初一数学三角形专题练习

A

E

三 角 形 专 题

★★★主要知识点：

1．三角形的分类

三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形 (等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 2．一般三角形的性质

(1)角与角的关系：三个内角的和等于180°；三个外角的和等于360；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。

(2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。 (4)三角形的主要线段的性质(见下表)： 名称 基本性质

角平分线 ①三角形三条内角平分线相交于一点（内心）；内心到三角形三边距离相等；②角平分线上任一点到角的两边距离相等。 中线 三角形的三条中线相交于一点。 高 三角形的三条高相交于一点。

边的垂直平分

线

三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）；外心到三角形三个顶点的距离相等。

（1）等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形底边的高线、底边的中线和顶角的角平分线是同一条线段，三线合一；这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。 （2）等边三角形的特殊性质：①等边三角形每个内角都等于60°。②三线合一

（3）直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为余角； 4. 三角形的面积一般三角形：S △ =

2

1

a h （ h 是a 边上的高 ） 典型例题

例1. 如图，已知△ABC 中，∠C ＝∠ABC ＝2∠A ，BD 是AC 边上的高．求

∠DBC 的度数．

解析：因为∠DBC 在△BDC 中，且∠BDC=90°,所以为求出∠DBC ，应先求出∠C

解：设∠A ＝x°，则∠C ＝∠ABC ＝2x°根据三角形的内角和等于180° ∴ x ＋2x ＋2x ＝180 解得：x ＝36 ∴ ∠C ＝72° 在△BDC 中， ∵ ∠BDC ＝90°

∴ ∠DBC ＝180°-90°-72° ∴ ∠DBC ＝18° 变式训练

如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，线段AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点D ，连接BD ，求∠CBD 的度数

分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC 的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的

距离相等可得AD=BD ，根据等边对等角的性质可得∠ABD=∠A ，然后进行计算即可得解．

解答：解：∵AB=AC ，∠A=40°，

∴∠ABC=

2

1

（180°-40°）=70° （180°-40°）=70°， ∵DE 是AB 的垂直平分线， ∴AD=BD ，∴∠ABD=∠A=40°， ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°． 故答案为：30°．

点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性

质，准确识图找出各角度之间的关系是解题的关键．

例2 如图，D 是△ABC 的∠C 的外角平分线与BA 的延长线的交点，求证：∠BAC ＞∠B

解析：∠BAC 与∠B 同是△ABC 的内角，所以无法在△ABC 内部进行证明，而已知条件中有外角，因此可由三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角来证明

解：∵∠DCE=∠B+∠D （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∠ACE=∠B+∠BAC （同理可得） 又∵CD 平分∠ACE ∴∠ACD=∠DCE ∴∠B=∠DCE-∠D,

∠BAC=∠ACE-∠B=∠ACE-（∠DCE-∠D ）=∠DCE+∠D ∴∠BAC>∠B.

变式训练1一个零件的形状如图所示按规定∠A 应等于90°∠B 、∠D 应分别是30°和20°。李叔叔量得 ∠BCD=142°，就断定这个零件不合格。你能说出道理吗？

解：

延长BC 交AD 于点E ，

则∠DEB=∠A+∠B=90°+30°= 120°，

A B C

D

E x y

z x y z

从而∠DCB=∠DEB+∠D=120°+20°=140°． 若零件合格，∠DCB 应等于140°． 李叔叔量得∠BCD=142°， 因此可以断定该零件不合格

巩固练习

1．填空：

（1）正二十边形的每个内角都等于 162° 。

（2）一个多边形的内角和为1800°，则它的边数为12。 （3）n 边形的每一个外角是36°，则n 是 10 。

（4）多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有 9 条。

（5）如果把一个多边形截去一个三角形，剩下的多边形的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数

是15。

（6）一多边形除一内角外，其余各内角之和为2570°，

则这个内角等于 130° 。 二．解答题

1.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4。

求等腰三角形各边的长。

.解：设等腰三角形的腰长是x ，底边长是y ，根据题意得： 2X+Y=25

X/2+Y=X/2+X+4或X/2+Y ＋4＝X/2+X （要么腰长大要么底边长大） 所以解的应该为两组值

X=29/3，Y=17/3 或者X=7,Y=11

2.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且BC=BD=DE=EA ，求∠A 的度数。

解：：∵AB=AC ，BC=BD=ED=EA ， ∴∠ABC=∠C ，∠BCD=∠BDC ，∠DBE=∠DEB ，∠A=∠EDA ，

∴∠C=3∠A=∠ABC ， ∵∠ABC+∠C+∠A=180°， ∴7∠A=180°， ∴∠A= (180/7)°．

3.如图，BE 、CD 相交于点A ，CF 为∠BCD 的平分线，EF 为∠BED 的平分线。试探求∠F 与∠B 、∠D 之间的关系，并说明理由。

解：连接CE 。∠B=180°-∠BEC-∠BCE ，∠D=180°-∠DEC-∠DCE 。 ∠F=180°-∠FEC-∠FCE=180°-(∠BEC+1/2∠BED)-(∠BCE-1/2∠BCD) =180°-∠BEC-∠BCE+1/2∠BCD-1/2∠BED =∠B+1/2∠BCD-1/2∠BED

E

F D

C B A