曲线和方程练习题
习题第29讲 曲线与方程--高考数学习题和答案
专题九 解析几何第二十九讲 曲线与方程2019年1.（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③2．（2019浙江15）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.3．（2019江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a −+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．4.（2019全国III 理21（1））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12−上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.5.（2019北京理18）已知抛物线2:2C x py =−经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程； (II)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点.6.（2019全国II 理21）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.7. （2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .（1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标. 8.（2019天津理18）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.2010-2018年解答题1．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程． 2．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =−上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．3．(2016年山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标．4．(2016年天津)设椭圆13222=+y ax (a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠∠≤，求直线l 的斜率的取值范围．5．(2016年全国II)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||tAM AN =时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．6．（2015湖北）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y −=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．7．（2015江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．8．（2015四川）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2015北京）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点()01P ，和点 ()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．（2015浙江）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．11．（2014广东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，， （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．12．（2014辽宁）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b−=过点P ．（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．13．（2013四川）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为1(10)F −，，210F （，），且椭圆C 经过点），3134(P ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率（Ⅱ）设过点），（20A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是MN 上的点，且 222112ANAMAQ+=，求点Q 的轨迹方程．14．（2012湖南）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在2C ：22(5)9x y −+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =−的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设00(,)P x y （3y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线4x =−上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．15．（2011天津）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=− ，求点M 的轨迹方程．16．（2009广东）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y −+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合． （1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a −+−++=与D 有公共点，试求a 的最小值．。
【高考复习】江苏届高考复习曲线与方程专题练习(带答案)
【高考复习】江苏届高考复习曲线与方程专题练习（带答案）方程是指含有未知数的等式，以下是江苏届高考复习曲线与方程专题练习，请考生认真练习。
一、填空1.(苏州模拟)如图85，已知f1、f2分别是椭圆c：+=1(a0)的左、右焦点，点p在椭圆c上，线段pf2与圆x2+y2=b2相切于点q，且点q为线段pf2的中点，则椭圆c的离心率为________.【分析】从问题的含义来看，OQ=b=Pf1，然后PF2=2a-Pf1=2a-2b，QF2=A-b，所以（A-b）2+B2=C2，然后2a=3b，然后4a2=9b2=9a2-9c2，然后E=[答案]2.（中学附属中学研究），已知抛物线y2=4x，点a（5,0）。
点O是坐标原点，具有倾角的直线L与线段OA相交，但只有两点O和a，抛物线与两点m和N相交，则AMN的最大面积为___[解析]设直线l的方程为y=x+b(-5c，直线pr的方程为(y0-b)x-x0y+x0b=0.如果圆（x-1）2+y2=1内接在PRN中，则圆心（1,0）到直线PR的距离为1=1，注意到x02，上式化简得(x0-2)b2+2y0b-x0=0，类似地，（x0-2）C2+2y0c-x0=0b。
C是方程（x0-2）x2+2y0x-x0=0中的两个b+c=，bc=，(b-c)2=.Y=2x0，B-C=，s△ PRN=（B-C）x0=（x0-2）++48，当且仅当x0=4时取等号，prn面积的最小值为8.特殊突破五：高考解析几何解题策略(见学生用书第187页)1型曲线方程及其性质直线方程、圆方程、圆锥曲线的标准方程在课标高考中占有十分重要的地位，由已知条件求曲线方程或已知曲线方程研究曲线性质是高考命题的重点和热点，求曲线方程最常用的方法是定义法与待定系数法，椭圆与双曲线的离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及a，b，c三者之间的关系，另外抛物线的准线，双曲线的渐近线，圆的切线也是命题的热点.【典型示例1】（南京质量检验）已知椭圆中心位于坐标原点，焦点位于x轴上，偏心率为，其一个顶点是抛物线x2=4Y的焦点(1)求椭圆方程;（2）如果直线y=X-1与点a处的抛物线相切，则求出以a为中心并与抛物线的拟直线相切的圆方程[思路点拨](1)由椭圆与抛物线的性质，求椭圆方程中待定参数a，b，从而确定椭圆的标准方程.(2)联立方程求出圆心和半径.[标准解决方案]（1）椭圆的中心位于原点，焦点位于x轴上设椭圆的方程为+=1(a0)，因为抛物线x2=4Y的焦点是（0,1），所以b=1.根据偏心率e==，A2=B2+C2=1+C2，从而得a=，椭圆的标准方程为+y2=1.（2）所有点a（2,1）都是从解中得到的因为抛物线的准线方程为y=-1，所以圆的半径r=1-（-1）=2，所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.【反思与启示】1待定系数法求解曲线方程的关键是方程的联立求解。
高三数学曲线与方程练习题
高三数学曲线与方程练习题1. 求抛物线 $y=x^2-4x+3$ 的顶点坐标和对称轴方程。
解：首先，我们可以将抛物线的方程表示成标准形式：$y = a(x-h)^2 + k$，其中$(h,k)$为顶点坐标。
将给定的抛物线方程展开，可以得到：$y = x^2 - 4x + 3$比较标准形式与给定方程，可以得知：$h = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2(1)} = 2$将$h$代入给定方程，可以得到顶点的纵坐标：$k = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$所以，抛物线的顶点坐标为 $(2, -1)$。
对称轴的方程可以通过将$x$替换为$h$得到：$x = 2$综上所述，抛物线的顶点坐标为 $(2, -1)$，对称轴方程为 $x = 2$。
2. 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像过点$(-1, 0)$，切线方程为 $y = 2x - 3$，求函数的解析式。
解：首先，由于已知二次函数的图像过点$(-1, 0)$，可以得到一个方程：$a(-1)^2 + b(-1) + c = 0$化简上述方程，可以得到：$a - b + c = 0$另外，切线的方程为 $y = 2x - 3$，说明该点处的导数为2，即对应二次函数的导数为2。
所以我们可以对二次函数求导以得到导函数。
对二次函数求导，可以得到：$y' = 2ax + b$将过点$(-1, 0)$的坐标代入导函数，可以得到一个新的方程：$2a(-1) + b = 2$化简上述方程，可以得到：$-2a + b = 2$综合以上两个方程，可以得到一个方程组：$\begin{cases}a -b +c = 0 \\-2a + b = 2 \\\end{cases}$通过解方程组，我们可以得到 $a = -\frac{2}{5}$，$b = -\frac{6}{5}$ 和 $c = -\frac{12}{5}$。
双曲线及其标准方程练习
∵0<a<c,∴令c2-a2=b2(b>0)
x 2 y2 2 1 (a 0,b 0, 2 a b a不一定大于b) y2 x 2 2 1 2 a b
【典例训练】
1.双曲线2x2-y2=k的焦距为6，则k的值为___________.
x2 y2 1 表示双曲线，则m的取值范围为_____. 2.方程 2m m 3 2 2 3.讨论方程 x y 1 表示何种圆锥曲线？它们有何共同特 25 k 9 k
（2）焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲 线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”：若x2项的系数为正，
则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.
（3）当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，ຫໍສະໝຸດ 双曲线的方程才具有标准形式.
求双曲线的标准方程 【技法点拨】 1.求双曲线标准方程的三个关注点
x 2 y2 2.若方程 1 表示焦点在x轴上的双曲线，那么m,n的符 m n
号怎样？ 提示：m>0,n<0.
3.对双曲线标准方程的三点说明
x 2 y2 y2 x 2 双曲线的标准方程有两种不同类型： 2 2 1, 2 2(a>0,b>0)， 1 a b a b
分别表示焦点在x轴上和焦点在y轴上的双曲线. （1）标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小， 是双曲线的定形条件，这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2(a>b>0) 相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a、b大小不确定.
②
③
一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利 解决.
