2.1 平面向量的意义第1课
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平面向量第一课(章建跃)
• 2．概念课的主旋律是让学生参与概念本质 特征的概括活动 • 特别注意让学生举例子。 • 教师认为容易的，学生并不一定容易。
• 3．概念教学要使学生自然地、水到渠成地 实现“概念的形成” • 概念教学的自然和水到渠成应包括两方面： 一是知识的逻辑顺序自然；二是学生心理 逻辑的自然，主要是思维过程的自然．
• 重要的不是向量的形式化定义及几个相关 概念，而是获得数学研究对象、认识数学 新对象的基本方法，蕴含了用数学的观点 刻画和研究现实事物的方法和途径，这是 一个带有“本源”性质的过程，即要使学 生从中体会到认识一个数学概念的“基本 套路”：
• 从具体背景中抽象出共同本质特征——定 义——定性表示——定量表示：刻画大小 就需要“单位元”、 “0元”，刻画方向 就要定义平行、共线、相反等特殊关系． • 什么叫“相等”（这很重要，但往往不被 注意），这是分类的需要，数学是研究一 类对象的。
概念教学必须体现概念的形成
——兼谈“章起始课”的教学（以 平面向量起始课为例）
一、当前概念教学的问题
• 不重视章节起始课的教学，没有把本章节 要解决的主要问题、基本过程和主要思想 方法等纳入教学任务中； • 概念教学走过场，常常采用“一个定义， 几项注意”的方式，在概念的背景引入上 着墨不够，没有给学生提供充分的概括本 质特征的机会，认为让学生多做几道题目 更实惠． • 有些老师不知如何教概念．
对向量集合的认识
• 问题：你认为在所有向量组成的集合中， 哪些向量较特殊？ • 追问：大家为什么认为它们最特殊？你们 是怎么想的？——唤醒实数的学习经验， 渗透类比实数研究向量概念的思想。 • 可以让学生类比1的作用，说说“单位向量” 的作用。
• 2．相等向量、平行向量、共线向量、相反 向量概念的形成 • 问题：观察正六边形ABCDEF．给图中的 一些线段加上箭头表示向量，并说说你所 标注的向量之间的关系．（举例） • 追问：你是怎样研究的？比如，你画了哪 几个向量？你认为它们有怎样的关系？
说课课件第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
猫能捉住老鼠吗?
老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B 向正东方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
A
B
猫的速度再快也没用，因为方向错了.
D
12
情景引入
南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发， 乘着马车一直往北走去.有人提醒他“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?” 他却说“不要紧，我有一匹好马！”问：北方人能到达楚国吗？
4
重点 难点
教学重难点
向量概念、向量的几何表示、以及相 等向量、平行向量、共线向量的概念；
让学生感受向量、平行向量或共线向量及 相等向量概念形成过程；
5
教学目标
01 知识技能 02 过程与方法
情感态度与价
03
值观
知识技能 （1） 理解平面向量的概念，学会平面向量的表示方法; （2） 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
a
b
l
c
C
OB A
平行向量也叫做共线向量！
22
设计意图——根据目标选择合适题型， 检测学生本节课的学习情况。
23
小试牛刀
1.如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示 A 的向量中，请分别写出：
（1）与向量 DE 相等的向量有__个, E
F
分别是___________；
（）
（6）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（）
（7）共线向量一定在同一直线上；
（）
25
课堂小结
向量的概念； 向量的表示方法； 零向量、单位向量概念； 平行向量、共线向量定义； 共线向量与平行向量关系；
老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B 向正东方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
A
B
猫的速度再快也没用，因为方向错了.
D
12
情景引入
南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发， 乘着马车一直往北走去.有人提醒他“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?” 他却说“不要紧，我有一匹好马！”问：北方人能到达楚国吗？
4
重点 难点
教学重难点
向量概念、向量的几何表示、以及相 等向量、平行向量、共线向量的概念；
让学生感受向量、平行向量或共线向量及 相等向量概念形成过程；
5
教学目标
01 知识技能 02 过程与方法
情感态度与价
03
值观
知识技能 （1） 理解平面向量的概念，学会平面向量的表示方法; （2） 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
a
b
l
c
C
OB A
平行向量也叫做共线向量！
22
设计意图——根据目标选择合适题型， 检测学生本节课的学习情况。
23
小试牛刀
1.如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示 A 的向量中，请分别写出：
（1）与向量 DE 相等的向量有__个, E
F
分别是___________；
（）
（6）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（）
（7）共线向量一定在同一直线上；
（）
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课堂小结
向量的概念； 向量的表示方法； 零向量、单位向量概念； 平行向量、共线向量定义； 共线向量与平行向量关系；
平面向量的概念和背景PPT课件
于是得| MA |＝| CN |，且 MA ， CN 方向一致，
所以 CN ＝ MA .
