专题1：函数的零点、不动点、稳定点
函数的零点问题
函数的零点问题函数的零点问题是数学中的重要概念，也是不少学生学习数学时比较困难的部分。
本文将对函数的零点问题进行深入阐述，包括其定义、求解方法和实际意义等方面的内容，希望对读者加深对这一概念的理解。
一、定义在数学中，函数的零点指的是函数图像与x轴交点的横坐标。
也就是说，对于函数f(x)，它的零点是指f(x)=0的x值。
经常把求解函数零点问题转换为求解方程f(x)=0的根。
二、求解方法求解函数的零点，关键是求解方程f(x)=0的根。
对于一些形式简单的函数，可以通过手工计算求解；而对于形式复杂、无法手工求解的函数，可以借助计算机等工具进行数值求解。
1.手工计算法手工计算法求解函数零点问题，需要掌握函数的性质和一些基本的求解方法。
以下是几种常见的方法：（1）代数法对于一些形如ax+b=0的方程，可以通过一些基本的代数运算来求解。
比如：对于f(x)=2x-3，要求f(x)=0的解，就要解方程2x-3=0，得到x=3/2。
对于f(x)=x^2-4，要求f(x)=0的解，就要解方程x^2-4=0，得到x=±2。
对于f(x)=x^3+2x^2-x-2，设f(x)=(x-a)(x^2+bx+c)，化简得到a=-1，b=1，c=-2，然后再利用求根公式进行求解。
（2）图像法对于一些简单的函数，可以通过画出函数图像来求解零点。
具体方法是，在坐标系中画出函数f(x)的图像，根据图像与x轴的交点所在的位置和数量来求解零点。
例如：对于f(x)=x^2-1，画出函数图像后可以看出函数有两个零点，即x=1和x=-1。
对于f(x)=sinx，画出函数图像后可以看出函数有无数个零点，它们分别在x=nπ（其中n为整数）处。
（3）因式分解法对于一些可以因式分解的函数，可以通过将其因式分解后再求解。
例如：对于f(x)=x^2-4x+3，将其因式分解为(x-1)(x-3)，得到函数的两个零点分别为1和3。
对于f(x)=x^3-3x^2+2x，将其因式分解为x(x-1)(x-2)，得到函数的三个零点分别为0、1和2。
高考文科数学专题复习《函数的零点精选课件
“对对，放点醋，这样好吃，我去拿。” 她转身去厨房拿来醋，给我碗里倒。 “怎么样，淡不淡，再放点盐？” 我摇摇头。
“当花瓣离开花朵，暗香残留，香消在风起雨后，无人来嗅”忽然听到沙宝亮的这首《暗香》，似乎这香味把整间屋子浸染。我是如此迷恋香味，吸进的是花儿的味道，吐出来的是无尽的芬芳。轻轻一流转，无限风情，飘散，是香，是香，它永远不会在我的时光中走丢。 旧的东西其实极好。学生时代喜欢写信，只是今天书信似乎早已被人遗忘，那些旧的记忆，被尘埃轻轻覆盖，曾经的笔端洇湿了笔锋，告慰着那时的心绪。现在读来，仿佛嗅到时光深处的香气，一朵墨色小花晕染了眼角，眉梢，是飞扬的青春，无知年少的轻狂，这份带不走的青涩，美丽而忧伤。 小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎是在医院渡过，然而和母亲在一起的毎一刻都是温暖美好的。四年前，母亲还是离开了这个世界，离开了我。生命就是如此脆弱，逝去和別离，陈旧的情绪某年某月的那一刻如水泻闸。水在流，云在走，聚散终有时，不贪恋一生，有你的这一程就是幸运。那是地久天长的在我的血液中渗透，永远在我的心中，在我的生命里。 时光就是这么不经用，很快自己做了母亲，我才深深的知道，这样的爱，不带任何附加条件，不因万物毁灭而更改。只想守护血浓于水的旧时光，即便峥嵘岁月将容颜划伤，相信一切都是最好的安排。那时的时光无限温柔，当清水载着陈旧的往事，站在时光这头，看时光那头，一切变得分明。执笔书写，旧时光的春去秋来，欢喜也好，忧伤也好，时间窖藏，流光曼卷里所有的宠爱，疼惜，活色生香的脑海存在。 回忆的老墙，偶尔依靠，黄花总开不败，所有囤积下来的风声雨声，天晴天阴，都是慈悲。时光不管走多远，不管有多老旧，含着眼泪，伴着迷茫，读了一页又一页，一直都在，轻轻一碰，就让内心温软。旧的时光被揉进了岁月的折皱里，藏在心灵的沟壑，直至韶华已远，才知道走过的路不能回头，错过的已不可挽留，与岁月反复交手，沧桑中变得更加坚强。 是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。 听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。 唯用一枝瘦笔，剪一段旧时光，剪掉喧嚣尘世的纷纷扰扰，剪掉终日的忙忙碌碌。情也好，事也罢，细品红尘，文字相随，把寻常的日子，过得如春光般明媚。光阴珍贵，指尖徘徊的时光唯有珍惜，朝圣的路上做一个谦卑的信徒，听雨落，嗅花香，心上植花田，蝴蝶自会来，心深处自有广阔的天地。旧时光难忘，好的坏的一一纳藏，不辜负每一寸光阴，自会花香满径，盈暗香满袖。
不动点和稳定点有大用
不动点和稳定点有大用
前面我写过《函数的不动点和稳定点》，这类题在模拟考中常出现.
看下面这样一道模拟题.
这道题是完全模仿2013年四川高考理科数学卷选择压轴题命制的.
重温不动点、稳定点和二阶周期点
不动点：函数f（x）的定义域为I，若存在x0，使得f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的不动点.
稳定点：函数f（x）的定义域为I，若存在x0，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数f（x）的稳定点.
二阶周期点：函数f（x）的定义域为I，若存在x0，使得f（f （x0））=x0且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点.
不动点和稳定点的重要性质
我在前面写过它们之间的关系：1.不动点一定是稳定点，稳定点不一定是不动点.
还有一条用于解题的关键规律是这样的：
2.若函数f（x）单调递增，则不动点等价
于稳定点.
以上两条的证明在前文中都可以找到，感兴趣的读者朋友也可以尝试自己证明.
解题实战中的速解
回到本题.
经过简单观察，f（x）是单增的，则它的稳定点等价于不动点.。
热点15 函数的零点问题处理策略与解题技巧-2022年高考数学核心热点突破
当 时， ，
当 时， ，
则函数 的最大值 ，最小值 ，
则 ，符合题意，
所以 ；
当 时， ，
则函数 的最大值 ，最小值 ，
则 ，符合题意，
所以 ；
当 时， ，
则函数 的最大值 ，最小值 ，
则 ，解得则 ，（舍去）；
当 时， ，
则函数 的最大值 ，最小值 ，
则 ，解得 ，（舍去），
所以函数 ．当 时，函数 的最大值 与最小值 的差为2， 或 ，
综上： .
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
在 时有2个交点,符合题意；
若 ,直线 与 的图象在 时有1个交点，
在 时有2个交点,不符合题意；
若 ,直线 与 的图象在 时有1个交点，
在 时无交点,不符合题意；
若 ,,直线 与 的图象至多有一个交点，不符合题意.
所以只有 符合题意.
