湖南理工学院高等代数试卷(2)

高等代数试卷（2）
1． 填空题：（2×10=20）
1．若向量组可由线性表示，且r>s,则线性。

2．数域P上所有n阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是；3．设是线性空间V的两个子空间，则的充分必要条件是= ；
4．数域P上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是。

5．设V是数域P上的n维线性空间，是V上一切线性变换所成的P上的线性空间，则dim(L(V))= 。

6．设是线性空间V的一组基，则由这个基到基的过度矩阵是。

7．令P n[x]表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式组成的线性空间，，则关于基下的矩阵是。

8．设是n维欧氏空间V上的一个正交变换，且（单位变换），则是变换。

9．欧氏空间V上的对称变换的特征根都是数。

10．设是n维欧氏空间V的一组标准正交基，则它的度量矩阵是。

二．判断题（每题1分，计10分）
1．设。

（）
2．两个等价的向量组一个线性无关，则另一个也线性无关。

（）3．若，，且V中的任意一个向量都可由线性表示，则实数是V的组基。

（）
4．线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。

（）
5．如果一个线性变换是单射，则它无零特征根。

（）
6．设是线性空间V上的一个线性变换，则的核与的象都是的不变子空间。

（）
7．如果W是欧氏空间的一个子空间，那么对V的内积来说，W也作成欧氏空间。

（）
8．设是欧氏空间V上的一个正交变换，则对于夹角等于的夹角。

（）9．两个n元二次型（与（等价的充分必要条件是A与B合同。

（）10．实二次型（正定的当且仅当A合同于单位矩阵。

（）
三、证明题（10×3=30）
1．在一个欧氏空间里，对任意向量有不等式；且仅当线性相关时等式成立。

2．设V是数域P上的n维线性空间，是V的一组基，那么对V的任意n个向量有且仅有一个线性变换 σ 使得。

3．设，令V表示A的全体实系数多项式矩阵关于通常加法与数乘运算构成的线性空间；证明：dim(V)=3.
四、计算题（15×2=30）
1．设，求出一个正交矩阵U，使得是对角矩阵。

2．化二次型为标准形，并求相应的变换矩阵。

五、以下四个证明题中任选两个作答。

（每题5分共10分）
1．设V是复数域P上的n维线性空间，是V的一组基，那么实数域R上的线性空间V，有。

2．设V是数域P上的线性空间，是V的一个线性变换，证明：1）若是的两个不同特征根，是分别属于的特征向量，则不是的特征向
量；2）若是线性变换，如果V中的每一个向量都是它的特征向
量，则为数乘变换。

3．若在线性空间定义中去掉算律（1）而把算律（2）改成都有而其于算律保持不变，则V对原来的如法和数乘运算也构成一个线性
空间。

4．设是n维欧氏空间V上的一个线性变换，称为广义正交变换，如果存在一个正数k,使得，证明：是广义正交变换当且仅当在任一标
准正交基下的矩阵A，满足。