焦点三角形SPF1F2 b cot 2
曲线和方程典型例题
典型例题一例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，．（B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，．分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ．典型例题二例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系．分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．典型例题三例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系．分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析．解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例4 曲线4)1(22=-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式∆分别满足0>∆、0=∆、0<∆．解：由⎩⎨⎧=-++-=.4)1(,4)2(22y x x k y得04)23()23(2)1(222=--+-++k x k k x k ∴]4)23)[(1(4)23(42222--+--=∆k k k k)5124(42+--=k k)52)(12(4---=k k∴当0>∆即0)52)(12(<--k k ，即2521<<k 时，直线与曲线有两个不同的交点． 当0=∆即0)52)(12(=--k k ，即21=k 或25=k 时，直线与曲线有一个交点．当0<∆即0)52)(12(>--k k ，即21<k 或25>k 时，直线与曲线没有公共点．说明：在判断直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但如果是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，所以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析．典型例题五例5 若曲线x a y =与)0(>+=a a x y 有两个公共点，求实数a 的取值范围．分析：将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解”，从而研究一元二次方程的解的个数问题．若将两条曲线的大致形状现出来，也许可能得到一些启发．解法一：由⎩⎨⎧+==ax y xa y 得：a y a y -=∵0≥y ，∴222)(a y a y -=， 即02)1(4322=+--a y a y a ． 要使上述方程有两个相异的非负实根．则有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->--=∆010120)1(442423246a a a a a a a 又∵0>a∴解之得：1>a ．∴所求实数a 的范围是),1(∞+．解法二：x a y =的曲线是关于y 轴对称且顶点在原点的折线，而a x y +=表示斜率为1且过点),0(a 的直线，由下图可知，当1≤a 时，折线的右支与直线不相交．所以两曲线只有一个交点，当1>a 时，直线与折线的两支都相交，所以两条直线有两个相异的交点．说明：这类题较好的解法是解法二，即利用数形结合的方法来探求．若题设条件中“0>a ”改为R a ∈呢，请自己探求．典型例题六例6 已知AOB ∆，其中)0,6(A ，)0,0(O ，)3,0(B ，则角AOB 平分线的方程是x y =(如下图)，对吗？分析：本题主要考查曲线方程概念掌握和理解的程度，关键是理解三角形内角平分线是一条线段． 解：不对，因为AOB ∆内角平分线是一条线段OC ，而方程x y =的图形是一条直线．如点)8,8(P坐标适合方程x y =，但点P 不在AOB ∆内角AOB 的平分线上．综合上述内角AOB 平分线为：)20(≤≤=x x y ．说明：判断曲线的方程或方程的曲线，要紧扣定义，两个条件缺一不可，关键是要搞清楚曲线的范围．典型例题七例7 判断方程122+--=x x y 所表示的曲线．分析：根据方程的表面形式，很难判断方程的曲线的形状，因此必需先将方程进行等价变形． 解：由原方程122+--=x x y 可得：1--=x y ，即⎩⎨⎧<-≥+-=),1(1),1(1x x x x y ∴方程122+--=x x y 的曲线是两条射线，如图所示：说明：判断方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形．如方程21-=-y x 等价于2)1(2-=-y x 且1≥x ，即)1(2)1(2≥+-=x x y ，原方程的曲线是抛物线一部分．典型例题八例8 如图所示，已知A 、B 是两个定点，且2=AB ，动点M 到定点A 的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交线段MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．分析：本题首先要建立适当直角坐标系，动点P 满足的条件(等量关系)题设中没有明显给出，要从题意中分析找出等量关系．连结PB ，则PB PM =，由此4==+=+AM PM PA PB PA ，即动点P 到两定点A ，B 距离之和为常数．解：过A ，B 两点的直线为x 轴，A ，B 两点的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系∵2=AB ，∴A ，B 两点坐标分别为)0,1(-，)0,1(． 连结PB ．∵l 垂直平分线段BM ， ∴PB PM =，4==+=+AM PM PA PB PA ．设点),(y x P ，由两点距离公式得4)1()1(2222=+-+++y x y x ，化简方程，移项两边平方得(移项)x y x -=+-4)1(222．两边再平方移项得：13422=+y x ，即为所求点P 轨迹方程． 说明：通过分析题意利用几何图形的有关性质，找出P 点与两定点A ，B 距离之和为常数4，是解本题的关键．方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性．典型例题九例9 过()42，P 点作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若1l 交1l 轴于A ，2l 交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解：连接PM ，设()y x M ，，则()02，x A ，()y B 20，．∵ 21l l ⊥∴ PAB ∆为直角三角形．由直角三角形性质知AB PM 21=即()()2222442142y x y x +=-+- 化简得M 的轨迹方程为052=-+y x说明：本题也可以用勾股定理求解，还可以用斜率关系求解，因此本题可有三种解法．用斜率求解图２的过程要麻烦一些．典型例题十例10 求与两定点A 、B 满足222k PB PA =-（k 是常数）的动点P 的轨迹方程． 分析：按求曲线方程的方法步骤求解．解法一：如图甲，取两定点A 和B 的连线为x 轴，过AB 的中点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,(a A -，)0,(a B ，),(y x P ，则：222)(y a x PA ++=，222)(y a x PB +-=．据题意，222k PB PA =-，有[][]22222)()(kya x y a x =+--++得24k ax =．由于k 是常数，且0≠a ，所以ak x 42=为动点的轨迹方程，即动点P 的轨迹是一条平行于y 轴的直线．解法二：如图乙，取A 与B 两点连线为x 轴，过A 点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,0(A ，)0,(a B ，),(y x P ，则：222y x PA +=，222)(y a x PB +-=．据题意，222k PB PA =-，有()[]22222)(k y a x yx =+--+，得a k a x 222+=，即动点P 的轨迹方程为ak a x 222+=，它是平行于y 轴的一条直线．解法三：如图丙建立坐标系，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x P ，则21212)()(y y x x PA -+-=，22222)()(y y x x PB -+-=．据题意，222k PB PA =-，有[][]222222121)()()()(k y y x x y y x x =-+---+-，整理后得到点P 的轨迹方程为：0)(2)(22222221211212=---++-+-k y x y x y y y x x x ，它是一条直线．说明：由上面介绍的三种解法，可以看到对于同一条直线，在不同的坐标系中，方程不同，适当建立坐标系如解法一、解法二，得到的方程形式简单、特性明显，一看便知是直线．而解法三得到的方程烦琐、冗长，若以此为基础研究其他问题，会引起不必要的麻烦．因此，在求曲线方程时，根据具体情况适当选取坐标系十分重要．另外，也要注意到本题所求的是轨迹的方程，在作解答表述时应强调曲线的方程，而不是曲线．典型例题十一例11 两直线分别绕着定点A 和B (a AB 2=)在平面内转动，且转动时保持相互垂直，求两直线的交点P 的轨迹方程．分析：建立适当的直角坐标系，利用直角三角形的性质，列出动点所满足的等式． 解：取直线AB 为x 轴，取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则：)0,(a A -，)0,(a B ，P 属于集合{}222ABPB PA P C =+=．设),(y x P ，则22222)2()()(a y a x y a x =+-+++，化简得222a y x =+． 这就是两直线的交点P 的轨迹方程． 说明：本题易出现如下解答错误：取直线AB 为x 轴，取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则：)0,(a A -，)0,(a B ，交点P 属于集合{}{}1-=⋅=⊥=PB PA k k P PB PA P C ．设),(y x P ，则a x y k PA +=)(a x -≠，ax yk PB -=)(a x ≠， 故1-=-⋅+ax ya x y ，即222a y x =+(a x ±≠)． 要知道，当x PA ⊥轴且另一直线与x 轴重合时，仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为A ．同样x PB ⊥轴重合时，且另一直线与x 轴仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为B ．因而，)0,(a A -与)0,(a B 应为所求方程的解．纠正的方法是：当PA 或PB 的斜率不存在时，即a x ±=时，)0,(a A -和)0,(a B 也在曲线上，故所求的点P 的轨迹方程是222a y x =+．求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，既要剔除不适合的部分，也不要遗漏满足条件的部分．典型例题十二例12 如图，ABC Rt ∆的两条直角边长分别为a 和b )(b a >，A 与B 两点分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，求直角顶点C 的轨迹方程．分析：由已知ACB ∠是直角，A 和B 两点在坐标轴上滑动时，AOB ∠也是直角，由平面几何知识，A 、C 、B 、O 四点共圆，则有AOC ABC ∠=∠，这就是点C 满足的几何条件．由此列出顶点C 的坐标适合的方程．解：设点C 的坐标为),(y x ，连结CO ，由︒=∠=∠90AOB ACB ，所以A 、O 、B 、C 四点共圆．从而ABC AOC ∠=∠．由a b ABC =∠tan ，x y AOC =∠tan ，有a b x y =，即x aby =． 注意到方程表示的是过原点、斜率为ab的一条直线，而题目中的A 与B 均在两坐标轴的正半轴上滑动，由于a 、b 为常数，故C 点的轨迹不会是一条直线，而是直线的一部分．我们可考察A 与B 两点在坐标轴上的极端位置，确定C 点坐标的范围．如下图，当点A 与原点重合时，x b a x AB S ABC ⋅+=⋅=∆222121，所以22ba ab x +=．如下图，当点B 与原点重合时，C 点的横坐标BD x =．由射影定理，AB BD BC ⋅=2，即222b a x a +⋅=，有222ba a x +=．由已知b a >，所以22222ba a ba ab +<+．故C 点的轨迹方程为：x a b y =（22222ba a xb a ab +≤≤+）． 说明：求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，剔除不适合的部分．典型例题十三例13 过点)2,3(P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ，若1l 交x 轴于A ，2l 交y 轴于B ，M 在线段AB 上，且3:1:=BM AM ，求M 点的轨迹方程．分析：如图，设),(y x M ，题中几何条件是21l l ⊥，在解析几何中要表示垂直关系的代数关系式就是斜率乘积为－1，所以要求M 的轨迹方程即x 、y 之间的关系，首先要把1l 、2l 的斜率用x 、y 表示出来，而表示斜率的关键是用x 、y 表示A 、B 两点的坐标，由题可知M 是A 、B 的定比分点，由定比分点坐标公式便可找出A 、B 、M 坐标之间的关系，进而表示出A 、B 两点的坐标，并求出M 点的轨迹方程．解：设),(y x M ，)0,(a A ，),0(b B ∵M 在线段AB 上，且3:1:=BM AM ．∴M 分AB 所成的比是31， 由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=31131311b y a x ，得⎪⎩⎪⎨⎧==y b xa 434， ∴)0,34(x A 、)4,0(y B 又∵)2,3(P ，∴1l 的斜率x k 34321-=，2l 的斜率3242--=y k ． ∵21l l ⊥，∴13243432-=--⋅-y x ． 化简得：01384=-+y x ．说明：本题的上述解题过程并不严密，因为1k 需在49≠x 时才能成立，而当49=x 时，)0,3(A ，1l 的方程为3=x ．所以2l 的方程是2=y ．故)2,0(B ，可求得)21,49(M ，而)21,49(也满足方程01384=-+y x ．故所求轨迹的方程是01384=-+y x ．这类题在解答时应注意考虑完备性和纯粹性．典型例题十四例14 如图，已知两点)2,2(-P ，)2,0(Q 以及一直线x y l =：，设长为2的线段AB 在直线l 上移动．