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深化提高
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17
解：如图所示：
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18
例题讲解
[例 3] 如图，D、E、F 分别是正三角形 ABC 各边的中点．
(1)写出图中所示向量中与向量 DE 长度相等 的向量；
(2)写出图中所示向量中与向量 FD 相等的向量； (3)分别写出图中所示向量中与向量 DE 、FD共线的向量．
找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等
向量，而相等向量一定是共线向量．
(3)如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是
平行向量．
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8
例题讲解
[例 1] 有下列说法： ①若 a≠b，则 a 一定不与 b 共线； ②若 AB＝ DC ，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的四个 顶点； ③在▱ABCD 中，一定有 AD＝ BC ； ④若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ⑤共线向量是在一条直线上的向量． 其中，正确的说法是________．
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[自主解答] (1)与 DE 长度相等的向量是 EF 、FD、 AF 、 FC 、 BD、 DA、CE 、 EB.
(2)与FD相等的向量是CE 、 EB. (3)与 DE 共线的向量是 AC 、 AF 、 FC ；与FD共线的向量 是CE 、 EB、CB.
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平面向量的坐标表示和几何意义
平面向量的坐标表示和几何意义平面向量是研究平面上的运动和力学性质的重要工具。
为了描述和计算平面向量，我们需要掌握坐标表示和几何意义。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以通过坐标表示来描述。
假设平面上有一个点P(x, y)，我们可以将其与原点O(0, 0)之间的有向线段表示为向量OP。
在直角坐标系中，向量OP的坐标表示为OP = <x, y>，其中x为横坐标分量，y为纵坐标分量。
二、平面向量的几何意义平面向量的几何意义主要包括长度和方向两个方面。
1. 长度：平面向量OP的长度可以用勾股定理计算，即|OP| = √(x² + y²)。
2. 方向：平面向量OP的方向可以通过与坐标轴的夹角来确定。
- 当x > 0且y = 0时，向量OP与x轴正向平行。
- 当x < 0且y = 0时，向量OP与x轴负向平行。
- 当x = 0且y > 0时，向量OP与y轴正向平行。
- 当x = 0且y < 0时，向量OP与y轴负向平行。
- 当x > 0且y > 0时，向量OP位于第一象限。
- 当x < 0且y > 0时，向量OP位于第二象限。
- 当x < 0且y < 0时，向量OP位于第三象限。
- 当x > 0且y < 0时，向量OP位于第四象限。
三、平面向量的运算平面向量还可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
1. 加法：设有向线段A和有向线段B分别对应平面向量OA和平面向量OB，则两个向量的和为平面向量OC，记作OC = OA + OB。
向量OC的坐标表示为OC = <x₁ + x₂, y₁ + y₂>，即将对应分量分别相加。
2. 减法：设有向线段A和有向线段B分别对应平面向量OA和平面向量OB，则两个向量的差为平面向量OD，记作OD = OA - OB。
向量OD的坐标表示为OD = <x₁ - x₂, y₁ - y₂>，即将对应分量分别相减。
平面向量的意义第1课
平面向量的意义第1 课
目录
CONTENTS
• 引言 • 平面向量的基本概念 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的混合积 • 向量在几何和物理中的应用 • 总结与展望
01
引言
课程介绍
平面向量是数学中的一个重要概念，它涉及到矢量运算、向 量的模、向量的加法、数乘、向量的减法、向量的数乘、向 量的数量积、向量的向量积、向量的混合积等知识点。
向量的加法满足交换律和结合律， 即a+b=b+a、
(a+b)+c=a+(b+c)。
向量加法的几何意义是平行四边 形的两邻边之和等于对角线。
数乘向量
数乘向量是指用一个实数乘以一个向 量，得到一个新的向量。
数乘向量的性质包括：k(a+b) = ka + kb、k(a-b) = ka - kb、(k+l)a = ka + la等。
理解向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积等概念，掌握其运算规则和应用。
02
平面向量的基本概
念
向量表示
向量可以用有向线段 表示，起点为原点， 终点为该向量所指向 的点。