故选：D.
7.函数 ， 的图象与直线 （ 为常数）的交点可能有（）
一、单选题
5.函数 的一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断出 在 上是增函数，利用零点存在定理列不等式，即可求a的范围.
【详解】∵ 和 在 上是增函数，
高中数学：2.4.1函数的零点
2．4．1函数的零点1．了解函数零点的定义．2．理解函数零点与方程根的关系．3．掌握函数零点的判定方法．1．函数的零点如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．2．二次函数零点的性质(1)当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．(2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点是一个点．( ) (2)任何函数都有零点．( )(3)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，则一定有f (a )·f (b )＜0．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．函数f (x )＝x －1x 的零点是( )A ．1B ．－1C ．1，－1D ．(1，－1)答案：C3．函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点与函数y ＝f (x )的零点有什么联系？ 解：函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标就是函数y ＝f (x )的零点．求函数的零点判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x ；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4． 【解】 (1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3，所以函数f (x )＝x ＋3x 的零点是－3．(2)令x 2＋2x ＋4＝0， 由于Δ＝22－4×4＝－12<0， 所以方程x 2＋2x ＋4＝0无解， 所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点．函数零点的求法求函数y ＝f (x )的零点通常有两种方法：一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y ＝f (x )的图象，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．1．若2是函数f (x )＝x 2－m 的一个零点，则m ＝________．解析：因为2是函数f (x )＝x 2－m 的一个零点， 所以f (2)＝0，即22－m ＝0，所以m ＝4． 答案：42．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，求函数g (x )＝bx 2－ax 的零点．解：由于函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，得2a ＋b ＝0，则g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ，令－2ax 2－ax ＝0，可得x ＝0或－12，故g (x )的零点为0和－12．零点个数的判断分别判断下列函数零点的个数，并说明理由：(1)f (x )＝x 2＋6x ＋9；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x <0．【解】 (1)函数f (x )＝x 2＋6x ＋9的图象为开口向上的抛物线，且与x 轴有唯一的公共点(－3，0)，所以函数f (x )＝x 2＋6x ＋9有一个零点．(2)法一：当x ≥0时，令f (x )＝0得x ＋1＝0， 解得x ＝－1，与x ≥0矛盾； 当x <0时，令f (x )＝0得x －1＝0， 解得x ＝1，与x <0矛盾．所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x <0没有零点．法二：画出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x <0的图象，如图所示，因为函数图象与x 轴没有公共点，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x <0没有零点．判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f (x )＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图象法：由f (x )＝g (x )－h (x )＝0，得g (x )＝h (x )，在同一平面直角坐标系内作出y 1＝g (x )和y 2＝h (x )的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是一条连续不断的曲线，由f (a )·f (b )＜0即可判断函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是单调函数，则函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个零点．判断下列函数是否有零点，若有，有几个零点？(1)f(x)＝x2＋2x＋3；(2)f(x)＝－x2＋2x－1；(3)f(x)＝x2－5x＋6．解：(1)令f(x)＝x2＋2x＋3＝0，所以Δ＝4－12＝－8<0，方程x2＋2x＋3＝0无实根，所以此函数没有零点．(2)令－x2＋2x－1＝0⇒－(x－1)2＝0⇒x1＝x2＝1，故此函数有一个二重零点1．(3)令x2－5x＋6＝0⇒(x－3)(x－2)＝0⇒x1＝2，x2＝3．故此函数有两个零点2，3．函数零点性质的应用已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1．若b ＝a＋2，且函数f (x )在(－2，1)上恰有一个零点，求a 的取值范围．【解】 当a ＝0时，令f (x )＝0， 得x ＝12，符合题意．当a ≠0时，因为b ＝a ＋2，所以f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a >0， 函数f (x )＝ax 2－bx ＋1必有两个零点， 又函数f (x )在(－2，1)上恰有一个零点， 故f (－2)·f (1)<0， (6a ＋5)×(－1)<0， 所以6a ＋5>0，所以a >－56，又因为a ≠0，所以a >－56且a ≠0．综上a >－56．方程的根与函数的零点之间紧密相连，要灵活处理它们之间的关系并能灵活应用．当二次函数解析式中含有参数时，要注意讨论各种情况，不要遗漏．已知函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a的取值范围为________．解析：法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2则x1x2<0，所以a－2<0，所以a<2．法二：因为函数f(x)的图象开口向上，零点分布在x＝0两边，所以f(0)<0，即a－2<0，所以a<2．答案：a<21．正确理解函数的零点(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．3．关于判断函数零点个数的方法总结(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，进而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0，可判定y＝f(x)在(a，b)上至少有一个零点．(4)转化成两个函数图象的交点问题．函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，但不能将它们完全等同．如函数f(x)＝x2－4x＋4只有一个零点，但方程f(x)＝0有两个相等实根．1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是()A．－2，3B．2，3C．2，－3 D．－2，－3解析：选B．令－x2＋5x－6＝0，即x2－5x＋6＝0，得x＝2或x＝3．故函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点为2，3．2．函数y＝(x－2)(x－3)－12的零点为________．解析：函数y＝(x－2)(x－3)－12＝x2－5x＋6－12＝(x＋1)(x－6)．令y＝0，解方程(x＋1)(x－6)＝0得，x 1＝－1，x 2＝6．所以函数的零点为－1，6．答案：－1，63．已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1的零点为－12，13，则a ＝________，b ＝________． 答案：－6 14．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6， 所以g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13． 答案：－12，－13[A 基础达标]1．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0，2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：选C ．由f (x )的一个零点是2，得2a ＋b ＝0，所以b a ＝－2，而g (x )＝bx 2－ax ＝bx (x －a b )，其零点是0和a b ，即0，－12．故选C ． 2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则该函数的零点个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．