空间直角坐标系向量的坐标表示

PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
例9
求平行于向量a
6i
7
j
6k 的单位向
量的分解式.
解 所求向量有两个，一个与 a同向，一个反向
| a| 62 72 (6)2 11,
a0
|
a a|
( 6
i
7
j
空间任给两个点M1 ,M2的坐标,可 得空间向量M1M2的坐标形式.
例5 : M1(1,2,3), M2 (10,1,3)
则OM 1
i
2
j 3k
(1,2,3),
• M2
OM 2 10i j 3k (10,1,3) M1•
M1M
2
OM
2
OM1
(10i j 3k ) (i 2 j 3k )
OPAQ——RCMB，
z
有：
R(0,0, z)
C( x,o, z)
OM OP PA AM
o
xi yj zk
x P( x,0,0)
B(0, y, z)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
定义1.13
若向量r的坐标分解式为r
r xi
r yj
r zk ,
11i 3 j 6k (11,3,6)
说明 : 借助向量的坐标分解式 ,可用代数的方法讨论
向量的运算
1.2.2 利用坐标作向量的线性运算
则
a设ab{a{xa,
x
ay
, az
bx,
},
a
y
b {bx , by , by , az bz }
bz
},
a
(ax
bx )i
(a y
by )
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 8 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为到 点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住z 轴，
当右手的四个手指
从正向x 轴以 角
2
度转向正向y 轴
时，大拇指的指向
就是z 轴的正向.
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
例4 在空间直角坐标系中，指出下列各
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
空间两点间距离公式
例 7 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
两部分AM 、MB，使它们的值的比等于某数
( 1)，即 AM ，求分点的坐标.
MB
解 设 M( x, y, z)为直线上的点， z
B
AM {x x1, y y1, z z1} A M
o
y
MB {x2 x, y2 y, z2 z} x
由题意知： AM MB
{ x x1, y y1, z z1} { x2 x, y2 y, z2 z},
6
k,)
11 11 11
2. 空间两向量的夹角的概念：
定义2.1.15
设有两个非零向量
a
0,
b 0,
规定不超过 的 AOB(设 AOB,0 )
称为向量a与向量b 的夹角,记作
b
(a,
b)
(b,
a)
a
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
解答： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R,
坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
注意 : 借助空间直角
1.向量的模:
设向量 (x, y, z),作OM z
R(0,0, z)
C( x,o, z)
o
x P( x,0,0) 由右图知:向量的模为
| | x2 y2 z2
B(0, y, z)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
设空间两点A(x1, y1, z1), B(x2 , y2 , z2 ), 则点A与点B之间的距离| AB | 就是 向量AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)的模. 即:| AB || AB |
x
x1 ( x2
x)
x
x1 x2 1
,
y
y1 ( y2
y)
y
y1 y2 , 1
z z1 (z2 z)
z z1 z2 , 1
M 为有向线段AB 的定比分点. M 为中点时，
x x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2 .
2
2
2
1.2.3 向量的模与方向余弦
j
(az
b
{ax
bx
,
a
y
by ,
az
bz
}
bz
)k;
(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k;
a
{a
x
, a
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y
,
az }
(ax )i (ay ) j (az )k.
例 6 设 A( x1 , y1 , z1 )和B( x2 , y2 , z2 )为两已知 点，而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为
z
坐标系可表示向量
R(0,0, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
B(0, y, z)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
如:
OP
xi ,
OQ PA yj,
OR zk
2.向量 的坐标分解式 任给向量 ，对应点M，使 OM
以OM为对角线，三条坐标轴为棱作长方体
则称xir
,
r yj
,
r zk
为向量r
沿三个坐标轴方向的分向量,
三元有序数组(x, y, z)称为向量r的坐标,记作
r
(x,
y,
z ); 若r
uuuur OM , (x,
y,
z )也称为点M 的坐标,
记作M (x, y, z).
结论: 在给定的空间直角坐标系下,空间的向量 (或点)与三元有序数组之间有一一对应的关系.