专题1：函数的零点、不动点、稳定点

奥数专题1：函数的零点、不动点、稳定点

一、基本知识

1. 满足f(x)=0的x 的值叫做函数f(x)的零点

2. 满足f(x)=x 的x 的值叫做函数f(x)的不动点

3. 满足f(f(x))=x 的x 的值叫做函数f(x)的稳定点

4. 若函数f(x)=ax+b(a ≠1)的不动点为x 0=b 1−a ，则函数f(x)可写成f(x)=a (x −b 1−a )+

b 1−a ，f (2)(x )=a 2(x −b 1−a )+b 1−a ,⋯f (n )(x )=a n (x −b 1−a )+b 1−a ,此定理即：若x 0是f(x)的不动点，则x 0也是f （n ）(x)的不动点

二、例题选讲

1.设{}{}R x x x f f x B R x x f x x A R c b c bx x x f ∈==∈==∈++=,))((,),(),,()(2,如果A 中只含有一个元素,则有 （ ）

A A

B ⊂ B A B ⊂

C B A =

D φ=B A

2.设c bx x x f ++=2)(，若方程x x f =)(无实根，则方程x x f f =))((（ ）

A.有四个相异实根

B.有两个相异实根

C.有一个实根

D.无实根

3.已知c bx ax x f ++=2)(满足c b a f >>=,0)1(。（1）求c

b a b a

c ,,的取值范围；（2）证明方程0)(=x f 有两个不等实根；（3）)(x f 图像与x 轴交于A 、B 两点，求AB 。

4.已知)()(2

c b a c bx ax x f >>++=的图像上有两个点))(,()),(,(R f R B r f r A 满足0)1(,0)()()]()([2==+++f R f r f a R f r f a ．（1）求证：0≥b ；（2）求方程0)(=x f 的另一根的取值范围；（3）求证：)3(),3(++R f r f 中至少有一个为正数．

5.对于函数)(x f ，若x x f =)(，则称x 为)(x f 的不动点；若x x f f =))((，则称x 为)(x f 的稳定点；函数)(x f 的不动点和稳定点的集合分别是A 、B ，即

{}{}x x f f x B x x f x A ====))((,)(。

（1）求证：B A ⊆；（2）若1)(2-=ax x f ，且φ≠=B A ，求实数a 的取值范围。

6.设)0()(2

>++=a c bx ax x f 的两个不动点为21,x x 满足a

x x 1021<<<。（1）当),0(1x x ∈时，证明：1)(x x f x <<；（2）设函数)(x f 的图像关于0x x =对称，证明：210x x < 7.已知)0(4)(2<++=a b x ax x f 的两个零点为21,x x ，)(x f 的两个不动点为βα,。（1）

若1=-βα，且b a ,均为负整数，求)(x f ；（2）若21<<<βα，求证：

7)1)(1(21<++x x

8.设c b a ,,是正整数，关于x 的一元二次方程02

=++c bx ax 的两实数根的绝对值均小于3

1，求c b a ++的最小值。 9.已知实系数二次函数与满足和都有双重实根,如果已知有两个不同的实根,求证没有实根.

10.设二次函数2)12()(2--++=a x b ax x f 在]4,3[上至少有一个零点，求22b a +的最小值。

11.已知二次函数c bx x x f ++=2)(在)1,0(与x 轴有两个不同的交点，求c b c )1(2++的取值范围。

12.已知函数2)1()(2-++=x b ax x f 。若对任意实数b ，方程x x f =)(有两个不等的实根，求实数a 的取值范围。

13. 已知函数f (x )=45(x −1)，若f (5)(x) 为正整数，求x 的最小值。

14. 若f (x )=√19x 2+93，求f (n )(x)

15.（第24届IMO ） 已知f:R +→R + 且满足条件：

（1）对任意的x,y ∈R +，有f(xf (y ))=yf (x )；（2）x →+∞时，f (x )→0

试求函数f(x).

16. (第35届IMO ）设S 是所有大于-1的实数组成的集合，确定所有的函数f:S →S ，满足条件 :

（1）对于S 内所有的x,y 有f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)；（2）在区间(-1,0)和(0,+∞) 内，x x f )(是严格单调递增的. ()f x ()g x 3()()0f x g x +=()()0f x g x -=()0f x =()0g x =