无法确定解析：选B ．因为ac <0，所以Δ＝b 2－4ac >0，所以该函数有两个零点，故选B ．3．函数f (x )＝x 3－2在区间[1，2]内的零点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C ．由f (x )在R 上是增函数，且⎩⎪⎨⎪⎧f （1）<0f （2）>0知f (x )在[1，2]上有零点． 又因为f (x )＝x 3－2在[1，2]上单调递增，所以函数在[1，2]内的零点个数为1．4．若函数f (x )＝mx 2＋8mx ＋21，当f (x )<0时－7<x <－1，则实数m 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．m ＝0时f (x )＝21<0不成立，m ≠0时，f (x )是二次函数，由f (x )<0时－7<x <－1知－7，－1是f (x )的零点，所以－7，－1是方程mx 2＋8mx ＋21＝0的两根，所以21m＝－7×(－1)＝7． 所以m ＝3．故选C ．5．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＞0，f (2)＜0，则f (x )在(1，2)上零点的个数为( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有解析：选C ．若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)＜0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若f (x )在(1，2)上有两个零点，则必有f (1)·f (2)＞0，与已知矛盾．故f (x )在(1，2)上有且仅有一个零点．6．函数f (x )＝2x 2－ax ＋3有一零点为32，则f (1)＝________． 解析：因为32是f (x )＝0的零点， 所以2×(32)2－a ×32＋3＝0，所以a ＝5， 所以f (x )＝2x 2－5x ＋3，所以f (1)＝0．答案：07．已知函数f (x )＝3mx －4，若在区间[－2，0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在[－2，0]上存在零点x 0使f (x 0)＝0，且f (x )单调，所以f (－2)·f (0)≤0，所以(－6m －4)×(－4)≤0，解得m ≤－23．所以，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－23． 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－23 8．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析：因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，又因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也单调递增，由f (2)＝－f (－2)＝0．因此在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一个零点，综上，函数f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0．答案：3 09．若方程mx 2－x ＋1＝0至少有一个大于0的实数根，求实数m 的取值范围．解：设f (x )＝mx 2－x ＋1，当m <0时，由于f (0)＝1，对称轴x ＝12m <0，所以方程有一个正根；当m >0时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－1）2－4m ≥0－－12m >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤14m >0⇒0<m ≤14；当m ＝0时，方程为－x ＋1＝0根为x ＝1，符合题意．综上所述m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，14．10．已知关于x 的函数 y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1 恒有零点．(1)求 m 的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求 m 的值．解：(1)当 m ＋6＝0 时，函数 y ＝－14x －5 显然有零点；当 m ＋6≠0 时，由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝－36m －20≥0，得 m ≤－59．所以当 m ≤－59，且 m ≠－6 时，二次函数有零点．综上可知，原函数有零点时，m 的取值范围是m ≤－59．(2)设x 1，x 2是函数的两个零点，则有x 1＋x 2＝－2（m －1）m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6，因为1x 1＋1x 2＝－4，所以x 1＋x 2x 1x 2＝－4，所以－2（m －1）m ＋1＝－4，解得 m ＝－3．且当 m ＝－3 时，m ＋6≠0，Δ>0 符合题意．所以m 的值为－3．[B 能力提升]11．二次函数f (x )＝x 2＋px ＋q 的零点为1和m ，且－1<m <0，那么p ，q 满足的条件为() A ．p >0且q <0 B ．p >0且q >0C ．p <0且q >0D ．p <0且q <0解析：选D ．由题意知，方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为m 和1，且－1<m <0．由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－p ＝m ＋1>0，q ＝m <0，即⎩⎪⎨⎪⎧p <0，q <0. 12．关于函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点的叙述：①－2是函数的一个零点；②函数的二重零点是1；③函数f (x )＝g (x )＋4，则函数g (x )的零点是－1，2；④对于任意a ，b ∈(－2，1)，f (a )f (b )≥0．其中，所有叙述正确的序号为________．解析：f (－2)＝－8＋6＋2＝0，故①正确；f (x )＝(x 3－x )－2x ＋2＝x (x 2－1)－2(x －1)＝(x －1)(x 2＋x －2)＝(x －1)2(x ＋2)，故②正确；g (x )＝f (x )－4＝x 3－3x －2＝(x 3－x )－2x －2＝x (x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝(x ＋1)(x 2－x －2)＝(x ＋1)2(x －2)，故③正确；对于任意a ，b ∈(－2，1)，f (a )f (b )>0，故④不正确． 答案：①②③13．已知函数f (x )＝x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5有两个零点；(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k 的值；(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．解：(1)因为－1和－3是函数f (x )的两个零点，所以－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两个实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2，－1×（－3）＝k 2＋3k ＋5，解得k ＝－2． (2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝k －2，αβ＝k 2＋3k ＋5，Δ＝（k －2）2－4×（k 2＋3k ＋5）≥0.则⎩⎪⎨⎪⎧α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝－k 2－10k －6－4≤k ≤－43，设y ＝－k 2－10k －6＝－(k ＋5)2＋19，所以y max ＝f (－4)＝18，y min ＝f (－43)＝509． 所以α2＋β2在区间⎣⎡⎦⎤－4，－43上的最大值是18，最小值是509．即α2＋β2的取值范围为⎣⎡⎦⎤509，18． 14．(选做题)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)． (1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)试确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解：(1)作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的图象如图：可知若g (x )＝m 有零点，则有m ≥2e ．故m 的取值范围为{m |m ≥2e}．(2)g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点．在同一平面直角坐标系中，作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)和f (x )的图象，如图．因为f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，所以m的取值范围是m>－e2＋2e＋1．。
高考数学复习考点题型专题讲解题型14函数的零点解析版
高考数学复习考点题型专题讲解题型: 函数的零点函数零点存在定理：若函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(),a b 内存在零点，即存在(),,c a b ∈使得()0f c =。