向量的表示方法还包 括几何表示和字母表 示，例如向量OA、 向量AB等。
向量也可以用坐标表 示，通过起点和终点 的坐标可以确定一个 向量。
来表示。
07
总结与展望
本节课的总结
01
02
03
04
理解了平面向量的基本概念， 包括向量的表示、向量的模以 及向量的加法、数乘等运算。
掌握了向量的线性组合、向量 共线定理以及向量的分解定理
等基本性质。
学会了利用向量的数量积、向 量积和向量的混合积解决实际
目录
CONTENTS
• 引言 • 平面向量的基本概念 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的混合积 • 向量在几何和物理中的应用 • 总结与展望
01
引言
课程介绍
平面向量是数学中的一个重要概念，它涉及到矢量运算、向 量的模、向量的加法、数乘、向量的减法、向量的数乘、向 量的数量积、向量的向量积、向量的混合积等知识点。
向量的加法满足交换律和结合律， 即a+b=b+a、
(a+b)+c=a+(b+c)。
向量加法的几何意义是平行四边 形的两邻边之和等于对角线。
数乘向量
数乘向量是指用一个实数乘以一个向 量，得到一个新的向量。
数乘向量的性质包括：k(a+b) = ka + kb、k(a-b) = ka - kb、(k+l)a = ka + la等。
理解向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积等概念，掌握其运算规则和应用。
02
平面向量的基本概
念
向量表示
向量可以用有向线段 表示，起点为原点， 终点为该向量所指向 的点。
向量的表示方法还包 括几何表示和字母表 示，例如向量OA、 向量AB等。
向量也可以用坐标表 示，通过起点和终点 的坐标可以确定一个 向量。
来表示。
07
总结与展望
本节课的总结
01
02
03
04
理解了平面向量的基本概念， 包括向量的表示、向量的模以 及向量的加法、数乘等运算。
掌握了向量的线性组合、向量 共线定理以及向量的分解定理
等基本性质。
学会了利用向量的数量积、向 量积和向量的混合积解决实际
《高中数学必修一课件-平面向量》
应用场景
物理、力学、几何等领域。
平面直角坐标系与坐标变换
概念
平面直角坐标系是由两条相互垂直的坐标轴组成。
2
变换方法
平移变换、旋转变换、对称变换及它们的组合。
3
应用
求解几何问题、绘图、数学建模等。
向量的三维空间表示方法
1 向量定义
也叫立体向量，有大小和方向。
2 空间直角坐标系
由三个相互垂直的坐标轴构成。
1 基本定义
向量的数量积为数字，表示向量大小及方向之间的夹角。
2 共线判定方法
向量数量积为0。
向量叉乘与单位向量
1
单位向量
2
具有单位长度的向量，用于研究向量的 方向和位置。
定义及计算方法
向量的叉乘是一个向量，同时需要满足 符合右手定则。
向量的投影和正交分解
计算方法
求投影长度、投影向量、正交向量。
向量的应用场景拓展
力和力矩
对物体施加的推、拉、扭力。
行列式
对向量进行线性变换时，行列 式的符号和绝对值有特殊含义。
图像形变
向量的平移、旋转、对称变换 可以用于图像形变。
高中数学必修一课件—— 平面向量
本课件将详细介绍平面向量的基本概念、运算、坐标变换及其应用，带你探 索向量的美妙世界。
什么是平面向量？
定义
平面内既有大小又有方向的量。
简单示例
飞行器的行驶速度、汽车的前进方向等。
向量加减法
加法
线段相加法、三角形法、平行四边形法。
减法
负向量加法法则。
向量数量积和向量共线
说课第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
解： AB表示A地至B地的位移，且
200km .
AC 表示A地至C地的位移，且
280km .
25
平行向量：
向量间的关系
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向
a
量平行.
b
c
26
讲授新课
6.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a
b c
决数学问题。
（三）情感态度与价值观
经历平面向量的概念的探索过程，提高自主探究能力，进
一步提高学习数学的乐趣，由感性思维逐步提升到理性思
维。
7
（四）学科核心素养 a. 数学抽象：平面向量的概念 b. 逻辑推理：共线向量的判断 c. 数学运算：向量相等 d. 直观想象：向量的几何表示 e.数学建模：向量概念的建立
直线与直线的位置关 系里,严格区分直线和 直线位置关系,平行就 是共面前提下的无交 点,平行不共线.
29
相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
a
b
ab
对向量的大小和方向都明确规定
a
b
方向相同
a
b
30
思 （1）相等向量一定是平行向量？
考
a
：
是
b
（2）平行向量一定是相等向量？
以A为起点、B为终点的有向线段 记作: AB
起点写在终点的前面.
A(起点)
B (终点)
线段AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作: AB
有向线段的三要素：起点、，它的终 点就唯一确定.
22
3. 向量的表示方法：
(1)几何表示法：用有向线段表示
200km .
AC 表示A地至C地的位移，且
280km .
