值域)、四 性(奇偶性、单调性、周期性、对称性)以及整体换元思想;(3)妙用“定 理”——解三角形问题,应认真分析已知条件中的边角关系,再用正弦 定理或余弦定理即可顺利解决.
高考数学
§5.3 平面向量的平行与垂直及平面向量的应用
知识清单
一、向量平行的判定 1.当b≠0时,a∥b的充要条件是“① 存在实数λ,使a=λb ”. 2.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是② x1y2-x2y1=0 . 3.三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线的充要条件为③(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0 . 二、向量垂直的充要条件 1.已知非零向量a,b,则a⊥b⇔④ a· b=0 . 2.已知非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b的充要条件是⑤ x1x2+y1y2=0 .