深层理解：1.若()f x 在(),a b 上内单调，且0)()(<⋅b f a f ，则()f x 在(),a b 上有且只有一个零点。
2.若0)()(>⋅b f a f ，则)(x f 在(),a b 上不一定有零点。
若()f x 在(),a b 上内单调，且0)()(>⋅b f a f ，则()f x 在(),a b 上一定没有零点。
【考点题型一】：函数零点所在区间确定（一般情况下只考查选择题）。
『解题策略』：一般情况下只需验证四个选项中给出区间两个端点函数值是否异号。
1.(高考题)函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是 ( )A.()2,1--B.()1,0-C.()0,1D.()1,2【解析】：)(x f 单调递增，且(1)(0)0f f -⋅<，选B 。
2.(高考题)函数()f x =2x e x +-的零点所在的一个区间是 ( )A.()2,1--B.()1,0-C.()0,1D.()1,2【解析】：)(x f 单调递增，且0)1()0(<⋅f f ，选C 。
【考点题型二】：函数零点个数确定。
【题型1】：单一函数分析法。
『解题策略』：若)(x f 在(),a b 上单调，且0)()(<⋅b f a f ，则)(x f 有且只有一个零点，若0)()(>⋅b f a f ，则)(x f 没有零点，逆过来亦成立。
1.(高考题)函数22)(3-+=x x f x 在区间()1,0内的零点个数是 ( )A.0B.1C.2D.3【解析】：)(x f 单调递增，且0)1()0(<⋅f f ，选B 。
不动点与稳定点
高考数学试题研究不动点：已知函数)(x f y =，I x ∈，若存在I x ∈0，使得00)(x x f =，则称0x 为函数)(x f y =的不动点。
不动点实际上是方程组⎩⎨⎧==x y x f y )(的解),(00y x 的横坐标，或两者图象的交点的横坐标 当然，这个方程组根据函数)(x f y =的不同，可能有多解。
例如1：⎩⎨⎧=-=x y x y 12的解只有一个)1,1(，故函数12-=x y 有一个不动点10=x 例如2：⎩⎨⎧=-=xy x y 122的解为)21,21(-，)1,1(，故函数122-=x y 有两个不动点1,21- 稳定点：已知函数)(x f y =，I x ∈，若存在I x ∈0，使得00))((x x f f =，则称0x 为函数)(x f y =的稳定点。
很显然，若0x 为函数)(x f y =的不动点，则0x 必为函数)(x f y =的稳定点。
证明是非常简单的！因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，即00))((x x f f =，故0x 也是函数)(x f y =的稳定点。
反之，有没有不是不动点的稳定点呢？答案是肯定的！例如3：设12)(-=x x f ，令x x =--1)12(2，解得1=x故函数12-=x y 有一个稳定点10=x例如4：12)(2-=x x f ，令x x =--1)12(222，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,21-=x ，由此因式分解，可得0)124)(12)(1(2=-++-x x x x 还有另外两解451±-=x ，故函数122-=x y 的稳定点有1,21-，451±- 其中451±-是稳定点，但不是不动点。
请看下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.由此，清晰可见，不动点是函数图象与直线x y =的交点的横坐标，而稳定点是函数图象与它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标.根据例1和例3，我们可以给出命题：若函数)(x f y =单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。
函数的二阶不动点——稳定点，高考压轴题中常考，你值得拥有！
函数的二阶不动点——稳定点，高考压轴题中常考，你值得拥有！昵称为”heartbeats'的读者朋友问到了函数的不动点问题.对于函数y=f(x)，方程f(x)=x的根称为函数f(x)的一阶不动点.方程f(f(x))=x的根成为函数f(x)的二阶不动点.依此类推，可以定义函数的n阶不动点.一阶不动点就称为不动点，二阶不动点也称为稳定点.看栗子.1.求函数f(x)=2x-1的不动点和稳定点.求不动点.令2x-1=1，解答x=1.所以函数f(x)的不动点是1.求稳定点.令2（2x-1)-1=1，解得x=1.所以函数f(x)的稳定点是1.2.求函数f(x)=-x的不动点和稳定点.求不动点.令-x=x，解得x=0.所以函数f(x)的不动点是0.求稳定点.令-(-x)=x，方程恒成立.所以函数f(x)的稳定点是任意实数.3.求函数f(x)=-1/x的不动点和稳定点.求不动点.令-1/x=x，方程无解.所以函数f(x)没有不动点.求稳定点.令-1/(-1/x)=x，方程恒成立.所以函数f(x)的稳定点是任意不为零的实数.咦，怎么有时不动点和稳定点一样，有时又不同呢？为回答这个疑惑，我们讲两个小结论.1不动点一点是稳定点，稳定点不一定是不动点先证明前半句话.再证明后半句话.举个反例即可.比如2是函数f(x)=-x的稳定点，但不是函数f(x)=-x的不动点.（就是上面第2个函数的例子）2若函数f(x)单调递增，则它的不动点和稳定点等价下面做等价条件的证明.3高考题实战2013年四川高考理科数学卷第10题.本题是选择压轴题，考察了函数的稳定点问题.经过简单分析发现，函数f(x)为单增函数，所以我们可以把稳定点问题转化为不动点问题.。
不动点的性质与应用
不动点的性质与应用一、不动点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程()f x x =的解x 称为函数()f x 的不动点，即()y f x =与y x =图像交点的横坐标.例1：求函数12)(-=x x f 的不动点. 解：有一个不动点为1例2：求函数12)(2-=x x g 的不动点. 解：有两个不动点121、- 二、稳定点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程[()]f f x x =的解x 称为函数()f x 的稳定点，即[()]y f f x =与y x =图像交点的横坐标.很显然，若为函数)(x f y =的不动点，则必为函数)(x f y =的稳定点.证明：因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，故也是函数)(x f y =的稳定点. 例3：求函数12)(-=x x f 的稳定点.解：设12)(-=x x f ，令x x =--1)12(2，解得1=x 故函数12-=x y 有一个稳定点1【提问】有没有不是不动点的稳定点呢答：当然有 例4：求函数12)(2-=x x g 的稳定点.解：令[()]g g x x =，则018801)144(21)12(2242422=+--⇒=--+-⇒=--x x x x x x x x ， 因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,2121=-=x x⇒18824+--x x x 必有因式12)12)(1(2--=+-x x x x可得0)124)(12)(1(2=-++-x x x x ⇒另外两解4514,3±-=x ， 故函数12)(2-=x x g 的稳定点是1、21-、451451--+-、，其中451±-是稳定点，但不是不动点 下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.由此可见，不动点是函数图像与直线x y =的交点的横坐标，稳定点是函数))((D x x f y ∈=图像与曲线))((D y y f x ∈=图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图像与其反函数图像交点的横坐标）.由图1和图3，我们猜测命题：若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.证明：（1）ο1若函数))((D x x f y ∈=有不动点0x ，即00)(x x f =000)())((x x f x f f ==⇒，故也是函数)(x f y =的稳定点；ο2若函数))((D x x f y ∈=有稳定点0x ，即00))((x x f f =，假设0x 不是函数的不动点，即00)(x x f ≠①若f （x 0）>x 0，则 f （f （x 0））>f （x 0），即x 0>f （x 0）与f （x 0）>x 0矛盾，故不存在这种情况； ②若f （x 0）<x 0，则f （f （x 0））<f （x 0），即x 0<f （x 0）与f （x 0）<x 0矛盾，故不存在这种情况； 综上，f （x 0）=x 0⇒x 0是f （x ）的不动点．（2）ο1若函数))((D x x f y ∈=无不动点，由（1）知若函数有稳定点，则函数必有不动点，矛盾，故函数无稳定点；ο2若函数))((D x x f y ∈=无稳定点，由（1）知若函数有不动点，则函数必有稳定点，矛盾，故函数无不动点；综上，若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.121例5、对于函数f (x )，我们把使得f (x )=x 成立的x 称为函数f (x )的不动点。
函数探秘函数的不动点与稳定性
函数探秘函数的不动点与稳定性函数探秘：函数的不动点与稳定性在数学的广袤天地中，函数是一座巍峨的山峰，而函数的不动点与稳定性则是这座山峰上引人入胜的风景。
让我们一同踏上这场探秘之旅，揭开它们神秘的面纱。
首先，咱们来聊聊啥是函数的不动点。
想象一下，有一个函数就像是一个神奇的机器，你给它输入一个数，它经过一系列复杂的运算，输出一个结果。
而如果有那么一个数，当你把它输入这个机器后，输出的结果还是它自己，这个数就叫做这个函数的不动点。
比如说，有一个函数 f(x) ＝ x ＋ 1。
咱们来试试看能不能找到它的不动点。
假设 x 是不动点，那就意味着 f(x) ＝ x，也就是 x ＋ 1 ＝ x。
解这个方程，发现无解，这就说明这个函数没有不动点。