25
平行向量：
向量间的关系
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向
a
量平行.
b
c
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讲授新课
6.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a
b c
决数学问题。
（三）情感态度与价值观
经历平面向量的概念的探索过程，提高自主探究能力，进
一步提高学习数学的乐趣，由感性思维逐步提升到理性思
维。
7
（四）学科核心素养 a. 数学抽象：平面向量的概念 b. 逻辑推理：共线向量的判断 c. 数学运算：向量相等 d. 直观想象：向量的几何表示 e.数学建模：向量概念的建立
直线与直线的位置关 系里,严格区分直线和 直线位置关系,平行就 是共面前提下的无交 点,平行不共线.
29
相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
a
b
ab
对向量的大小和方向都明确规定
a
b
方向相同
a
b
30
思 （1）相等向量一定是平行向量？
考
a
：
是
b
（2）平行向量一定是相等向量？
以A为起点、B为终点的有向线段 记作: AB
起点写在终点的前面.
A(起点)
B (终点)
线段AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作: AB
有向线段的三要素：起点、，它的终 点就唯一确定.
22
3. 向量的表示方法：
(1)几何表示法：用有向线段表示
高考数学一轮复习第5章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算课件理新人教A版
[最新考纲] 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
[考情分析]
[核心素养]
平面向量的相关概念，平面向量的线性运算，共线向 1.数学运算
量定理及其应用仍是 2021 年高考考查的热点，题型仍将是 2.直观想象
选择题与填空题，分值为 5 分.
1
课 前 ·基 础 巩 固
‖知识梳理‖ 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 1 __方__向_____的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 2 _____模____． (2)零向量：长度为 3 ___0______的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 4 _1_个__单__位___的向量．
(2)∵ka＋b 与 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， ∴kλk－－λ＝1＝0，0. ∴k2－1＝0.∴k＝±1.
|变式探究| 1．若将本例(1)中“B→C＝2a＋8b”改为“B→C＝a＋mb”，则 m 为何值时，A，B，D 三点共线？ 解：B→D＝B→C＋C→D＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b， 若 A，B，D 三点共线，则存在实数 λ，使B→D＝λA→B， 即 4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，∴4m＝－λ3，＝λ，解得 m＝7. 故当 m＝7 时，A，B，D 三点共线．
法则(或几何意义)
运算律
交换律：a＋b＝ 8 __b_＋__a____；
结 合 律 ： (a ＋ b) ＋ c ＝ 9 _a_＋__(b_＋__c_)_
平面向量的概念PPT课件
04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
初识平面向量的几何意义与运算
初识平面向量的几何意义与运算平面向量是数学中常见的概念，它可以用来描述平面上的运动、位移和力等物理量。
本文将介绍平面向量的几何意义以及相关的运算。
一、平面向量的几何意义平面向量可以表示平面上的位移和方向。
它由两个有序的数对(x, y)表示，其中x代表水平方向的位移，y代表垂直方向的位移。
平面向量可以用箭头来表示，箭头的起点表示向量作用的初始位置，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小（也称为模）。
平面向量的起点和终点分别为A和B，用向量AB来表示。
二、平面向量的基本运算1. 加法：平面向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
设有平面向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，则它们的和记作C(x1+x2, y1+y2)。
几何上，向量的加法可通过将第一个向量的终点与第二个向量的起点连接起来，新的向量即为连接起点和终点的直线。
2. 减法：平面向量的减法是指将一个向量的对应分量分别减去另一个向量的对应分量，得到一个新的向量。
设有平面向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，则它们的差记作D(x1-x2, y1-y2)。
几何上，向量的减法可通过将第一个向量的终点与第二个向量的起点连接起来，新的向量即为连接起点和终点的直线的反向。
3. 数乘：平面向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
设有平面向量A(x, y)和实数k，则kA为与A方向相同（或相反）但长度为|k|倍的向量。
几何上，kA的起点和A的起点相同，方向与A相同（或相反），长度为k|A|。
三、平面向量的运算性质1. 交换律：对于任意的平面向量A和B，有A + B = B + A。
2. 结合律：对于任意的平面向量A、B和C，有(A + B) + C = A +(B + C)。
3. 数乘结合律：对于任意的平面向量A和实数k1、k2，有(k1k2)A = k1(k2A)。
4. 数乘分配律：对于任意的平面向量A和实数k1、k2，有(k1 +k2)A = k1A + k2A。