求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．分析1：设),(y x M ，题中的几何条件是2=AB ，所以只需用),(y x 表示出A 、B 两点的坐标，便可求出曲线的方程，而要表示A 点坐标可先找出A 、M 两点坐标的关系，显然P 、A 、M 三点共线．这样便可找出A 、M 坐标之间的关系，进而表示出A 的坐标，同理便可表示出B 的坐标，问题便可以迎刃而解．解法一：设),(y x M 、),(a a A 、),(b b B )(a b >．由P 、A 、M 三点共线可得：2222+-=+-x y a a （利用PA 与MP 斜率相等得到） ∴422+-+=y x y x a ． 由Q 、B 、M 三点共线可得x y b b 22-=-． ∴22+-=y x x b ． 又由2=AB 得2)(22=-b a ．∴1=-a b ，∴142222=+-+-+-y x y x y x x ． 化简和所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．分析2：此题也可以先用P 、A 、M 三点共线表示出A 点坐标，再根据2=AB 表示出B 点坐标，然后利用Q 、B 、M 三点共线也可求得轨迹方程．解法二：设),(y x M ，),(a a A 由2=AB 且B 在直线x y =上且B 在A 的上方可得：)1,1(++a a B 由解法一知422+-+=y x y x a ， ∴)443,443(+-+++-++y x y x y x y x B 又由Q 、B 、M 三点共线可得：xy y x y x y x y x 24432443-=+-++-+-++． 化简得所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．解法三：由于2=AB 且AB 在直线x y =上所以可设),(a a A ，)1,1(++a a B ．则直线AP 的方程为：)2)(2()2)(2(+-=-+x a y a直线BQ 的方程为：x a y a )1()2)(1(-=-+ 由上述两式解得)0(1212≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=--=a a a y a a x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-+=+44)1(44)1(222222a a y a a x ∴8)1()1(22-=+-+y x ，即082222=+-+-y x y x ．而当0=a 时，直线AP 与BQ 平行，没有交点．∴所求轨迹方程为082222=+-+-y x y x ．说明：本题的前两种方法属于直接法，相对较繁，而后一种方法，事实上它涉及到参数的思想(a 为参数)，利用交点求轨迹方程．一般先把交点表示为关于参数的坐标，然后消去参数，这也反映出运动的观点．。
曲线与方程练习题
曲线与方程练习题曲线与方程练习题数学作为一门抽象而又实用的学科，几乎贯穿了我们的整个学习生涯。
其中，曲线和方程是数学中的重要概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。
本文将通过一些练习题，帮助读者更好地理解曲线和方程的关系。
练习题一：给定方程y = 2x + 3，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：首先，我们可以根据方程中的斜率和截距，找到该直线的两个点。
当x= 0时，y = 3；当x = 1时，y = 5。
因此，我们可以在坐标系中连接这两个点，得到一条斜率为2，截距为3的直线。
这条直线是一条倾斜向上的直线，它的斜率表示了直线上每单位x变化对应的y的变化。
练习题二：给定方程y = x^2，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个二次函数的图像。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
例如，当x = -2时，y = 4；当x = -1时，y = 1；当x = 0时，y = 0。
将这些点连接起来，我们可以得到一个开口向上的抛物线。
这个抛物线的特点是，它的顶点位于原点，对称轴为y轴，开口向上。
练习题三：给定方程y = sin(x)，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个正弦函数的图像。
正弦函数是一种周期性的函数，它的图像在一个周期内重复出现。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
例如，当x = 0时，y = 0；当x = π/2时，y = 1；当x = π时，y = 0。
将这些点连接起来，我们可以得到一个波浪形的曲线。
这个曲线的特点是，它在每个周期内都有一个最大值和一个最小值，且对称于y轴。
练习题四：给定方程y = e^x，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个指数函数的图像。
指数函数是一种增长非常快的函数，它的图像呈现出逐渐上升的趋势。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
曲线的切线与法线方程练习题
曲线的切线与法线方程练习题切线是解析几何中常用的概念，它是曲线在某个给定点处的切线，代表了曲线在该点的局部变化趋势。
而法线则是与切线垂直的直线，它用来描述曲线在给定点处的垂直方向的变化。
在解析几何中，我们经常需要求解曲线的切线和法线方程。
下面，我们就来练习一些曲线的切线与法线方程的题目。
题目一：给定曲线方程 y = 2x^2 + 3x - 4，求曲线在点 (1, 1) 处的切线和法线方程。
解答一：首先，我们求解曲线在点 (1, 1) 处的切线方程。
设曲线在点 (1, 1) 处的切线方程为 y = mx + c，其中 m 为切线的斜率，c 为切线与 y 轴的交点。
要求解切线的斜率，可以利用导数的概念。
曲线的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。
因此，我们需要先对曲线方程进行求导，然后将 x = 1 代入求得切线的斜率。
对 y = 2x^2 + 3x - 4 进行求导，得到 y' = 4x + 3。
将 x = 1 代入，可得切线的斜率 m = 4*1 + 3 = 7。
接下来，我们需要求解切线与 y 轴的交点。
由于切线过点 (1, 1)，代入切线方程得到 1 = 7*1 + c，解方程可得 c = -6。
综上，曲线在点 (1, 1) 处的切线方程为 y = 7x - 6。
接下来，我们来求解曲线在点 (1, 1) 处的法线方程。
法线与切线垂直，因此切线的斜率与法线的斜率的乘积等于 -1。
切线的斜率为 7，因此法线的斜率为 -1/7。
法线通过点 (1, 1)，代入法线方程可得 1 = (-1/7)*1 + c'，解方程可得c' = 8/7。
综上，曲线在点 (1, 1) 处的法线方程为 y = (-1/7)x + 8/7。
题目二：给定曲线方程 y = 3x^3 - 2x，求曲线在点 (-1, 5) 处的切线和法线方程。
解答二：与上一题类似，我们首先求解曲线在点 (-1, 5) 处的切线方程。
高一数学方程曲线练习题
高一数学方程曲线练习题一、单项选择题（在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。
错选、多选或未选均无分。
）1.双曲线x2－2y2＝16的渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±2xC.y ＝±12xD.y ＝±22x 2.a=5,焦距为4,焦点在y 轴上的椭圆方程是（ ）A.2212125y x += B.2212521y x += C.221254y x += D.221425y x += 3.焦点在y 轴上,a=3,b=4的双曲线方程是（ ）A.221169y x -= B.221916x y -= C.221169x y -=D.221916y x -= 4.ax2+by2=ab 且ab<0,则这曲线是（ ）A.双曲线B.椭圆C.圆D.射线 5.双曲线22148y x -=的渐近线方程是( ) A.y ＝±2x B.y ＝±22x C.y ＝±x D.y ＝±2x 6.双曲线221916x y -=的渐近线方程是( ) A.y ＝±34x B.y ＝±43x C.y ＝±916x D.y ＝±169x 7.椭圆x225＋y24=1的长轴长为 （ ） A.10 B.5C.4D.28.双曲线x29－y216=－1的顶点坐标为 （ ） A.（±4，0），（0，±3）B.（±3，0），（0，±4）C.（±3，0）D.（0，±4）9.已知ax2＋y2＝1，当－1＜a ＜0时，方程所表示的曲线为 （ ）A.焦点在y 轴上的椭圆B.焦点在x 轴上的椭圆C.焦点在x 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的双曲线10.椭圆短轴的一个端点到焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为（ ）A.y225＋x216＝1B.x225＋y216＝1 C.y225＋x216＝1或x225＋y216＝1 D.y225＋x29＝1 11.若椭圆的两半轴之和为8，它的焦点与双曲线x2－y2＝8的焦点相同，则椭圆的离心率为（ ）A.45B.35C.12D.2212.过点（2，3）的等轴双曲线方程是 （ ） A.x24－y29＝1 B.y25－x25＝1 C.x213－y213＝1 D.y213－x213＝1 13.平面内到两定点F1（－5，0），F2（5，0）的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹方程是（ ）A.29x ＋216y ＝1B.225x ＋29y ＝1 C.29x －216y ＝1 D.216x －29y ＝1 14.在下列双曲线中，以y ＝12x 为渐近线的双由线是 （ ） A.216x －24y ＝1 B.24x －216y ＝1 C.22x －21y ＝1 D.21x －22y ＝1 15.椭圆22x a ＋22y b＝1的离心率是方程2x2－5x ＋2＝0的一个根，长轴长2a ＝8，则焦点坐标为 （ ）A.（±4，0）B.（0，±2）C.（±2，0）D.，0）16.设椭圆22x a ＋22y b＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B 且｜BF2｜＝｜F1F2｜＝2，则该椭圆的方程为 （ ） A.24x ＋23x ＝1 B.23x ＋y2＝1 C.22x ＋y2＝1 D.24x ＋y2＝1 17.已知双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P 到F1的距离是12，则点P 到F2的距离是（ ）A.17B.7C.7或17D.2或2218.双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是（ ）A.y ＝±xB.y ＝±2xC.y ＝±3xD.y ＝±2x19.已知动点P （x ，y ）到两个定点F1（－3，0），F2（3，0）的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程是（ ）A.x225－y216＝1B.x225＋y216＝1 C.y225－x216＝1 D.y225＋x216＝1 20.若椭圆x216＋y2m＝1经过点M （2，15），则（ ） A.椭圆的长轴长为25，焦点在y 轴上B.椭圆的长轴长为45，焦点在y 轴上C.椭圆的长轴长为8，焦点在x 轴上D.椭圆的长轴长为4，焦点在x 轴上二、填空题21.椭圆4x2＋9y2＝36的a,b 值分别为 .22.已知椭圆的短轴长等于焦距,则离心率为 .23.双曲线221819x y -=的焦距为 . 24.以（±5，0）为焦点，且过点（0，4）的椭圆的标准方程为 .25.若双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，焦距为8，一个顶点为（2，0），则该双曲线的标准方程为 .26.双曲线x29－y227＝1的离心率为 . 27.已知双曲线x2a －y212＝1的离心率为2，则a ＝ . 28.已知椭圆25x ＋2y k＝1，则k ＝ . 29.到定点F1（－4，0），F2（4，0）的距离之和等于10的点的轨迹方程为 .30.过双曲线x216－y29＝1的焦点，且垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点，则｜AB ｜＝ .三、解答题（解答题应写出文字说明及演算步骤）31.已知椭圆的中心在原点,有一个焦点与抛物线y2＝－8x 的焦点重合,且椭圆的离心率e ＝23,求椭圆的标准方程. 32.求下列椭圆的焦点、焦距.(1)4x2＋y2＝16; (2)x2＋4y2＝1.33.求双曲线221124y x -=的实轴长、虚轴长、顶点坐标、离心率及渐近线方程. 34.已知椭圆x29＋y2m =1（9>m>0）与双曲线x29－y2n=1的离心率分别是9x2－18x ＋8=0的两根，求m ，n 的值.35.求以3x ±2y=0为渐近线，且过点（－4，33）的双曲线的标准方程.答案一、单项选择题1.D2.B 【提示】 焦距是4,故c=2,a=5,所以b2=21,所以方程是2212521y x +=. 3.D 【提示】 由题意知方程是221916y x -=,故选D. 4.A 【提示】 双曲线ax2+by2=ab 且（ab<0）化简为221x y b a+=,其中ab 异号,所以该曲线表示双曲线,故选A.5.B6.B7.A 【提示】a2＝25，∴a ＝5，∴2a ＝10.8.D【提示】x29－y216＝－1，即y216－x29＝1，∴a2＝16，∴a ＝4，∴顶点坐标为（0，±4）. 9.D 【提示】当－1＜a ＜0时，2x 的系数是负数，2y 系数为正数，根据解析式的特征，方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线，故选D.10.C11.A12.B13.C14.A15.C16.A17.D 【提示】 由双曲线定义知|||PF1|－|PF2|＝2a ，∵a2＝25，a ＝5，∴｜12－｜PF2｜｜＝10，解得｜PF2｜＝2或22，故选D ．18.A 【提示】 方程可化为y22－x22＝1，a2＝b2＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±a b x ，即y ＝±22x ＝±x ． 19.B 【提示】∵2a ＝10，∴a ＝5.又∵c ＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，∴动点P 的轨迹方程是x225＋y216＝1. 20.B 【提示】∵将点M （2，15）代入x216＋y2m ＝1得416＋15m ＝1，∴m ＝20，∴方程为x216＋y220＝1，则a2＝20，a ＝25，∴长轴长2a ＝45，焦点在y 轴上． 