那再看另一个函数 f(x) ＝ 2x 1。
还是同样的思路，令 f(x) ＝ x，也就是 2x 1 ＝ x，解得 x ＝ 1。
所以 1 就是这个函数的不动点。
函数的不动点在很多领域都有重要的应用。
比如在数学分析中，它可以帮助我们研究函数的性质；在数值计算中，它能为我们提供一种求解方程的方法。
接下来，咱们说说函数的稳定性。
简单来讲，函数的稳定性就是说当输入有一点点小的变化时，输出的变化是不是也能保持在一个可控的范围内。
举个例子，如果一个函数是稳定的，就好比你走在一个平坦的路上，即使不小心迈错一小步，也不会一下子掉到深坑里；但如果函数不稳定，那就像是走在薄冰上，稍微一点差错可能就会导致大问题。
比如说，对于函数 f(x) ＝ x^2，如果 x 从 1 变成 101，那么 f(x) 就从 1 变成了 10201，变化相对较小，说明这个函数在这附近是比较稳定的。
那怎么判断一个函数是不是稳定呢？这就需要用到一些数学工具和方法了。
常见的有导数、极限等等。
导数在判断函数稳定性方面就特别有用。
如果函数在某个点的导数绝对值小于 1，通常这个函数在这个点附近就是稳定的；如果导数绝对值大于 1，那可能就不太稳定。
专题1：函数的零点、不动点、稳定点
奥数专题1：函数的零点、不动点、稳定点一、基本知识1. 满足f(x)=0的x 的值叫做函数f(x)的零点2. 满足f(x)=x 的x 的值叫做函数f(x)的不动点3. 满足f(f(x))=x 的x 的值叫做函数f(x)的稳定点4. 若函数f(x)=ax+b(a ≠1)的不动点为x 0=b 1−a ，则函数f(x)可写成f(x)=a (x −b 1−a )+b 1−a ，f (2)(x )=a 2(x −b 1−a )+b 1−a ,⋯f (n )(x )=a n (x −b 1−a )+b 1−a ,此定理即：若x 0是f(x)的不动点，则x 0也是f （n ）(x)的不动点二、例题选讲1.设{}{}R x x x f f x B R x x f x x A R c b c bx x x f ∈==∈==∈++=,))((,),(),,()(2,如果A 中只含有一个元素,则有 （ ）A AB ⊂ B A B ⊂C B A =D φ=B A2.设c bx x x f ++=2)(，若方程x x f =)(无实根，则方程x x f f =))((（ ）A.有四个相异实根B.有两个相异实根C.有一个实根D.无实根3.已知c bx ax x f ++=2)(满足c b a f >>=,0)1(。
（1）求cb a b ac ,,的取值范围；（2）证明方程0)(=x f 有两个不等实根；（3）)(x f 图像与x 轴交于A 、B 两点，求AB 。
4.已知)()(2c b a c bx ax x f >>++=的图像上有两个点))(,()),(,(R f R B r f r A 满足0)1(,0)()()]()([2==+++f R f r f a R f r f a ．（1）求证：0≥b ；（2）求方程0)(=x f 的另一根的取值范围；（3）求证：)3(),3(++R f r f 中至少有一个为正数．5.对于函数)(x f ，若x x f =)(，则称x 为)(x f 的不动点；若x x f f =))((，则称x 为)(x f 的稳定点；函数)(x f 的不动点和稳定点的集合分别是A 、B ，即{}{}x x f f x B x x f x A ====))((,)(。
高中函数零点的总结归纳
高中函数零点的总结归纳高中数学中，函数是一个重要的主题，而其中的零点是我们需要特别关注的部分。
在这篇文章中，我们将对高中函数的零点进行总结归纳。
通过做题和分析案例，我们将会深入探讨零点的概念、求解方法以及其在实际问题中的应用。
一、零点的概念及性质函数的零点，也被称为方程的根或解，即函数在横坐标轴上交点的横坐标值。
对于一个函数f(x)，如果存在一个实数a，使得f(a)=0，则称a为函数的零点。
从直观上来理解，零点就是使得函数取值为零的横坐标值。
在研究函数的零点时，我们需要关注以下几个性质：1. 零点的唯一性：对于一个函数，它的零点不一定只有一个，但在某一特定区间内，零点是唯一的。
2. 零点的对称性：如果a是函数f(x)的零点，那么-a也是它的零点。
这意味着如果我们找到了一个零点，我们可以根据对称性找到另一个零点。
3. 零点与函数图像：函数的零点处于函数图像与x轴的交点处，因此通过观察函数图像可以初步判断零点的位置。
二、零点的求解方法求解函数的零点是我们在高中数学中经常要进行的操作之一。
下面是几种常见的求解方法：1. 图像法：通过观察函数的图像，找出横坐标轴上的交点。
这种方法对于简单函数比较直观，但对于复杂函数可能会不够准确。
2. 因式分解法：如果函数可以进行因式分解，那么我们可以通过将函数中的因式置零来求解零点。
这个方法要求我们对函数的因式分解有一定的掌握程度。
3. 零点定理与综合除法：零点定理告诉我们，如果一个函数f(x)存在有理数根p/q（p与q互质），那么p是f(x)的常数项的因子，q是f(x)的最高次项的系数。
我们可以通过综合除法来验证这个定理，并进一步求得有理数根。
4. 数值法：对于无法通过上述方法求解的函数，我们可以使用数值法来逼近零点。
例如，可以使用二分法、牛顿法或二次插值法等数值方法来计算。
三、零点的应用举例函数的零点在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们通过几个实例来说明零点的具体应用。
函数不动点
函数不动点1 什么是函数不动点函数不动点是指对某个函数的参数进行某些给定的条件变化，使得此函数的值不变的点。
举个例子，一元二次函数ax²+bx+c中,当b²-4ac=0时，这个函数只有一个不动点；如果b²-4ac<0时，函数就没有不动点。
2 函数不动点的概念函数不动点一般涉及四个概念：（1）函数的参数发生了变化；（2）函数的值不变；（3）函数的值可以是最大值或最小值；（4）函数的值可以是某一特定值。
函数的不动点分为局部不动点和全局不动点。
局部不动点就是在某一函数的某一一段区间内，其函数值与参数发生变化而不变的点。
而全局不动点就是指对某个函数而言，它在整个参数范围内函数值都不变的点，常叫全局极值点。
3 函数不动点的类型主要有两种不动点，一种是极大值的不动点，另一种是极小值的不动点。
极大值的不动点指的是，函数在某一点上的值比它的左右附近的值都要大，这个不动点称为极大值不动点。
而函数在某一点处的值要比它的左右附近值都小，此点就叫做极小值不动点。
也有一类特殊的不动点，它既是极大值又是极小值，一般被称作最大最小值不动点。
4 函数不动点的意义函数不动点可以用来研究函数的极值，支持函数增长或者减少的构筑和分析，也可以用来检验一些非函数的几何性质。
它是数学建模的基础，为最优化问题的求解提供帮助，在建模和优化方面尤其重要。
另外，函数的不动点也被广泛地用于物理学、化学、生物学等各个领域中。
就是这样，函数不动点可以解决许多数学问题，可以把矛盾形式简单化，使问题看起来更容易处理。
它是数学建模和处理最优化问题的重要工具，对科学研究和科技发展也有着重要意义。
不动点定理知识点总结
不动点定理知识点总结一、不动点的定义首先，我们来看一下不动点的定义。
给定函数f: X → X，如果存在x∈X使得f(x) = x，那么x就是函数f的一个不动点。
换句话说，对于函数f，如果存在一个点x，使得f将x映射到它自身，那么x就是函数f的一个不动点。
举个简单的例子，考虑函数f(x) = 2x，显然f的不动点就是x=0，因为f(0) = 2*0 = 0。
此外，函数g(x) = x^2也有不动点x=0，因为g(0) = 0^2 = 0。
不动点的概念看起来很简单，但它在数学分析中有着深远的应用。
接下来，我们将介绍不动点定理的条件以及应用。
二、Banach不动点定理Banach不动点定理是最著名的不动点定理之一，它是由波兰数学家斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）在20世纪初提出的。
Banach不动点定理说的是，如果X是一个完备度量空间，而f: X→X是一个压缩映射（contraction mapping），那么f在X上存在唯一的不动点。
首先，我们来看一下完备度量空间的定义。
给定的度量空间（metric space）(X, d)，如果该空间中任意柯西列（Cauchy sequence）都收敛于X中的某个点，则称X是完备的。
在完备度量空间中，我们可以证明如下的两个定理：定理1：完备度量空间中任何紧集合都是闭的；定理2：完备度量空间上的任何收敛序列都是柯西列。
接着，我们来看一下压缩映射的定义。
给定度量空间(X, d)和函数f: X → X，如果存在一个常数0≤k<1，使得对于任意x, y∈X，有d(f(x), f(y))≤kd(x, y)，那么称f是一个压缩映射。
有了完备度量空间和压缩映射的概念，我们可以给出Banach不动点定理的表述：定理3（Banach不动点定理）：如果(X, d)是一个完备度量空间，而f: X→X是一个压缩映射，那么f在X上存在唯一的不动点。
这个定理的证明是通过构造一个柯西列，利用完备度量空间的性质来证明不动点的存在，并利用压缩映射的性质来证明不动点的唯一性。
课件4：2.4.1 函数的零点
1．数形结合思想 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 的 根 的 分 布 问 题，通常借助于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解决， 利用函数思想研究一元二次方程根的分布问题体现了数形结合 的思想，一般要考虑四个因素： (1)二次项的系数； (2)判别式； (3)对称轴； (4)区间端点的取值，通过列出满足条件的不等式(组)来解 决． 我们知道函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根．
求下列函数的零点： (1)y＝x－1； (2)y＝x2－x－6. [分析] 把每一个函数解析式因式分解，化为几个因式之 积的形式，最好为一次因式，然后令每一个因式等于零再解．
[解析] (1)令y＝x－1＝0，得x＝1， ∴函数y＝x－1的零点是1. (2)y＝x2－x－6＝(x－3)(x＋2)， 令(x－3)(x＋2)＝0，得x＝－2或x＝3， ∴函数y＝x2－x－6的零点是－2和3.