第二章 平面向量(第1课时)
7中学 高中数学 必修④
从位移、速度、力到向量
• 我们在物理学中已经学过“位移”、“速度”和 “力”相关的概念，知道他们不仅有大小而且还 有方向。因此，我们在解决实际问题时，不仅仅 只考虑他们的大小问题，而且要考虑方方向问题。 ————那么在数学中，如何解决类似于“位 移”、“速度”、“力”这样的问题呢？
例如： AB
CD
DE
（起点） A
a
②可以用黑体小写的字母
例如：a,b,c,d…… 书写用a, b, c, d
新余市第六中学 高中数学 必修④
向量的长度（模）
AB （或 a ）表示向量 AB(或a)的大小，即长度（也称模）
特殊向量
①长度为零的向量称为零向量，其方向为任意方向， 记作0或0
②长度为单位1 的向量叫做单位向量, 记作：a0
新余市第六中学 高中数学 必修④
从位移、速度、力到向量
• 像“位移”、“速度”，“力”这样既有大小又 有方向的量叫做向量
思考题 请问“加速度”、“时间”，“密度”、“功”、“重 力”、“质量”、“角速度”、哪些是向量？为什么？
加速度，重力，角速度是向量，因为他们既有大小又有方向 时间，密度，功，质量不是向量，因为他们只有大小没有方 向
目录
§3 从速度的倍数到数乘向量
3.1 数乘向量
3.2 平面向量基本定理
第二章 平面向量
§4 平面向量的坐标
4.1 平面向量的坐标表示 4.2 平面向量线性运算的坐标表示 4.3 向量平行的坐标表示
新余市第六中学 高中数学 必修④
目录
第二章 平面向量
§5 从力的做功到向量的数量积 §6 平面向量数量积的坐标表示 §7 向量应用举例
新余市第六中学 高中数学 必修④
从位移、速度、力到向量
• 我们在物理学中已经学过“位移”、“速度”和 “力”相关的概念，知道他们不仅有大小而且还 有方向。因此，我们在解决实际问题时，不仅仅 只考虑他们的大小问题，而且要考虑方方向问题。 ————那么在数学中，如何解决类似于“位 移”、“速度”、“力”这样的问题呢？
例如： AB
CD
DE
（起点） A
a
②可以用黑体小写的字母
例如：a,b,c,d…… 书写用a, b, c, d
新余市第六中学 高中数学 必修④
向量的长度（模）
AB （或 a ）表示向量 AB(或a)的大小，即长度（也称模）
特殊向量
①长度为零的向量称为零向量，其方向为任意方向， 记作0或0
②长度为单位1 的向量叫做单位向量, 记作：a0
新余市第六中学 高中数学 必修④
从位移、速度、力到向量
• 像“位移”、“速度”，“力”这样既有大小又 有方向的量叫做向量
思考题 请问“加速度”、“时间”，“密度”、“功”、“重 力”、“质量”、“角速度”、哪些是向量？为什么？
加速度，重力，角速度是向量，因为他们既有大小又有方向 时间，密度，功，质量不是向量，因为他们只有大小没有方 向
目录
§3 从速度的倍数到数乘向量
3.1 数乘向量
3.2 平面向量基本定理
第二章 平面向量
§4 平面向量的坐标
4.1 平面向量的坐标表示 4.2 平面向量线性运算的坐标表示 4.3 向量平行的坐标表示
新余市第六中学 高中数学 必修④
目录
第二章 平面向量
§5 从力的做功到向量的数量积 §6 平面向量数量积的坐标表示 §7 向量应用举例
新余市第六中学 高中数学 必修④
人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》教案_14
向量的几何表示教学设计1.教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学4》（人教A 版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”第一课时。
平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用。
一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法基础。
所以，平面向量的实际背景及基本概念作为向量的起始课及概念型课，其教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、渗透研究方法、构建研究蓝图”的大气。
由于是第一课时，所以笔者重点在于章引言，向量概念的引入，向量的表示，零向量、单位向量和平行向量的教学，不讲相等向量和共线向量。
2.教学目标设置课堂教学目标如下.（1）从如何由A点确定B点的位置，速度既有大小和方向抽象出向量的概念并与数量区分；（2）经历从实数的表示到“带箭头的线段”，从有向线段到向量的几何表示，掌握向量的几何表示、符号表示，模的表示，感受类比的思想，体会数学的实用性、表达的简洁美；（3）理解从大小看：零向量、单位向量，从方向看：平行向量；（4）体会认识新的数学概念基本思路：1.归纳共性；2.抽象定义；3.符号表示；4.认识特殊；5.研究一般；进而提高提出问题、研究问题的能力；3.学生学情分析（1）在物理学中，已经知道速度，力，位移等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；（2）如何作力的图示；（3）已经经历并了解实数的形成过程；（4）对实际生活中的一些常见的量，能识别它们是否具有大小、方向；（5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而解决问题。
但是，高一学生在思维辨析方面还比较薄弱，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析。
平面向量的意义第1课
a b AB BC AC 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AB BC _A__C__
BC CD _B__D__
C AB BC CD _A__D__
A
AB BC CD DE _A__E__
B
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b，求作向量 a b 。
平行向量也叫共线向量
a
b
B
C
O
A
c
a OA,b OB, c OC
注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上.