二、填空题21.3 2 22.2223.61024.x241＋y216＝1 【提示】c ＝5，b ＝4，∴a2＝b2＋c2＝25＋16＝41，∴椭圆的标准方程为x241＋y216＝1. 25.22412x y -＝1 【解析】焦点在x 轴上，且c ＝4，a ＝2，∴b2＝c2－a2＝16－4＝12，∴双曲线的标准方程为22412x y -＝1. 26.2 【解析】a2＝9，b2＝27，∴c2＝a2＋b2＝36，∴a ＝3，c ＝6，∴离心率e ＝c a＝2.27.428.4或25429.x225＋y29＝1 【提示】 根据椭圆定义得c ＝4，2a ＝10⇒a ＝5，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9，故椭圆的标准方程为x225＋y29＝1． 30.92【提示】取右焦点F （5，0），直线方程为x ＝5，则⎩⎨⎧x216－y29＝1，x ＝5，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝94或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－94，即A 95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 95,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴｜AB ｜＝92. 三、解答题31.解 ∵2p ＝8,即2p ＝2,∴抛物线焦点F 的坐标为F(－2,0),即椭圆的焦距2c ＝4,∵椭圆的离心率e ＝c a＝23,∴a ＝3,b＝5,∴椭圆的标准方程为2295x y +＝1. 32.(1)焦点(0,±23) 焦距4 3 (2)焦点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭焦距 333.实轴长4 3 虚轴长4 顶点坐标(0,±23) 离心率233渐近线y ＝±3x34.解：由9x2－18x ＋8＝0解得x1＝23，x2＝43， ∴椭圆离心率23，双曲线离心率为43， 即9－m 9＝49，∴m ＝5，9＋n 9＝169，∴n ＝7. 35.解：设双曲线方程为9x2－4y2＝λ（λ≠0），将点（－4，33）代入，得λ＝36， ∴双曲线方程为9x2－4y2＝36，即x24－y29＝1.。
人教版 高中数学【选修 2-1】2.1曲线与方程课后习题
人教版高中数学精品资料【优化设计】高中数学 2.1曲线与方程课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升A组1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”时,不一定能得到“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,但反之,如果“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,必能得出“曲线C上的点的坐标都是f(x,y)=0的解”.答案:B2.方程y=3x-2(x≥1)表示的曲线为()A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线.答案:B3.曲线xy=2与直线y=x的交点是()A.()B.(-,-)C.()或(-,-)D.不存在解析:由解得即交点坐标为()或(-,-).答案:C4.如图所示的曲线方程是()A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0D.-1=0解析:∵(0,0)点在曲线上,∴C,D不正确.∵x≥0,y∈R,∴B正确.答案:B5.一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=1解析:设C(x0,y0),P(x,y).依题意有所以因为点C(x0,y0)在曲线x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C6.如果方程ax2+by2=4的曲线过点A(0,-2),B,则a=,b=.解析:由已知解得答案:4 17.已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.由|MA|=3|MB|,得=3,化简得x2+y2=9.答案:x2+y2=98.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解:(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.9.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y).于是=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),=x2-2+y2.由=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.B组1.方程x2+xy=x表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析:∵x2+xy=x可化为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,∴原方程表示两条直线.答案:C2.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0解析:|AB|==5.∵S△ABC=|AB|·h=10,∴h=4,即顶点C到AB所在直线的距离为4,易求AB所在直线的方程为4x-3y+4=0.设点C(x,y),则=h=4,∴4x-3y+4=±20.故选B.答案:B3.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析:方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案:24.已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.解法一:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).由△ABC是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题意可知,x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上.∵以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,又∵C与A,B不重合,∴x≠±a.∴顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).5.若直线y=kx+1与曲线mx2+5y2-5m=0(m>0)恒有公共点,求m的取值范围.解:将y=kx+1代入mx2+5y2-5m=0,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意得,该方程对k∈R总有实数解,∴Δ=20m(m-1+5k2)≥0对k∈R恒成立.∵m>0,∴m≥1-5k2恒成立.∵1-5k2≤1,∴m≥1.故m的取值范围是[1,+∞).6.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴∵A,B分别是直线y=x和y=-x上的点,∴y1=x1,y2=-x2,∴又∵|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.∴12y2+x2=12.∴动点P的轨迹方程为+y2=1.。
曲线与方程高二练习题
曲线与方程高二练习题
一、选择题
A. 曲线C是开口向下的抛物线
B. 曲线C的顶点坐标为(2, 1)
C. 曲线C与x轴的交点坐标为(1, 0)和(3, 0)
D. 曲线C与y轴的交点坐标为(0, 3)
2. 设曲线y = f(x)在点(x, y)处的切线斜率为2x，则f(x)可能是（）
A. x^2 + 1
B. 2x^2 1
C. x^2 2
D. 2x^3
A. 曲线在x = 0处取得极值
B. 曲线在x = 1处取得极值
C. 曲线在x = 2处取得极值
D. 曲线在x = 1处取得极值
二、填空题
1. 已知曲线C的方程为x^2 + y^2 = 4，则曲线C的圆心坐标为______，半径为______。
2. 给定曲线y = (1/2)x^2 3x + 4，其顶点坐标为______。
3. 若曲线y = ax^2 + bx + c在x = 1处与x轴相切，则a + b + c =______。
三、解答题
1. 已知曲线C的方程为y = x^3 6x，求曲线C的拐点坐标。
2. 给定曲线y = 3x^2 4x + 1，求曲线在x = 2处的切线方程。
3. 设曲线y = f(x)的导数为f'(x) = 2x 3，求曲线y = f(x)在x = 1处的切线方程。
4. 已知曲线C的方程为x^2 + (y 2)^2 = 4，求曲线C与直线y = x + 1的交点坐标。
5. 设曲线y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的顶点坐标为(1, 2)，且过点(0, 3)，求曲线的方程。
高二数学练习试题-曲线方程和圆
高二数学练习—曲线方程和圆一．选择题： 1．已知以方程)(y x F ，＝0的解为坐标的点都在曲线C 上，则下列说法正确的有 （ ） （A ）方程)(y x F ，＝0的曲线是C ； （B ）曲线C 的方程是)(y x F ，＝0； （C ）不在曲线C 上的点的坐标不是方程)(y x F ，＝0的解； （D ）曲线C 上的点的坐标都是方程)(y x F ，＝0的解．2．方程x －y ＝0所表示的图形是（ ）3．到点A （－1，0）和点B （1，0）的斜率之积为－1的动点P 的轨迹方程是（ ） （A ）2x ＋2y ＝1；（B ）2x ＋2y ＝1（x ≠±1)；（C ）2x ＋2y ＝1（x ≠0）；（D ）y ＝21x -．4．若直线y ＝kx ＋2和曲线22x ＋32y ＝6有两个公共点，则k 的值是（ ）（A ）k ＝±36；（B ）k ≠±36；（C ）－36＜k ＜36；（D ）k ＞36或k ＜－36． 5．在圆2)2(-x ＋2)3(+y ＝2上与点（0，－5）距离最大的点的坐标是（ ）（A ）（5，1）； （B ）（4，1）； （C ）（2＋2，2－3）； （D ）（3，－2）． 6．方程2x ＋2y ＋ax ＋2ay ＋22a ＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是（ ）（A ）a ＜－2； （B ）－32＜a ＜0； （C ）－2＜a ＜0； （D ）－2＜a ＜32． 7．过点M （3，2）作⊙O ：2x ＋2y ＋4x －2y ＋4＝0的切线方程是（ ） （A ）y ＝2； （B ）5x －12y ＋9＝0； （C ）12x －5y －26＝0； （D ）y ＝2或5x －12y ＋9＝08．圆2x ＋2y －4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长为（ ）（A ）6； （B ）225； （C ）1； （D ）5． 9．与圆C ：1)1()1(22=-+-y x 相切，且与x 轴、y 轴都相切的圆的个数有（ ）（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．10．两圆2x ＋2y －2x ＝0与2x ＋2y ＋4y ＝0的位置关系是（ ） （A ）相离； （B ）外切； （C ）相交； （D ）内切． 二．填空题：11．曲线y ＝|x |与圆2x ＋2y ＝4所围成的最小区域的面积是 ．12．设圆2x ＋2y －4x －5＝0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是 ． 13．圆心在直线y ＝x 上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程是 ． 14．集合A ＝{)(y x ，|2x ＋2y ＝4}，B ＝{)(y x ，|2)3(-x ＋2)4(-y ＝2r }，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是 ．O （A ） O （B ） O （C ）O （D ）三．解答题：15．已知直线l :y ＝x ＋b ，曲线C ：y ＝21x 有两个公共点，求b 的取值范围． 解：16． 如图，已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：2x ＋2y ＝1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于2．求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 解：17．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为72，求圆C 的方程． 解：18．由点P （0，1）引圆2x ＋2y ＝4的割线l ，交圆于A ，B 两点，使ΔAOB 的面积为27（O 为原点），求直线l 的方程．解：QO P B A高二数学练习—曲线方程和圆一．选择题： 1．已知以方程)(y x F ，＝0的解为坐标的点都在曲线C 上，则下列说法正确的有 （ C ） （A ）方程)(y x F ，＝0的曲线是C ； （B ）曲线C 的方程是)(y x F ，＝0； （C ）不在曲线C 上的点的坐标不是方程)(y x F ，＝0的解； （D ）曲线C 上的点的坐标都是方程)(y x F ，＝0的解．2．方程x －y ＝0所表示的图形是（ D ）3．到点A （－1，0）和点B （1，0）的斜率之积为－1的动点P 的轨迹方程是（ B ） （A ）2x ＋2y ＝1；（B ）2x ＋2y ＝1（x ≠±1)；（C ）2x ＋2y ＝1（x ≠0）；（D ）y ＝21x -．4．若直线y ＝kx ＋2和曲线22x ＋32y ＝6有两个公共点，则k 的值是（ D ）（A ）k ＝±36；（B ）k ≠±36；（C ）－36＜k ＜36；（D ）k ＞36或k ＜－36． 5．在圆2)2(-x ＋2)3(+y ＝2上与点（0，－5）距离最大的点的坐标是（ D ）（A ）（5，1）； （B ）（4，1）； （C ）（2＋2，2－3）； （D ）（3，－2）． 6．方程2x ＋2y ＋ax ＋2ay ＋22a ＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是（ D ）（A ）a ＜－2； （B ）－32＜a ＜0； （C ）－2＜a ＜0； （D ）－2＜a ＜32． 7．过点M （3，2）作⊙O ：2x ＋2y ＋4x －2y ＋4＝0的切线方程是（ D ） （A ）y ＝2； （B ）5x －12y ＋9＝0； （C ）12x －5y －26＝0； （D ）y ＝2或5x －12y ＋9＝08．