由二次函数 f(x)＝3x2－5x＋a 的图象可得
f－2>0
3×4－5×－2＋a>0
f0<0 f1<0
，即a3<－05＋a<0
，
f3>0
27－15＋a>0
解得－12<a<0. ∴实数 a 的取值范围是(－12,0)．
2．零点分析法 若函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且 在区间端点的函数值符号相反，即 f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b) 内，函数 y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程 f(x)＝0 在区间 (a，b)内至少有一个实数解．这种利用函数性质判定方程实数 解的方法也叫零点分析法． 零点分析法的几何意义是，在闭 区间[a，b]上有连续曲线 y＝f(x)且连 续曲线的始点(a，f(a))与终点(b，f(b)) 分别在 x 轴的两侧，则此连续曲线与 x 轴至少有一个交点(如图所示)
专题02函数零点问题-2024高考数学尖子生辅导专题
专题02函数零点问题-2024高考数学尖子生辅导专题函数的零点问题在数学中是一个非常重要的概念和问题。
而在2024高考的数学尖子生辅导专题中，函数的零点问题无疑是一个重点内容。
下面，我们来详细探讨一下这个问题。
函数的零点问题即是求解函数的解析式方程$f(x)=0$的解$x$。
在实际问题中，函数的零点往往表示了其中一种特定情况下的平衡点或者特殊点，因此求解函数的零点问题是非常实用和重要的。
那么，如何求解函数的零点问题呢？下面，我们将从三个方面进行讨论。
首先，我们可以通过图像来求解函数的零点问题。
对于一般的函数，我们可以通过画出函数的图像来判断函数的零点。
函数的零点为函数与$x$轴相交的点，在图像上表现为函数曲线与$x$轴的交点。
通过观察函数图像上哪些点与$x$轴相交，我们可以找到函数的零点。
对于简单的函数，我们可以手工画出函数图像，对于复杂的函数，我们可以借助计算机软件进行绘图。
其次，我们可以通过函数的解析式来求解函数的零点问题。
对于一般的函数，我们可以通过解方程$f(x)=0$来求解函数的零点。
通过将方程变形化简，最终得到$x$的解析表达式。
这种方法适用于存在解析解的函数，对于一些特殊函数，解析解并不存在，我们需要采用其他方法进行求解。
最后，我们可以通过数值计算方法来求解函数的零点问题。
对于一些无法通过解析式求解的函数，我们可以采用数值计算方法进行求解。
数值计算方法包括二分法、不动点迭代法、牛顿迭代法等。
这些方法通过迭代计算，逐渐接近函数的零点。
在实际计算中，我们可以通过计算机软件来进行数值计算，以提高计算的精度和效率。
综上所述，函数的零点问题在数学中具有重要的意义，我们可以通过图像、解析式和数值计算方法等多种途径来求解函数的零点。
在2024高考的数学尖子生辅导专题中，函数的零点问题无疑是一个关键的内容，掌握这个问题对于学生的数学能力提高和应试能力提升都具有重要作用。
因此，我们应该重视并加以学习和实践。
函数与函数的零点知识点总结
函数及函数的零点有关概念函数的概念：设A 、B 是非空的数集;如果按照某个确定的对应关系f;使对于集合A 中的任意一个数x;在集合B 中都有唯一确定的数fx 和它对应;那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=fx;x ∈A ．其中;x 叫做自变量;x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值;函数值的集合{fx| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 一函数三要素1.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域.. 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手：1分式的分母不等于零； 2偶次方根的被开方数不小于零；3对数式的真数必须大于零；4指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 5指数为零底不可以等于零.. 6如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么;它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合即交集.7三角函数正切函数tan y x =中()2x k k Z ππ≠+∈.8实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义;还要保证实际问题或几何问题有意义.9以上这些在题目中都没出现;则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法：复合函数：如果y=fuu ∈M;u=gxx ∈A;则 y=fgx=Fxx ∈A 称为f 、g 的复合函数.. 1已知fx 的定义域是a;b;求fgx 的定义域;是指满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围；2已知fgx 的定义域是a;b;求fx 的定义域;是指在[,]x a b ∈的条件下;求gx 的值域；3 已知fgx 的定义域是a;b;求fhx 的定义域;是指在[,]x a b ∈的条件下;求gx 的值域;gx 的值域就是hx 的值域;再由hx 的范围解出x 即可.. 2.求函数的解析式的常用求法：1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法3.值域 : 先考虑其定义域 3.1求函数值域的常用方法1、图像法；2、层层递进法；3、分离常数法；4、换元法；5、单调性法；6、判别式法；7、有界性；8、奇偶性法；9、不等式法；10、几何法； 3.2分段函数的值域是各段的并集 3.3复合函数的值域 二分段函数问题1：已知定义域求值域问题代入法 2：已知定义域求值域问题代入法 3.分段函数解析式的求法 要点2．函数的性质 一函数的单调性局部性质： 1.函数单调性的判定A 定义法：定义1：设函数y=fx 的定义域为I;如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1;x 2;当x 1<x 2时;都有fx 1<fx 2;那么就说fx 在区间D 上是增函数.区间D 称为y=fx 的单调增区间.. 等价定义：设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么：[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.定义2．设函数)(x f y =在某个区间内可导;如果0)(>'x f ;则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ;则)(x f 为减函数. B 图象法从图象上看升降2.函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法：错误! 任取x 1;x 2∈D;且x 1<x 2；错误! 作差fx 1－fx 2；错误! 变形通常是因式分解和配方；错误! 定号即判断差fx 1－fx 2的正负；错误! 下结论指出函数fx 在给定的区间D 上的单调性．B 图象法从图象上看升降C 复合函数的单调性复合函数fgx 的单调性与构成它的函数u=gx ;y=fu 的单调性密切相关;其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ;不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. D 导数法2函数的单调区间3利用函数单调性解不等式;比较大小;求参数的值或取值范围及最值问题1. 比较大小2.最值3.参数范围问题4.解不等式4抽象函数的单调性5.函数单调性的常用结论：1、若(),()+在这个区间上也为增减函f xg xf xg x均为某区间上的增减函数;则()()数2、若()-为减增函数f x为增减函数;则()f x3、若()f x与()g x的单调性f x与()=是增函数；若()y f g xg x的单调性相同;则[()]不同;则[()]=是减函数..y f g x4、奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反..5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象..二函数的奇偶性整体性质：紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域区间关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化;特别注意“奇函数若在x＝0处有定义;则一定有f0＝0;偶函数一定有f|x|＝fx”在解题中的应用．1函数奇偶性的判断1.1一般函数奇偶性的判断1.定义:偶函数一般地;对于函数fx的定义域内的任意一个x;都有f－x=fx;那么fx就叫做偶函数．奇函数一般地;对于函数fx的定义域内的任意一个x;都有f－x=—fx;那么fx就叫做奇函数．2.性质：奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称;反过来;如果一个函数的图象关于原点对称;那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称;那么这个函数是偶函数．3.利用定义判断函数奇偶性的步骤：错误!首先确定函数的定义域;并判断其是否关于原点对称；错误!确定f－x与fx的关系；错误!