练 习 ： 判 断 下 列 命 题 是否 正 确
(1)两 个 向 量 相 等 ， 则 它 们的 起 点 相 同 ， 终 点 相 同;
(2)若 | a || b |, 则a b;
(3)若 AB DC， 则 四 边 形ABCD是 平 行 四 边 形;
5.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与
OA、OB、OC 相等的向量。
解：OA CB DO OB DC EO OC AB ED FO
B
A
C
F
O
D
E
6.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与
OA、OB、OC 相等的向量。
B
A
C
F
O
D
E
7：如图,EF是△ABC的中位线,AD是BC 边是的中
D
C
（3）与向量DE相等的向量有_2_个,
分别是___C_F_,__F_A___。
8：如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形 BCMF是平行四边形，请分别写出： A
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人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
Know--X分类法
费曼学习法--
实操
第二步 根据参考，复述你所获得的主要内容
（二） 根 据 参 考 复 述
1.参照教材、辅导书或笔记复述主要内容； 2.复述并不是照着读出来或死记硬背，而是用自己的话去理解 ，想象如果你要把
这个讲给别人听，你会怎样讲。 就像你按照前面的步骤对定于从句的理解是“定语部分是个从句”，就没必要死记
A
（1）与向量CD共线的向量有__7_个,
分别是__D__C_,D_B_,B_D_,_F_E_,E_F_, C__B_, B_C____；
E
F
（2）与向量DF的模一定相等的向
B
量有_5_个,分别是_F__D_,E_B_,_B_E_,_E_A_,A__E___；
D
C
（3）与向量DE相等的向量有_2_个,
C
F
思考1: 与向量 OA长度相等的
向量有几个？ 11个
D
E
思考2: 是否存在与向量 OA 长度 相等，方向相反的向量？
存在 FE
长度相等方向相反 的两个向量称为相 反向量
思考3: 与向量 OA 共线的向量 有那些? CB, DO, FE
应用提升
1 如图,EF是△ABC的中位线,AD是BC 边是的中线,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示的向量中 请分别写出
身体记忆法小妙招
超级记忆法--故 事法
• 鲁迅本名：周树人 、
• 主要作品：《阿Q正传》、《 药》、
• 《狂人日记》、《呐喊》、《 孔乙己》
• 《故乡》、《社戏》、《祝福 （图片来自网络） 》。
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：NPC代入，把自己想成其中的人物，会让自己的记忆过程更加有趣 （比如你穿越回去，成为了岳飞的母亲，你会在什么背景下怀着怎样的心情在 背 上刺下“精忠报国”四个字）；
硬背“在复合句中，修饰某一名词或代词的从句叫做定语从句”这个概念。
3.这个步骤可以使用思维导图或流程图，可以更好加深自己的理解哦~
费曼学习法--
实操
第三步 没有任何参考的情况下，仅靠大脑，复述你所获得的主要内容
（三） 仅 靠 大 脑 复 述
1.与上一步不同的是，这一步不能有任何参考， 合上你的书本、笔记等，看看此时你的大脑里还剩下了什么； 2.仅凭记忆，如果可以复述很多，说明掌握状况还可以； 3.如果一合上书，就连关系词有哪些都想不起来了， 说明还 没有掌握，需要继续回顾。
平行向量也叫共线向量
a
b
B
C
O
A
c
a OA,b OB, c OC
注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上.
判断下列命题是否正确 B
(1)向量 AB和向量 BA长度相等; (2)方向不同的两个向量一定不平行; (3)向量就是有向线段; (4)向量0 0; (5)向量 AB大于向量CD; （6）两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;
向量A B
B
A
注: 以A为起点，B为终点的有向线段记为 AB 线段AB的长度记作 AB（读为模）；
也可以表示： a, b, c, 大小记作: a 、b、c
注：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量 时，起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向 量.