圆2x ＋2y －4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长为（ A ）（A ）6； （B ）225； （C ）1； （D ）5． 9．与圆C ：1)1()1(22=-+-y x 相切，且与x 轴、y 轴都相切的圆的个数有（ D ）（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．10．两圆2x ＋2y －2x ＝0与2x ＋2y ＋4y ＝0的位置关系是（ C ） （A ）相离； （B ）外切； （C ）相交； （D ）内切． 二．填空题：11．曲线y ＝|x |与圆2x ＋2y ＝4所围成的最小区域的面积是 π ．12．设圆C ：2x ＋2y －4x －5＝0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是：x ＋y －4＝0． 13．圆心在直线y ＝x 上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程是 2)1(-x ＋2)1(-y ＝1 ． 14．集合A ＝{)(y x ，|2x ＋2y ＝4}，B ＝{)(y x ，|2)3(-x ＋2)4(-y ＝2r }，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是 3或7 ．O （A ） O （B ） O （C ）O （D ）三．解答题：15．已知直线l :y ＝x ＋b ，曲线C ：y ＝21x -有两个公共点，求b 的取值范围． 解：b ∈[1，2)．16． 如图，已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：2x ＋2y ＝1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于2．求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 解：如图，设直线MN 切圆于N ， 得：|MN |2＝|MO |2－|ON |2＝|MO |2－1． 设点M 的坐标为)(y x ，，则122-+y x ＝22)2(2y x +-⋅，整理得：2)4(-x ＋2y ＝7，它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0），半径为7．17．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为72，求圆C 的方程．解：设圆心坐标为（3m ，m ）．因为圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，所以圆心到直线y ＝x 的距离为||22|2|m m =． 由半径、弦心距、半径的关系得127922±=∴+=m m m∴所求圆的方程为：2)3(-x ＋2)1(-y ＝9或2)3(+x ＋2)1(+y ＝9．18．由点P （0，1）引圆2x ＋2y ＝4的割线l ，交圆于A ，B 两点，使ΔAOB 的面积为27（O 为原点），求直线l 的方程．解：直线l 的方程为：x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0．QON MOP BA。
双曲线及其标准方程练习题及答案
4．P为双曲线 上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆 的位置关系是（ ）
A．内切 B．内切或外切
C．外切 D．相离或相交
5．双曲线 的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（ ）
A．（-∞，0]∪[1，+∞） B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪[1，+∞） D．（-∞，Байду номын сангаас1）∪（1，+∞）
6．若椭圆 和双曲线 有相同的焦点 、 ，P是两曲线的一个公共点，则 的值是（
A．m-aB．
C．
二、填空题
7．双曲线 的一个焦点是 ，则m的值是_________。
8．过双曲线 的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。
三、解答题
答案与提示
一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．A
二、7．-28．
三、9方程为 （y≠0） 10．不存在
11．A炮击P地时，炮击的方位角为北偏东30°
9．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是 ，求它的另一个焦点 的轨迹方程。
10．已知直线y=ax+1与双曲线 相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。
11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东相距6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮兵阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，4秒种后，B、C才同时发现这一信号，该信号的传播速度为每秒1km，A若炮击P地，求炮击的方位角。
一、选择题：
1．已知点 和 ，曲线上的动点P到 、 的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
双曲线及其标准方程练习题.doc
课时作业（十）［学业水平层次］1表示双曲线，则加的取值范围（D. |m|^2【解析】 T 已知方程表示双曲线，（2+加）（2—加）>0. /. —2<m<2.【答案】A2. 设动点P 到A （—5,0）的距离与它到B （5,0）距离的差等于6,则 戶点的轨迹方程是（）2 2 2 2 A 」丄=1=1 宀9 16-116_i 2 2 22 C.g —話=l （xW —3） D.g —牯=1（x23）【解析】 由题意知，轨迹应为以A （-5,0）, B （5,0）为焦点的双 曲线的右支.由c=5, a=3,知b 2= 16,2 2:.P 点的轨迹方程为寺一話=1（心3）.【答案】D3. （2014-福州高级中学期末考试）已知双曲线的中心在原点，两 个焦点円，兄分别为（书，0）和（一书，0）,点P 在双曲线上，且PF1 丄戶尸2，AP^F O 的面积为1,则双曲线的方程为（） 一、选择题A. —2＜加＜2B. m ＞0A •厂c.j-y 2=i【解析】由S 〔|PF1F+|PF2|2 = （2书）2,即2a=4,解得a=2,又c=\[5,所以b=l,故选C.【答案】C2 24. 已知椭圆方程予+牙=1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点 是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为()A.^2B.^3C. 2D. 3【解析】 椭圆的焦点为(1,0),顶点为(2,0),即双曲线中a=l,c 2 c=2,所以双曲线的离心率为e=~=^=2.【答案】C二、填空题2 25. 设点P 是双曲线牙一話=1上任意一点，F”巧分别是其左、 右焦点，若|戶刊=10,则戶刊= ___________ .【解析】 由双曲线的标准方程得a=3, b=4. 于是 c=-\/a 2+b 2=5.(1) 若点P 在双曲线的左支上，则\PF2\-\PFr | = 2a=6, \PF 2\ = 6+|戶円| = 16;(2) 若点P 在双曲线的右支上，贝川阳一|阳 =6,•••1戶尸21 = 1戶尸11一6= 10—6=4.在△4BP中，利用正弦定理和双曲线的定义知, |sin A—sin B\sin P综上，IPF2| = 16 或4.【答案】16或46.(2014-河南省洛阳高一月考)已知Fi(—3,0), F2(3,0),满足条件|MiM“2l = 2加一1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的______________ •(填序号)①2；②一1；③4；④一3.2 2【解析】设双曲线的方程为孑一右=1,则c=3, V2a<2c=6,5 7 1|2m—1|<6,且|2加一1|工0, •••—㊁SV刁且加工刁.••①②满足条件.【答案】①②7・(2014-哈尔滨高二检测)已知的顶点4、B分别为双曲线c：看—的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则回書严 1 的值等于.2 2 ________________________________________________________【解析】由方程話—卷=1知cr=l6,kr=9,即a=4, c=#16+9||PB|-|B4||_2a_2X4_4\AB\=2c=2X5 = 5-4【答案】|三、解答题8.求与双曲线予一号=1有相同焦点且过点戶(2,1)的双曲线的方程.【解】*.*双曲线予一号=1的焦点在兀轴上.2 2依题意，设所求双曲线为寺一缶=l(a>0, Z?>0).又两曲线有相同的焦点，•I /+F=4+2 = 6.①2 2又点P(2,l)在双曲线歩一*=1上，4 1••厂产②由①、②联立，得a2=b2=3,2 2故所求双曲线方程为专一'=】•9.已知方程2+y2=4,其中R为实数，对于不同范围的E值分别指出方程所表示的曲线类型.【解】(1)当k=0时，y=±2,表示两条与x轴平行的直线；(2)当k=l时，方程为H+y2=4,表示圆心在原点，半径为2的圆；V2%2(3)当kVO时，方程为；一~^=1,表示焦点在y轴上的双曲线；k2 2(4)当OVkVl时，方程为才+才=1,表示焦点在兀轴上的椭圆；k2 2(5)当E>1时，方程为才+眷=1,表示焦点在y轴上的椭圆.k［能力提升层次］2 2 2 21.椭圆牙+^2=1与双曲线乡一牙=1有相同的焦点，则a的值为（）A. 1B.^2C. 2D. 3【解析】由题意知椭圆、双曲线的焦点在兀轴上，且a>0.4—a?=a+2, a2a—2=0,.'.a= 1或a=—2（舍去）.故选A.【答案】A2.（201牛桂林高二期末）已知Fi、局为双曲线C：x~y2=l的左、右焦点，点P 在C 上，ZF i PF2=6Q°,则PF I|-|PF2|^于（）A. 2B. 4C. 6D. 8【解析】不妨设P是双曲线右支上一点，在双曲线x~y= 1 中，a=l, b=l, c=y[2,则|PK| —|戶尸21 = 2°=2, |尸1局1 = 2返，\F}F^= \PF X |2+|PF2|2 - 2|PF! | • |PF2| • cos Z F!PF2,8 = |PF1|2+|PF2|2-2|PF]|-|PF2|-|,••.8=4+|"i||PF2l, A |PF I||PF2|=4.故选B.【答案】B2 23.（2014•福建省厦门一中期末考试）已知双曲线話一去=1的左焦点为尸，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆X2+/=16相切于点N, M 为线段PF的中点，0为坐标原点，则|MN —|M0| =【解析】设F是双曲线的右焦点，连PF'（图略），因为M,0分别是FP, FF'的中点，所^\MO\=^\PF' I,又0州=yJ\OFf~\ONf = 5,且由双曲线的定义知\PF\~\PF' \ = &故\MN\-\MO\ = \MF\-\FN\~^\PF' \=^(\PF\~\PF' |)-|FN|=|x8 —5 = —1.【答案】一12 24.已知双曲线話一才=1的两焦点为尸1、尸2.—►—►(1)若点M在双曲线上，且MF l MF2=0,求点M到x轴的距离;(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3迈，2),求双曲线C的方程.【解】(1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h,—►―►MF2=0,MFV则MF］丄M”2,设\MF^\=m, \MF2\ = n,由双曲线定义知，m—n=2a=&又m+ “2 = (2c)2 = 80,②由①②得加•“ = &1 1 =4=刁円尸2|•力，⑵设所求双曲线C的方程为由于双曲线C 过点（3返，2）, 所以 16_久—4+1=1,解得久=4或久=—14（舍去）.2 2所求双曲线C 的方程为診一竟=1. 16——A 4+久 =1(—4<2<16),。
曲线与方程(基础+复习+习题+练习).docx
课题：曲线与方程考纲要求：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.教材复习1.曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线 C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程 f ( x, y)0 的实数解建立了如下关系：1曲线上的点的坐标都是这个方程的； 2 以这个方程的解为坐标的点都是那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（图形）.2.两曲线的交点设曲线 C1的方程为F1x, y0 ，曲线C2的方程为 F2x, y0 ，则曲线C1,C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线C1, C2.3.求动点轨迹方程的一般步骤① 建系：建立适当的坐标系；② 设点：设轨迹上的任一点P x, y ；③列式：列出动点 P 所满足的关系式；④ 代换：依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x, y 的方程式，并化简；⑤证明：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.4.求轨迹方程常用方法1直接法：直接利用条件建立x, y 之间的关系 F x, y0 ；2 定义法：先根据定义得出动点的轨迹的类别，再由待定系数法求出动点的轨迹方程.3 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线的方程. 先根据所求曲线类型设出相应曲线的方程，再由条件确定其待定系数；4 代入法（相关点法）：动点 P x, y 依赖于另一动点 Q x0 , y0的变化而变化，并且 Q x0 , y0又在某已知曲线上，则可先用 x, y 的代数式表示x0, y0，再将x0, y0带入已知曲线得要求的轨迹方程 .5 参数法：当动点P x, y 的坐标 x, y 之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x, y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.5.对于中点弦问题，常用“点差法”：其步骤为：设点，代入，作差，整理.基本知识方法1.掌握“方程与曲线”的充要关系；2.求轨迹方程的常用方法：轨迹法、定义法、代入法、参数法、待定系数法、直接法和交轨法、向量法 . 