作出相应结论：若f－x = fx 或 f－x－fx = 0;则fx是偶函数；若f－x =－fx 或 f－x＋fx = 0;则fx是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称;若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称;1再根据定义判定; 2由 f-x±fx=0或fx／f-x=±1来判定; 3利用定理;或借助函数的图象判定 .1.2分段函数奇偶性的判断方法：图像法、定义法注意带人2利用奇偶性求函数的解析式注意带入3抽象函数奇偶性的证明4函数奇偶性的常用结论：1、如果一个奇函数在0x=处有定义;则(0)0=既是奇函y f xf=;如果一个函数()数又是偶函数;则()0f x=反之不成立2、两个奇偶函数之和差为奇偶函数；之积商为偶函数..3、一个奇函数与一个偶函数的积商为奇函数..4、两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数;只要其中有一个是偶函数;那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时;该复合函数是奇函数..5、若函数)(x f y =是偶函数;则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数;则)()(a x f a x f +-=+.6、若函数()f x 的定义域关于原点对称;则()f x 可以表示为11()[()()][()()]22f x f x f x f x f x =+-+--;该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和.. 三函数的周期性几个函数方程的周期约定a>0 1)()(a x f x f +=;则)(x f 的周期T=a ； 20)()(=+=a x f x f ;或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ;或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠;或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈;则)(x f 的周期T=2a ； 3)0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ;则)(x f 的周期T=3a ；4)()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<;则)(x f 的周期T=4a ；5()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++;则)(x f 的周期T=5a ；6)()()(a x f x f a x f +-=+;则)(x f 的周期T=6a.要点3．函数的图象1.解决该类问题要熟练掌握基本初等函数的图象和性质;善于利用函数的性质来作图;要合理利用图象的三种变换．2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时;要注意用好其与图象的关系、结合图象研究． 一图像变换问题 1 画法 A 、描点法：B 、图象变换法常用变换方法有三种:1平移变换;2伸缩变换;3对称变换; 二图像识别问题 要点4．二次函数一闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得;具体如下：1当a>0时;若[]q p a bx ,2∈-=;则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=;{}max max ()(),()f x f p f q =;{}min min ()(),()f x f p f q =. 2当a<0时;若[]q p a b x ,2∈-=;则{}min ()min (),()f x f p f q =;若[]q p abx ,2∉-=;则{}max ()max (),()f x f p f q =;{}min ()min (),()f x f p f q =. 二二次函数的移轴问题 1定区间动轴 2定轴动区间 3轴动区间动三一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <;则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(;则1方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；2方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；3方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .四.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据1在给定区间),(+∞-∞的子区间L 形如[]βα,;(]β,∞-;[)+∞,α不同上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥t 为参数恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.2在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≤ t 为参数恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.30)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.五二次函数的奇偶性 要点5.基本初等函数 一、指数函数一指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地;如果a x n =;那么x 叫做a 的n 次方根;其中n >1;且n ∈N *．◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0;记作00=n ..当n 是奇数时;a a n n =;当n 是偶数时;⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义;规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ;)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm◆ 0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质1ra ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； 2rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；3s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．二指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地;函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数;其中x 是自变量;函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围;底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质注意：利用函数的单调性;结合图象还可以看出：1在a;b 上;)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； 2若0x ≠;则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； 3对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且;总有a )1(f =； 二、对数函数 一对数1．对数的概念：一般地;如果N a x =)1,0(≠>a a ;那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数;记作：N x a log =a — 底数;N — 真数;N a log — 对数式 说明：错误! 注意底数的限制0>a ;且1≠a ； 错误! x N N a a x =⇔=log ；错误! 注意对数的书写格式． 两个重要对数：错误! 常用对数：以10为底的对数N lg ；错误! 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．指数式与对数式的互化幂值 真数b a ＝ N ⇔log a N ＝ b底数指数 对数二对数的运算性质如果0>a ;且1≠a ;0>M ;0>N ;那么：错误! M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；错误! =NM a log M a log －N a log ； 错误! n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a b b c c a log log log = 0>a ;且1≠a ；0>c ;且1≠c ；0>b ．利用换底公式推导下面的结论 1b mn b a n a m log log =；2a b b a log 1log =． 二对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ;且)1≠a 叫做对数函数;其中x 是自变量;函数的定义域是0;+∞．注意：错误! 对数函数的定义与指数函数类似;都是形式定义;注意辨别..如：x y 2log 2=;5log 5x y = 都不是对数函数;而只能称其为对数型函数． 错误! 对数函数对底数的限制：0(>a ;且)1≠a ．2、对数函数的性质：函数图象都过定点1;0函数图象都过定点1;0三幂函数 1、幂函数定义：一般地;形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数;其中α为常数．2、幂函数性质归纳．