如图：他们都表示
a
同一个向量。
a
有向线段与向量的区别：
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4 天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场 景法
1第一遍知道大概说了什么就行；
2第二遍知道哪块是重点；
3第三遍可以做出一些判断。
高效学习逻辑 思维
事实知识（know--what）：知道是什么的知识， 主要叙述事实方面的知识； 原理知识（know--why）：知道为什么的知识， 主 要是自然原理和规律方面的知识； 技能知识（know--how）：知道怎么做的知识， 主要是对某些事物的技能和能力； 人力知识（know--who）：知道是谁的知识， 主 要是谁知道以及谁知道如何做某些事的能力；
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
场景记忆法小妙招
超级记忆法--身 体法
1. 头--神经系统 2. 眼睛--循环系统 3. 鼻子--呼吸系统 4. 嘴巴--内分泌系统 5. 手--运动系统 6. 胸口--消化系统 7. 肚子--泌尿系统 8. 腿--生殖系统
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用身体记忆法时，可以与前面提到过的五感法结合起来，比如产生 一 些听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉，记忆印象会更加深刻； TIP2：采用一些怪诞夸张的方法，比如上面例子中腿上面生长出了很多植物， 正 常在我们常识中不可能发生的事情，会让我们印象更深。
1. 什么是向量？向量和数量有何不同？ 向量：即有大小又有方向的量
向量的模
向量的长度
（数量：只有大小，没有方向的量）
在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些 量中，哪些是数量？哪些是向量？
数量有： 质量、身高、面积、体积
向量有： 重力、速度、加速度
2. 向量如何表示？ 几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度 表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
分别是_C__F_, __F_A____。
向量的概念: 向量的表示方法： 零向量、单位向量概念：
平行向量定义： 相等向量定义： 共线向量与平行向量关系：
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必 备习惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完 整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完 整过程
B
D
B
D
AC
有向线段AB、CD 是不同的。
A
C
向量 AB、CD 是同一个 向量。
有向线段：有固定起点、大小、方向
向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。
3. 什么是零向量和单位向量？
零向量： 长度为0的向量，记为 0 ；(零向量方向是任意的)
单位向量：长度为1的向量. 注:零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的.
（图片来自网络）
1 费曼学习法--实操步骤 获取并理解
2 根据参考复述
费
3 仅靠大脑复述
曼
4 循环强化
学
5 反思总结
习
6 实践检验
法
费曼学习法--
实操
第一步 获取并理解你要学习的内容
（一） 理 解 并 获 取
1.知识获取并非多多益善，少而精效果反而可能更好，建议入门时选择一个概念或 知识点尝试就好，熟练使用后，再逐渐增加，但也不建议一次性数量过多（根据自 己实际情况，参考学霸的建议进行筛选）； 2.注意用心体会“理解”的含义。很多同学由于学习内容多，时间紧迫，所以更 加急于求成，匆匆扫一眼书本，就以为理解了，结果一合上书就什么都不记得了。 想要理解，建议至少把书翻三遍。
(7)若 a b ,则a b;
(8)若a // b,b // c,则a // c;
其中正确命题的个数是
B.1
C .2
D.3
应用示例
如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图
中与向量 OA,OB,OC 相等的向量.
解： OA CB DO；
B
A
OB DC EO；
O
OC AB ED FO
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
Know--X分类法
费曼学习法--
实操
第二步 根据参考，复述你所获得的主要内容
（二） 根 据 参 考 复 述
1.参照教材、辅导书或笔记复述主要内容； 2.复述并不是照着读出来或死记硬背，而是用自己的话去理解 ，想象如果你要把
这个讲给别人听，你会怎样讲。 就像你按照前面的步骤对定于从句的理解是“定语部分是个从句”，就没必要死记
A
（1）与向量CD共线的向量有__7_个,
分别是__D__C_,D_B_,B_D_,_F_E_,E_F_, C__B_, B_C____；
E
F
（2）与向量DF的模一定相等的向
B
量有_5_个,分别是_F__D_,E_B_,_B_E_,_E_A_,A__E___；
D
C
（3）与向量DE相等的向量有_2_个,
C
F
思考1: 与向量 OA长度相等的
向量有几个？ 11个
D
E
思考2: 是否存在与向量 OA 长度 相等，方向相反的向量？
存在 FE
长度相等方向相反 的两个向量称为相 反向量
思考3: 与向量 OA 共线的向量 有那些? CB, DO, FE
应用提升
1 如图,EF是△ABC的中位线,AD是BC 边是的中线,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示的向量中 请分别写出
身体记忆法小妙招
超级记忆法--故 事法
• 鲁迅本名：周树人 、
• 主要作品：《阿Q正传》、《 药》、
• 《狂人日记》、《呐喊》、《 孔乙己》
• 《故乡》、《社戏》、《祝福 （图片来自网络） 》。
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：NPC代入，把自己想成其中的人物，会让自己的记忆过程更加有趣 （比如你穿越回去，成为了岳飞的母亲，你会在什么背景下怀着怎样的心情在 背 上刺下“精忠报国”四个字）；
硬背“在复合句中，修饰某一名词或代词的从句叫做定语从句”这个概念。
3.这个步骤可以使用思维导图或流程图，可以更好加深自己的理解哦~
费曼学习法--
实操
第三步 没有任何参考的情况下，仅靠大脑，复述你所获得的主要内容
（三） 仅 靠 大 脑 复 述
1.与上一步不同的是，这一步不能有任何参考， 合上你的书本、笔记等，看看此时你的大脑里还剩下了什么； 2.仅凭记忆，如果可以复述很多，说明掌握状况还可以； 3.如果一合上书，就连关系词有哪些都想不起来了， 说明还 没有掌握，需要继续回顾。
平行向量也叫共线向量
a
b
B
C
O
A
c
a OA,b OB, c OC
注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上.