要注意“查漏补缺，剔除多余” .典例分析：考点一曲线与方程问题 1．1(06调研)如果命题“坐标满足方程 f ( x, y) 0 的点都在曲线 C 上”是不正确的，那么下列命题正确的是A.坐标满足方程 f ( x, y) 0 的点都不在曲线 C 上；B. C f ( x, y)0C.坐标满足方程 f ( x, y) 0 的点有些在曲线 C 上，有些不在曲线 C 上；D.至少有一个点不在曲线 C 上，其坐标满足方程 f (x, y) 0 .2 如果曲线 C 上的点满足方程 f (x, y) 0 ，则以下说确的是： A. 曲线 C 的方程是 f ( x, y) 0 ； B. 方程 f ( x, y) 0 的曲线是 C ；C. 坐标满足方程 f ( x, y) 0 的点在曲线 C 上；D.坐标不满足方程 f ( x, y) 0 的点不在曲线 C 上；3 判断下列结论的正误，并说明理由：① 过点 A 3,0 且垂直于 x 轴的直线的方程为x 3 ；② 到 x 轴距离为2 的点的直线的方程为y2 ；③ 到两坐标轴的距离乘积等于 1xy 1；的点的轨迹方程为④ △ ABC 的顶点 A 0, 3， B 1,0 ， C1,0 ， D 为 BC 的中点，则中线 AD 的方程为x 0 .4 作出方程 yx 2 2 x 1 所表示的曲线 .25 （ 2011）曲线 C 是平面与两个定点 F 1 1,0 和 F 2 1,0 的距离的积等于常数a (a 1)① 曲线 C 过坐标原点；② 曲线 C 关于坐标原点对称；.③若点 P 在曲线 C 上，则△F1PF2的面积大于1a2.2其中，所有正确结论的序号是考点二直接法求轨迹方程问题 2．2011uuur uuruuur uuur uuur uur A 0, 1，B点在直线（全国新课标）在平面直角坐标系xOy 中，已知点y3 上，M点满足 MB / /OA ， MA AB MB BA ，M点的轨迹为曲线C.（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ）略.考点三定义法求轨迹方程问题 3．已知△ABC中，A、B、C所对的边分别为a, b,c ，且a c b 成等差数列， AB 2 ，求顶点 C 的轨迹方程..考点四代入法（相关点法）求轨迹方程问题 4．（2011）如图，设P是圆x2y225 上的动点，点D4是 P 在x轴上投影， M 为 PD 上一点，且| MD || PD |．.1 当 P 在圆上运动时，求点M 的轨迹 C 的方程；2 求过点3,0 且斜率为4的直线 l 被 C 所截线段的长度．5课后作业：1. 方程x22y22A. 两个点B. 四个点C.两条直线D. 四条直线440 表的图形是2.设曲线 C 是到两坐标轴距离相等点的轨迹，那么 C 的方程是A. x y 0B.x y 0C. | x || y | 0D. y | x | 和 x| y |3.已知x2y21点，接于圆，且BAC 60o，当 B,C 在圆上运动时，BC A(1,0)△ ABC中点的轨迹方程是A. x2y21B. x2y21C. x2y21(x1) D. x2y21(x1)2422444.若两直线x y 5a 0 与 x y a 0 交点在曲线y x2 a 上，则 a5.若曲线y2xy 2x k 0 通过点 (a, a)(a R) ，则k的取值围是6.画出方程x2y24x y 10 所表示的图形：7. A 为定点，线段 BC 在定直线 l 上滑动，已知| BC | 4， A到 l 的距离为 3 ，求△ ABC 的外心的轨迹方程 .8. 设 x R ，求两直线l1：x my 6 0 与 l2：m 2 x 3 y 2m0 的交点 P 的轨迹方程.9. 已知抛物线y2 4 px p0 ， O 为顶点，yA, B 为抛物线上的两动点，且OA OB ，如果MAOM AB 于 M ，求点 M的轨迹方程 .走向高考：10.（ 01）设圆 M 的方程为( x3)2( y 2) 22，直线l的方程为 x y 30 的点P的坐标为 (2,1) ，那么A. 点 P 在直线 l 上，但不在圆M 上B. 点 P 在圆 M 上，但不在直线l 上C.点 P 既在圆 M 上，也在直线 l 上，D. 点 P 既不在圆 M 上，也不在直线 l 上uuur uuur11. ( 04 )已知点A( 2,0)、B(3,0)，动点P(x, y)满足PA PB x2，则点P的轨迹是A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线12.( 2012 ) 如图，动点M 到两定点A(1,0) 、 B(2,0)构yM成MAB ，且 MBA 2 MAB ，设动点 M 的轨迹为 C .（Ⅰ）求轨迹 C 的方程；（Ⅱ）略.AO B x。
高中数学高考总复习曲线与方程习题及详解
高中数学高考总复习曲线与方程习题及详解一、选择题1．若M 、N 为两个定点且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] 以MN 的中点为原点，直线MN 为x 轴建立直角坐标系．并设M (－3,0)，N (3,0)，P (x ，y )，则PM →·PN →＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y ) ＝(x 2－9)＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝9.2．(2010·浙江台州)在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O )和一个定点F (F 在圆外)．在圆上任取一点M ，将纸片折叠使点M 与点F 重合，得到折痕CD .设直线CD 与直线OM 交于点P ，则点P 的轨迹为( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线[答案] A[解析] 由OP 交⊙O 于M 可知|PO |－|PF |＝|PO |－|PM |＝|OM |<|OF |(F 在圆外)，∴P 点的轨迹为双曲线，故选A.3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π[答案] B[解析] 设P (x ，y )，由知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4，可知圆的面积为4π.4．已知点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点A 到F 1的距离是23，线段AF 2的垂直平分线交AF 1于点P ，则点P 的轨迹方程是( )A.x 29＋y 24＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 23＋y 22＝1D.x 212＋y 210＝1 [答案] C[解析] 依题意得，|P A |＝|PF 2|， 又|P A |＋|PF 1|＝|AF 1|＝23，故|PF 1|＋|PF 2|＝23，点P 的轨迹为椭圆， 方程为x 23＋y 22＝1.5．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是( )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支[答案] A[解析] 过定点A 且与AB 垂直的直线l 都在过定点A 且与AB 垂直的平面β内，直线l 与α的交点C 也是平面α、β的公共点．点C 的轨迹是平面α、β的交线．6．已知log 2x 、log 2y 、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M (x ，y )的轨迹为( )[答案] A[解析] 由log 2x ，log 2y,2成等差数列得 2log 2y ＝log 2x ＋2 ∴y 2＝4x (x >0，y >0)，故选A.7．过椭圆x 29＋y 24＝1内一点R (1,0)作动弦MN ，则弦MN 中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] B[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，则4x 12＋9y 12＝36,4x 22＋9y 22＝36， 相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 将x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝yx －1代入可知轨迹为椭圆． 8．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 [答案] A[解析] 设P 1、P 2为P 的轨迹上两点，则AP 1⊥BD 1，AP 2⊥BD 1.∵AP 1∩AP 2＝A ， ∴直线AP 1与AP 2确定一个平面α，与面BCC 1B 1交于直线P 1P 2，且知BD 1⊥平面α， ∴P 1P 2⊥BD 1，又∵BD 1在平面BCC 1B 1内的射影为BC 1，∴P 1P 2⊥BC 1，而在面BCC 1B 1内只有B 1C 与BC 1垂直，∴P 点的轨迹为B 1C .9．设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”，x 1]x *a ))的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分[答案] D[解析] ∵x 1]x *a )＝(x ＋a )2－(x －a )2＝2ax ， 则P (x,2ax )．设P (x 1，y 1)，即⎩⎨⎧x 1＝xy 1＝2ax，消去x 得，y 12＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)，故点P 的轨迹为抛物线的一部分．故选D.10．(2011·广东佛山、山东诸城)如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不正确的是( )A ．a 1－c 1＝a 2－c 2B ．a 1＋c 1>a 2＋c 2C ．a 1c 2>a 2c 1D ．a 1c 2<a 2c 1[答案] C[解析] 设椭圆Ⅰ和Ⅱ的中心分别为O 1，O 2，公共左顶点为A ，如图，则a 1－c 1＝|AO 1|－|FO 1|＝|AF |，a 2－c 2＝|AO 2|－|FO 2|＝|AF |，故A 对；又a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，故B 对；由图知e 1>e 2，即c 1a 1>c 2a 2，∴a 1c 2<a 2c 1，故D 对，C 错．二、填空题11．F 1、F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．[答案] x 2＋y 2＝4[解析] 延长F 1D 与F 2A 交于B ，连结DO ，可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，∴动点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.12．(2010·哈师大附中)已知曲线C 1的方程为x 2－y 28＝1(x ≥0，y ≥0)，圆C 2的方程为(x－3)2＋y 2＝1，斜率为k (k >0)的直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与双曲线C 1相交于点B ，|AB |＝3，则直线AB 的斜率为________．[答案]33[解析] 设B (a ，b )，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 28＝1(a －3)2＋b 2＝3＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，故|3k －k |1＋k 2＝1，∴k ＝33，或k ＝－33(舍去)． 13．(2010·浙江杭州质检)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9(位于圆x 2＋y 2＝16内的) [解析] ∵以AB 为直径的圆过点C ，∴AC ⊥BC ， ∵M 是AB 中点，∴|CM |＝12|AB |＝3，故点M 在以C (1，－1)为圆心，3为半径的圆上，方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，∵M 为弦AB 的中点，∴M 在⊙O 内，故点M 轨迹为圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9位于圆x 2＋y 2＝16内的部分．14．(2010·青岛一中)如图，两条过原点O 的直线l 1，l 2分别与x 轴、y 轴成30°的角，点P (x 1，y 1)在直线l 1上运动，点Q (x 2，y 2)在直线l 2上运动，且线段PQ 的长度为2.则动点M (x 1，x 2)的轨迹C 的方程为________．[答案] x 23＋y 2＝1[解析] 由已知得直线l 1⊥l 2， l 1：y ＝33x ，l 2：y ＝－3x ， ∵点P (x 1，y 1)在直线l 1上运动，点Q (x 2，y 2)在直线l 2上运动，∴y 1＝33x 1，y 2＝－3x 2， 由|PQ |＝2得，(x 12＋y 12)＋(x 22＋y 22)＝4， 即43x 12＋4x 22＝4⇒x 123＋x 22＝1， ∴动点M (x 1，x 2)的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.三、解答题15．(2010·广州市质检)已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →·FN →＝0，求|MN |的最小值．[解析] (1)设点P (x ，y )， 依题意有，(x －2)2＋y 2|x －22|＝22，整理得x 24＋y 22＝1，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M 、N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →·FN →＝0，∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0， ∴6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1>y 2，∴y 1>0，y 2<0. ∴|MN |＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1·6y 1＝2 6. 当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立． 故|MN |的最小值为2 6.