高考数学平面向量的平行与垂直及平面向量的应用

2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2). 3.G为△ABC的重心⇔⑧
GC =0 GA + 百度文库B +



x1 x2 x3 y1 y2 y3 , ⇔G (A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)). 3 3
方法技巧
方法 平面向量与三角函数综合问题的解决方法
高考数学
§5.3 平面向量的平行与垂直及平面向量的应用
知识清单
一、向量平行的判定 1.当b≠0时,a∥b的充要条件是“① 存在实数λ,使a=λb ”. 2.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是② x1y2-x2y1=0 . 3.三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线的充要条件为③(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0 . 二、向量垂直的充要条件 1.已知非零向量a,b,则a⊥b⇔④ a· b=0 . 2.已知非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b的充要条件是⑤ x1x2+y1y2=0 .
所以f(x)= 3 sin 2x+2+2cos2x= 3 sin 2x+cos 2x+3=2sin 2 x +3. 6 (1)f(x)的最小正周期T= =π.由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得kπ- ≤ x≤kπ+ ,k∈Z.
6

2 2







2
6
2
6 2
6
6
3
又因为S△ABC= bcsin A= 且b=1,
1 2
3 2
所以 c= ,解得c=2.
在△ABC中,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=1+4-2×1×2× =3,所以a=
3.
3 4
3 2
1 2
3
k , k 所以f(x)的单调递增区间为 ,k∈Z.
3 6
(2)因为f(A)=4,所以2sin 2 A +3=4,
6
1. = 即sin 2 A
5 ,即A= = . 由于0<A<π,所以2A+
三、中点公式 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点M的坐标为
⑥
x1 x2 y1 y2 , 2 2
.
四、两点间的距离公式 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=⑦
(x x )
1 2 2
( y1 y2 ) 2
.
五、几个重要结论 1.若a、b为不共线向量,则a+b、a-b是以a、b为邻边的平行四边形的对 角线向量,如图.
求解此类问题的关键:(1)巧妙“转化”——将以向量数量积、向量共
线、向量垂直等形式出现的条件转化为对应坐标乘积之间的关系;(2)
活用“性质”——活用三角函数的性质,包括两域(定义域、值域)、四 性(奇偶性、单调性、周期性、对称性)以及整体换元思想;(3)妙用“定 理”——解三角形问题,应认真分析已知条件中的边角关系,再用正弦 定理或余弦定理即可顺利解决.
角公式对函数f(x)的解析式进行化简.(1)利用三角函数的最小正周期公
式,求出f(x)的最小正周期,利用三角函数的单调性,求出f(x)的单调递增 区间;(2)由f(A)=4,可求出角A的值,再利用任意三角形的面积公式,可求 出c的值,最后利用余弦定理求a的值.
3 sin 2x+2,cos x),n=(1,2cos x),函数f(x)=m· 解析 因为m=( n,
3 sin 2x+2,cos x),n=(1,2cos x),设函数f(x)=m· 例 已知向量m=( n.
(1)求f(x)的最小正周期与单调递增区间; (2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若f(A)=4,b=1,△ABC的面积
3 ,求a的值. 为 2
解题导引 先利用平面向量的数量积,求出函数f(x)的解析式,再利用三