判断下列命题是否正确 B
(1)向量 AB和向量 BA长度相等; (2)方向不同的两个向量一定不平行; (3)向量就是有向线段; (4)向量0 0; (5)向量 AB大于向量CD; （6）两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;
向量A B
B
A
注: 以A为起点，B为终点的有向线段记为 AB 线段AB的长度记作 AB（读为模）；
也可以表示： a, b, c, 大小记作: a 、b、c
注：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量 时，起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向 量.
如图：他们都表示
a
同一个向量。
a
有向线段与向量的区别：
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4 天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场 景法
1第一遍知道大概说了什么就行；
2第二遍知道哪块是重点；
3第三遍可以做出一些判断。
高效学习逻辑 思维
事实知识（know--what）：知道是什么的知识， 主要叙述事实方面的知识； 原理知识（know--why）：知道为什么的知识， 主 要是自然原理和规律方面的知识； 技能知识（know--how）：知道怎么做的知识， 主要是对某些事物的技能和能力； 人力知识（know--who）：知道是谁的知识， 主 要是谁知道以及谁知道如何做某些事的能力；
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
场景记忆法小妙招
超级记忆法--身 体法
1. 头--神经系统 2. 眼睛--循环系统 3. 鼻子--呼吸系统 4. 嘴巴--内分泌系统 5. 手--运动系统 6. 胸口--消化系统 7. 肚子--泌尿系统 8. 腿--生殖系统
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用身体记忆法时，可以与前面提到过的五感法结合起来，比如产生 一 些听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉，记忆印象会更加深刻； TIP2：采用一些怪诞夸张的方法，比如上面例子中腿上面生长出了很多植物， 正 常在我们常识中不可能发生的事情，会让我们印象更深。
1. 什么是向量？向量和数量有何不同？ 向量：即有大小又有方向的量
向量的模
向量的长度
（数量：只有大小，没有方向的量）
在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些 量中，哪些是数量？哪些是向量？
数量有： 质量、身高、面积、体积
向量有： 重力、速度、加速度
2. 向量如何表示？ 几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度 表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
分别是_C__F_, __F_A____。
向量的概念: 向量的表示方法： 零向量、单位向量概念：
平行向量定义： 相等向量定义： 共线向量与平行向量关系：
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
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案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必 备习惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完 整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完 整过程
B
D
B
D
AC
有向线段AB、CD 是不同的。
A
C
向量 AB、CD 是同一个 向量。
有向线段：有固定起点、大小、方向
向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。
3. 什么是零向量和单位向量？
零向量： 长度为0的向量，记为 0 ；(零向量方向是任意的)
单位向量：长度为1的向量. 注:零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的.
（图片来自网络）
1 费曼学习法--实操步骤 获取并理解
2 根据参考复述
费
3 仅靠大脑复述
曼
4 循环强化
学
5 反思总结
习
6 实践检验
法
费曼学习法--
实操
第一步 获取并理解你要学习的内容
（一） 理 解 并 获 取
1.知识获取并非多多益善，少而精效果反而可能更好，建议入门时选择一个概念或 知识点尝试就好，熟练使用后，再逐渐增加，但也不建议一次性数量过多（根据自 己实际情况，参考学霸的建议进行筛选）； 2.注意用心体会“理解”的含义。很多同学由于学习内容多，时间紧迫，所以更 加急于求成，匆匆扫一眼书本，就以为理解了，结果一合上书就什么都不记得了。 想要理解，建议至少把书翻三遍。
(7)若 a b ,则a b;
(8)若a // b,b // c,则a // c;
其中正确命题的个数是
B.1
C .2
D.3
应用示例
如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图
中与向量 OA,OB,OC 相等的向量.
解： OA CB DO；
B
A
OB DC EO；
O
OC AB ED FO
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1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做