[点评] 直译法是求轨迹的基本方法，对于符合圆锥曲线定义的轨迹问题，也常用定义法求解，请再做下题：(2010·陕西宝鸡市质检)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，直线l ：y ＝x ＋2与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直l 1于点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程；(3)若AC 、BD 为椭圆C 1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F 2，求四边形ABCD 的面积的最小值．[解析] (1)∵e ＝33，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13，∴2a 2＝3b 2.∵直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴b ＝2，b 2＝2，∴a 2＝3. ∴椭圆C 1的方程是x 23＋y 22＝1.(2)∵|MP |＝|MF 2|，∴动点M 到定直线l 1：x ＝－1的距离等于它到定点F 2(1,0)的距离， ∴动点M 的轨迹C 2是以l 1为准线，F 2为焦点的抛物线． ∴点M 的轨迹C 2的方程为y 2＝4x .(3)当直线AC 的斜率存在且不为零时，设直线AC 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则直线AC 的方程为y ＝k (x －1)．联立x 23＋y 22＝1及y ＝k (x －1)得，(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，所以x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x2＝3k 2－62＋3k 2. |AC |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝48(k 2＋1)2＋3k 2.由于直线BD 的斜率为－1k ，用－1k 代换上式中的k 可得|BD |＝48(1＋k 2)2k 2＋3.因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝24(1＋k 2)2(2＋3k 2)(2k 2＋3)，由于(2＋3k 2)(2k 2＋3)≤[(2＋3k 2)＋(2k 2＋3)2]2＝[5(k 2＋1)2]2，所以S ≥9625，当2＋3k 2＝2k 2＋3，即k ＝±1时取等号．易知，当直线AC 的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD 的面积S ＝4. 综上可得，四边形ABCD 面积的最小值为9625.16．(2010·浙江金华十校联考)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．[解析] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4 ①y 1＋y 2＝8＋p2 ②， 又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1③由①，②，③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 则抛物线G 的方程为：x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0④ ∴x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2， 对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．[点评] 解析几何与向量，导数结合是可能的新命题方向，其本质仍是解析几何问题，请再练习下题：(2010·湖南师大附中)如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴的负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上动点P 在点A 和B 之间运动时，求△ABP 面积的最大值． [解析] (1)据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2， 抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＝－2py 得，x 2＋2pkx －4p ＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.所以OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)． 因为OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1k ＝2. 故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线的方程为x 2＝－2y .(2)根据题意，当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 设点P (x 0，y 0)，因为y ′＝－x ，则－x 0＝2，解得x 0＝－2， 又y 0＝－12x 02＝－2，所以P (－2，－2)．此时，点P 到直线l 的距离 d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0.则x 1＋x 2＝－4，x 1·x 2＝－4， 所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝1＋22·(－4)2－4(－4)＝410.故△ABP 面积的最大值为12|AB |·d ＝12×410×455＝8 2.17．(2010·辽宁省实验中学)如图，在Rt △DEF 中，∠DEF ＝90°，|EF →|＝2，|EF →＋ED →|＝52，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1以E 、F 为焦点且过点D ，点O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点K 满足OK →＝13ED →，问是否存在不平行于EF 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N 且|MK →|＝|NK →|，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围，若不存在，说明理由．[解析] (1)由已知E (－1,0)，F (1,0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，令x D ＝－c 可得y D ＝b 2a，∵|EF →＋ED →|＝52，EF →⊥ED →，|EF →|＝2，∴|ED →|＝32.∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1b 2a ＝32，解得⎩⎨⎧a ＝2b ＝3∴椭圆C 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)∵OK →＝13ED →，∴K ⎝⎛⎭⎫0，12，当l ⊥EF 时，不符合题意， 故可设直线l 的方程为：y ＝kx ＋m (k ≠0) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1消去y 得， (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0 ∵M 、N 存在，∴Δ>0即64k 2m 2－4(3＋4k 2)·(4m 2－12)>0， ∴4k 2＋3>m 2(※)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点H (x 0，y 0) ∴x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k 2， ∵|MK →|＝|NK →|，∴|MK |＝|NK |，|MK |＝|NK |⇔MN ⊥KH ⇔y 0－12x 0＝－1k ⇔3m 3＋4k 2－12－4km 3＋4k 2＝－1k ⇔m ＝－3＋4k 22代入(※)式得4k 2＋3>⎝⎛⎭⎫－3＋4k 222∴4k 2＋3<4，又k ≠0，∴－12<k <12且k ≠0∴l 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12.。
课时作业(十八) 曲线与方程
课时作业(十八)曲线与方程一、选择题1．在点A(4，4)，B(3，4)，C(－3，3)，D(2，2√6)中，有几个点在方程x2－2x＋y2＝24的曲线上()A．1个B．2个C．3个D．4个2. “点M在曲线x2＝4y上”是“点M的坐标满足方程x＝2√y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．方程y＝－√12−x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．一个半圆4．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线()A．恒过定点(－2，3)B．恒过定点(2，3)C．恒过点(－2，3)和点(2，3)D．都是平行直线二、填空题5．已知动点M到点A(9，0)的距离是M到点B(1，0)的距离的3倍，则动点M的轨迹方程是________．6．已知动点P(x，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为________．y＝x x＝√y x＋y＝1(1)________________________________________________________________________；(2)________________________________________________________________________；(3)________________________________________________________________________．三、解答题8．已知曲线C的方程为x＝√4−y2，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．9.已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．[尖子生题库]10．在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则不正确的说法是()A．曲线E经过坐标原点B．曲线E关于x轴对称C．曲线E关于y轴对称D．若点(x，y)在曲线E上，则－3≤x≤3。
高中理科数学20.1曲线与方程求曲线的方程导学案附分层练习题及答案解析
20．1 曲线与方程 求曲线的方程【知识网络】1．巩固前期学习的曲线的定义与性质，熟悉圆锥曲线的统一定义． 2．体会曲线与方程的对应关系．． 3．进一步感受数形结合的基本思想． 【典型例题】[例1]（1）圆心在抛物线x y 22=（0>y ）上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ）A ．221204x y x y +---= B ．22210x y x y ++-+= C ．22210x y x y +--+= D ．041222=+--+y x y x（2）已知两点M （1，54 ），N （－4，－54 ），给出下列曲线方程：①4x ＋2y －1=0 ②x 2＋y 2=3 ③22x ＋y 2=1 ④22x ＋y 2=1在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程的代号是 （ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④（3）条件A ：曲线C 上所有点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；条件B ：以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上．则A 与B 关系是（ ）A ．A 是B 的充分不必要条件 B ．A 是B 的必要不充分条件C ．A 是B 的充要条件D ．A 既不是B 的充分条件也不是B 的必要条件 （4）已知曲线C ：x y ＋2x －ky ＋3=0经过点（－1，2），则k= ．（5）点（m,n)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y=0外，则m ，n 满足的条件是 ．[例2] 求到两不同定点距离之比为一常数λ（λ≠0）的动点的轨迹方程．[例3] 已知三点A(-2-a,0)，P(-2-a ，t)，F(a,0),其中a 为大于零的常数，t 为变数，平面内动点M 满足⋅=0，且∣∣=∣∣+2． （1）求动点M 的轨迹；（2）若动点M 的轨迹在x 轴上方的部分与圆心在C(a+4,0)，半径为4的圆相交于两点S ，T ，求证：C 落在以S 、T 为焦点过F 的椭圆上．[例4] 已知点P(-3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足23,0-==⋅ （1） 当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程；（2） 设轨迹C 的准线为l ，焦点为F ，过F 作直线m 交轨迹C 于G ，H 两点，过点G 作平行于轨迹C 的对称轴的直线n ，且n l=E ，试问点E ，O ，H （O 为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由．【课内练习】1．方程()()0122=-+-xy y x 表示的图形是（ ）A ．一条直线和一条双曲线B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对．2．下列各组方程中表示同一曲线的是 （ ） A ．x 2=y 与x=y B ．y －2x ＋1=0与121y x -=- C ．y=|x|与x 2－y 2=0 D ．y －1=21y x+与y 2＋x －xy ＋1=03．到x 轴y 轴距离之积等于常数k （k ＞0）的点的轨迹所在象限是（ ）A ．一、三象限B ．二、四象限C ．第一象限D ．第一、二、三、四象限4．长为m 的一条线段AB ，其两段分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动，则线段的中点轨迹是 （ ）A ．直线的一部分B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．一个以原点为圆心半径为m2 的圆．5． 到两定点（1，0），（－1，0）的距离之比等于2的点的轨迹方程是 ． 6．已知动抛物线以x 轴为准线，且经过点（0，1），则抛物线的焦点的轨迹方程是 ．7．椭圆221169x y +=上一点到其左准线的距离是2，则到右焦点的距离等于 ． 8．已知动点P 到定点(－3，0)的距离比它到直线x －1=0的距离大2，求动点P 的轨迹方程．9．抛物线y 2=2px(p ＞0)有一内接直角三角形，直角顶点为原点，一直角边的方程为y=2x ，斜边长为5 3 ，求抛物线的方程．10．已知动点P 与双曲线13222=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且 21cos PF F ∠的最小值为91-．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若已知)3,0(D ，M 、N 在动点P 的轨迹上且λ=，求实数λ的取值范围．20．1 曲线与方程 求曲线的方程A 组1．方程221||||x y x y +=表示的图形是 （ ） A ．一条直线 B ．两条平行线段 C ．一个正方形 D ．一个正方形（除去四个顶点） 2．已知线段AB=2，动点M 到A ，B 两点的距离的平方差是10，则动点的轨迹是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一个椭圆 D ．双曲线3．已知直角△ABC 的斜边BC 的两个端点分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上移动，顶点A 和原点分别在BC 的两侧，则点A 的轨迹是 （ ）A ．线段B ．射线C ．一段圆弧D ．一段抛物线4．抛物线y 2=6x 的斜率为2的平行弦的中点轨迹方程是 ．5．点Q 是双曲线x 2－4y 2=16上任意一点，定点A （0，4），则内分AQ → 所成比为12 的点P 的轨迹方程是 ．6．已知动圆过点F 1（－5，0）且与定圆x 2＋y 2－10x －11=0相外切，求动圆圆心的轨迹方程．7．已知常数0,(0,),(1,0)a c a i >==向量。