1所有的幂函数在0;+∞都有定义并且图象都过点1;1；20>α时;幂函数的图象通过原点;并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地;当1>α时;幂函数的图象下凸；当10<<α时;幂函数的图象上凸；30<α时;幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内;当x 从右边趋向原点时;图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴;当x 趋于∞+时;图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．要点6．函数模型的实际应用解决函数模型的实际应用题;首先应考虑该题考查的是何种函数;并要注意定义域;然后结合所给模型;列出函数关系式;最后结合其实际意义作出解答．明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础：错误!→错误!→错误!→错误!要点7．函数零点 1.函数零点方程的根的确定问题;常见的类型有1零点或零点存在区间的确定；2零点个数的确定；3两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法;尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解..检验 收集数画散点选择函数求函数模用函数模型解释实际符合实际不符合实2．函数零点方程的根的应用问题;即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题;解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想;构建关于参数的方程或不等式求解..3.用二分法求函数零点近似值;用二分法求函数零点近似值的步骤1确定区间a;b;验证fa ·fb<0;给定精确度ε；2求区间a;b 的中点1x ；3计算f 1x ;①当f 1x =0;则1x 就是函数的零点；②若fa ·f 1x <0;则令b=1x 此时零点01(,)x a x ∈;③若f 1x ·fb<0;则令a=1x 此时零点01(,)x x b ∈..4判断是否达到其精确度ε;则得零点近似值;否则重复以上步骤..。
高考文科数学专题复习《函数的零点PPT 课件
-10
1
(1,0)
一个零点 x=1
-12
-2
x2-2x+3=0 无实数根 y=x2-2x+3
4 -14
-24
-16
没有 交点
没有 零点
-15
-10
-5
-18 1
-6
结 论:函数的零点就是方程f(x)-2=-200的实数根，也就是函数y=f(x)的 --48 图象与x轴的交点的横坐标 -6
-10
结论：函数的零点就是方程f(x)=0的
（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点
函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点
f(a)·f(b)<0 f(a)·f(b)<0。
f(a)·f(b)>0
（3）函数y=f(x)在单调区间(a,b)内有零点 f(a)·f(b)<0
a
a
b
b
a
b
析:
aRa0f (x)2x3判断零点是否[在 1,1]
2
a
x 1 b
a
-2
a b
b
注意:
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 断的一条曲线：
（1） f(a)·f(b)<0 函数y=f(x)在区间
(a,b)内有零点；
（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点
f(a)·f(b)<0。
2
a
a
-10
b
-5
a
x 1 b
b
-2
（1）f(a)·f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点；
“f(x)在区间D上有不动点”当且仅当“F(x)=f(x)-x在区间D上有零点”
不动点与稳定点
定有两解 x
1 ,1 ，由此因式分解，可得 ( x 1)(2 x 1)(4 x 2 2 x 1) 0 2 1 5 1 1 5 2 ，故函数 y 2 x 1 的稳定点有 ,1 ， 4 2 4
还有另外两解 x
其中
1 5 是稳定点，但不是不动点。 4
若函数 y f ( x) 单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。
证明：若函数 y f ( x) 有不动点 x 0 ，显然它也有稳定点 x 0 ； 若函数 y f ( x) 有稳定点 x 0 ，即 f ( f ( x 0 )) x 0 ，设 f ( x 0 ) y 0 ，则 f ( y 0 ) x 0 即 ( x 0 , y 0 ) 和 ( y 0 , x 0 ) 都在函数 y f ( x) 的图象上， 假设 x 0 y 0 ，因为 y f ( x) 是增函数，则 f ( x 0 ) f ( y 0 ) ，即 y 0 x 0 ，与假设矛盾； 假设 x 0 y 0 ，因为 y f ( x) 是增函数，则 f ( x 0 ) f ( y 0 ) ，即 y 0 x 0 ，与假设矛盾； 故 x 0 y 0 ，即 f ( x 0 ) x 0 ， y f ( x) 有不动点 x 0 .
【2013 年• 四川卷 （理科）第 10 题】 设函数 f ( x)
e x x a （ a R ， e 为自然对数的底数） . 若曲线 y sin x 上存在点
） D. [e
1
( x0 , y 0 ) 使 f ( f ( y 0 )) y 0 成立，则 a 的取值范围是（
【2013 年• 四川卷 （文科）第 10 题】 1. 设 函 数 f ( x)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
奥数专题1：函数的零点、不动点、稳定点
一、基本知识
1. 满足f(x)=0的x 的值叫做函数f(x)的零点
2. 满足f(x)=x 的x 的值叫做函数f(x)的不动点
3. 满足f(f(x))=x 的x 的值叫做函数f(x)的稳定点
4. 若函数f(x)=ax+b(a ≠1)的不动点为x 0=b 1−a ，则函数f(x)可写成f(x)=a (x −b 1−a )+
b 1−a ，f (2)(x )=a 2(x −b 1−a )+b 1−a ,⋯f (n )(x )=a n (x −b 1−a )+b 1−a ,此定理即：若x 0是f(x)的不动点，则x 0也是f （n ）(x)的不动点
二、例题选讲
1.设{}{}R x x x f f x B R x x f x x A R c b c bx x x f ∈==∈==∈++=,))((,),(),,()(2,如果A 中只含有一个元素,则有 （ ）
A A
B ⊂ B A B ⊂
C B A =
D φ=B A
2.设c bx x x f ++=2)(，若方程x x f =)(无实根，则方程x x f f =))((（ ）
A.有四个相异实根
B.有两个相异实根
C.有一个实根
D.无实根
3.已知c bx ax x f ++=2)(满足c b a f >>=,0)1(。
（1）求c
b a b a
c ,,的取值范围；（2）证明方程0)(=x f 有两个不等实根；（3）)(x f 图像与x 轴交于A 、B 两点，求AB 。
4.已知)()(2
c b a c bx ax x f >>++=的图像上有两个点))(,()),(,(R f R B r f r A 满足0)1(,0)()()]()([2==+++f R f r f a R f r f a ．（1）求证：0≥b ；（2）求方程0)(=x f 的另一根的取值范围；（3）求证：)3(),3(++R f r f 中至少有一个为正数．
5.对于函数)(x f ，若x x f =)(，则称x 为)(x f 的不动点；若x x f f =))((，则称x 为)(x f 的稳定点；函数)(x f 的不动点和稳定点的集合分别是A 、B ，即
{}{}x x f f x B x x f x A ====))((,)(。
（1）求证：B A ⊆；（2）若1)(2-=ax x f ，且φ≠=B A ，求实数a 的取值范围。
6.设)0()(2
>++=a c bx ax x f 的两个不动点为21,x x 满足a
x x 1021<<<。
（1）当),0(1x x ∈时，证明：1)(x x f x <<；（2）设函数)(x f 的图像关于0x x =对称，证明：210x x < 7.已知)0(4)(2<++=a b x ax x f 的两个零点为21,x x ，)(x f 的两个不动点为βα,。
（1）
若1=-βα，且b a ,均为负整数，求)(x f ；（2）若21<<<βα，求证：
7)1)(1(21<++x x
8.设c b a ,,是正整数，关于x 的一元二次方程02
=++c bx ax 的两实数根的绝对值均小于3
1，求c b a ++的最小值。
9.已知实系数二次函数与满足和都有双重实根,如果已知有两个不同的实根,求证没有实根.
10.设二次函数2)12()(2--++=a x b ax x f 在]4,3[上至少有一个零点，求22b a +的最小值。
11.已知二次函数c bx x x f ++=2)(在)1,0(与x 轴有两个不同的交点，求c b c )1(2++的取值范围。
12.已知函数2)1()(2-++=x b ax x f 。
若对任意实数b ，方程x x f =)(有两个不等的实根，求实数a 的取值范围。
13. 已知函数f (x )=45(x −1)，若f (5)(x) 为正整数，求x 的最小值。
14. 若f (x )=√19x 2+93，求f (n )(x)
15.（第24届IMO ） 已知f:R +→R + 且满足条件：
（1）对任意的x,y ∈R +，有f(xf (y ))=yf (x )；（2）x →+∞时，f (x )→0
试求函数f(x).
16. (第35届IMO ）设S 是所有大于-1的实数组成的集合，确定所有的函数f:S →S ，满足条件 :
（1）对于S 内所有的x,y 有f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)；（2）在区间(-1,0)和(0,+∞) 内，x x f )(是严格单调递增的. ()f x ()g x 3()()0f x g x +=()()0f x g x -=()0f x =()0g x =。