双曲线及其标准方程练习题
3.2.1 双曲线的定义及其标准方程(作业)一、选择题1.已知双曲线中a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为（ ）A .x 225－y 224＝1B .y 225－x 224＝1C .x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D .x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 2.方程x 22+m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A .－2＜m ＜2B .m ＞0C .m ≥0D .｜m ｜≥23.若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）满足b a＝√52，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则双曲线C的方程为（ ）A .x 24－y 25＝1B .x 28－y 210＝1C.x 25－y24＝1D.x24－y23＝14.双曲线x 225－y224＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（）A.1或21B.14或36C.2D.215.若双曲线E：x 29－y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且｜PF1｜＝3，则｜PF2｜＝（）A.11B.9C.5D.36.（多选）过点（1，1），且ba＝√2的双曲线的标准方程可以是（）A.x 21 2－y2＝1B.y212－x2＝1C.x2－y 21 2＝1D.y2－x212＝1二、填空题1.已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为 .2.若点P 是双曲线x 29－y 216＝1上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为 .三、解答题1.分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是（－5，0），（5，0），双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的端点为焦点，且经过点（3，√10）；(3)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上.。
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曲线和方程练习题一、选择题1、（2014·安徽高考文科·Ｔ3）抛物线214y x =的准线方程是（ ） A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 【解题提示】 将抛物线化为标准形式即可得出。
【解析】选A 。
22144y x x y =?，所以抛物线的准线方程是y=-1.2. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点,则错误！未找到引用源。
= ( )A.3B.6C.12D. 【解题提示】画出图形,利用抛物线的定义求解. 【解析】选C.设AF=2m ,BF=2n ,F 3,04⎛⎫⎪⎝⎭.则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34,2n=2·34,解得m=32 (n=32(所以m+n=6. AB=AF+BF=2m+2n=12.故选C.3. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A.B. C . 6332 D. 94【解题提示】将三角形OAB 的面积通过焦点“一分为二”,设出AF ,BF ,利用抛物线的定义求得面积. 【解析】选D.设点A ,B 分别在第一和第四象限,AF=2m ,BF=2n ,则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34,2n=2·34,解得m=32 (n=32 (所以m+n=6.所以S △OAB =1324⋅·(m+n )=94.故选D.4. （2014·四川高考理科·Ｔ10）已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A.2 B.3 C.8【解题提示】【解析】选B. 可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，则直线AB与x 轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=”， 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.5. （2014·四川高考文科·Ｔ10）与（2014·四川高考理科·Ｔ10）相同已知F 为抛物线xy =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A.2 B.3 C.8【解题提示】【解析】选B.可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，则直线AB 与x 轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=”， 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.6. （2014·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点(2,3)A -在抛物线2:2C y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为 1134()()()()2343A B C D【解题提示】由抛物线的定义知p 的值，也就确定了抛物线的方程和焦点坐标；进而结合导数的几何意义求出切点Ｂ的坐标，利用直线的斜率公式求出直线BF 的斜率 【解析】选Ｄ.根据已知条件得22p-=-，所以 4.p =从而抛物线方程为28y x =，其焦点(2,0)F ．设切点00(,)B x y，由题意，在第一象限内28y x y =⇒=线的斜率为0AB x x k y ='==003(2)AB y k x -=-- 又因为切点00(,)B x y 在曲线上，所以2008y x =．由上述条件解得008x y ==． 即(8,8)B ．从而直线BF 的斜率为804823-=-． 二、填空题1. （2014·湖南高考理科·Ｔ15）如图，正方形ABC D DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则【解题提示】有正方形的边长给出点C,F 的坐标带入抛物线方程求解。
【解析】由题可得),2(a a C -，),2(b b a F +，则12,)2(222+=⎪⎩⎪⎨⎧+==b a b a p b paa 。
答案: 12+ 3.2. （2014·上海高考理科·Ｔ4）2222195_________.x y y px =+=若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 【解题提示】先求出椭圆的右焦点坐标，从而求出p 的值，即得抛物线的准线方程. 【解析】根据椭圆的右焦点坐标F(2，0)得p=4,所以抛物线的准线方程为x=-2. 答案：x=-2.3. （2014·山东高考文科·Ｔ15）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线()220x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且FA c =，则双曲线的渐近线方程为 .【解题指南】本题考查了双曲线知识，利用双曲线与抛物线的交点为突破口求出a,b 之间的关系，进而求得双曲线的渐近线方程.【解析】由题意知2Pb ==，抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,2P c ⎛⎫⎪⎝⎭，即(),c b -代入双曲线方程为22221c b a b-=，得222c a =，∴渐近线方程为y x =±，1b a ∴==. 答案： y x =±4.(2014·陕西高考文科·T11)抛物线y 2=4x 的准线方程为 .【解题指南】根据抛物线y 2=2px 的准线方程为x=-错误！未找到引用源。
可以得到所求准线方程.【解析】根据抛物线的几何性质得抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1.答案:x=-1三、解答题1.（2014·福建高考文科·Ｔ21）21．（本小题满分12分） 已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.【解题指南】（1）由题意曲线Γ符合抛物线的定义，直接写出曲线方程．（2）利用点P 的坐标表示直线l 的方程，求出点A ，点M 的坐标，进而求出圆C 的圆心和半径，表示出AB 的长，经过计算为定值．【解析】.方法一（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到(0,1)F 的距离与它到直线1y =-的距离相等， 所以曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下： 由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，则20014y x =， 由'12y x =，得切线l 的斜率0'012x x k y x ===， 所以切线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即2001124y x x x =-.由20011240y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得01(,0)2A x .由20011243y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得0016(,3)2M x x +.又(0,3)N ，所以圆心0013(,3)4C x x +，半径00113||||24r MN x x ==+，||AB ===所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变.方法二：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，则|(3)|2y --==，依题意，点(,)S x y 只能在直线3y =-的上方，所以3y >-，1y =+，化简得，曲线Γ的方程为24x y =. （2）同方法一.2. （2014·浙江高考文科·Ｔ22）已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y=上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =； （1）若||3PF =，求点M 的坐标； （2）求ABP ∆面积的最大值.【解题提示】（1）根据抛物线的定义，利用条件|PF|=3，求建立方程关系即可求点M 的坐标；（2）设直线AB 的方程为y=kx+m ，利用直线和抛物线联立结合弦长公式公式以及点到直线的距离公式，利用导数即可求出三角形面积的最值．【解析】（1）由题意知焦点(0,1)F ，准线方程为y 1=-， 设00P(x ,y )，由抛物线的定义可知0PF y 1=+，解得0y 2=，所以0x =±即P(2或(-由PF 3FM =，得2()3M或2)3M 。
（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，11A(x ,y )，22B(x ,y )，由24y kx mx y=+⎧⎨=⎩得2440x kx m --=，于是2121216160,4,4k m x x k x x m ∆=+>+==- 即AB 的中点M 的坐标为（2k ，2k2+m ）由PF 3FM =，得200(x ,1y )3(2k,2k m 1)--=+- 解得0206463x k y k m =-⎧⎪⎨=--⎪⎩，由2004x y =，得211515k m =-+， 由△＞0，k ＞0得1433m -<≤，又因为2AB k m=+，点F 到直线AB 的距离d =，所以2481ABP ABF S S m k m ∆∆==-+=设3214(m)351,()33f m m m m =-++-<≤， 则2(m)9101f m m '=-+令2(m)9101f m m '=-+=0，解得121m ,19m ==，于是f （m ）在11(,)39-是增函数，在1(,1)9上是减函数，在4(1,)3上是增函数， 又12564f()f()92433=>， 所以当1m9=时，f （m ）取得最大值256243，此时15k =±，∴△ABP 面积的最大值为．3.(2014·陕西高考理科·T20)(本小题满分13分)如图,曲线C 由上半椭圆C 1:错误！未找到引用源。